专题十概率与统计

专题十概率与统计2013.4【真题感悟】1. （2012山东11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为A 232B 252C 472D 4842.（2012广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. 49 B.13 C.29 D.193. （2012辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(A) 16(B)13(C)23(D)454. （2012安徽）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数()B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数()C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差()D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【考点梳理】1.排列组合二项式定理：（1）基本计数原理：①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝________________种不同的方法．②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法，……，完成第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝__________________种不同的方法．③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．（2）排列与组合：①排列与排列数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示.排列数公式：!(1)(2)(1)()()!mnnA n n n n m m nn m=---+=≤-；!(1)(2)21nnA n n n n==--⋅.规定0! = 1。

另外，!)!1(!nnnn-+=⋅；111--++=⋅+=mnmnmnmmmnmnmAACAAA；11--=mnmnnAA，!1)!1(1!1n n n n --=-。

注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.②组合与组合数：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元 素的一个组合。

从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示． 组合数公式：()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅- ；m m n n A C m =⋅！.规定10==n n n C C 。

组合数公式有两种形式：乘积形式和阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由()!!!n m n m -写出m n C .另外，()m n m n n C C m n -=≤；111()m m m n n n C C C m n ---=+≤；11k k n n kC nC --=；1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .③排列与组合的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．④排列组合问题的解法：直接法；穷举法；优先法（特殊元素优先安排法或特殊位置优先安排法）；相邻问题捆绑法；不相邻问题(相间)插空法（含逐一插空法）；多排问题直排法；定序问题用除法（或（非）定序元素优先安排法）；隔板法（名额分配问题，有狭义（11m n C --）和广义（111m nn m n m C C -+-+-=）之分（不定方程解（10i i x x ≥≥或）的个数））；小集团问题先整体后局部；选排问题先选后排法；分组分配问题（先分组后分配的方法和意识要加强）；至多至少问题间接法（正难则反）；特别的，含有可重元素．．．．．．的排列问题，遵循的原则是重复元素都一样，只留位置无需排列：对含有相同元素求排列个数的方法是用除法：设重集S 有k 个不同元素12,n a a a ，，其中各元素的重复数为12k n n n 、，，且12 k n n n n =+++ , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =。

（3）二项式定理： ①二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- (r ＝0,1,2，…，n )。

二项展开式的通项为n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.②二项式系数的性质：（ⅰ）对称性：在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；（ⅱ）增减性与最大值：二项式系数C r n ，当r <21+n 时，二项式系数是递增的；当r >21+n 时，二项式系数是递减的．二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大： 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大；当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 相等且同时取得最大值.（ⅲ）各二项式系数的和：01r n n n C C C +++ 2n nn C ++= ；02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++= 。

③三项式的处理方法：对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a （其中,,,N r q p ∈且n r q p =++）的系数呢？方法一：把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(;另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!。

方法二：把()n a b c ++看成n 个式子n 个式子()a b c ++ 相乘，其展开式中含r q p c b a 的系数分三步：第一步，从n 个式子()a b c ++中选p 个式子，从每个式子中均选取a 得到p a ，共有p n C 种选法；第二步，从剩下的n p -个式子()a b c ++中选q 个式子，从每个式子中均选取b 得到q b ，共有q n p C -种选法；第三步，从剩下的n p q --（即r ）个式子中均选取c 得到r c ，共有r r C 种选法；根据分步乘法计数原理，含r q p c b a 的系数为p n C q n p C -r r C 。

④求系数最大的项或最小的项：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项时，当11a b ==或时可直接根据二项式系数的性质（ⅱ）求解；当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解。

⑤近似计算的处理方法：当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n na C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。

类似地，有na a n -≈-1)1(但使用这两个公式时应注意a 的条件，以及对计算精确度的要求，据此可以应用其首尾几项进行放缩。

⑥整除性：利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”、添减项结合有关整除知识来处理． ⑦赋值法：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)；奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2；偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2。

2. 统计与统计案例：（1）随机抽样：①简单随机抽样：一般地，从元素个数为N 的总体中__________地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法：____________和________________．简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小。

②系统抽样：假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，第一步，先将总体的N 个个体________；第二步，确定____________，对编号进行________，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；当N n(n 是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除N n -[N n ]个个体，取k ＝[N n]；第三步，在第1段用________________确定第一个个体编号l (l ≤k )；第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号____________，再加k 得到第3个个体编号__________，依次进行下去，直到获取整个样本．系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等。