高考(数学理)题组训练第五章平面向量与复数题组25 Word版含解析
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第1页 共7页 题组层级快练(二十五)
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是( )
A．e＝a|a| B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
答案 D
解析 对于A，当a＝0时，a|a|没有意义，错误；
对于B，C，D当a＝0时，选项B，C，D都对；
当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选D.
3．(2014·新课标全国Ⅰ文)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝( )
A.AD→ B.12AD→
C.BC→ D.12BC→
答案 A
解析 EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→，故选A.
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(
)
A.AB→＝DC→ B.AD→＋AB→＝AC→
C.AB→－AD→＝BD→ D.AD→＋CB→＝0
答案 C
解析 由AB→－AD→＝DB→＝－BD→，故C错误．
第2页 共7页
5．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则( )
A．a＝b B．a＝－b
C．|a|＝|b| D．以上都不对
答案 C
6．(2016·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝(
)
A.OH→ B.OG→
C.EO→ D.FO→
答案 D
解析 在方格纸上作出OP→＋OQ→，如图所示，则容易看出OP→＋OQ→＝FO→，故选D.
7．(2014·福建文)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于( )
A.OM→ B．2OM→
C．3OM→ D．4OM→
答案 D
解析 利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算．
因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点．由平行四边形法则知OA→＋OC→＝2OM→，OB→＋OD→＝2OM→，故OA→＋OC→＋OB→＋OD→＝4OM→.
第3页 共7页 8．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝( )
A.13a＋23b B.23a＋13b
C.35a＋45b D.45a＋35b
答案 B
解析 由内角平分线定理，得|CA||CB|＝|AD||DB|＝2.∴CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.
故B正确．
9．已知向量i与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是( )
A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1
C．mn＝1 D．mn＝－1
答案 C
解析 由A，B，D共线可设AB→＝λAD→，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此λn-1， λ=m，即有mn＝1.
10．O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 C
解析 取BC中点D.
第4页 共7页 OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，AP→＝2λAD→.
∴A，P，D三点共线，∴AP一定通过△ABC的重心，C正确．
11．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
答案 C
解析 由已知AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→.
∴AD→∥BC→.又AB→与CD→不平行，∴四边形ABCD是梯形．
12．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)的充要条件是AP→＝λ(AB→＋AD→)，则λ的取值范围是( )
A．λ∈(0，1) B．λ∈(－1，0)
C．λ∈(0，22) D．λ∈(－22，0)
答案 A
解析 如图所示，∵点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，
∴AP→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)．由AP→与AC→同向知，λ>0.又|AP→|<|AC→|，
∴|AP→||AC→|＝λ<1，∴λ∈(0，1)．反之亦然．
13．如图所示，下列结论不正确的是________．
①PQ→＝32a＋32b； ②PT→＝－32a－32b；
③PS→＝32a－12b； ④PR→＝32a＋b.
答案 ②④
第5页 共7页 解析 由a＋b＝23PQ→，知PQ→＝32a＋32b，①正确；由PT→＝32a－32b，从而②错误；PS→＝PT→＋b，故PS→＝32a－12b，③正确；PR→＝PT→＋2b＝32a＋12b，④错误．故正确的为①③.
14.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，用OA→和OB→来表示向量OC→，则OC→等于________．
答案 34OA→＋14OB→
解析 OC→＝OA→＋AC→＝OA→＋14AB→＝OA→＋14(OB→－OA→)＝34OA→＋14OB→.
15．设a和b是两个不共线的向量，若AB→＝2a＋kb，CB→＝a＋b，CD→＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．
答案 －4
解析 ∵A，B，D三点共线，∴AB→∥BD→.∵AB→＝2a＋kb，BD→＝BC→＋CD→＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.
16．已知O为△ABC内一点，且OA→＋OC→＋2OB→＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．
答案 1∶2
解析 如图所示，取AC中点D.
∴OA→＋OC→＝2OD→.
∴OD→＝BO→.
∴O为BD中点，∴面积比为高之比．
第6页 共7页 17．如图所示，已知点G是△ABO的重心．
(1)求GA→＋GB→＋GO→；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.
答案 (1)GA→＋GB→＋GO→＝0 (2)略
解析 (1)如图所示，延长OG交AB于M点，
则M是AB的中点．
∴GA→＋GB→＝2GM→.
∵G是△ABO的重心，
∴GO→＝－2GM→.
∴GA→＋GB→＋GO→＝0.
(2)∵M是AB边的中点，
∴OM→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)．
又∵G是△ABO的重心，∴OG→＝23OM→＝13(a＋b)．
∴PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝(13－m)a＋13b.
而PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma，
∵P，G，Q三点共线，
∴有且只有一个实数λ，使得PG→＝λPQ→.
∴(13－m)a＋13b＝λnb－λma.
∴(13－m＋λm)a＋(13－λn)b＝0.
第7页 共7页 ∵a与b不共线，∴13-m+λm=0， 13-λn=0.消去λ，得1m＋1n＝3.
1．(2016·安徽合肥一模)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝________．
答案 45
解析 连接MN并延长交AB的延长线于T，
由已知易得AB＝45AT，
∴45AT→＝AB→＝λAM→＋μAN→，
∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝45.
2．(2015·新课标全国Ⅱ理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
答案 12
解析 由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.
