概率论与数理统计10

全国2022年10月高等教育自学考试（概率论与数理统计）(经管类)试题及答案详解课程代码：04183一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕1．已知事件A ，B ，B A 的概率分别为5.0，4.0，6.0，则=)(B A P 〔 B 〕 A ．1.0B ．2.0C ．3.0D ．5.0A ．0)(=-∞F ，0)(=+∞FB ．1)(=-∞F ，0)(=+∞FC ．0)(=-∞F ，1)(=+∞FD ．1)(=-∞F ，1)(=+∞F3．设),(Y X 服从地域1:22≤+y x D 上的均匀分布，则),(Y X 的概率密度为〔 D 〕 A ．1),(=y x fB ．⎩⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Dy x y x fC ．π1),(=y x fD ．⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Dy x y x f π4．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则=-)12(X E 〔 A 〕 A ．0B ．1C ．3D ．4A ．92 B ．2 C ．4 D ．621n 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=→∞0lim 1n i i n X P 〔 C 〕 A ．0B ．25.0C ．5.0D ．17．设n x x x ,,,21 为来自总体),(σμN 的样本，,σμ是未知参数，则以下样本函数为统计量的是〔 D 〕 A ．μ-∑=ni i x 1B ．∑=ni i x 121σC ．∑=-ni i x n 12)(1μD ．∑=n i i x n 121A ．置信度越大，置信区间越长B ．置信度越大，置信区间越短C ．置信度越小，置信区间越长D ．置信度大小与置信区间长度无关01A ．1H 成立，拒绝0H B ．0H 成立，拒绝H 0 C ．1H 成立，拒绝1HD ．0H 成立，拒绝1H10．设一元线性回归模型：i i i x y εββ++=10，i ε～),0(σN 〔n i ,,2,1 =〕，且各i ε相互独立．依据样本),(i i y x 〔n i ,,2,1 =〕，得到一元线性回归方程x y 10ˆˆˆββ+=，由此得ix 对 应的回归值为i y ˆ，i y 的平均值∑==ni i y n y 11〔0≠y 〕，则回归平方和回S 为〔 C 〕A ．∑=-ni i y y 12)(B ．∑=-ni i i yy 12)ˆ( C ．∑=-ni i y y12)ˆ( D ．∑=ni i y12ˆ21ˆnii y=∑二、填空题〔本大题共15小题，每题2分，共30分〕11．设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为8.0，5.0，则甲、乙两人同时击中目标的概率为___________．12．设A ，B 为两事件，且)()(==B P A P ，)|(=B A P ，则=)|(B A P ___________．15．设随机变量X ～)2,1(N ，则=≤≤-}31{X P ___________．(附：8413.0)1(=Φ)16．设随机变量X 服从区间],2[θ上的均匀分布，且概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,02,41)(θx x f 则则==}{Y X P ___________．X则=+)(Y X E ___________．有=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n m P n lim ___________．n 21x )xn 21α分位数，则μ的置信度为96.0的置信区间长度是___________．25．设总体X ～),(σμN ，σ未知，n x x x ,,,21 为来自总体的样本，x 和s 分别是样本均值和样本方差，则检验假设00:μμ=H ；01:μμ≠H 采纳的统计量表达式为___________．26．一批零件由两台车床同时加工，第—台车床加工的零件数比第二台多一倍．第—台车床出现不合格品的概率是03.0，第二台出现不合格品的概率是06.0． 〔1〕求任取一个零件是合格品的概率；〔2〕如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．解：设=A （取出第—台车床加工的零件），=B （取出合格品），则所求概率分别为： 〔1〕96.0252494.03197.032)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ； 〔2〕3264.01442796.094.031)()|()()|(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．27．已知二维随机变量),(Y X 的分布律为求：〔1〕X 和Y 的分布律；〔2〕),cov(Y X 解：〔1〕X 和Y 的分布律分别为〔2()(=Y E 1.00113.0011.0)1(11.0102.0003.0)1(0)(-=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯=XY E ， 02.0)3.0(4.01.0)()()(),cov(=-⨯--=-=Y E X E XY E Y X ．四、综合题〔本大题共2小题，每题12分，共24分〕28．某次抽样结果说明，考生的数学成绩〔百分制〕近似地服从正态分布),75(2σN ，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率． 解：用X 表示考生的数学成绩，由题意可得05.0}85{=>X P ，近似地有05.075851=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-σ，05.0101=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-σ，95.010=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσ，所求概率为9.0195.021102=-⨯=-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=σ．29．设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，且X 与Y 相互独立．求：〔1〕X 及Y 的概率密度；〔2〕),(Y X 的概率密度；〔3〕}{Y X P >．解：〔1〕X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1)(x x f X ，Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y ；〔2〕因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的概率密度为=),(y x f )(x f X ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=-其他,00,10,)(y x e y f yY ； 〔3〕⎰⎰⎰⎰⎰⎰--->-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==>10100100)1()(),(}{dx e dx e dx dy e dxdy y x f Y X P x x yx y y x11)(--=+=e e x x ．五、应用题〔10分〕30．某种产品用自动包装机包装，每袋重量X ～)2,500(2N 〔单位：g 〕，生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验．某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值g x 502=．问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常〔05.0=α〕？〔附：96.1025.0=u 〕 解：0H :500=μ，1H :500≠μ．已知5000=μ，20=σ，9=n ，502=x ，05.0=α，96.1025.02/==u u α，算得2/0096.139/2500502/||ασμu n x u =>=-=-=，拒绝0H ，这天包装机工作不正常．。

第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。

（4）A ，B ，C 都发生。

（5）A ，B ，C 都不发生。

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。

（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。

解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B B A B A =（2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若,（4）若A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ⊂，则Φ=BC解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

概率论与数理统计答案1. 观察某地区未来3 天的天气情况，记表示“有天不下雨”，用事件运算的关系式表示：“三天均下雨” “三天中至少有一天不下雨” 。

正确答案：2. 一根长为的棍子在任意两点折断，则得到的三段能围成三角形的概率为。

正确答案：. 3.两事件与相互独立，且满足，，则。

正确答案：4. 已知随机变量的概率分布为，则，。

正确答案：1，5. 设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，对随机变量X 的取值进行了三次独立观察，则至少有两次观察值不超过 2 的概率为。

正确答案：0.3526. 随机变量，则由切比雪夫不等式有。

正确答案：7. 已知随机变量X 和Y 的协方差矩阵为，则= 。

正确答案：，28. 设总体X 服从正态分布，其中未知，现取得样本容量为64 的一个样本，则的0.95的置信区间的长度为。

正确答案：0.989. 设总体X 服从正态分布，是总体的样本，则，正确答案：，10. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为。

正确答案：二、选择题（每题2 2 分，共0 10 分）1.设设A A ，B B 为两随机事件，且，则( ) 。

正确答案A.B.C.D.正确答案：D2. 已知随机变量X X 的概率密度函数( ( A 0,A 为常数) ) ，则概率（0 ）的值（）。

正确答案A. 与无关，随的增大而增大B. 与无关，随的增大而减小C. 与无关，随的增大而增大D. 与无关，随的增大而减小正确答案：C3. 若～，～，那么的联合分布为（）。

正确答案A.二维正态分布，且B.二维正态分布，且不定C.未必是二维正态分布D.以上都不对正确答案：C4. 总体均值的的95% 置信区间的意义是( ) 。

正确答案A. 这个区间以95%的概率含样本均值B. 这个区间以95%的概率含的真值C. 这个区间平均含总体95%的值D. 这个区间平均含样本95%的值正确答案：B5. 对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下接受，那么在显著水平1 0.01 下，下列结论中正确的是( ) 。

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.5
2.设F(x)为随机变量X的分布函数，则有
A.F(-∞)=0，F(+∞)=0B.F(-∞)=1，F(+∞)=0
C.F(-∞)=0，F(+∞)=1D.F(-∞)=1，F(+∞)=1
3.设二维随机变量(X，Y)服从区域D：x2+y2≤1上的均匀分布，则(X，Y)的概率密度为
19. 设随机变量X与Y相互独立，且X～N（0，5），Y～X2（5），则随机变量 服从
自由度为5的_______________分布。
20. 设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=2,D(Y)=1,则D(X-2Y+3)=___________.
21. 已知二维随机向量（X，Y）服从区域G：0≤x≤1, 0≤y≤2上的均匀分布，则 _______________.
Y
X
-1
0
1
0
0.3
0.2
0.1
1
0.1
0.3
0
求：(1)X和Y的分布律；(2)Cov(X，Y).
四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N(75，σ2)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.
22. 设总体X～N（ …,Xn为来自总体X的样本， 为样本均值，则D( )=.
23. 设二维随机向量（X，Y）的概率密度为f（x,y）= 则当
0≤y≤1时，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY(y)=.
24. 设总体X的分布列为
X
0
1
P
1-p
P
其中p为未知参数,且X1,X2,…,Xn为其样本,则p的矩估计 =___________.