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数学大题

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（2008•南昌）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜．

解：设乙同学的速度为x米/秒，则甲同学的速度为1.2x米/秒，

根据题意，得 (601.2x+6)+60x=50，

解得x=2.5．

经检验，x=2.5是方程的解，且符合题意．

∴甲同学所用的时间为： 601.2x+6=26（秒），

乙同学所用的时间为： 60x=24（秒）．

∵26＞24，∴乙同学获胜． （2006•吉林）如图，在边长为8厘米的正方形ABCD内，贴上一个边长为4厘米的正方形AEFG，正方形ABCD未被盖住的部分为多边形EBCDGF．动点P从点B出发，沿B⇒C⇒D方向以1厘米/秒速度运动，到点D停止，连接PA，PE．设点P运动x秒后，△APE与多边形EBCDGF重叠部分的面积为y厘米2．

（1）当x=5时，求y的值；

（2）当x=10时，求y的值；

（3）求y与x之间的函数关系式；

（4）在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．

（1）由于图1中的重叠部分为△PQE，

∴y=S△PQE=12EQ•EB．

（2）图2中的重叠部分y=S△PAE-S梯形QFEA．

（3）由题意知y与x之间的函数关系式写为0≤x≤8，8≤x≤12，12≤x≤16三段分别求解．

图1图2

（4）根据题意直接作图即可．

解答：解：设AP与EF（或GF）交于点Q．

（1）在正方形ABCD和正方形AEFG中，E为AB中点，

∴EQ∥BP，即EQ为△ABP的中位线．

当x=5时，PB=5，∴QE= PB/2= 5/2，

∵BE=4，

∴y= EQ/2•EB= 1/2×5/2×4=5．

（2）当x=10时，如图2，PD=6，GQ=3，QF=FG-GQ=1，AE=4．

∴S梯形AQFE=( FQ+AE)/2•EF=(1+4)/2×4=10．

S△PAE= AE/2•BC= 1/2×4×8=16，

∴y=S△PAE-S梯形AQFE=16-10=6． （4分）

（3）当0≤x≤8时，y=x；

当8≤x≤12时，y=-x+16；

当12≤x≤16时，y=4． （7分）

（4）图象如下：（10分）

如图，矩形AOBC的顶点O在坐标原点，边OB、OA分别在x、y轴的正半轴上，且OA=6个单位长度，OB=10个单位长度．射线y= 34x（x≥0）交线段AC于点D，点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→A→D→O的路线匀速运动；与此同时，点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→B→C的路线匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，△POQ的面积为S．

（1）线段AD=；线段DO=

（2）分别求0≤t＜3及7≤t＜10时，S与t的函数关系式；

（3）求△POQ的面积S等于梯形DCBO面积一半时t的值；

（4）在运动的全过程中，是否存在t的值，使△POQ为等腰三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

（备用图）

分析：（1）设点D的坐标为（x，6），∵点D在y= 3x/4上，∴x=8，即AD=8，利用勾股定理可求得OD=10．

（2）0≤t＜3时，P在AO上，Q在OB上．此时△POQ为直角三角形，两直角边分别为t，2t；易求得面积．7≤t＜10时，P在DO上，Q在OB上，易求得OQ为t•OP的长度，利用∠POM=∠ADO的正切值即可求得OQ边上的高PM．

（3）易求得梯形BCDO的面积为36．那么让△POQ的面积等于18，应分P在AO上，Q在BO上；P在AD上，Q在OB上；P在DO上，Q在CB上．P在DO上，Q在BC上等情况分析．

（4）P在AO上，Q在BO上，此时为直角三角形，两直角边的边长不可能相等，不存在为等腰三角形的形式．P在AD上，Q在OB上，PO=PQ，此时，AP的长度等于OQ的一半．PQ=OQ，可得到t的另一值．P在DO上，Q在CB上可利用PO=OQ得到t的值，PQ=OP．此时OM=MQ．P在DO上，Q在BC上△POQ是钝角三角形，不存在等腰三角形的情况．

解答：解：（1）AD=8，OD=10（2分）

（2）当0≤t＜3时，S=t2；（4分）

当7≤t＜10时，PO=24-2t，

PM= 3/5·（24-2t），

S=- 3t2/5+ 36t/5（6分）

：

（3）当3≤t＜7时，S=3t；

当10≤t≤12时，PO=24-2t，CD=2，CE= 3/2，BE= 15/2，

BQ=t-10，EQ= 35/2-t，NQ= 4/5（ 35/2 -t），

S= 4/5（12-t）（35/2 -t）

= 4t2/5- 118t/5+168

3t=18，t=6，

- 3/5t2+ 36t /5=18，t1=6+ √6，t2=6- √6＜7（舍）．（8分）

（4）PO=PQ，2t-6= t2，

t=4 PQ2=t2-12t+72，PQ2=OQ2，t=6

PO=24-2t，PO=OQ，t=8

OM= t2， 45（24-2t）= t2，

t= 647．（10分）

甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．

（1）写出乙船在逆流中行驶的速度；

（2）求甲船在逆流中行驶的路程；

（3）求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式；

（4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．

分析：（1）由速度=路程÷时间列式求解；

（2）因为甲船、乙船在逆流中行驶的速度相同，只需由图示得出甲船在逆流中行驶的时间．

（3）观察图形，要分成3段讨论，每一段中已知两点，可用待定系数法确定一次函数的解析式．

（4）根据等量关系：救生圈落入水中后，船顺流行驶的路程=船逆流行驶的路程+救生圈漂流的路程，据此即可解答．

解答：解：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h．（2分）

（2）甲船在逆流中行驶的路程为6×（2.5-2）=3（km）．（4分）

（3）方法一：

设甲船顺流的速度为akm/h，

由图象得2a-3+（3.5-2.5）a=24，

解得a=9．（5分）

当0≤x≤2时，y1=9x，

当2≤x≤2.5时，设y1=-6x+b1，

把x=2，y1=18代入，得b1=30，

∴y1=-6x+30，

当2.5≤x≤3.5时，设y1=9x+b2，

把x=3.5，y1=24代入，得b2=-7.5，

∴y1=9x-7.5．（8分）

方法二：

设甲船顺流的速度为akm/h，

由图象得2a-3+（3.5-2.5）a=24，

解得a=9，（5分）

当0≤x≤2时，y1=9x，

令x=2，则y1=18，

当2≤x≤2.5时，y1=18-6（x-2），

即y1=-6x+30，

令x=2.5，则y1=15，

当2.5≤x≤3.5时，y1=15+9（x-2.5），

y1=9x-7.5．（8分）

（4）水流速度为（9-6）÷2=1.5（km/h），

设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中．

根据题意，得9（2-x）=1.5（2.5-x）+3，

解得x=1.5，

1.5×9=13.5，

即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5km．（10分）

参考公式：

船顺流航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度，船逆流航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度．

点评：此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，要求学生要提高阅读理解水平，从中挖掘有用信息．

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初中数学大题试题及答案

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列哪个选项是无理数？

A. 3.14

B. √2

C. 0.33333…

D. 0.5

答案：B

2. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？

A. 5

B. -5

C. 0

D. 10

答案：A

3. 一个数的绝对值是8，那么这个数可以是？

A. 8

B. -8

C. 8或-8

D. 0

答案：C

4. 以下哪个选项不是二次根式？ A. √(3x+2)

B. √(4x^2)

C. √(x^2-4)

D. √(-4)

答案：D

5. 一个数的平方是25，那么这个数是？

A. 5

B. -5

C. 5或-5

D. 0

答案：C

6. 计算下列哪个表达式的结果为0？

A. 3×(-2)+4

B. 2×(-3)-6

C. 5×0+3

D. 4×(-1)-4

答案：C

7. 一个数的立方是-27，那么这个数是？

A. 3

B. -3

C. 27

D. -27

答案：B

8. 计算下列哪个表达式的结果为1？

A. (-2)^3

B. (-2)^2

C. (-1)^3

D. (-1)^2

答案：D

9. 一个数的倒数是2，那么这个数是？

A. 1/2

B. 2

C. 1/4

D. 4

答案：A

10. 计算下列哪个表达式的结果为-1？

A. (-1)×(-1)

B. (-1)×2

C. (-1)+2

D. 2×(-1)

答案：D

二、填空题（每题4分，共20分）

11. 一个数的平方等于9，那么这个数是______。

答案：±3

12. 一个数的立方等于-8，那么这个数是______。

答案：-2

13. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。

答案：5或-5

14. 一个数的相反数是-7，那么这个数是______。

答案：7

15. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是______。

答案：3

三、解答题（每题10分，共50分）

高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)

高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)

高中数学第七章复数经典大题例题

单选题

1、已知𝑧=2+𝑖，则𝑧−𝑖

1+𝑖=（ ）

A．1−2𝑖B．2+2𝑖C．2𝑖D．−2𝑖

答案：D

分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.

由𝑧=2+𝑖，得𝑧=2−𝑖，

所以𝑧−𝑖

1+𝑖=2−𝑖−𝑖

1+𝑖=2(

1−𝑖)

×(

1−𝑖)

(

1+𝑖)

×(

1−𝑖

)=2×(

1−2𝑖+𝑖2

)

2=−2𝑖.

故选：D.

2、设(−1+2𝑖)𝑥=𝑦−1−6𝑖，𝑥,𝑦∈𝑅，则|𝑥−𝑦𝑖|=（ ）

A．6B．5C．4D．3

答案：B

分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{𝑥=−3

𝑦=4，进而求模长即可.

因为(

−1+2𝑖)

𝑥=𝑦−1−6𝑖，所以{2𝑥=−6

−𝑥=𝑦−1，解得{𝑥=−3

𝑦=4，

所以|

𝑥−𝑦𝑖|

=|−3−4𝑖|=√(

−3)2

+(

−4)

2

=5.

故选：B.

3、已知下列三个命题：①若复数z

1，z

2的模相等，则z

1，z

2是共轭复数；②z

1，z

2都是复数，若z

1+z

2是虚

数，则z

1不是z

2的共轭复数；③复数z

是实数的充要条件是z

=𝑧.则其中正确命题的个数为

A．0个B．1个C．2个D．3个

答案：C

解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.

对于①中复数𝑧

1和𝑧

2的模相等,例如𝑧

1=1+𝑖,𝑧

2=

√

2𝑖,则𝑧

1和𝑧

2是共轭复数是错误的;对于②𝑧

1和𝑧

2都是复数,

若𝑧

1+𝑧

2是虚数,则其实部互为相反数,则𝑧

1不是𝑧

2的共轭复数,所以②是正确的;

对于③复数𝑧是实数,令𝑧=𝑎,则𝑧=𝑎所以𝑧=𝑧,反之当𝑧=𝑧时,亦有复数𝑧是实数,故复数𝑧是实数的充要条件是𝑧=𝑧是正确的.综上正确命题的个数是2个.

故选𝐶

小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,

数学大学考试试题及答案

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一、选择题（每题5分，共20分）

1. 设函数f(x)=2x^2-3x+1，下列说法正确的是：

A. 函数在x=1处取得最小值

B. 函数在x=1处取得最大值

C. 函数在x=-1处取得最小值

D. 函数在x=-1处取得最大值

答案：A

2. 以下哪个选项是正确的极限运算？

A. lim (x→0) (sin x / x) = 1

B. lim (x→0) (1 - cos x) / (x^2) = 0

C. lim (x→0) (tan x / x) = 0

D. lim (x→0) (e^x - 1) / x = 2

答案：A

3. 已知矩阵A和B满足AB=BA，那么A和B：

A. 必定是可交换的

B. 必定是可逆的

C. 必定是方阵

D. 必定是同阶矩阵

答案：A

4. 以下哪个选项是正确的不定积分？

A. ∫(1/x)dx = ln|x| + C

B. ∫(x^2)dx = (x^3)/3 + C

C. ∫(e^x)dx = e^x + C

D. ∫(sin x)dx = -cos x + C 答案：A

二、填空题（每题5分，共20分）

1. 设数列{an}满足a1=2，an+1 = an + 2n，那么a5 = _______。

答案：16

2. 圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，其圆心坐标为(2,3)，则该圆的半径为_______。

答案：2

3. 如果一个向量v=(3, -4)，那么向量v的模长为_______。

答案：5

4. 函数y=x^3 - 3x^2 + 4在x=1处的导数值为_______。

答案：2

三、解答题（每题15分，共30分）

1. 计算定积分∫(0到1) (2x + 1)dx，并说明其几何意义。

答案：首先计算定积分：

∫(0到1) (2x + 1)dx = [x^2 + x](0到1) = (1^2 + 1) - (0^2 +

高中数学导数大题练习(详细答案)

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1 ． 已知 函数 的图象如图所示．

（ I ） 求 的值；

（ II ）若函数 在 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；

（ III ）在（ II ）的条件下，函数 与 的图象有三个不同的交点，求 的取值范围．

2 ．已知函数 ．

（ I ）求函数 的单调区间；

（ II ）函数 的图象的在 处切线的斜率为 若函数

在区间（ 1 ， 3 ）上不是单调函数，求 m 的取值范围．

3 ．已知函数 的图象经过坐标原点，且在 处取得极大值．

（ I ）求实数 的取值范围；

（ II ）若方程 恰好有两个不同的根，求 的解析式；

（ III ）对于（ II ）中的函数 ，对任意 ，求证：

． 4 ． 已知常数 ， 为自然对数的底数，函数 ，

．

（ I ）写出 的单调递增区间，并证明 ；

（ II ）讨论函数 在区间 上零点的个数．

5 ． 已知函数 ．

（ I ）当 时，求函数 的最大值；

（ II ）若函数 没有零点，求实数 的取值范围；

6 ． 已知 是函数 的一个极值点（ ）．

（ I ）求实数 的值；

（ II ）求函数 在 的最大值和最小值．

7 ． 已知函数

（ I ）当 a=18 时，求函数 的单调区间；

（ II ）求函数 在区间 上的最小值．

8 ． 已知函数 在 上 不具有 单调性．

（ I ）求实数 的取值范围；

（ II ）若 是 的导函数，设 ，试证明：对任意两个不相等正数 ，不等式 恒成立．

9 ．已知函数

（ I ）讨论函数 的单调性；

（ II ）证明：若 10 ． 已知函数 ．

（ I ）若函数 在区间 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 的取值范围；

（ II ）若 ，设 ，求证：当 时，不等式 成立．

11 ．设曲线 ： （ ）， 表示 导函数．

（ I ）求函数 的极值；

（ II ） 对于曲线 上的不同两点 ， ， ， 求证：存在唯一的 ，使 直线 的斜率等于 ．