第十讲 概率与统计
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翰林教育 陶老师
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁） 第十讲 概率与统计
知识归纳：
1．随机事件的概率
(1)随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.
(2)古典概型的概率
P(A)＝mn＝A中所含的基本事件数基本事件总数.
(3)几何概型的概率
P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
2．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：
P(B|A)＝PABPA.
3．相互独立事件同时发生的概率
P(AB)＝P(A)P(B)．
4．独立重复试验
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为
Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
5．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.
6．离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称下表：
X x1 x2 x3 … xi … xn
P p1 p2 p3 … pi … pn
为离散型随机变量X的分布列．
(2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝ 翰林教育 陶老师
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁） 1,2,3，…，n)．
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望(简称期望)．
D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做随机变量X的方差．
(4)性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
热点一 古典概型与几何概型
例1 (1)在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________．
(2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A.14 B.12 C.34 D.78
(1)(2014·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
(2)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得函数f(x)＝1－x＋x＋3－1有意义的概率为________．
热点二 相互独立事件和独立重复试验
例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.
(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．
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地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁） 甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，若反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议，记所需抛币次数为ξ.
(1)求ξ＝6的概率；
(2)求ξ的分布列和期望．
热点三 随机变量的分布列
例3 (2013·辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
(1)(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的数学期望E(X)等于( )
A.126125 B.65
C.168125 D.75
(2)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________. 翰林教育 陶老师
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁） 真题感悟
1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A.15 B.25 C.35 D.45
2．(2014·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．
(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．
则( )
A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1
押题精练
1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为( )
A.521 B.27 C.13 D.821
2．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( )
A.16625 B.96625 C.624625 D.4625
3．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
(2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X)．
1．随机抽样 翰林教育 陶老师
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁） 知识归纳：
1．随机抽样
(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．
2．常用的统计图表
(1)频率分布直方图
①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1组距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征 样本数据 频率分布直方图
众数 出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标
平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．
标准差：
s＝ 1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].
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地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁） 热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
(2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．
(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为( )
A．15 B．16 C．17 D．18
(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(
)
A．200,20 B．100,20 C．200,10 D．100,10
热点二 用样本估计总体
例2 (1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(
)
A．6 B．8 C．12 D．18
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的
