概率论与数理统计化学工业出版社第二章习题答案
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第2章随机变量及其分布
次品数，试写出X的分布列及分布函数.
解X取值0,1,2，
分布函数F(x) P(X < x),
当 x 0 时，P(X < x) 0 ,
P(X w x) P(X 0) P(X 1) P(X 2)
解 记p ｛一人选中周五参加志愿服务 ｝，q ｛一人没有选中周五参加志愿
X为这三人周五参加志愿服务的人数，则
P(X 0) C°p0q3(5)3 磊，P(X当 0 w x 1 时，P(X < x) P(X 0) 7，
15
当 1 w x 2时，P(X w x) P(X 14
0) P(X 1)届，
故分布函数为
6.甲、乙、 0
7/15 F(x) . 14/15
1, x 0
0 w x 1
1 w x 2
x > 2
丙三人参加志愿者服务，每人在周一至周五任选两天，记
为这三人周五参加志愿服务的人数，求 X的分布列.
服务｝，则 p CC1 C2 3
5 C5 5 C5 4.在10件产品中有3件次品，从中任取 2件，用随机变量 X表示取到的
C； P(X 0) C2 C10 1>x 1)普 C10 右P(X 2) G2。
X的分布列为 0
7/15 1 2
7/15 1/15
X取值为0，1，2，3.且
3、2 54 —) 5 125 ' 1) C3p1q2 0
x
221 2 2 2 3 36 330
P(X 2) C3pq 叫)(5)饭，P(X 3) C3pq 8
125
所以X的分布列为
0 1
27/125 54/125 2
36/125 3
8/125
10.设随机变量 X的密度函数为 f(x) 2
(1 x2
0, x w a. '，求常数
a的值，如果P(a X b) 0.5 ,求b的值.
解由密度函数的性质 f(x)dx 1 ,
2 dx a (1 x2) —arctan x arctan a) 1 ,
所以arctana 0，从而a 0.
由 P(a X b) 0.5，即 P(0 X b) 2
0 (1 2 -dx arcta n x ) b
0 0.5 ,
有arctanb 4，从而b tan； 1.
11.设随机变量X的密度函数为 f(x) ke
0, 3X
x 求(1)常数 k;(2) X
x w 0.
的分布函数F (x) ； (3) p X
解 (1)由密度函数的性质 f(x)dx
ke 3xdx
所以k 3.
(2)分布函数F(x) P(X < x) x f(x)dx
F(X) P(X w x)
当x 0时, F(x) f (x)dx 0 0dx X3e3xdx 0 3x 3x e ,
所以分布函数为 F(x) 1 e
0, 3x x 0;
x w 0.
(3) P X 1 1 P{0 X -} 1
23e 3xdx 3
1 e J
2 2 0
13. 设随机变量 X的分布函数为 A F(x) 2x
e ' x 0;，求(1)常数
0, x w 0.
(2) P( 1 X < 2) ； (3) X 的密度函数.
解(1) 由F(x)的连续性，有 lim F(x) A 1 F(0) 0 ,所以 A 1
x 0
(2) P( 1 X w 2) F(2) F( 1) (1 e 4) 0 1 e4 .
…、 2e2x x 0
(3) f(x) F (x)
0 x w 0
X的期望.
解X的可能取值为0, 1, 2.
中时的射击次数，p 0.8，则
k 1 P(Xi k) (1 p) p, k 12L ,
且X X1 X2，由题意知， k 1 1
X1 和 X2相互独立，E(Xi) k(1 p)k 1 p
p
1 E(X) 0 1 10 C； P(X 0) 「2
C5 1>X 1)晋 -6-,P(X 2) C2
10 C； 3
10
, —2 — 1.2. 10 10
现连续向同一目标射击，直到第
解 设Xi表示第一次击中时的射击次数, X2表示第一次击中后到第二次击 4. 盒中有5个球，其中有3白2黑，从中随机抽取2个球, 求抽得白球数
从而 E(X) E(XJ E(X2) p 0.8 2.5 .
6.某射手每次射击打中目标的概率都是,
2次击中为止. 求射击次数X的期望.
求 E( ) , E(2 3 ) , E( 2) , E( 2 2 3).
解 E( ) 2 0.2 0 0.3 1 0.1 5 0.4 1.7 ,
求 E(X) , E(2 3X) , E(X2) , E(X2 2X 3).
1 2
解 E(X) x f (x)dx Qx 2xdx
E(2 3X) 2 3E(X) 2 3 | 0,
1 1 E(X2) x2 f (x)dx q x2 2xdx
布，而进货量为区间［10,30］中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利 500
2 2 1 2 13 的分布列为 2 0 1 5
0.2 0.3 0.1 0.4 7.已知随机变量
E(2 3 ) 2 3E( ) 2 3 1.7 3.1，
E( 2) (2)2 0.2 02 0.3 2 2 1 0.1 5 0.4 10.9，
E( 2 2 3) E( 2) 2E( )3 10.9 2 1.7 3 10.5 .
2x, 0 < x < 1;
0, 其它. 9.设随机变量X的密度函数为f(x)
f(x)
4 X o
球的体积 V 4 (X)3 3 2
6E(X3) E(V) 6X3，
-bx3 6 a b^dx 24(a b)(a2 b2).
12.设商店经销某种商品的每周需求量 X服从区间［10,30］上的均匀分
元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损 100元，若供不应求，则
从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利 300元，求此商店经销这种商品
每周进货量为多少，可使获利的期望不少于 9 280元.
解 设Y为商店的周利润，a为该商品每周的进货量.
利润函数为Y 500X
500a 100(a
300(X X) 600X
a) 300X 100a,
200a, 10 w X w a;
a w X 30.
1 . 10< x < 30*
X的密度函数为 f(x) 20
0, 其它•
a 1 30 1
E(Y) Y f(x)dx (600x 100a) dx (300x 200a) —dx 10 20 a 20
7.5a2 350a 5 250，
要使得 E(Y) >
9 280，即 7.5a2 350a 5 250 > 9 280，有
2
3a2 140a 1612 < 0，解得 20— < a < 26 .
3
所以该商品每周的最小进货量为 21单位.
习题
2. 已知X的分布列为P(X k) 2a k,(k 1,2,L )， 求常数a及E(X)
解 由分布列的性质，有 k 2a 1， 即 2 a 1， 所以a 1 .
k 1 1 a 3
k
k k a2 a
E(X) k 2a 2 (k 1)a a 2
k 1 k 1 k 1 1a 1a
2a 3
2 ・
(1 a) 2
6. 1
设X ~ f(x)丄ex x .求 E(X), D(X).
2
解 1
被积函数xf(x) x^e x是奇函数，且积分区间(, )关于原点对称,
E(X) xf (x)dx
D(X) E(X2) [E(X)]2 E(X2)
7.
9. x20dx x2 e xdx
已知随机变量X ~ F(x)
随机变量X的密度函数
E(X)
E(X2)
D(X) 0.5
0.5
f(x) F (x)
0
1x(1 x)d x 1
0x(1
：x2(1 x)d x
E(X2) [E(X)]2 0,
x 0.5x2,
x 0.5x2,
1,
x,
x,
0,
x)d x 0
1x2(1 0
1
6 . x)d x
设随机变量X的密度函数为f (x)
2
求 E(X),D(X),D(3X a).
3
解由密度函数的性质，有 x 0;
0 < x 1;
其它.
3a2
4 x
0,
1, 得出
E(X) X算dx a x4 2 E(X )
D(X) E(X2) [E(X)]2 3a
差. D(2X 3 a) 4D(X) -a 9 3
10.设随机变量X服从［0, 9 3
4 4，
1
3 . / ］上的均匀分布, 1;
0;
1;
x > a;
x a.
驾dx 3a
x
Y cosX ,
解 随机变量X服从［0,］上的均匀分布，密度函数为 求 E(X),D(X).
求丫的期望与方
