第1讲 曲线运动 运动的合成与分解一、曲线运动1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． 3．运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上． 4．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．自测1 (多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是( ) A ．质点速度方向时刻在改变 B ．质点加速度方向时刻在改变 C ．质点速度方向一定与加速度方向相同 D ．质点速度方向一定沿曲线的切线方向 答案 AD自测2 (多选)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是( ) A ．它所受的合外力一定不为零 B ．它所受的合外力一定是变力 C ．其速度可以保持不变 D ．其速度的大小可以保持不变 答案 AD二、运动的合成与分解 1．遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． 2．合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响． (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果． 3．运动性质的判断⎩⎨⎧加速度(或合外力)⎩⎪⎨⎪⎧ 变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动4．两个直线运动的合运动性质的判断标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.自测3(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图1所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是()图1A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力无关D．运动员着地速度与风力无关答案BC命题点一曲线运动条件1．曲线运动条件(1)动力学角度：物体受到的合外力方向与速度方向不共线．(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不共线．2．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹始终夹在合外力方向与速度方向之间，而且向合外力的一侧弯曲．3．合外力对运动的影响合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小．(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．例1(2017·南京市、淮安市5月模拟)在光滑水平面上运动的物体，受到水平恒力F作用后，沿曲线MN运动，速度方向改变了90°，如图2所示，则此过程中，物体受到的恒力可能是()图2A．F1B．F2C．F3D．F4答案 C解析由题图可知，物体从M向N运动的过程中，沿初速度的方向做减速运动，所以具有与初速度方向相反的力；同时物块向右做加速运动，所以物体还受到向右的作用力，所以物体受到的合力的方向沿F3的方向，故C正确，A、B、D错误．变式1(多选)(2018·田家炳中学期中)关于物体做曲线运动，下列说法正确的是() A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动B．物体在变力作用下有可能做曲线运动C．做曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向不在一条直线上D．物体在变力作用下不可能做直线运动答案BC命题点二运动的合成与分解1．分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解．2．要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解．3．两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点．例2(多选)(2018·阜宁中学模拟)一质量为2 kg的质点在xOy平面内运动，在x轴方向的x －t图象和y轴方向的v－t图象分别如图3所示．则该质点()图3A．初速度大小为5 m/sB．所受的合外力为3 NC ．做匀变速曲线运动D ．初速度方向与合外力方向垂直 答案 ABC解析 y 轴方向初速度为v y 0＝3 m/s ，x 轴方向初速度v x 0＝0－82 m/s ＝－4 m/s ，质点的初速度大小v 0＝v x 02＋v y 02＝5 m/s ，故A 正确．y 轴方向的加速度a y ＝ΔvΔt＝1.5 m/s 2，x 轴方向的加速度为零，则质点的加速度为a ＝a y ＝1.5 m/s 2，合力F 合＝ma ＝3 N ，故B 正确．合力沿y 轴方向，而初速度方向既不在x 轴方向，也不在y 轴方向，所以质点做曲线运动，且质点初速度的方向与合外力方向不垂直，加速度恒定，做匀变速曲线运动，故C 正确，D 错误． 变式2 (多选)(2017·南阳中学月考)如图4所示，甲运动员在球场上得到篮球之后，甲、乙以相同的速度v 匀速并排向对方半场奔跑，随后甲运动员将球传给乙运动员，不计空气阻力，则()图4A ．甲抛球时对球施加的水平方向推力应沿图中箭头1所指的方向B ．甲抛球时对球施加的水平方向推力应沿图中箭头2所指的方向C ．坐在场边的观众看到球向箭头1所指的方向运动D ．坐在场边的观众看到球向箭头2所指的方向运动 答案 AD命题点三 小船渡河模型1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． 2．三种速度：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v . 3．两类问题、三种情景4.分析思路例3 (多选)(2017·响水中学模拟)如图5所示，小船自A 点渡河，到达正对岸B 点，现在水流速度变大，仍要使船到达正对岸B 点，下列可行的办法是( )图5A ．船行方向不变，船速变大B ．航行方向不变，船速变小C ．船速不变，减小船与上游河岸的夹角αD ．船速不变，增大船与上游河岸的夹角α 答案 AC解析 若航行方向不变，根据平行四边形定则可知，船速变大，才能确保合速度垂直河岸，故A 正确，B 错误；若船速不变，根据平行四边形定则可知，必须减小船与上游河岸的夹角α，才能确保合速度垂直河岸，故C 正确，D 错误．变式3 (2017·南通市如东县、徐州市丰县10月联考)一只小船渡河，运动轨迹如图6所示，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变．由此可以确定( )图6A ．船沿AD 轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动B ．船沿三条不同路径渡河的时间相同C ．船沿AB 轨迹渡河所用的时间最短D ．船沿AC 轨迹到达对岸前瞬间的速度最大 答案 D命题点四 绳(杆)关联速度问题1．模型特点沿绳(杆)方向的速度分量大小相等． 2．思路与方法合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v分速度→⎩⎪⎨⎪⎧其一：沿绳(杆)的速度v 1其二：与绳(杆)垂直的分速度v 2方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则． 3．解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图7所示．图7例4(2018·连云港市期中)如图8所示，物体A和B的质量均为m，且分别与跨过光滑轻质定滑轮的轻绳连接，在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，下列说法正确的是()图8A．物体A也做匀速直线运动B．物体A做匀加速直线运动C．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力D．绳子对物体A的拉力大于物体A的重力答案 D解析将B物体的速度v B进行分解如图所示，则v A＝v B cos α，α减小，v B不变，则v A逐渐增大，说明A物体在竖直向上做加速直线运动，故A、B错误．对A，由牛顿第二定律有F T－mg＝ma，得F T＝mg＋ma，可知绳子对A的拉力F T>mg，故C错误，D正确．1.(多选)(2017·涟水中学第一次检测)如图9所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R视为质点)．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R 从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度的方向与y轴夹角为α.则红蜡块R的()图9A．分位移y与x成正比B．分位移y的平方与x成正比C．合速度v的大小与时间t成正比D．tan α与时间t成正比答案BD解析 由题意可知，y 轴方向，y ＝v 0t ；而x 轴方向，x ＝12at 2，联立可得：x ＝a2v 02y 2，故A 错误，B 正确；x 轴方向，v x ＝at ，那么合速度的大小v ＝v 02＋a 2t 2，则v 的大小与时间t 不成正比，故C 错误；tan α＝at v 0＝av 0t ，故D 正确．2．(2017·射阳二中模拟)光滑水平面上有一直角坐标系，质量m ＝4 kg 的质点静止在坐标原点O 处．先用沿x 轴正方向的力F 1＝8 N 作用了2 s ；然后撤去F 1，并立即用沿y 轴正方向的力F 2＝24 N 作用1 s ，则质点在这3 s 内的轨迹为图中的( )答案 D3.(2017·南通市第一次调研)小船横渡一条两岸平行的河流，水流速度与河岸平行，船相对于静水的速度大小不变，船头始终垂直指向河岸，小船的运动轨迹如图10中虚线所示．则小船在此过程中( )图10A ．做匀变速运动B ．越接近河岸，水流速度越大C ．所受合外力方向平行于河岸D ．渡河的时间随水流速度变化而改变 答案 C解析 从题图轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，故加速度是变化的，所受合外力方向平行于河岸，由于水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A 、B 错误，C 正确；由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时不变且最短，故D 错误．1．(2018·高邮中学模拟)一质点做曲线运动，速率逐渐减小．关于它在运动过程中P点的速度v和加速度a的方向，下列各图描述准确的是()答案 C解析题图A中，加速度方向与速度方向夹角小于90°，质点做加速运动，故A错误；题图B中，加速度的方向不能沿曲线的切线方向，应与合力同向指向曲线凹侧，故B错误；题图C中，加速度方向与速度方向夹角大于90°，质点做减速运动，故C正确；题图D中，速度方向应该沿曲线的切线方向，故D错误．2．已知物体运动的初速度v0的方向及恒力F的方向如下列各图所示，则图中运动轨迹可能正确的是()答案 B3.(2017·泰州中学下学期初考)如图1所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸．若水流速度增大，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是()图1A．增大船速，过河时间不变B．增大船速，过河时间缩短C．减小船速，过河时间变长D．减小船速，过河时间不变答案 B解析 小船参与两个方向的分运动，沿河岸方向的水流的匀速运动和垂直河岸方向的小船的匀速运动，合运动的方向与河岸的夹角为tan α＝v 船v 水；若水流速度增大，为保持航线不变，则船速应该增大，过河的时间为t ＝dv 船，则时间变短，故选B.4.如图2所示为一个做匀变速曲线运动的质点从A 到E 的运动轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )图2A ．D 点的速率比C 点的速率大B ．A 点的加速度与速度的夹角小于90°C ．A 点的加速度比C 点的加速度大D ．从A 到C 加速度与速度的夹角先增大后减小 答案 A5．(多选)(2017·苏州市期中)有人驾一小船准备渡河，已知河宽200 m ，河水的流速为v 1＝3 m/s ，船在静水中的速度为v 2＝4 m/s ，下列有关小船渡河的说法正确的是( ) A ．小船在河中运动的轨迹是一条曲线 B ．小船在河中运动的实际速度一定是5 m/s C ．小船渡河的最短距离是200 m D ．小船运动到对岸的最短时间是50 s 答案 CD解析 由题意可知，两分速度不变，则合运动是直线运动，那么船在河中的运动轨迹是一条直线，故A 错误；若小船行驶过程中船头一直垂直指向对岸，小船实际的速度是水流速与静水速的合速度，根据平行四边形定则，合速度v ＝v 12＋v 22＝32＋42 m/s ＝5 m/s.但是船头方向不确定，因此船的合速度在1 m/s 到7 m/s 之间，故B 错误；由于小船在静水中的速度为v 2大于水的速度v 1，故小船过河最短路程为：s ＝d ＝200 m ，故C 正确；当船头正对河岸过河时时间最短：t ＝d 2＝2004s ＝50 s ，故D 正确．6．(多选)(2018·兴化一中期初)在光滑的水平面上有一质量为2 kg 的物体，在几个共点力的作用下做匀速直线运动．现突然将与速度反方向的2 N 的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( )A ．物体做速度大小不变的曲线运动B ．物体做加速度大小为 2 m/s 2的匀变速曲线运动C ．物体做速度越来越大的曲线运动D ．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大 答案 BC解析 物体原来所受的合外力为零，当将与速度反方向的2 N 的力水平旋转90°后，其受力如图所示，其中F 是F x 、F y 的合力，即F ＝2 2 N ，且大小、方向都不变，是恒力，那么物体的加速度为a ＝F m ＝222m/s 2＝ 2m/s 2.又因为F 与v 的夹角θ<90°，所以物体做速度越来越大、加速度大小为 2 m/s 2的匀变速曲线运动，故B 、C 正确，A 、D 错误．7．如图3所示，高为H 的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A ，小车A 下的绳索吊着重物B .在小车A 与重物B 以相同的水平速度沿塔吊臂向右匀速运动的同时，绳索将重物B 向上吊起，A 、B 之间的距离以d ＝H －2t 2规律随时间t 变化，则在上述过程中( )图3A ．绳索受到的拉力不断增大B ．绳索对重物做功的功率不断增大C ．重物做匀变速直线运动D ．重物做加速度大小不断减小的曲线运动 答案 B解析 A 、B 之间的距离以d ＝H －2t 2规律随时间变化知重物在竖直方向做初速度为0，加速度为4 m/s 2的匀加速直线运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向有，F －mg ＝ma ，F ＝mg ＋ma .因为加速度不变，所以拉力不变，故A 错误．根据P ＝F v cos θ，拉力不变， v cos θ为在竖直方向上的速度，竖直方向上做匀加速直线运动，所以绳索对重物做功的功率不断增大，故B 正确．根据运动的合成，合加速度与合速度方向不在同一条直线上，重物做加速度不变的曲线运动，故C 、D 错误．8.(2017·江苏省联盟2月大联考)现在很多教室都安装可以沿水平方向滑动的黑板，如图4所示．在黑板以某一速度向左匀速运动的同时，一位教师用粉笔在黑板上画线，粉笔相对于墙壁从静止开始先匀加速向下画，接着匀减速向下画直到停止，则粉笔在黑板画出的轨迹可能为( )图4答案 D解析由题意知，黑板向左运动，水平方向粉笔相对黑板向右匀速运动，竖直方向先向下加速再减速，根据运动的合成可知，粉笔受合外力先竖直向下，再竖直向上，根据力与轨迹的关系，即力指向轨迹弯曲的内侧，故D正确，A、B、C错误．9.(2017·泰兴中学检测)如图5所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过光滑轻滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉着匀速向上运动，则下列说法正确的是()图5A．拉力F变小B．杆对A的弹力F N不变C．拉力F的功率P不变D．绳子自由端的速率v增大答案 C解析设A的质量为m，绳子与竖直方向上的夹角为θ，因为A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零，有：F cos θ＝mg，因为θ增大，则F增大．A在水平方向上合力为零，有：F N＝F sin θ＝mg tan θ，θ增大，F N增大，故A、B错误．物块A沿绳子方向上的分速度v＝v A cos θ，该速度等于自由端的速度，θ增大，自由端速度减小，拉力的功率P＝F v＝mgcos θ·v A cosθ＝mg v A，知拉力的功率不变．故C正确，D错误．10．(多选)如图6所示，河宽为L，河水流速为u，甲、乙两船同时出发渡河且相对水的速度均为v.出发时两船相距d，行驶过程中两船船身均与岸边成45°角，乙船最终到达正对岸的A 点，两船始终没有相遇．则下列说法正确的是()图6A ．v ∶u ＝2∶1B ．两船行驶的路程相等C ．两船同时到达河对岸D ．L >d2答案 AC解析 乙船恰好能直达正对岸的A 点，根据速度合成与分解，知v cos 45°＝u ，解得：v ＝ 2u .将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，两船在垂直河岸方向的速度大小相等，则有甲、乙两船到达对岸的时间相等，故A 、C 正确；由题图可知，甲船在水中行驶的路程大于乙船的路程，故B 错误；由题意可知，两船在垂直河岸方向的位移总是相等，且两船在水流方向的速度大小相等，因不相遇，则d 不得小于2L ，即L 小于或等于d2，故D 错误．11．(2017·南通中学期中)一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x 方向和y 方向上的两个分运动的速度—时间图象如图7所示．图7(1)计算物体的初速度大小； (2)计算物体在前3 s 内的位移大小． 答案 (1)50 m/s (2)3013 m解析 (1)由题图可看出，物体沿x 方向的分运动为匀速直线运动，沿y 方向的分运动为匀变速直线运动．x 方向的初速度v x 0＝30 m/s ，y 方向的初速度为 v y 0＝－40 m/s则物体的初速度大小为v 0＝v x 02＋v y 02＝302＋402 m /s ＝50 m/s. (2)在前3 s 内，x 方向的分位移大小 x 3＝v x ·t ＝30×3 m ＝90 my 方向的分位移大小 y 3＝|v y 0|2·t ＝402×3 m ＝60 m ，故x ＝x 32＋y 32＝902＋602 m ＝3013 m.。
