高考文科数学各类大题专题汇总

高考文科解三角形大题1. 在cos A 2 cosC2c a ABC 中，内角A, B,C的对边分别为a, b, c，.cos B bsin C〔 1〕求的值；〔 2〕假设cos B 1, b 2 ，求ABC 的面积S. 42.在ABC中，角A, B,C的对边分别是a, b, c ， sin C cosC 1 sin C.〔 1〕求sin C的值；2〔 2〕假设a2b24(a b) 8，求边c的值.3.在ABC 中，角A, B,C的对边分别是a, b, c .〔 1〕假设sin( A) 2 cos A ，求A的值；6〔 2〕假设cos A 1, b3c ，求sin C的值. 3- 1 -534. ABC中，D为边BC上的一点，BD 33, sin B, cos ADC，求AD.13515.在ABC 中，角A, B,C的对边分别是a, b, c ， a 1,b 2,cosC.4（1〕求ABC的周长；（2〕求cos( A C)的值 .6 在ABC 中，角A, B,C的对边分别是a, b, c .且 2a sin A (2b c) sin B (2c b) sin C .（1〕求A的值；（2〕求sin B sin C的最大值 .- 2 -7 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a, b, c ， cos 2C 1.〔 1〕求 sin C 的值； 4〔 2〕当 a 2,2 sin Asin C 时，求 b, c 的长 .8 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是a, b, c ，且满足 cosA2 5, AB AC 3 .25〔 1〕求 ABC 的面积； 〔 2〕假设 b c 6 ，求 a 的值 .9 在ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是a, b, c ， cos(C) cos(C) 2 .442〔 1〕 求角 C 的大小；〔 2〕假设 c 2 3 ， sin A2 sin B ，求 a,b .- 3 -10 在ABC 中，角A, B,C的对边分别是a, b, c，且. a cosC 1c b 2（1〕求角A的大小；（2〕假设a 1，求ABC的周长l的取值范围 .11 在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a,b,c ，且 2( a2b2c2 ) 3ab.〔 1〕求sin2AB ；2〔 2〕假设c 2 ，求ABC 面积的最大值.- 4 -12 在ABC 中，角A, B, C 的对边分别是a,b, c ， sin 2 2C sin 2C sin C cos2C 1 ，且a b 5 ，c7 .（1〕求角C的大小；（2〕求ABC的面积 .13 在ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b,c，且满足cos A ( 3 sin A cos A)1 .〔 1〕求角A的大小；2〔 2〕假设a 2 2, S ABC 2 3 ，求b, c的长.- 5 -14 在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a, b,c ，且 b cosC (3a c) cos B .〔 1〕求sin B的值；〔 2〕假设b2 ，且a c ，求ABC 的面积.15 在ABC 中，角A, B, C的对边分别是a, b,c ， a sin Asin B b cos2 A2a .〔 1〕求b；a〔 2〕假设c2b23a2，求角B.- 6 -。

A. {0}
B. {1}
【解析】∵ A {x | x 1} ，∴ A B {1,2} .
C. {1, 2}
D. {0,1, 2}
【答案】C
7（2017 全国 I 卷文 1）已知集合 A= x|x 2 ，B=x|3 2x 0 ，则
A.
A
B=
x|x
3
2
B. A B
C.
A
B
x|x
a
|
0、| b
|
0
.
5π
D.
6
∵
(a
b)
b
，∴
(a
b)
b
a
b
|
b
|2
0
，即
a
b
|
b
|2
.
设
a
与b
之间的夹角为
，则
cos
|
aa||bb
|
|
|b |2 a || b
|
| |
ba
| |
，∵ |
a
|
2|
b
| ，∴
cos
1 2
.
∵ 0 π ，∴ π . 3
【答案】B 3.（2019 全国 II 卷文 3）已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a－b|=
【解析】 (1 i)(2 i) 3 i .
C. 3 i D. 3 i
【答案】D 7.（2017 全国 I 卷文 3）下列各式的运算结果为纯虚数的是
A. i(1 i)2
B. i2 (1 i)
C. (1 i)2
D. i(1 i)
【解析】A： i(1 i)2 i 2i 2 ，B： i2 (1 i) (1 i) i 1，

高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是反函数图像上的点是A ．(2)aa ， B ．1(2)2-，C ．(2)a a ，D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为A ．64+163B ． 16+334C ．163D ． 16 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5. 将函数)32sin(p+=x y 的图像向右平移12p=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6p=x B. 4p=x C. 3p=x D. 2p=x6． 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92D ．3677．下列有关命题的说法正确的是．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件”的充分不必要条件 B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．”的必要不充分条件． C ．命题“x R $Î，使得210x x ++<”的否定是：“x R "Î， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”的逆否命题为真命题．P T O ，ｍ）三点共线， 则ｍ的值为 ．．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ． a b b a a b 2的值为 ．p所得的弦长为所得的弦长为． pp ．开始开始 a =1 a =3a +1 a >100? 结束结束是否a =a +1 输出a33]3型号型号 甲样式甲样式 乙样式乙样式 丙样式丙样式 500ml2000 z 3000 700ml3000 4500 5000 A B C 2a0AF F F 13OF QN MQ a b a 21n +722p)ppp3122p]1 333222,0),(2,0),2a a --22,a 2)2a a a -22a -22a -222123a a -- QN MQ )33x x-1a£ïíïx=>上恒成立，0x >\只要24aa ì£ïí解：（1）由121n n na a a +=+得：1112n na a +-=且111a=，所以知：数列1n a ìüíýîþ是以1为首项，以2为公差的等差数列，为公差的等差数列， …………2分所以所以1112(1)21,21n nn n a a n =+-=-=-得：； ------------4分（2）由211n n b a =+得：212112,n n n n b b n=-+=\= ， 从而：11(1)n n b b n n +=+ ------------6分则 122311111223(1)n n n T b b b b b b n n +=+++=+++´´+=11111111()()()()1223341n n -+-+-++-+ 1111nn n =-=++ ------------9分（3）已知)1()1)(1)(1(12531-++++=n nb b b b P 246213521n n =····- 22212(4)(4)1,221n nn n n n +<-\<- 设：nn T n 2124523+´´´= ，则n n T P >从而：nn n n T P P n n n 2121223423122+´-´´´´=> 21n =+故：故： 21n T n >+ ------------14分。

2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B C ．12D ． 【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ； （2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值； 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=， 解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。

专题 12 数列1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设{a n }是等比数列，且a 1 a 2 a 3 1， a 2 a 3+a 4 2，则 a 6a 7 a 8A ．12B ．24C ．30D ．32S2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则 n =a nA ．2 n–1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n–13．【2020年高考北京】在等差数列a n 中，a 9，a 31．记T n a 1a 2…a n (n1,2,…)，则数列1T nA ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项a 1d4．【2020年高考浙江】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差 d 0，且 1．记b 1 S2，b n1S 2n2– S 2n ，n N，下列等式不可能成立的是．．． A ． 2a 4 a 2 a 6 B ．2b 4 b 2 b 6D ．b 4C ．a 42a 2a 82 b 2b 85．【2019年高考全国 III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列a n的前 4项和为 15，且则a 3a 3a 3 4a 1，5A ．16 C ．4B ．8 D ． 26．【2019年高考浙江卷】设 a ，b ∈R ，数列{a n }满足 a 1=a ，a n+1=a n +b ，n N ，则2A ．当 b1 ,a 10 10B ．当 b1 ,a 10 102 4 C ．当 b2,a 1010D ．当 b4,a 10107．【2018年高考浙江卷】已知 a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，且 a 1 a 2a 3 a 4ln(a 1a 2a 3)．若 a 1 1，则A ． a 1a 3,a 2 a 4C ． a 1 a 3,a 2 a 4 B ． a 1a 3,a 2 a 4D ．a 1 a 3,a 2 a 48．【2018年高考北京卷文数】设 a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件9．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音， 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 则第八个单音的频率为 12 2 .若第一个单音的频率为 f ，A ． C ． 3 2 fB ． D ． 32 f2122 5f122 f710．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1=−2，a 2+a 6=2，则S 10=__________． 11．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】数列{a n }满足a n2a 3n 1，前 16项和为 540，则(1)nna 1.12．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列{n(n 1)}2就是二阶等差数列．数列{n(n 1)}(n N *)的前 3项和是_______．213．【2020年高考江苏】设{a n }是公差为 d 的等差数列，{b n }是公比为 q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前 n 项和 S nn n 21(n N )，则 d+q 的值是 2n▲ ．14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前 n 项和为________．15．【2019年高考全国 I 卷文数】记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若a 1 1，S 3 3，则 S 4=___________．416．【2019年高考全国 III 卷文数】记S n 为等差数列a n 的前n 项和，若a 35,a 7 13，则S 10 ___________.17．【2019年高考江苏卷】已知数列{a n }(n N*)是等差数列，S n 是其前 n 项和.若a 2a 5 a 8 0,S 927，则 S 8的值是__________． 18．【2018年高考江苏卷】已知集合 A{x | x2n 1,nN }， B {x | x2 ,nN }．将 A B 的所 * n *有元素从小到大依次排列构成一个数列 {a n }．记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，则使得 S n 12a n 1成立的 n 的最小值为___________．19．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设等比数列{a n }满足 a 1 a 2 4，a 3 a 1 8．（1）求{a n }的通项公式；（2）记 S n 为数列{log 3a n }的前 n 项和．若 S mS m1S m 3，求 m ．20．【2020年高考江苏】已知数列a n (n N *)的首项 a 1=1，前 n 项和为 S n ．设λ与 k 是常数，若对一切正11 1成立，则称此数列为“λ～k ”数列． 整数 n ，均有 S k n 1 S nka nk1（1）若等差数列a n 是“λ～1”数列，求λ的值；（2）若数列a n是“ 3 ~2 ”数列，且 a n 0，求数列a n的通项公式；3（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列a n为“λ～3”数列，且a n 0？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 21．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知公比大于1的等比数列{a n }满足 a 2 a 4 20,a 3 8．（1）求{a n }的通项公式；（2）记b m 为{a n }在区间(0,m](m N )中的项的个数，求数列{b m }的前100项和 S 100．*22．【2020年高考天津】 已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，a 1 b 1 1,a 5 5a 4 a 3,b 5 4b 4b 3．（Ⅰ）求a n和b n的通项公式；（Ⅱ）记a n n的前项和为S n ，求证：S n S n 2 S 2n 1n N *；3a n 2b n ,n 为奇数,（Ⅲ）对任意的正整数n ，设c n a n a n 2求数列c n 的前2n 项和．a n 1 ,n 为偶数.b n 1b n23．【2020年高考浙江】已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足 a 1 b 1c 11,c n a n1a n ,c n 1 c n ,n N *．b n 2（Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比 q 0，且b 1 b 2 6b 3，求 q 的值及数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差 d 0，证明：c 1 c 2c 3c n 1 1 ,n N *．d24．【2020年高考北京】已知a n是无穷数列．给出两个性质：a i2 ①对于a n 中任意两项 a ,a j (ij)，在a n中都存在一项a im ，使a a m ； ja (n 3)，在a n 中都存在两项a k ,a l (kl)．使得a n a 2②对于a n中任意项k ．n a l(Ⅰ)若a n n(n 1,2,)，判断数列a n是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若a n 2n 1(n 1,2,)，判断数列a n是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若a n 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： a n为等比数列.25．【2019年高考全国 I 卷文数】记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 S 9=-a 5．（1）若 a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若 a 1>0，求使得 S n ≥a n 的 n 的取值范围．26．【2019年高考全国 II 卷文数】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 12,a 3 2a 2 16 .（1）求{a n }的通项公式； （2）设b nlog 2 a n ，求数列{b n }的前 n 项和．27．【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且 a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最小值．28．【 2019年高考天津卷文数】设 {a n }是等差数列， {b n }是等比数列，公比大于 0 ，已知a 1b 1 3,b 2 a 3,b 3 4a 2 3 .（1）求{a n }和{b n }的通项公式；1，n 为奇数,（2）设数列{c n }满足c nb n ，n 为偶数.求a 1c 1 a 2c 2 a 2n c 2n (n N *) .2 29．【2019年高考江苏卷】定义首项为 1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.)满足：a 2a 4a 5,a 3 4a 2 4a 1 0，求证:数列{a n }为“M －数列”；（1）已知等比数列{a n }(n N 满足:b 11, 1 22（2）已知数列{b n }(nN ) ①求数列{b n }的通项公式；，其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和．S b b n 1 n n②设 m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }(n N 立，求 m 的最大值．)，对任意正整数 k ，当 k ≤m 时，都有c k b k c k 1成30．【2019年高考浙江卷】设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，a 3 4，a 4 S 3，数列{b n }满足：对每个n N ,S n b n ,S n 1 b n ,S n 2 b n 成等比数列．（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；a n（2）记c n,n N ,证明：c 1 c 2+c n 2 n,n N . 2b n31．【2018年高考全国 I 卷文数】已知数列a n 满足 a 1 1， na n 1 2n1a n ，设b na n ． n（1）求b 1，b 2，b 3； （2）判断数列b n 是否为等比数列，并说明理由；（3）求a n 的通项公式．32．【2018年高考全国 III 卷文数】等比数列{a n }中，a 11，a 5 4a 3．（1）求{a n }的通项公式；{a n } 的前项和．若（2）记 S n 为 n S m 63，求m ．33．【2018年高考全国 II 卷文数】记S 为等差数列a n 的前项和，已知 n a 1 7，S 3 15．n （1）求a n的通项公式；（2）求 S n ，并求 S n 的最小值． 34．【2018年高考北京卷文数】设a n 是等差数列，且a 1 ln2,a 2 a 3 5ln2 .（1）求a n的通项公式；（2）求e ae a e a.2n 1 35．【2018年高考天津卷文数】设{a n }是等差数列，其前 n 项和为 S n （n ∈N* ）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前 n 项和为 T n （n ∈N ）．已知 b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．*（1）求 S n 和 T n ； （2）若 S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数 n 的值．36．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}的前n项和为2n +n．2（1）求q的值；（2）求数列{b n}的通项公式．37．【2018年高考江苏卷】设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1 0,b1 1,q 2，若| a n b n | b1对n 1,2,3,4均成立，求d的取值范围；（2）若a1 b1 0,m N ,q(1, 2]，证明：存在 d R，使得| a n b n | b1对n 2,3,,m1均成立，*m并求d的取值范围（用b1,m,q表示）．。

高考文科数学一轮复习大题篇----导数的综合应用【归类解析】题型一 证明不等式【解题指导】 (1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1)<f (x 2)＋g (x 2)对x 1<x 2恒成立，即等价于函数h (x )＝f (x )＋g (x )为增函数． 【例】设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x .(1)解 由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (2)证明 由(1)知，f (x )在x ＝1处取得极大值也为最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x<x .【训练】已知函数f (x )＝x ln x －e x ＋1. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)证明：f (x )<sin x 在(0，＋∞)上恒成立． (1)解 依题意得f ′(x )＝ln x ＋1－e x ，又f (1)＝1－e ，f ′(1)＝1－e ，故所求切线方程为y －1＋e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x . (2)证明 依题意，要证f (x )<sin x ， 即证x ln x －e x ＋1<sin x ， 即证x ln x <e x ＋sin x －1.当0<x ≤1时，e x ＋sin x －1>0，x ln x ≤0， 故x ln x <e x ＋sin x －1，即f (x )<sin x .当x >1时，令g (x )＝e x ＋sin x －1－x ln x ， 故g ′(x )＝e x ＋cos x －ln x －1. 令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋cos x －ln x －1， 则h ′(x )＝e x －1x －sin x ，当x >1时，e x －1x >e －1>1，所以h ′(x )＝e x －1x －sin x >0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故h (x )>h (1)＝e ＋cos 1－1>0，即g ′(x )>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )>g (1)＝e ＋sin 1－1>0， 即x ln x <e x ＋sin x －1，即f (x )<sin x . 综上所述，f (x )<sin x 在(0，＋∞)上恒成立． 题型二 不等式恒成立或有解问题【解题指导】 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 (1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围． (2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 【例】已知函数f (x )＝1＋ln xx.(1)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋12上存在极值，求正实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．【解】 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln xx2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以x ＝1为函数f (x )的极大值点，且是唯一极值点， 所以0<a <1<a ＋12，故12<a <1，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)当x ≥1时，k ≤x ＋11＋ln xx 恒成立，令g (x )＝x ＋11＋ln xx (x ≥1)，则g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋ln x ＋1＋1x x －x ＋11＋ln xx 2＝x －ln xx2.再令h (x )＝x －ln x (x ≥1)，则h ′(x )＝1－1x ≥0，所以h (x )≥h (1)＝1，所以g ′(x )>0，所以g (x )为单调增函数，所以g (x )≥g (1)＝2， 故k ≤2，即实数k 的取值范围是(－∞，2]．【训练】已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，x ∈[1，e]，若f (x )≤0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 ∵f (x )≤0，即ax ＋ln x ≤0对x ∈[1，e]恒成立， ∴a ≤－ln xx，x ∈[1，e]．令g (x )＝－ln xx ，x ∈[1，e]，则g ′(x )＝ln x －1x 2，∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≤0，∴g (x )在[1，e]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (e)＝－1e ，∴a ≤－1e .∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e . 题型三 求函数零点个数【解题指导】 (1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题． (2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．【例】设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，当m ≥1时，讨论f (x )与g (x )图象的交点个数．【解】 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数． F ′(x )＝－x －1x －mx ，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数， 注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln 4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，若0<x <1或x >m ，则F ′(x )<0； 若1<x <m ，则F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增， 注意到F (1)＝m ＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象总有一个交点． 【训练】设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3的零点的个数．【解】 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －ex2(x >0)，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．题型四 根据函数零点情况求参数范围【解题指导】 函数的零点个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想．【例】已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围． 【解】 g (x )＝2ln x －x 2＋m ， 则g ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x.因为x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，所以当g ′(x )＝0时，x ＝1. 当1e ≤x <1时，g ′(x )>0；当1<x ≤e 时，g ′(x )<0. 故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1. 又g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2， g (e)－g ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝⎛⎭⎫1e ， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝m －1>0，g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e 2， 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2. 【训练】已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3(a 为实数)，若方程g (x )＝2f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不等实根，求实数a 的取值范围． 【解】 由g (x )＝2f (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3，a ＝x ＋2ln x ＋3x ，设h (x )＝x ＋2ln x ＋3x (x >0)，所以h ′(x )＝1＋2x －3x2＝x ＋3x －1x 2.所以x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫1e ，11 (1，e) h ′(x ) － 0 ＋h (x )极小值又h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (1)＝4，h (e)＝3e ＋e ＋2. 且h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0. 所以h (x )min ＝h (1)＝4，h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2， 所以实数a 的取值范围为4<a ≤e ＋2＋3e ，即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，e ＋2＋3e .专题突破训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，g (x )＝x ·e x －1，求证：f (x )≤g (x )． 【证明】 令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x －x e x ＋1(x >0)， 则F ′(x )＝1x ＋1－e x －x e x ＝1＋x x －(x ＋1)e x＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －e x .令G (x )＝1x －e x ，可知G (x )在(0，＋∞)上为减函数，且G ⎝⎛⎭⎫12＝2－e>0，G (1)＝1－e<0，∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得G (x 0)＝0，即1x 0－0e x ＝0. 当x ∈(0，x 0)时，G (x )>0，∴F ′(x )>0，F (x )为增函数； 当x ∈(x 0，＋∞)时，G (x )<0， ∴F ′(x )<0，F (x )为减函数． ∴F (x )≤F (x 0)＝ln x 0＋x 0－x 00e x＋1，又∵1x 0－0e x ＝0，∴1x 0＝0e x，即ln x 0＝－x 0，∴F (x 0)＝0，即F (x )≤0，∴f (x )≤g (x )．2．已知f (x )＝e x －ax 2，若f (x )≥x ＋(1－x )·e x 在[0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 f (x )≥x ＋(1－x )e x ，即e x －ax 2≥x ＋e x －x e x ， 即e x －ax －1≥0，x ≥0.令h (x )＝e x －ax －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －a (x ≥0)， 当a ≤1时，由x ≥0知h ′(x )≥0， ∴h (x )≥h (0)＝0，原不等式恒成立． 当a >1时，令h ′(x )>0，得x >ln a ； 令h ′(x )<0，得0≤x <ln a . ∴h (x )在[0，ln a )上单调递减， 又∵h (0)＝0，∴h (x )≥0不恒成立， ∴a >1不合题意．综上，a 的取值范围为(－∞，1]．3．已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln x x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围． 【解】 (1)因为f ′(x )＝a －e x ，x ∈R . 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a .由f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )； 由f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(ln a ，＋∞)．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间； 当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )，单调递减区间为(ln a ，＋∞)． (2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x ，则ax ≤ln x x ，即a ≤ln xx 2.设h (x )＝ln xx 2，则问题转化为a ≤⎝⎛⎭⎫ln x x 2max ， 由h ′(x )＝1－2ln xx 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e. 当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )随x 变化的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为12e ，所以a ≤12e .故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12e . 4．设函数f (x )＝ax 2－x ln x －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )．若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 f ′(x )＝2ax －1－ln x －(2a －1)＝2a (x －1)－ln x (x >0)， 易知当x ∈(0，＋∞)时，ln x ≤x －1， 则f ′(x )≥2a (x －1)－(x －1)＝(2a －1)(x －1)． 当2a －1≥0，即a ≥12时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x )≥0恒成立，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (1)＝0，符合题意．当a ≤0时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x )≤0恒成立，f (x )在[1，＋∞)上单调递减， f (x )≤f (1)＝0，显然不合题意，a ≤0舍去．当0<a <12时，由ln x ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即ln x ≥1－1x，则f ′(x )≤2a (x －1)－⎝⎛⎭⎫1－1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x (2ax －1)， ∵0<a <12，∴12a>1.当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f ′(x )≤0恒成立， ∴f (x )在⎣⎡⎭⎫1，12a 上单调递减， ∴当x ∈⎣⎡⎭⎫1，12a 时，f (x )≤f (1)＝0， 显然不合题意，0<a <12舍去．综上可得，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.5．已知函数f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2e x ，若存在实数m ，对任意的x ∈[1，k ](k >1)，都有f (x ＋m )≤2e x ，求整数k 的最小值．【解】 因为f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2e x ， 所以f (x )＝2e |x |，对于x ∈[1，k ]，由f (x ＋m )≤2e x 得2e |x＋m |≤2e x ，两边取以e 为底的对数得|x ＋m |≤ln x ＋1，所以－x －ln x －1≤m ≤－x ＋ln x ＋1在[1，k ]上恒成立， 设g (x )＝－x ＋ln x ＋1(x ∈[1，k ])， 则g ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ≤0，所以g (x )在[1，k ]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (k )＝－k ＋ln k ＋1，设h (x )＝－x －ln x －1(x ∈[1，k ])，易知h (x )在[1，k ]上单调递减， 所以h (x )max ＝h (1)＝－2，故－2≤m ≤－k ＋ln k ＋1， 若实数m 存在，则必有－k ＋ln k ≥－3，又k >1，且k 为整数，所以k ＝2满足要求，故整数k 的最小值为2. 7．已知函数f (x )＝a ＋x ·ln x (a ∈R )，试求f (x )的零点个数． 【解】 f ′(x )＝(x )′ln x ＋x ·1x ＝x ln x ＋22x ，令f ′(x )>0，解得x >e －2，令f ′(x )<0，解得0<x <e －2， 所以f (x )在(0，e －2)上单调递减， 在(e －2，＋∞)上单调递增． f (x )min ＝f (e －2)＝a －2e，显然当a >2e 时，f (x )min >0，f (x )无零点，当a ＝2e 时，f (x )min ＝0，f (x )有1个零点，当a <2e 时，f (x )min <0，f (x )有2个零点．8．已知f (x )＝1x ＋e x e －3，F (x )＝ln x ＋e xe －3x ＋2.(1)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)判断函数F (x )在(0，＋∞)上零点的个数． 【解】 (1)f ′(x )＝－1x 2＋e x e ＝x 2e x －ee x 2，令f ′(x )>0，解得x >1，令f ′(x )<0，解得0<x <1， 所以f (x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增． (2)F ′(x )＝f (x )＝1x ＋e xe －3，由(1)得∃x 1，x 2，满足0<x 1<1<x 2，使得f (x )在(0，x 1)上大于0，在(x 1，x 2)上小于0，在(x 2，＋∞)上大于0， 即F (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增， 而F (1)＝0，x →0时，F (x )→－∞， x →＋∞时，F (x )→＋∞，画出函数F (x )的草图，如图所示．故F (x )在(0，＋∞)上的零点有3个．9．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋c 有三个零点，求实数c 的取值范围．【解】 f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)， 由f ′(x )>0可得x >2或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <2，所以函数f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数， 在(－1,2)上是减函数，所以函数f (x )的极大值为f (－1)＝76＋c ，极小值为f (2)＝c －103.而函数f (x )恰有三个零点，故必有⎩⎨⎧76＋c >0，c －103<0，解得－76<c <103，所以使函数f (x )恰有三个零点的实数c 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－76，103. 10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．【解】 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e 2x 时取等号，∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e.∴要使g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e. 即当m ∈[2e ，＋∞)时，g (x )＝m 有零点．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点． 如图，作出函数g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2， ∴其对称轴为x ＝e ， f (x )max ＝m －1＋e 2.若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点，则m －1＋e 2>2e ，即当m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．已知函数f (x )＝(3－a )x －2ln x ＋a －3在⎝⎛⎭⎫0，14上无零点，求实数a 的取值范围． 【解】 当x 从0的右侧趋近于0时，f (x )→＋∞， 所以f (x )<0在⎝⎛⎭⎫0，14上恒成立不可能． 故要使f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14上无零点，只需对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，14，f (x )>0恒成立，即只需当x ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，a >3－2ln xx －1恒成立．令h (x )＝3－2ln xx －1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，14， 则h ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，14， 则m ′(x )＝－21－x x 2<0，于是在⎝⎛⎭⎫0，14上， m (x )为减函数，故m (x )>m ⎝⎛⎭⎫14＝6－4ln 2>0， 所以h ′(x )>0在⎝⎛⎭⎫0，14上恒成立， 所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，14上为增函数， 所以h (x )<h ⎝⎛⎭⎫14在⎝⎛⎭⎫0，14上恒成立． 又h ⎝⎛⎭⎫14＝3－163ln 2， 所以a ≥3－163ln 2，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫3－163ln 2，＋∞.高考文科数学一轮复习大题篇----概率统计题型一 概率与统计的综合应用【例】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图．记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【解】 (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x >19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700. 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x >19(x ∈N )． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000；若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．【思维升华】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【训练】某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【解】(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030. (2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有(A ，B )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共7个，故所求概率P (M )＝715.题型二 概率与统计案例的综合应用【例】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：P (χ2≥k 0) 0.100 0.050 0.010 k 02.7063.8416.635χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.【解】 (1)将2×2列联表中数据代入公式计算，得 χ2＝100×60×10－20×10270×30×80×20＝10021≈4.762. 由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)设这5名数学系的学生喜欢甜品的为a 1，a 2，不喜欢甜品的为b 1，b 2，b 3，从5名数学系的学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}． Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.【思维升华】 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．【训练】某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．(1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数；(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计 男生 女生 合计附：χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . P (χ2≥k 0)0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P (χ2≥k 0) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.828【解】 (1)由条件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生选择社会科学类的频率为45105＝37，女生选择社会科学类的频率为4575＝35.由题意，知男生总数为1 200×105180＝700，女生总数为1 200×75180＝500，所以估计选择社会科学类的人数为 700×37＋500×35＝600.(2)根据统计数据，可得列联表如下：选择自然科学类选择社会科学类总计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 总计9090180则χ2＝180×60×45－30×452105×75×90×90＝367≈5.142 9>5.024， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为科类的选择与性别有关．专题突破训练1.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80的为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？P (χ2≥k 0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828附：χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.【解】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)组工人有60×0.005×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.005×10＝2(人)，记为B 1，B 2. 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×(0.02＋0.005)×10＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×(0.032 5＋0.005)×10＝15(人)， 据此可得2×2列联表如下：生产能手 非生产能手总计 25周岁以上(含25周岁)组 15 45 60 25周岁以下组15 25 40 总计3070100所以得χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×15×25－15×45260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．2．某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并绘制了如下对照表：根据表中数据，试求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测年龄为55岁的观众周均学习成语知识的时间． 参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^ ＝y －b ^x .【解】 (1)设被污损的数字为a ，则a 有10种情况． 由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a ＋99， 得a <8，∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数， 所求概率为810＝45.(2)由表中数据，计算得x ＝35，y ＝3.5，b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝525－4×35×3.55 400－4×352＝0.07，a ^＝y －b ^ x ＝3.5－0.07×35＝1.05. ∴y ^＝0.07x ＋1.05.当x ＝55时，y ^＝4.9.即预测年龄为55岁的观众周均学习成语知识的时间为4.9小时．3．长沙某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布情况，在当月的电脑消费小票中随机抽取n 张进行统计，将结果分成6组，分别是[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600]，制成如图所示的频率分布直方图(假设消费金额均在[0,600]元的区间内)．(1)若按分层抽样的方法在消费金额为[400,600]元区间内抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自[400,500)元区间的概率；(2)为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案． 方案一：全场商品打八折．方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免，利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由(直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值)．【解】 (1)由题意知，在[400,500)元区间内抽4张，分别记为a ，b ，c ，d ，在[500,600]元区间内抽2张，分别记为E ，F ，设“2张小票均来自[400,500)元区间”为事件A ，从中任选2张，有以下选法：ab ，ac ，ad ，aE ，aF ，bc ，bd ，bE ，bF ，cd ，cE ，cF ，dE ，dF ，EF ，共15种．其中，2张小票均来自[400,500)元区间的有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种， ∴P (A )＝25.(2)方法一 由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.方案一：购物的平均费用为0.8×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.8×275＝220(元)．方案二：购物的平均费用为50×0.1＋130×0.2＋230×0.25＋270×0.3＋370×0.1＋430×0.05＝228(元)．∵220<228，∴方案一的优惠力度更大．方法二由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05，方案一：平均优惠金额为0.2×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.2×275＝55(元)．方案二：平均优惠金额为20×(0.2＋0.25)＋80×(0.3＋0.1)＋120×0.05＝47(元)．∵55>47，∴方案一的优惠力度更大．4．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶30进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：(1)求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值大于10的概率．【解】(1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a＝0.1，b＝3.成绩在[70,90)内的样本数为0.25×20＝5.∴成绩在[90,110)内的样本数为20－2－5－5＝8.估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差的绝对值大于10的结果为(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,118)，(106,128)，(106,118)，(106,128)，(116,128)，共11个，∴P(A)＝1121.0高考文科数学一轮复习大题篇----立体几何题型一平行、垂直关系的证明【例】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.【证明】(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.又∵AD⊥DE，DE∩CC1＝E，DE，CC1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1.又∵B1C1∩CC1＝C1，B1C1，CC1⊂平面BCC1B1，∴A1F⊥平面BCC1B1.又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD.∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE.【思维升华】(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．【训练】】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A ⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【证明】(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD，又PD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥PD .又因为P A ⊥PD ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ， 所以PD ⊥平面P AB . 又PD ⊂平面PCD ， 所以平面P AB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC ，因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .题型二 立体几何中的计算问题【例】如图，在多面体ABCA 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，△A 1CB 是等边三角形，AC ＝AB ＝1，B 1C 1∥BC ，BC ＝2B 1C 1.(1)求证：AB 1∥平面A 1C 1C ； (2)求多面体ABCA 1B 1C 1的体积．(1)【证明】 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，B 1D ，C 1D ， ∵B 1C 1∥BC ，BC ＝2B 1C 1，∴BD ∥B 1C 1，BD ＝B 1C 1，CD ∥B 1C 1，CD ＝B 1C 1， ∴四边形BDC 1B 1，CDB 1C 1是平行四边形， ∴C 1D ∥B 1B ，C 1D ＝B 1B ，CC 1∥B 1D ， 又B 1D ⊄平面A 1C 1C ，C 1C ⊂平面A 1C 1C ， ∴B 1D ∥平面A 1C 1C .在正方形ABB 1A 1中，BB 1∥AA 1，BB 1＝AA 1， ∴C 1D ∥AA 1，C 1D ＝AA 1， ∴四边形ADC 1A 1为平行四边形， ∴AD ∥A 1C 1.又AD ⊄平面A 1C 1C ，A 1C 1⊂平面A 1C 1C ， ∴AD ∥平面A 1C 1C ，∵B 1D ∩AD ＝D ，B 1D ，AD ⊂平面ADB 1， ∴平面ADB 1∥平面A 1C 1C ，又AB 1⊂平面ADB 1，∴AB 1∥平面A 1C 1C . (2)【解】 在正方形ABB 1A 1中，A 1B ＝2， ∵△A 1BC 是等边三角形，∴A 1C ＝BC ＝2，∴AC 2＋AA 21＝A 1C 2，AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AA 1⊥AC ，AC ⊥AB .又AA 1⊥AB ，∴AA 1⊥平面ABC ， ∴AA 1⊥CD ，易得CD ⊥AD ，又AD ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ADC 1A 1.易知多面体ABCA 1B 1C 1是由直三棱柱ABD －A 1B 1C 1和四棱锥C －ADC 1A 1组成的， 直三棱柱ABD －A 1B 1C 1的体积为12×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＝14，四棱锥C －ADC 1A 1的体积为13×22×1×22＝16，∴多面体ABCA 1B 1C 1的体积为14＋16＝512.【思维升华】 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．【训练】如图，已知多面体P ABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，P A ⊥底面ABCD ，ED ∥P A ，且P A ＝2ED ＝2.(1)证明：平面P AC ⊥平面PCE ；(2)若∠ABC ＝60°，求三棱锥P －ACE 的体积． (1)【证明】 如图，连接BD ，交AC 于点O ， 设PC 的中点为F ，连接OF ，EF .易知O 为AC 的中点， 所以OF ∥P A ，且OF ＝12P A .因为DE ∥P A ，且DE ＝12P A ，所以OF ∥DE ，且OF ＝DE ， 所以四边形OFED 为平行四边形， 所以OD ∥EF ，即BD ∥EF .因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，所以BD⊥平面P AC.因为BD∥EF，所以EF⊥平面P AC.因为EF⊂平面PCE，所以平面P AC⊥平面PCE.(2)【解】因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC＝2.又P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以P A⊥AC.所以S△P AC＝12P A×AC＝2.因为EF⊥平面P AC，所以EF是三棱锥E－P AC的高．易知EF＝DO＝BO＝3，所以三棱锥P－ACE的体积V三棱锥P－ACE＝V三棱锥E－P AC＝13S△P AC×EF＝13×2×3＝233.题型三立体几何中的探索性问题【例】如图，梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝2，AD＝AB＝1，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD.(1)求证：DF⊥CE；(2)若AC与BD相交于点O，那么在棱AE上是否存在点G，使得平面OBG∥平面EFC？并说明理由．(1)【证明】连接EB.∵在梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，DC＝2，∴BD＝2，BC＝2，∴BD2＋BC2＝CD2，∴BC ⊥BD .又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面BDEF ，∴BC ⊥DF .又∵正方形BDEF 中，DF ⊥EB ，且EB ，BC ⊂平面BCE ，EB ∩BC ＝B ， ∴DF ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴DF ⊥CE .(2)【解】 在棱AE 上存在点G ，使得平面OBG ∥平面EFC ，且AG GE ＝12.理由如下：连接OG ，BG ，在梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝1，DC ＝2， ∴AB ∥DC ，∴AO OC ＝AB DC ＝12.又∵AG GE ＝12，∴OG ∥CE .又∵正方形BDEF 中，EF ∥OB ，且OB ，OG ⊄平面EFC ，EF ，CE ⊂平面EFC ， ∴OB ∥平面EFC ，OG ∥平面EFC . 又∵OB ∩OG ＝O ，且OB ，OG ⊂平面OBG ， ∴平面OBG ∥平面EFC .【思维升华】 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．【训练】如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．。

专题七不等式第二十一讲不等式综合应用2019年 1.（2019 天津文13）设0x >，0y >，24x y +=，则 (1)(21)x y xy++的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =−+>−≥≤则 A ．对任意实数a ， (2,1)A ∈ B ．对任意实数a ， (2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时， (2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时， (2,1)A ∉ 2．(2018)浙江已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且 1234123 ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >32017 ．（天津）已知函数 ||2,1,()2 , 1.x x f x x x x+<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式 ()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ． [2,2]−B ． [23,2]−C ． [2,23]−D ． [23,23]−4．（2015 福建）若直线 1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A 2 B 3 C 4 D 5． ． ．．52015 ．（ 湖南）若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为 A ．2 B 2 C 2．．2 D 4．62014 ．（ 重庆）若 b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ． 326+B ． 327+C ． 346+D ． 347+7．（2013 福建）若 122=+y x ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[−C ．),2[+∞− D ． ]2,(−−∞ 82013．（山东）设正实数,,x y z 满足22 340x xy y z −+−=．则当xy z取得最大值时， 212x y z+−的最大值为 A 0 B 1 C ． ． ．94D 3 ． 9．（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322 =−+−z y xy x ，则当z xy取得最大值时，2x y z +−的最大值为A 0B ．．98C 2D ．．9410．（ 2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245B ．285C 5D 6 ．． 11．（2012 陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则A ．a v ab <<B ．v =abC ．ab <v <2a b + D ．v =2a b + 12．（2012 湖南）已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a 的最小值为 A ． 162 B.82 C.384 D. 34413．（ 2011陕西）设 0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<< B ．2a b a ab b + <<< C ．2a b a ab b + <<< D ．2a b ab a b + <<< 14．（ 2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．2a b ab +≥C ． 112a b ab+> D ．2b a a b +≥ 二、填空题15．(2018)天津已知,a b ∈R ，且 360a b −+=，则128a b+ 的最小值为． 16．(2018天津)已知a ∈R ，函数22 220() 220x x a x f x x x a x ⎧ ++−⎪=⎨−+−>⎪⎩ ，≤， ，．若对任意 [3,)x ∈−+∞， ()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．17．（ 2017天津）若，a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++ 的最小值为． 18．（ 2017山东）若直线 1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 192017 ．（江苏）某公司一年购买某种货物吨，每次购买600 x 吨，运费为万元6 /次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是．20．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________________．21．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+−+ 在区间，[14]上的最大值是5，则a 的取值范围是．22．（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy 中， (12,0)A −，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是． 23．（ 2015重庆）设,0a b >，5a b +=，则 1++3a b +的最大值为________．24．(2015)山东定义运算“⊗”：22x y x y xy−⊗=（,x y ∈R ，0xy ≠）．当0x >， 0y >时， (2)x y y x ⊗+⊗的最小值为．25．（ 2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=， 2221a b c ++=，则a 的最大值是__；26．（2014 辽宁）对于0c > ，当非零实数，a b 满足22 420aab b c −+−=，且使 |2|a b +最大时， 124a b c++的最小值为． 27．（2014 辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c −+−=，且使 |2|a b +最大时， 345a b c−+的最小值为． 28．（2014 湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆小时）与车流速度/v （假设车辆以相同速度行驶，单v 位：米秒）、平均车长（单位：米）有关，其公式为/l 的值276000 1820v F v v l=++． （）如果不限定车型，Ⅰ 6.05l = ，则最大车流量为辆小时； /（）如果限定车型，Ⅱ5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量辆．增加 /小时29．（ 2013天津）设a b + = 2，b >0，时， 则当a = 1|| 2||a ab +取得最小值. 30．（ 2013四川）已知函数 ()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__．31．（ 2011浙江）若实数,x y 满足22 1x y xy ++=，则x y +的最大值是____ ． 32．（ 2011湖南）设,x y R ∈，则222211 ()(4)x y y x++ 的最小值为． 33．（ 2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是写出所有正确命题的编号． ()①1ab ≤；② 2a b +≤；③ 222a b +≥ ； ④333a b +≥；⑤ 112a b +≥．。

高考最有可能考的50 题( 数学文课标版 )（30 道选择题 +20 道非选择题）一．选择题（ 30 道）1．集合M { x | x2 2x 3 0} , N { x | 2x 2 0} ，则M N 等于A．( 1, 1) B ．(1, 3) C． (0, 1) D． ( 1, 0)2．知全集 U=R，集合Ax | y 1 x ，集合B x |0 ＜x＜2 ，则 (C U A) B A．1,) B． 1，C．0，+ ) D．0，+3．设a是实数，且 a 1 i是实数，则 a1 i 21C. 3A.1B. D.22 24．i是虚数单位，复数z 1 i ，则 z2 2zA．1 i B．1 i C．1 i D．1 i5．“ a=-1 ”是“直线a2x y 6 0 与直线4x (a 3)y 9 0 互相垂直”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 C. 既不充分也不必要条件6．已知命题p：“sin sin，且cos cos”，命题q：“”。

则命题p是命题q的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件7．已知a R ，则“ a 2 ”是“a22a ”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（A） (42 ，56]（B） (56 ，72]（C） (72 ，90]（D） (42 ，90)9．如图所示的程序框图，若输出的S 是 30 ，则①可以为A．n 2? B ． n 3?C．n 4? D ． n 5?10．在直角坐标平面内，已知函数 f (x) log a ( x 2) 3(a 0 且 a 1) 的图像恒过定点P ，若角的终边过点 P ，则cos2 sin 2 的值等于（）A．1 1 7D．7 2B ． C.102 1011．已知点M， N 是曲线y sin x 与曲线y c os x 的两个不同的交点，则|MN| 的最小值为（）A． 1B．2C．3D． 2．如图所示为函数f x 2sin x ( 0,0)的y12A2部分图像 , 其中A, B两点之间的距离为5,那么 f 1 （）O x2BA ． 2B． 3 C ．3D． 213． 设向量 a 、 b 满足 : a1 , b2 , a a b0 , 则 a 与 b 的夹角是（） A ． 30B． 60C． 90D． 12014． 如图， D 、 E 、 F 分别是 uuur uuur） DABC 的边 AB 、 BC 、CA 的中点，则 AF DB （uuur B ． FC A ． FDC ． FED ． BE15．一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为 （ ）（A ） 6 3（B ） 8（C ） 8 3（D ） 1216． A, B,C, D 是同一球面上的四个点，其中 ABC 是正三角形， AD平面ABC , AD 2 AB 6 则该球的体积为（）A ． 32 3B ． 48C ．64 3D ．16 317．已知集合A xxa 0 ,若1 A ，则实数 a 取值范围为（）x aA ( , 1) [1, )B [-1,1]C ( , 1] [1,) D (-1,1]3 x3 y18．设 Mx yxy（其中 0 xy ），则 M , N , P 大小关系为（, N3 , P 3）2A ． M N PB ． NP MC ． P M ND ． P N M19． 若 a 是从集合 {0 ，1， 2， 3} 中随机抽取的一个数，b 是从集合 {0 ， 1，2} 中随机抽取的一个数，则关于 x 的方程 x22ax b 2 0 有实根的概率是（） A ．5B ．2C ．7 D ．36312420． 右图是 1， 2 两组各 7 名同学体重（单位： kg ）数据的茎叶图．设1， 2 两组数据的平均数依次为 x 1 和 x 2 ，标准差依次为 s 1 和 s 2 ，那么（ ）（注：标准差 s1 [( x 1 x)2 ( x 2 x)2 L( x n x)2 ] ，n其中 x 为 x 1 , x 2 , L , x n 的平均数）（A ）x 1 x 2 ， s s（ ）x 1 x 2 ， s s12B 12（C ）x 1 x 2 ， s s（ ） x 1x 2， ss12D 1221．设 S 是等差数列a n 的前 n 项和，若 S 4 10, S 5 15,S 7 21 , 则 a 7 的取值区间为 （ ）nA. （,7]B. [3,4]C. [4,7]D. [3,7]22． 若等比数列 {a n } 的前 n 项和 S a 3n2 ，则a 2nA.4B.12C.24D.3623． 抛物线 y 2＝ 2px （ p ＞0）的焦点为 F ，点 A 、B 在此抛物线上，且∠ AFB ＝90°，弦 AB的| MM ′| 中点 M 在其准线上的射影为 M ′，则 | AB | 的最大值为（）2 3（A ） 2 （ B ） 2（ C ） 1（D ） 324．已知双曲线2y 2 1 的焦点为 F ,F Muuuur uuuurx，点 在双曲线上，且1 2，则点2MF MF 0M 到 x 轴的距离为（）A ． 3B． 2 3C ．4D ．53 3325．若直线 x y 2 被 e C : ( x a)2y 24 所截得的弦长为 2 2 ，则实数 a 的值为（）A. 1或 3B.1或 3C.2 或 6D.0 或 4( 1 x 8( x 0)3 )26． 设函数 f (x )，若 f （ a ）＞ 1，则实数 a 的取值范围是（ ）x 2x 1(x0)A. ( 2,1)B. (, 2) ∪ (1,)C.（ 1，+∞） D. ( , 1) ∪（ 0，+∞）27．定义在 错误 ! 未找到引用源。

九年（2010-2018年）高考真题文科数学精选（含解析）专题一 集合与常用逻辑用语第一讲 集合一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知集合{0,2}=A ，{21012}=--，，，，B ，则A B =A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{21012}--，，，， 2．(2018浙江)已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则=U A A ．∅ B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5}3．(2018全国卷Ⅱ)已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB = A ．{3} B ．{5}C ．{3,5}D ．{}1,2,3,4,5,74．(2018北京)已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则AB = A ．{0，1} B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}5．(2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则AB = A ．{0} B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}6．(2018天津)设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}7．(2017新课标Ⅰ)已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则A ．3{|}2A B x x =< B ．A B =∅ C ．3{|}2A B x x =< D ．A B =R 8．（2017新课标Ⅱ）设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =则A B =A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}9．（2017新课标Ⅲ）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6,8}B =，则AB 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2017天津）设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{1,2,3,4}C =，则()A B C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}11．（2017山东）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N = A ．()1,1- B ．()1,2- C ．()0,2 D ．()1,212．（2017北京）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A = A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．[2,2]- D ．(,2][2,)-∞-+∞13．（2017浙江）已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q = A ．(1,2)- B ．(0,1) C ．(1,0)- D ．(1,2)14．（2016全国I 卷）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则=A BA ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}15．（2016全国Ⅱ卷）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =A ．{210123}--，，，，，B ．{21012}--，，，，C ．{123}，，D ．{12}，16．（2016全国Ⅲ）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B =A ．{48}，B ．{026}，，C ．{02610}，，，D ．{0246810}，，，，，17．（2015新课标2）已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则A B =A ．)3,1(-B ．)0,1(-C ．)2,0(D ．)3,2( 18．（2015新课标1）已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．219．（2015北京）若集合{|52}A x x =-<<，{|33}B x x =-<<，则A B =A ．{|32}x x -<<B ．{|52}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|53}x x -<< 20．（2015天津）已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{}2,3,5A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合U A B =A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5}21．（2015陕西）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1]22．（2015山东）已知集合{}24A x x =<<，{}(1)(3)0B x x x =--<，则AB = A ．()1,3 B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,423．（2015福建）若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于 A ．{}0 B ．{}1 C ．{}0,1,2 D ．{}0,124．（2015广东）若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =A ．{}0,1-B ．{}1C ．{}0D ．{}1,1-25．（2015湖北）已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+∈≤，{(,)|||2,B x y x =≤ ||2,,}y x y Z ∈≤，定义集合12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．3026．(2014新课标)已知集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |－2≤x ＜2}，则A B = A ．[-2, -1] B ．[-1,1] C ．[-1,2） D ．[1,2）27．（2014新课标）设集合M ={0,1,2}，N ={}2|320x x x -+≤，则M N = A ．｛1｝ B ．｛2｝ C ．｛0，1｝ D ．｛1，2｝28．（2014新课标）已知集合A ={-2，0，2}，B ={x |2x -x -20=}，则A B =A ． ∅B ．{}2C ．{}0D ．{}2-29．（2014山东）设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B AA ． [0,2]B ．(1,3)C ． [1,3)D ． (1,4)30．（2014山东）设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则AB =A ．(0,2]B ．(1,2)C ．[1,2)D ．(1,4)31．（2014广东）已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN = A ．{0,1} B ．{1,0,2}- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-32．（2014福建）若集合{|24}P x x =<≤，{|3}Q x x =≥，则P Q 等于A ．}{34x x ≤<B ．}{34x x <<C ．}{23x x ≤<D ．}{23x x ≤≤33．（2014浙江）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则U A =A ．∅B ． }2{C ． }5{D ． }5,2{34．（2014北京）已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB = A ．{0} B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}35．（2014湖南）已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =A ．{|2}x x >B ．{|1}x x >C ．{|23}x x <<D ．{|13}x x <<36．（2014陕西）已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则MN = A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1)37．（2014江西）设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤， 则()R A B =A ．(3,0)-B ．(3,1)--C ．(3,1]--D ．(3,3)-38．(2014辽宁)已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U A B =A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<39．（2014四川）已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则AB = A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-40．（2014湖北）已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A = A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7} C ．{2,4,7} D ． {2,5,7}41．（2014湖北）设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆”是“∅=B A ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件42．（2013新课标1）已知集合A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－5＜x ＜5}，则A ．A ∩B =∅ B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B 43．（2013新课标1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =A ．{}14，B ．{}23，C ．{}916，D ．{}12， 44．(2013新课标2)已知集合(){}2|14,M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-， 则M N =A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2- C ．{}1,0,2,3- D ．{}0,1,2,3 45．(2013新课标2)已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则MN = A ．{2,1,0,1}-- B ．{3,2,1,0}--- C ．{2,1,0}-- D ．{3,2,1}---46．（2013山东）已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B =,{1,2}B =,则U AB = A ．{3} B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ 47．(2013山东)已知集合A ={0，1，2}，则集合B ={}|,x y x A y A -∈∈中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．948．（2013安徽）已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂=A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,149．（2013辽宁）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 50．(2013北京)已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-51．（2013广东）设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈， 则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-52．(2013广东)设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈， 且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉53．（2013陕西）设全集为R , 函数2()1f x x =-的定义域为M , 则C M R 为A ． [－1,1]B ． (－1,1)C ．,1][1,)(∞-⋃+∞-D ．,1)(1,)(∞-⋃+∞-54．（2013江西）若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =A ．4B ．2C ．0D ．0或4 55．（2013湖北）已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或 56．(2012广东)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =A ．{,,}246B ．{1,3,5}C ．{,,}124D ．U57．（2012浙江）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P =，{}3,4,5Q =， 则U P Q ⋂=A ．{}1,2,3,4,6B ．{}1,2,3,4,5C ．{}1,2,5D ．{}1,258．（2012福建）已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是A ．N M ⊆B ．M N M =C ．MN N = D ．{2}M N = 59．（2012新课标）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B =∅60．（2012安徽）设集合A ={|3213x x --}，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=A ．（1，2）B ．[1，2]C ．[ 1，2）D ．（1，2 ]61．（2012江西）若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．262．(2011浙江)若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>-，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆63．（2011新课标）已知集合M ={0，1，2，3，4}，N ={1，3，5}，P M N =⋂，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个64．（2011北京）已知集合P =2{|1}x x ≤，{}M a =．若PM P =，则a 的取值范围是A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1][1，+∞） 65．（2011江西）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于A ．M N ⋃B ．M N ⋂C ．()()n n C M C N ⋃D ．()()n n C M C N ⋂66．（2011湖南）设全集{1,2,3,4,5}U M N =⋃=，{2,4}U M C N ⋂=，则N =A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}67．（2011广东）已知集合A ={(,)|,x y x y 为实数，且221}x y +=，B ={(,)|,x y x y 为实数且1}x y +=，则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．168．（2011福建）若集合M =｛-1，0，1｝，N =｛0，1，2｝，则M ∩N 等于A ．｛0，1｝B ．｛-1，0，1｝C ．｛0，1，2｝D ．｛-1，0，1，2｝69．（2011陕西）设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，1{|||2,N x x i =-<}i x R ∈为虚数单位，，则M N ⋂为A ．（0,1）B ．（0,1]C ．[0,1）D ．[0,1]70．（2011辽宁）已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N I M =∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅ 71．（2010湖南）已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}2,3M N =D ．{}1,4M N =72．（2010陕西）集合A ={}|12x x -≤≤，B ={}|1x x <，则()R A B ⋂=A ．{}|1x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <≤D ．{}|12x x ≤≤73．（2010浙江）设P =｛x ︱x <4｝，Q =｛x ︱2x <4｝，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆D ．R Q P ⊆ 74．（2010安徽）若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =RA ．2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．2(,0][,)2-∞+∞D ．2[,)2+∞ 75．（2010辽宁）已知,A B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且{3}AB =，{9}U B A =，则A =A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}二、填空题 76．(2018江苏)已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ．77．（2017江苏）已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}AB =，则实数a 的 值为____．78．(2015江苏)已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B 中元素的个数为 ．79．(2015湖南)已知集合U ={}1,2,3,4,A ={}1,3,B ={}1,3,4,则A (U B )= ．80．（2014江苏）已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ．81．（2014重庆）设全集{|110}U n N n =∈≤≤，{1,2,3,5,8}A =，{1,3,5,7,9}B =， 则()U A B ⋂= ．82．（2014福建）若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ； ③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________．83．(2013湖南)已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则()U A B = ．84．(2010湖南)若规定{}1210,,...,E a a a =的子集{}12,,...,n i i i a a a 为E 的第k 个子集，其中k =12111222n i i i ---++⋅⋅⋅+，则（1）{}1,3,a a 是E 的第____个子集；（2）E 的第211个子集是_______．85．(2010江苏)设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，{3}AB =，则实数a =__．专题一 集合与常用逻辑用语第一讲 集合答案部分1．A 【解析】由题意{0,2}A B =，故选A ．2．C 【解析】因为{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以=U A {2，4，5}．故选C ．3．C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}A B =，故选C ． 4．A 【解析】{|||2}(2,2)A x x =<=-，{2,0,1,2}B =-，∴{0,1}AB =，故选A ． 5．C 【解析】由题意知，{|10}A x x =-≥，则{1,2}AB =．故选C ． 6．C 【解析】由题意{1,0,1,2,3,4}A B =-，∴(){1,0,1}A B C =-，故选C ．7．A 【解析】∵3{|}2B x x =<，∴3{|}2AB x x =<， 选A ． 8．A 【解析】由并集的概念可知，{1,2,3,4}AB =，选A ． 9．B 【解析】由集合交集的定义{2,4}AB =，选B ． 10．B 【解析】∵{1,2,4,6}A B =，(){1,2,4}A BC =，选B ．11．C 【解析】{|02}M x x =<<，所以{|02}MN x x =<<，选C ． 12．C 【解析】{|22}U A x x =-≤≤，选C ．13．A 【解析】由题意可知{|12}P Q x x =-<<，选A ．14．B 【解析】由题意得，{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =，则{3,5}A B =．选B ． 15．D 【解析】易知{|33}B x x =-<<，又{1,2,3}A =，所以{1,2}AB =故选D ． 16．C 【解析】由补集的概念，得{0,2,6,10}A B =，故选C ．17．A 【解析】∵(1,2)A =-，(0,3)B =，∴(1,3)A B =-．18．D 【解析】集合{|32,}A x x n n N ==+∈，当0n =时，322n +=，当1n =时， 325n +=，当2n =时，328n +=，当3n =时，3211n +=，当4n =时， 3214n +=，∵{6,8,10,12,14}B =，∴A B 中元素的个数为2，选D ．19．A 【解析】{|32}A B x x =-<<． 20．B 【解析】{2,5}UB =，∴UAB {2,5}．21．A 【解析】∵{0,1}M =，{|01}N x x ≤=<，∴M N =[0,1]．22．C 【解析】因为{|13}B x x ，所以(2,3)A B =，故选C ． 23．D 【解析】∵{0,1}M N ．24．B 【解析】{1}MN =．25．C 【解析】由题意知，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，所以由新定义集合A B ⊕可知，111,0x y =±= 或110,1x y ==±.当111,0x y =±=时，123,2,1,0,1,2,3x x +=---， 122,1,0,1,2y y +=--，所以此时A B ⊕中元素的个数有：7535⨯=个；当110,1x y ==±时，122,1,0,1,2x x +=--，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除12y y +的值取3-或3外均相同，即此时有5210⨯=， 由分类计数原理知，A B ⊕中元素的个数为351045+=个，故应选C ． 26．A 【解析】{}|13A x x x =-≤或≥，故A B =[-2, -1]．27．D 【解析】{}|12N x x =≤≤，∴M N =｛1，2｝． 28．B 【解析】∵{}1,2B =-，∴AB ={}2．29．C 【解析】|1|213x x -<⇒-<<，∴(1,3)A =-，[1,4]B =．∴[1,3)A B =．30．C 【解析】∵(0,2)A =，[1,4]B =，所以AB =[1,2)．31．C 【解析】{}{}{}1,0,10,1,21,0,1,2M N ⋃=-⋃=-，选C ． 32．A 【解析】PQ =}{34x x ≤<．33．B 【解析】由题意知{|2}U x N x =∈≥，{|5}A x N x =∈≥，所以UA ={|25}x N x ∈<≤，选B ．34．C 【解析】∵{}{}2|200,2A x x x =-==．∴A B =={}0,2．35．C 【解析】AB ={|23}x x <<．36．B 【解析】∵21x <，∴11x -<<，∴M N ={}|01x x <≤，故选B ．37．C 【解析】{}|3,3A x x =-<，{}|15RB x x x =->≤或，∴()R AB ={}|31x x --≤≤．38．D 【解析】由已知得，{=0AB x x ≤或}1x ≥，故()UA B ={|01}x x <<．39．A 【解析】{|12}A x x =-≤≤，Z B =，故A B ={1,0,1,2}-．40．C 【解析】{}2,4,7UA =．41．C 【解析】“存在集合C 使得,UA CBC ⊆⊆”⇔“∅=B A ”，选C ．42．B 【解析】A =(-∞,0)∪(2，+∞)，∴A B =R ，故选B ．43．A 【解析】{}1,4,9,16B =，∴{}1,4A B =． 44．A 【解析】∵(1,3)M =-，∴{}0,1,2MN =．45．C 【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以MN {2,1,0}=--，选C ．46．A 【解析】由题意{}1,2,3AB =，且{1,2}B =，所以A 中必有3，没有4，{}3,4UB =，故UA B ={}3．47．C 【解析】0,0,1,2,0,1,2x y x y ==-=--；1,0,1,2,1,0,1x y x y ==-=-；2,0,1,2,2,1,0x y x y ==-=．∴B 中的元素为2,1,0,1,2--共5个．48．A 【解析】A ：1->x ，{|1}RA x x =-≤，(){1,2}R A B =--，所以答案选A49．D 【解析】由集合A ，14x <<；所以(1,2]A B =．50．B 【解析】集合B 中含-1，0，故{}1,0AB =-．51．A 【解析】∵{}2,0S =-，{}0,2T =，∴ST ={}0．52．B 【解析】特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法：因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立， 此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立， 此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立， 此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈. 综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈. 53．D 【解析】()f x 的定义域为M =[-1,1],故RM =(,1)(1,)-∞-⋃+∞,选D54．A 【解析】当0a =时，10=不合，当0a ≠时，0∆=，则4a =． 55．C 【解析】[)0,A =+∞，[]2,4B =，∴[0,2)(4,)RA B =+∞．56．A 【解析】UM ={,,}246．57．D 【解析】{}3,4,5Q =，∴U Q ={}1,2,6，∴UPQ ={}1,2．58．D 【解析】由M ={1，2，3，4}，N ={-2，2}，可知-2∈N ，但是-2∉M ，则N ⊄M ，故A 错误．∵MN ={1，2，3，4，-2}≠M ，故B 错误．M∩N ={2}≠N ，故C 错误，D 正确．故选D ．59．B 【解析】A =（-1,2），故B ⊂≠A ，故选B ．60．D 【解析】{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]B AB =+∞⇒=．61．C 【解析】根据题意容易看出x y +只能取-1,1,3等3个数值．故共有3个元素． 62．D 【解析】{|1}P x x =< ∴{|1}RP x x =≥，又∵{|1}Q x x =>，∴RQ P ⊆，故选D ．63．B 【解析】{1,3}P M N ==，故P 的子集有4个．64．C 【解析】因为PM P =，所以M P ⊆，即a P ∈，得21a ≤，解得11a -≤≤，所以a 的取值范围是[1,1]-．65．D 【解析】因为{1,2,3,4}M N =，所以()()U UM N =()UM N ={5,6}．66．B 【解析】因为UM N ⊂，所以()()()U UU U N NM N M ===[()]UU N M ={1,3,5}．67．C 【解析】由2211x y x y ⎧+=⎨+=⎩消去y ，得20x x -=，解得0x =或1x =，这时1y =或0y =，即{(0,1),(1,0)}AB =，有2个元素． 68．A 【解析】集合{1,0,1}{0,1,2}={0,1}MN =-．69．C 【解析】对于集合M ，函数|cos 2|y x =，其值域为[0,1]，所以[0,1]M =，根据复数模的计算方法得不等式212x +<，即21x <，所以(1,1)N =-， 则[0,1]MN =．70．A 【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M N M =．71．C 【解析】{}{}{}1,2,32,3,42,3M N ==故选C.72．D 【解析】{}{}|1,|12RRB x x A B x x ==≥≤≤73．B 【解析】{}22＜＜x x Q -=，可知B 正确，74．A 【解析】不等式121log 2x，得12112201log log ()2x >⎧⎪⎨⎪⎩，得22x ， 所以R A =2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．75．D 【解析】因为{3}AB =，所以3∈A ，又因为{9}UB A =，所以9∈A ，所以选D ．本题也可以用Venn 图的方法帮助理解． 76．{1，8}【解析】由集合的交运算可得AB ={1，8}．77．1【解析】由题意1B ∈，显然1a =，此时234a +=，满足题意，故1a =． 78．5【解析】{1,2,3}{2,4,5}{1,2,3,4,5}A B ==，5个元素． 79．{1,2,3}【解析】{2}UB ，A(UB )={1,2,3}．80．{}1,3-【解析】=B A {}1,3-．81．{}7,9【解析】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =,{}4,6,7,9,10UA =,{}()7,9U A B =．82．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6． 83．{}6,8【解析】()UA B ={6,8}{2,6,8}{6,8}=．84．【解析】（1）5 根据k 的定义，可知1131225k --=+=；（2）12578{,,,,}a a a a a 此时211k =，是个奇数，所以可以判断所求集中必含元素1a ，又892,2均大于211，故所求子集不含910,a a ，然后根据2j(j =1,2,⋅⋅⋅7)的值易推导出所求子集为12578{,,,,}a a a a a ．85．1【解析】考查集合的运算推理．3∈B ，23a +=，1a =．。

近五年高考数学文科真题汇总高考，对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。

数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在文科数学的领域中，近五年的高考真题呈现出了一定的规律和特点。

让我们先从函数部分说起。

函数一直是高考数学的重点，在文科数学中也不例外。

近五年的真题中，对于函数的单调性、奇偶性、周期性以及函数的图像和性质的考查屡见不鲜。

例如，会给出一个具体的函数表达式，让考生判断其单调性或者奇偶性，或者根据函数的性质来求解函数的最值、值域等问题。

在三角函数方面，诱导公式、三角函数的图像和性质、解三角形等内容是常考的知识点。

像通过已知的三角形边长和角度，利用正弦定理、余弦定理来求解未知的边长或者角度，这是比较常见的题型。

而且，对于三角函数的周期性和对称性的考查也时有出现。

数列也是文科数学的重要组成部分。

等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式是必须要掌握的基础知识。

真题中常常会要求考生根据给出的数列条件，求出通项公式或者前 n 项和，或者判断数列的单调性等。

概率与统计部分，会涉及到古典概型、几何概型、抽样方法、用样本估计总体等内容。

可能会给出一个实际的情境，让考生计算某个事件发生的概率，或者通过样本数据来分析总体的特征。

立体几何主要考查空间几何体的结构特征、表面积和体积的计算，以及线面位置关系的证明。

考生需要具备一定的空间想象能力，能够准确画出图形，进行推理和计算。

解析几何在文科数学中也占有一定的比重，主要包括直线与圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的方程和性质。

经常会要求考生根据已知条件求出曲线的方程，或者研究直线与曲线的位置关系。

在不等式方面，基本不等式的应用是常考点，通过给定的条件，利用基本不等式求最值或者证明不等式。

近五年的高考文科数学真题在难度上整体保持了相对的稳定性。

大部分题目都是对基础知识和基本技能的考查，同时也会有一些具有一定区分度的题目，以选拔出不同层次的学生。

对于考生来说，研究近五年的真题有着重要的意义。

2024年高考数学（文科）真题试卷（全国甲卷）1.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设，则（ ）A.B. C.2. D.2若集合，，则（ ）A. B. C. D.3.若满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C.D.4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B.C.1 D.6.已知双曲线的两个焦点分别为，点B.3（ ）A.4C.在该双曲线上，则该双曲线的离心率为2 D.7.设函数，则曲线在点积为（ ）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面A.B.C. D.8.函数在区间的图象大致为（ ）A. B.C. D.9.已知，则（ ）A. B. C.D.10.已知直线与圆交于两点，则B.3D.的最小值为（6）A.2C.411.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 12. B.②④D.其中所有真命题的编号是（ ）A.①③C.①②③①③④在中,内角所对的边分别为，若，，则）（A. B. C. D.13.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．函数在上的最大值是_______________．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,15.，则圆台甲与乙的体积之比为_______________．已知且，则16._______________．曲线与在上有两个不同的交点，则17._______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 的取值范围为（一）必考题：共60分．已知等比数列的前项和为，且 17.1..求17.2.的通项公式；求数列18.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150的前n 项和.件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计9652215018.1.18.2.已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设.为升级改造后抽取的n件产品的优级品率如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k 3.8416.63510.82819.如图，，，，,为的中点.19.1.证明：平面19.2.；求点到20.的距离.已知函数20.1.．求 20.2.的单调区间；当时，证明：当时，21.恒成立．已知椭圆的右焦点为，点在上，且21.1.轴．求21.2.的方程；过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：22.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题轴．号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为22.1..写出22.2.设直线l 的直角坐标方程；：（为参数），若与l相交于两点，若，求23..已知实数满足23.1.．证明：23.2.；证明：．参考答案1.D 解析：先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.依题意得，，故故选：D2.C .解析：根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是故选：C3.D 解析：.画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则故选：D.4.B 解析：解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解..解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为故选：B5.D 解析：.可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和理，或者特殊值法处理.来处理，亦可用等差数列的性质进行处方法一：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，又故选：D方法二：利用等差数列的性质.根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故故选：D方法三：特殊值法.不妨取等差数列公差，则，则故选：D6.C 解析：.由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得由题意，，即可得离心率.设、、，则，，，则，则故选：.C.7.A 解析：借助导数的几何意义计算可得其在点其面积处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得.，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积故选：A.8.B 解析：利用函数的奇偶性可排除A、C .，代入可得，可排除D.，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又故可排除D.故选：B.9.B 解析：，先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.因为，所以，，所以故选：B.10.C 解析：，根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，定理代入计算，即可求解.的最小，结合勾股因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时故选：C11.A 解析：根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③..对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故③正确；对④，若与和所成的角相等，如果，则综上只有①③正确，故选：A.12.C 解析：，故④错误；利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.因为，则由正弦定理得由余弦定理可得.:即，:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则故选：C.13.2 解析：结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. .，当时，，当时，即时，故答案为：.214.先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得 解析：解.由题可得两个圆台的高分别为，，所以.故答案为：15.64 解析：.将利用换底公式转化成来表示即可求解.由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.16. 解析：将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.令，即，令则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.故答案为：17.1. 解析：因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故.17.2. 解析：由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和18.1.答案见详解 解析：略18.2.答案见详解 解析：.由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.19.1.证明见详解； 解析：由题意得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；19.2. 解析：取的中点，连接，，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，故.又平面，所以平面，易知.在中，，所以.设点到平面的距离为，由，得，得，故点到平面的距离为.20.1.见解析 解析：定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为20.2.见解析.解析：，且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证21.1. 解析：设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为21.2.证明见解析. 解析：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以，故，即轴.22.1. 解析：由，将代入，故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.22.2. 解析：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为法1.：直线的斜率为，故倾斜角为，故直线的参数方程可设为，.将其代入中得设两点对应的参数分别为，则，且，故，，解得法2.：联立，得，，解得，设,，则，解得23.1.证明见解析 解析：因为，当时等号成立，则，因为，所以23.2.证明见解析;解析：。

高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>旳左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30旳等腰三角形，则E 旳离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【命题意图】本题重要考察椭圆旳性质及数形结合思想，是简朴题.【解析】∵△21F PF 是底角为030旳等腰三角形，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C. 2.【高考新课标文10】等轴双曲线C 旳中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=旳准线交于,A B 两点，43AB =；则C 旳实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题重要考察抛物线旳准线、直线与双曲线旳位置关系，是简朴题. 【解析】由题设知抛物线旳准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 旳实轴长为4，故选C.3.【高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>旳离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>旳焦点到双曲线1C 旳渐近线旳距离为2，则抛物线2C 旳方程为(A) 2833x y = (B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线旳性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 旳关系可知a b 3=，此题应注意C2旳焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=旳距离为2，可知p=8或数形结合，运用直角三角形求解。

函 数【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}②配方法：③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用平均值不等式公式来求值域；⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． （7）求函数解析式的题型有：1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；3）已知函数图像，求函数解析式；4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．1 （4）证明函数单调性的一般方法:①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -，判断正负号②用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥’，)x A ∈（⇔)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数 （5）求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法（6）复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数；②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集（7）一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数④函数)0,0(>>+=b a x bax y 在,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增；在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或，上是单调递减【1.3.2】奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 函数周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴y →y=f(-x);③y=f(x) ax =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x) xy =→直线y=f -1(x);⑤y=f(x) 原点→y= -f(-x)（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a ->，则()m f q = ①若02b x a -≤，则()M f q = ②02bx a ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2bp a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2bq a ->，则()M f q =①若02bx a -≤，则()m f q = ②02bx a ->，则()m f =．>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x>O -=f (p) f (q) ()2b f a -x >O -=f(p)f (q) ()2bf a -x>O -=f(p)f (q) ()2bf a -0x x >O -=f (p) f (q) ()2b f a -0x x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -x <O -=f (p) f(q) ()2bf a -x <O -=f (p) f (q) ()2b f a -0xx <O -=f(p) f (q)()2bf a -x<O-=f(p) f (q)()2bfa -0x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2020高考文科数学各类大题专题汇总一、三角函数二、数列三、立体几何四、概率与统计五、函数与导数六、解析几何七、选做题大题专项练(一)三角函数A组基础通关1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.因为c cos B+(b-2a)cos C=0,所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,所以sin(B+C)=2sin A cos C.又因为A+B+C=π,所以sin A=2sin A cos C.又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,.所以cos C=12又C∈(0,π),所以C=π.3,(2)由(1)知,C=π3所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(12absinC)max=12×4×sinπ3=√3.2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.(1)若∠AMB=60°,求BC;(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ.由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2.在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2√3.(2)因为∠DCM=θ,所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.在Rt△MCD中,MC=1sinθ;在Rt△MAB中,MB=2sin(60°-θ),由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ,所以√3cos θ-sin θ=sin θ,即2sin θ=√3cos θ,整理可得tan θ=√32.3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√32,函数f (x )在y 轴上的截距为√32,与y 轴最近的最高点的坐标是(π12,1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√32,由f (0)=2a-√32=√32,得a=√32,此时,f (x )=√32cos 2x+b 2sin 2x ,由f (x )≤√34+b24=1,得b=1或b=-1,当b=1时,f (x )=sin (2x +π3),经检验(π12,1)为最高点;当b=-1时,f (x )=sin (2x +2π3),经检验(π12,1)不是最高点.故函数的解析式为f (x )=sin (2x +π3).(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π3的图象,所以2φ+π3=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ),因为φ>0,所以φ的最小值为5π6.4.函数f (x )=A sin (ωx +π6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.由已知f (x )最小正周期为2π,所以2πω=2π,解得ω=1. 因为f (x )的最大值为2, 所以A=2,所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (x +π6).(2)因为f (x )=2sin (x +π6)=2sin x cos π6+2cos x sin π6=√3sin x+cos x ,所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√32sin 2x+1+cos2x2=sin (2x +π6)+12.因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3,于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:(1)求f (x )的解析式;(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-12(A 为锐角),求△ABC 的面积.由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π4−(-π4)=π, 所以ω=2ππ=2.注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π2.所以函数的解析式为f (x )=sin (2x +π2)=cos 2x.(2)∵f (A )=cos 2A=-12,且A 为锐角,∴A=π3.在△ABC 中,由正弦定理得,BC sinA =ACsinB ,∴sin B=AC ·sinABC=2×√323=√33,∵BC>AC ,∴B<A=π3,∴cos B=√63,∴sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=√32×√63+12×√33=3√2+√36, ∴S △ABC =12·AC ·BC ·sin C=12×2×3×3√2+√36=3√2+√32. 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,C=π4,b=4,△ABC 的面积为6. (1)求c 的值; (2)求cos(B-C )的值.已知C=π4,b=4,因为S △ABC =12ab sin C ,即6=12×4a ×√22,解得a=3√2,由余弦定理,得c 2=b 2+a 2-2ab cos C=10,解得c=√10.(2)由(1)得cos B=a 2+c 2-b22ac=√55,由于B 是三角形的内角,得sin B=√1-cos 2B =2√55,所以cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=√55×√22+2√55×√22=3√1010. B 组 能力提升7.如图,在凸四边形ABCD 中,C ,D 为定点,CD=√3,A ,B 为动点,满足AB=BC=DA=1.(1)写出cos C 与cos A 的关系式;(2)设△BCD 和△ABD 的面积分别为S 和T ,求S 2+T 2的最大值.在△BCD 中,由余弦定理,得BD 2=BC 2+CD 2-2·BC ·CD cos C=4-2√3cos C ,在△ABD 中,BD 2=2-2cos A ,所以4-2√3cos C=2-2cos A ,即cos A=√3cos C-1.(2)S=12·BC ·CD ·sin C=√3·sinC2,T=12AB ·AD sin A=12sin A ,所以S 2+T 2=34sin 2C+14sin 2A=34(1-cos 2C )+14(1-cos 2A )=-32cos 2C+√32cos C+34=-32(cosC -√36)2+78.由题意易知,C ∈(30°,90°),所以cos C当cos C=√36时,S 2+T 2有最大值78.8.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD 区域种植花木后出售,△BCD 区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a 元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km .(1)若BD=2√7 km,求绿化区域的面积;(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.在△BCD 中,BD=2√7,BC=6,CD=4,由余弦定理,得cos ∠BCD=BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD=62+42-(2√7)22×6×4=12.因为∠BCD ∈(0°,180°),所以∠BCD=60°, 又因为A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以∠BAD=120°.在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD , 将AD=4,BD=2√7代入化简,得AB 2+4AB-12=0, 解得AB=2(AB=-6舍去).所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12×2×4sin 120°+12×4×6sin 60°=8√3(km 2),即绿化空间的面积为8√3 km 2.(2)在△BCD 、△ABD 中分别利用余弦定理得 BD 2=62+42-2×6×4cos θ,①BD 2=AB 2+42-2×4AB cos(π-θ),②联立①②消去BD ,得AB 2+8AB cos θ+48cos θ-36=0, 得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0, 解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<34.S △ABD =12AB ·AD sin(π-θ)=12(6-8cos θ)×4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S △BCD =12BC ·CD sinθ=12×6×4sin θ=12sin θ.因为草皮每平方米售价为a 元,则花木每平方米售价为3a 元,设销售金额为y 百万元. y=f (θ)=3a (12sin θ-16sin θcos θ)+12a sin θ=48a (sin θ-sin θcos θ),f'(θ)=48a (cos θ-cos 2θ+sin 2θ)=48a (-2cos 2θ+cos θ+1)=-48a (2cos θ+1)(cos θ-1),令f'(θ)>0,解得-12<cos θ<1,又cos θ<34,不妨设cos θ0=34,则函数f (θ)在(θ0,2π3)上为增函数;令f'(θ)<0,解得cos θ<-12,则函数f (θ)在(2π3,π)上为减函数, 所以当θ=2π3时,f (θ)max =36√3a.答:(1)绿化区域的面积为8√3 km 2;(2)当θ=2π3时,园林公司的销售金额最大,最大为36√3a 百万元.二、数列A 组 基础通关1.已知等差数列{a n }满足a 3-a 2=3,a 2+a 4=14. (1)求{a n }的通项公式;(2)设S n 是等比数列{b n }的前n 项和,若b 2=a 2,b 4=a 6,求S 7.设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3-a 2=3,a 2+a 4=14. ∴d=3,2a 1+4d=14,解得a 1=1,d=3,∴a n =1+3(n-1)=3n-2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ,b 2=a 2=4=b 1q ,b 4=a 6=16=b 1q 3,联立解得{b 1=2,q =2,或{b 1=-2,q =-2.∴S 7=2×(27-1)2-1=254,或S 7=-2×[1-(-2)7]1-(-2)=-86.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 2=15,S n+1=S n +3a n +6. (1)证明:{a n +3}是等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n .S n+1=S n +3a n +6中,令n=1,得S 2=S 1+3a 1+6,得a 1+a 2=a 1+3a 1+6,即a 1+15=4a 1+6, 解得a 1=3.因为S n+1=S n +3a n +6, 所以a n+1=3a n +6. 所以a n+1+3a n +3=3a n +9a n +3=3. 所以{a n +3}是以6为首项,3为公比的等比数列.(1)得a n +3=6×3n-1=2×3n ,所以a n =2×3n -3.∴S n=2×(3+32+33+…3n )-3n=2×3×(1-3n )1-3-3n=3n+1-3-3n.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =1-a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n ,求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n .因为S n =1-a n (n ∈N *),所以S n-1=1-a n-1(n ∈N *,且n ≥2), 则S n -S n-1=(1-a n )-(1-a n-1)(n ∈N *,且n ≥2). 即a n =12a n-1(n ∈N *,且n ≥2). 因为S n =1-a n (n ∈N *),所以S 1=1-a 1=a 1,即a 1=12.所以{a n }是以12为首项,12为公比的等比数列.故a n =(12)n(n ∈N *).(2)b n =log 2a n ,所以b n =log 2(12)n=-n.所以1b n b n+1=1n (n+1)=1n −1n+1,故T n =(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=1-1n+1=nn+1. 4.设等差数列{a n }的公差为d ,d 为整数,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知a 1=b 1,b 2=2,d=q ,S 10=100,n ∈N *. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2)设c n =an b n,求数列{c n }的前n 项和T n .由题意可得{10a 1+45d =100,a 1d =2,解得{a 1=9,d =29(舍去)或{a 1=1,d =2, 所以a n =2n-1,b n =2n-1. (2)∵c n =a n b n,c n =2n -12n -1,∴T n =1+32+522+723+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n, ②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2−2n -12n =3-2n+32n ,故T n =6-2n+32n -1.5.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n +1=2a n 2+a n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知对于n ∈N *,不等式1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n <M 恒成立,求实数M 的最小值.n=1时,2a 1+1=2a 12+a 1,又a n >0,所以a 1=1,当n ≥2时,2S n +1=2a n 2+a n (n ∈N *),2S n-1+1=2a n -12+a n-1(n ∈N *),作差整理,得a n +a n-1=2(a n +a n-1)(a n -a n-1),因为a n >0,故a n +a n-1>0,所以a n -a n-1=12,故数列{a n }为等差数列,所以a n =n+12.(2)由(1)知S n =n (n+3)4, 所以1S n=4n (n+3)=43(1n -1n+3),从而1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n=43(1-14)+(12-15)+(13-16)+…+(1n -2-1n+1)+(1n -1-1n+2)+(1n -1n+3)=431+12+13−1n+1−1n+2−1n+3=43116−1n+1−1n+2−1n+3<229.所以M ≥229,故M 的最小值为229.6.已知数列{a n }是公比为q 的正项等比数列,{b n }是公差d 为负数的等差数列,满足1a 2−1a 3=da 1,b 1+b 2+b 3=21,b 1b 2b 3=315. (1)求数列{a n }的公比q 与数列{b n }的通项公式; (2)求数列{|b n |}的前10项和S 10.由已知,b 1+b 2+b 3=3b 2=21,得b 2=7,又b 1b 2b 3=(b 2-d )·b 2·(b 2+d )=(7-d )·7·(7+d )=343-7d 2=315, 得d=-2或2(舍),b 1=7+2=9,b n =-2n+11. 于是1a 2−1a 3=-2a 1,又{a n }是公比为q 的等比数列,故1a 1q −1a 1q 2=-2a 1, 所以,2q 2+q-1=0,q=-1(舍)或12.综上,q=12,d=-2,b n =11-2n.(2)设{b n }的前n 项和为T n ;令b n ≥0,11-2n ≥0,得n ≤5,于是,S 5=T 5=5(b 1+b 5)2=25. 易知,n>6时,b n <0,|b 6|+|b 7|+…+|b 10|=-b 6-b 7-…-b 10=-(b 6+b 7+…+b 10)=-(T 10-T 5)=-(0-25)=25,所以,S 10=50.B 组 能力提升7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N *)在函数f (x )=12x 2+12x 的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{1a n a n+2}的前n 项和为T n ,不等式T n >13log a (1-a )对任意正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.∵点(n ,S n )在函数f (x )=12x 2+12x 的图象上,∴S n =12n 2+12n.①当n ≥2时,S n-1=12(n-1)2+12(n-1),②①-②,得a n =n.当n=1时,a 1=S 1=1,符合上式.∴a n =n (n ∈N *).(2)由(1),得1a n a n+2=1n (n+2)=12(1n -1n+2),∴T n =1a1a 3+1a 2a 4+…+1a n a n+2=121-13+12−14+…+1n −1n+2=34−121n+1+1n+2.∵T n+1-T n =1(n+1)(n+3)>0, ∴数列{T n }单调递增, ∴{T n }中的最小项为T 1=13.要使不等式T n >13log a (1-a )对任意正整数n 恒成立,只要13>13log a (1-a ),即log a (1-a )<log a a.解得0<a<12,即实数a 的取值范围为(0,12).8.设{a n }是各项均不相等的数列,S n 为它的前n 项和,满足λna n+1=S n +1(n ∈N *,λ∈R ). (1)若a 1=1,且a 1,a 2,a 3成等差数列,求λ的值;(2)若{a n }的各项均不为零,问当且仅当λ为何值时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列?试说明理由.令n=1,2,得{λa 2=a 1+1=2,2λa 3=S 2+1=a 1+a 2+1,又由a 1,a 2,a 3成等差数列, 所以2a 2=a 1+a 3=1+a 3,解得λ=3±√52. (2)当且仅当λ=12时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列, 证明如下:由已知λna n+1=S n +1,当n ≥2时,λ(n-1)a n =S n-1+1, 两式相减得λna n+1-λna n +λa n =a n , 即λn (a n+1-a n )=(1-λ)a n ,由于{a n }的各项均不相等, 所以λn1-λ=a nan+1-a n(n ≥2), 当n ≥3时,有λ(n -1)1-λ=an -1a n -a n -1, 两式相减可得λ1-λ=a n a n+1-a n −an -1a n -a n -1,①当λ=12,得a n an+1-a n=a n -1a n -a n -1+1=an a n -a n -1, 由于a n ≠0,所以a n+1-a n =a n -a n-1, 即2a n =a n+1+a n-1(n ≥3), 故a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列.②再证当a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列时,λ=12,因为a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列, 所以a n+1-a n =a n -a n-1(n ≥3),可得a n an+1-a n−a n -1a n -a n -1=a n a n -a n -1−a n -1a n -a n -1=1=λ1-λ, 所以λ=12,所以当且仅当λ=12时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列.三、立体几何A 组 基础通关1.如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BC=CC 1,平面A 1BC 1⊥平面BCC 1B 1. 证明:(1)AC ∥平面A 1BC 1; (2)平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.几何体为三棱柱⇒四边形ACC 1A 1为平行四边形⇒AC ∥A 1C 1,又A 1C 1⊂平面A 1BC 1,AC ⊄平面A 1BC 1,∴AC ∥平面A 1BC 1.(2)∵BC=CC 1且四边形BCC 1B 1为平行四边形,∴四边形BCC 1B 1为菱形,∴B 1C ⊥BC 1.又平面A 1BC 1⊥平面BCC 1B 1,平面A 1BC 1∩平面BCC 1B 1=BC 1,∴B 1C ⊥平面A 1BC 1. 又B 1C ⊂平面AB 1C ,∴平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.2.如图,圆锥SO 中,AB ,CD 为底面圆的两条直径,AB ∩CD=O ,且AB ⊥CD ,SO=OB=2,P 为SB 的中点. (1)求证:SA ∥平面PCD ; (2)求圆锥SO 的表面积和体积.PO ,∵P 、O 分别为SB 、AB 的中点,∴PO ∥SA ,由于PO ⊂平面PCD ,SA ∉平面PCD , ∴SA ∥平面PCD ;SO=2,OB=2,SO 为圆锥的高,OB 为圆锥底面圆的半径,∴V=13πr 2h=13π×22×2=8π3,由于SO 为圆锥的高,则母线SB=√SO 2+OB 2=2√2,∴S 侧面=12l ·SB=12×2×π×2×2√2=4√2π,S 底面=πr 2=π×22=4π,故S=S 底面+S 侧面=(4+4√2)π.3.等边三角形ABC 的边长为3,点D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且满足AD DB=CE EA=12,如图甲,将△ADE沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使平面A 1DE ⊥平面BCED ,连接A 1B ,A 1C ,如图乙,点M 为A 1D 的中点.(1)求证:EM ∥平面A 1BC ; (2)求四棱锥A 1-BCED 的体积.取BD 的中点N ,连接NE ,则NE ∥BC ,在四棱锥A 1-BCED 中,NE 与BC 的平行关系不变.连接MN ,在△DA 1B 中,MN ∥A 1B ,又NM ∩NE=N ,BA 1∩BC=B ,∴平面MNE ∥平面A 1BC , 又EM ⊂平面MNE ,∴EM ∥平面A 1BC.(2)∵等边三角形ABC 的边长为3,且ADDB =CEEA =12,∴AD=1,AE=2.在△ADE 中,∠DAE=60°, 由余弦定理得DE=√12+22-2×1×2×cos60°=√3, 从而AD 2+DE 2=AE 2,∴AD ⊥DE.折起后有A 1D ⊥DE ,∵平面A 1DE ⊥平面BCED , 平面A 1DE ∩平面BCED=DE ,A 1D ⊂平面A 1DE ,∴A 1D ⊥平面BCED.∴四棱锥A 1-BCED 的体积V=13S 四边形BCED ·A 1D ,连接BE,则S四边形BCED=12CB·CE sin∠BCE+12BD·DE=12×1×3×sin 60°+12×2×√3=7√34,∴V=13×7√34×1=7√312.4.如图所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求四面体B-DEF的体积.AC与BD交于点G,则G为AC的中点,如图所示,连接EG,GH.∵H为BC的中点,∴GH∥AB.∵EF∥AB,∴EF∥GH.又∵EF=GH=12AB,∴四边形EFHG为平行四边形,∴EG∥FH.∵EG⊂平面EDB,FH⊄平面EDB,∴FH∥平面EDB.四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.∵EF∥AB,∴EF⊥BC.又∵EF⊥FB,BC∩FB=B,∴EF⊥平面BFC,又FH⊂平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.∵BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC.∵FH∥EG,∴AC⊥EG.∵AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB,BF⊥FC,EF∩FC=F,∴BF⊥平面CDEF,∴BF即为四面体B-DEF的高.由(2)知,EF⊥平面BFC,∴EF⊥FC.又∵EF∥AB∥CD,∴FC为△DEF中EF边上的高.∵BC=AB=2,∴BF=FC=√2,∴V四面体B-DEF=13×12×1×√2×√2=13.5.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,AD⊥CD.(1)证明:AB⊥平面ADE;(2)连接BD,BE,若二面角E-CD-A的大小为120°,AD=2AB=2DE=2,求三棱锥E-ABD的体积.CD⊥AD,CD⊥DE,AD∩DE=D,所以CD⊥平面ADE,因为四边形CDFE为矩形,所以EF∥CD.又EF⊄平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为EF∥平面ABCD,EF⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面ABCD=AB,所以EF∥AB,又EF∥CD,所以CD∥AB,又CD ⊥平面ADE ,所以AB ⊥平面ADE.CD ⊥AD ,CD ⊥DE ,所以∠ADE 即为二面角A-CD-E 的平面角,所以∠ADE=120°.S △ADE =12DA ·DE ·sin ∠ADE=12×2×1×√32=√32.于是V 三棱锥E-ABD =V 三棱锥B-ADE =13S △ADE ·AB=13×√32×1=√36. 6.如图,在四棱锥E-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB=√2,BC=2,截面EBD 是等边三角形,M ,N 分别是AD ,CE 的中点.(1)求证:MN ∥平面EAB ;(2)若EC=EA ,AB ⊥DE ,求三棱锥E-BMN 的体积.,取EB 的中点F ,连接AF ,NF ,在△ECB 中,易得NF 12BC ,又在平行四边形ABCD 中,AM 12BC ,∴NF AM ,∴四边形AMNF 是平行四边形,∵MN ∥AF ,AF ⊂平面EAB ,MN ⊄平面EAB , ∴MN ∥平面EAB.,连接AC 交BD 于点O ,连接EO ,在等腰△EAC 中,EA=EC ,∴EO ⊥AC , 又在等边△EBD 中,EO ⊥BD ,∴EO ⊥平面ABCD.∴EO ⊥AB.又AB ⊥DE ,EO ∩DE=E , ∴AB ⊥平面BDE ,∴AB ⊥BD.∴V E-BMN =V N-EBM =12V C-EBM =12V E-BCM =16S △BCM ·EO ,又S △BCM =S △ABC =12AB ·BD=12·√2·√2=1,EO=√2·√32=√62,∴V E-BMN =16×1×√62=√612.B 组 能力提升7.如图,四棱锥A-BCDE 中,CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD ,AB ⊥BC ,M 为AD 上一点,EM ⊥平面ACD.(1)求证:EM ∥平面ABC ;(2)若CD=2BE=2,求点D 到平面EMC 的距离.AC 的中点F ,连接BF ,因为AB=BC ,所以BF ⊥AC ,又因为CD ⊥平面ABC ,所以CD ⊥BF ,又CD ∩AC=C ,所以BF ⊥平面ACD , 因为EM ⊥平面ACD ,所以EM ∥BF ,EM ⊄平面ABC ,BF ⊂平面ABC , 所以EM ∥平面ABC ;EM ⊥平面ACD ,EM ⊂平面EMC ,所以平面CME ⊥平面ACD ,平面CME ∩平面ACD=CM ,过点D 作直线DG ⊥CM ,则DG ⊥平面CME. 由已知CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD=2BE ,可得AE=DE , 又EM ⊥AD ,所以M 为AD 的中点. 在Rt △ABC 中,AC=√2BC=2√2,在Rt △ADC 中,AD=√CD 2+AC 2=2√3,S △CDM =12S △ACD =12×12×2×2√2=√2,在△DCM 中,CM=12AD=√3,由等面积法知12×CM×DG=√2,所以DG=2√63,即点D 到平面EMC 的距离为2√63.8.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D ,E 分别为AB 和BB'上的点,且ADDB =BEEB '=λ.(1)求证:当λ=1时,A'B ⊥CE ;(2)当λ为何值时,三棱锥A'-CDE 的体积最小,并求出最小体积.λ=1,∴D ,E 分别为AB 和BB'的中点,又AB=AA',且三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平行四边形ABB'A'为正方形,∴DE ⊥A'B.∵AC=BC ,D 为AB 的中点,∴CD ⊥AB. ∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱, ∴CD ⊥平面ABB'A',又A'B ⊂平面ABB'A', ∴CD ⊥A'B ,又CD ∩DE=D ,∴A'B ⊥平面CDE ,∵CE ⊂平面CDE , ∴A'B ⊥CE.BE=x ,则AD=x ,DB=6-x ,B'E=6-x ,由已知可得C 到平面A'DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对的高,h=√AC 2-(AB2)2=4,∴V A'-CDE =V C-A'DE =13(S 四边形ABB'A'-S △AA'D -S ΔDBE -S △A'B'E )·h=1336-3x-12(6-x )x-3(6-x )·h=23(x 2-6x+36)=23[(x-3)2+27](0<x<6),∴当x=3,即λ=1时,V A'-CDE 有最小值18.四、概率与统计A 组 基础通关1.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人,高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访. (1)求应从各年级分别抽取的人数;(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为A i ,高二学生记为B i ,高三学生记为C i ,i=1,2,3…).①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2人均为高三年级学生的概率.高一:66+12+24×7=1;高二:126+12+24×7=2;高三:246+12+24×7=4;所以抽取高一学生1人,高二学生2人,高三学生4人.(2)由(1)知高一1人记为A 1,高二2人记为B 1、B 2,高三4人记为C 1、C 2、C 3、C 4,①从中抽取两人,所有可能的结果为:A 1B 1、A 1B 2、A 1C 1、A 1C 2、A 1C 3、A 1C 4、B 1B 2、B 1C 1、B 1C 2、B 1C 3、B 1C 4、B 2C 1、B 2C 2、B 2C 3、B 2C 4、C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共21种.②由①知,共有21种情况,抽取的2人均为高三年级学生有C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共6种,所以抽取的2人均为高三年级学生的概率P=621=27.2.某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛,成绩为1至10分,随机调阅了A ,B 两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:A 校样本数据条形图B 校样本数据统计表(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较;(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人,若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.从A校样本数据的条形图可知,成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为x A=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3=6,60A校样本数据的方差为s A2=1×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5.60从B校样本数据统计表可知,B校样本数据的均值为x B=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3=6,60B校样本数据的方差为s B2=1×[9×(4-6)2+12×(5-6)2+21×(6-6)2+9×(7-6)2+6×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.8.60因为x A=x B,所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又s A2<s B2,所以A校学生的计算机成绩比较集中,总体得分情况比B校好.×12=4,分别设为a,b,c,d;(2)依题意,从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e;从成绩为9分的学生中应抽取的人数为从成绩为8分的学生中应抽取的人数为612+3+36×3=1,设为f.12+3+3所有基本事件有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个,其中满足条件的基本事件有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个,所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和大于或等于15分的概率P=915=35.3.某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间x (分钟)与乘客等候人数y (人)之间的关系,经过调查得到如下数据:调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y ^,再求y ^与实际等候人数y 的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”.(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间之差大于1的概率;(2)若选取的是后面4组数据,求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x+a ^,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过35人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数)参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx2,a ^=y −b ^x .设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据不相邻”为事件A ,记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种,其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种,所以P (A )=1-515=23.(2)后面4组数据是:因为x =12+13+14+154=13.5,y =26+29+28+314=28.5, ∑i=14x i y i =1 546,∑i=14x i 2=734,所以b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx 2=1 546-4×13.5×28.5734-4×13.52=1.4,a ^=y −b ^x =28.5-1.4×13.5=9.6,所以y ^=1.4x+9.6.当x=10时,y ^=1.4×10+9.6=23.6,23.6-23=0.6<1;当x=11时,y ^=1.4×11+9.6=25,25-25=0<1, 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.(3)由1.4x+9.6≤35,得x ≤1817, 故间隔时间最多可设置为18分钟.4.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造,下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果:已知从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?(2)从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业,然后从这8家企业选出2家进行奖励,分别奖励中型企业20万元,小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)由从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.可知:支持技术改造的企业共有320家,故列联表为所以K2的观测值k=560(80×200-40×240)2120×440×320×240≈5.657>5.024故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.(2)由(1)可知支持技术改造的企业中,中小企业比为1∶3.所以按分层抽样的方法抽出的8家企业中有2家中型企业,分别用x、y表示,6家小型企业,分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共15种.所以奖励总金额为20万元的概率为1528.5.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班,每班50人,某教师采用A、B两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图所示,记成绩不低于90分为“成绩优秀”.(1)在乙班的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2人,求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).设抽出的两人均为“成绩优秀”为事件A,从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97, 99),(99,99),共15个.事件A包含的基本事件有10个,∴P(A)=1015=23.(2)列表∴K2的观测值k=40×(1×15-5×19)26×34×20×20≈3.137>2.706,∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.6.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30(人),女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45(人).(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含男生人数为30×115=2(人),女生人数为45×115=3(人).设两名男生为A 1,A 2,三名女生为B 1,B 2,B 3. 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},共10个,每个样本被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件C :“选取的2人中至少有一名男生”,则事件C 包含的基本事件有:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},共7个.所以P (C )=710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.B组能力提升7.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如图1的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人数,并估计这100名学生视力的中位数(精确到0.1);(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查,得到如表1中数据,根据表1及临界值表2中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?图1表1附:临界值表2(参考公式:K2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d )设各组的频率为f i (i=1,2,3,4,5,6),由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人, 因为后四组的频数成等差数列, 所以后四组频数依次为27,24,21,18, 则后四组频率依次为0.27,0.24,0.21,0.18,视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82(人),故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×82100=820(人). 设100名学生视力的中位数为x ,则有(0.15+0.35+1.35)×0.2+(x-4.6)×(0.24÷0.2)=0.5, x ≈4.7.(2)K 2的观测值k=100(42×16-34×8)250×50×76×24=20057≈3.509<3.841.因此不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.8.十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫,我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植脐橙,并利用互联网电商进行销售,为了更好销售,现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重,其质量分布在区间[200,500](单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案:A.所有脐橙均以7元/千克收购;B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案.由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2.∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在[350,400)的脐橙为A1,A2,A3,质量在[400,450)的脐橙为B1,B2,则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种:A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,B1B2,.其中质量至少有一个不小于400克的7种情况,故所求概率为710(2)方案B好,理由如下:由频率分布直方图可知,脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05,同理,质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购:∵脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100 000=45 000(个),脐橙质量不低于350克的个数为55 000个,∴收益为45 000×2+55 000×3=255 000(元).若按方案A收购:根据题意各段脐橙个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000.于是总收益为(225×5 000+275×16 000+325×24 000+375×30 000+425×20 000+475×5000)×7÷1 000=248 150(元),∴方案B的收益比方案A的收益高,应该选择方案B.五、函数与导数A 组 基础通关1.(2019安徽定远中学高三质检)已知函数f (x )=(x 2-2x+2)e x -12ax 2(a ∈R ).(1)当a=e 时,求函数f (x )的单调区间; (2)证明:当a ≤-2时,f (x )≥2.a=e 时,f (x )=(x 2-2x+2)e x -12e x 2,所以f'(x )=x 2e x -e x=x (x e x -e),讨论:①当x<0时,x e x -e <0,有f'(x )>0;②当0<x<1时,由函数y=x e x 为增函数,有x e x -e <0,有f'(x )<0; ③当x>1时,由函数y=x e x 为增函数,有x e x -e >0,有f'(x )>0.综上,函数f (x )的增区间为(-∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1).a ≤-2时,有-12a ≥1,所以-12ax 2≥x 2,所以f (x )≥(x 2-2x+2)e x +x 2.令g (x )=(x 2-2x+2)e x +x 2,则g'(x )=x 2e x +2x=x (x e x +2). 令h (x )=x e x +2,有h'(x )=(x+1)e x . 令h'(x )=0,得x=-1.分析知,函数h (x )的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-1).所以h (x )min =h (-1)=2-1e >0.所以分析知,函数g (x )的增区间为(0,+∞),减区间为(-∞,0), 所以g (x )min =g (0)=(02-2×0+2)×e 0+02=2, 故当a ≤-2时,f (x )≥2.2.在某次水下科研考查活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间),每单位时间的用氧量为v103+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为v2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式;(2)若c ≤v ≤15(c>0),求当下潜速度v 取什么值时,总用氧量最少.由题意,得下潜用时60v (单位时间),用氧量为v 103+1×60v=3v 250+60v(升); 水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升); 返回水面用时60v 2=120v (单位时间),用氧量为120v ×1.5=180v (升),∴总用氧量y=3v 250+240v +9(v>0).(2)y'=3v 25−240v 2=3(v 3-2 000)25v 2, 令y'=0,得v=10√23,当0<v<10√23时,y'<0,函数单调递减, 当v>10√23时,y'>0,函数单调递增,∴当0<c<10√23时,函数在(c ,10√23)上单调递减,在(10√23,15)上单调递增,∴当v=10√23时总用氧量最少,当c ≥10√23时,y 在[c ,15]上单调递增,∴当v=c 时总用氧量最少.综上,若0<c<10√23,则当v=10√23时总用氧量最少;若c ≥10√23, 则当v=c 时总用氧量最少. 3.(2019安徽淮北模拟)已知函数f (x )=ax -1+ln x. (1)若函数f (x )在(e,+∞)内有极值,求实数a 的取值范围;(2)在(1)的条件下,对任意t ∈(1,+∞),s ∈(0,1),求证:f (t )-f (s )>e +2-1e.(0,1)∪(1,+∞),f'(x )=1x −a (x -1)2=x 2-(a+2)x+1x (x -1)2,设h (x )=x 2-(a+2)x+1, 要使y=f (x )在(e,+∞)上有极值,则x 2-(a+2)x+1=0有两个不同的实根x 1,x 2,∴Δ=(a+2)2-4>0,∴a>0或a<-4,①且至少有一根在区间(e,+∞)上,又∵x 1·x 2=1,∴只有一根在区间(e,+∞)上,不妨设x 2>e, ∴0<x 1<1e <e <x 2,又h (0)=1,∴只需h1e<0,即1e 2-(a+2)1e +1<0,∴a>e +1e -2,②联立①②可得a>e +1e -2.即实数a 的取值范围是e +1e -2,+∞.(1)知,当x ∈(1,x 2)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x ∈(x 2,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,∴f (x )在(1,+∞)上有最小值f (x 2),即∀t ∈(1,+∞),都有f (t )≥f (x 2), 又当x ∈(0,x 1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,∴f (x )在(0,1)上有最大值f (x 1),即对∀s ∈(0,1),都有f (s )≤f (x 1), 又∵x 1+x 2=2+a ,x 1x 2=1,x 1∈0,1e ,x 2∈(e,+∞),∴f (t )-f (s )≥f (x 2)-f (x 1)=ln x 2+ax 2-1-ln x 1-ax 1-1=ln x 2x 1+a x 2-1−ax 1-1 =ln x 22+x 2-1x 2(x 2>e),设k (x )=ln x 2+x-1x =2ln x+x-1x (x>e),则k'(x )=2x+1+1x 2>0(x>e),∴k (x )在(e,+∞)上单调递增, ∴k (x )>k (e)=2+e -1e ,∴f (t )-f (s )>e +2-1e .4.(2019河南商丘模拟)已知函数f (x )=(2x+1)ln(2x+1)-a (2x+1)2-x (a>0).(1)如图,设直线x=-12,y=-x 将坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域(不含边界),若函数y=f (x )的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围;(2)当a>12时,求证:∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,有f (x 1)+f (x 2)<2fx 1+x 22.(1)解函数f (x )的定义域为-12,+∞,且当x=0时,f (0)=-a<0. 又∵直线y=-x 恰好通过原点,∴函数y=f (x )的图象应位于区域Ⅳ内,于是可得f (x )<-x ,即(2x+1)ln(2x+1)-a (2x+1)2-x<-x.∵2x+1>0,∴a>ln (2x+1)2x+1.令h (x )=ln (2x+1)2x+1x>-12,则h'(x )=2-2ln (2x+1)(2x+1)2x>-12.∴当x ∈-12,e -12时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈e -12,+∞时,h'(x )<0,h (x )单调递减.∴h (x )max =he -12=1e,∴a 的取值范围是1e,+∞.f'(x )=2ln(2x+1)-4a (2x+1)+1,设u (x )=2ln(2x+1)-4a (2x+1)+1,则u'(x )=42x+1-8a x>-12,∵当x>0时,42x+1<4,当a>12时,8a>4,∴u'(x )=42x+1-8a<0, ∴当x>0时,f'(x )为减函数,不妨设x 2>x 1>0,令g (x )=f (x )+f (x 1)-2f x+x 12(x>x 1),可得g (x 1)=0,g'(x )=f'(x )-f'x+x 12,∵x>x+x 12且f'(x )是(0,+∞)上的减函数,∴g'(x )<0,∴当x>x 1时,g (x )为减函数, ∴g (x 2)<g (x 1)=0,即f (x 1)+f (x 2)<2f x 1+x 22.5.已知函数f (x )=ln x+ax ,g (x )=e -x +bx ,a ,b ∈R ,e 为自然对数的底数. (1)若函数y=g (x )在R 上存在零点,求实数b 的取值范围;(2)若函数y=f (x )在x=1e处的切线方程为e x+y-2+b=0.求证:对任意的x ∈(0,+∞),总有f (x )>g (x ).g'(x )=-e -x +b=b-1e x .若b=0,则g (x )=1e x ∈(0,+∞),不合题意;若b<0,则g (0)=1>0,g -1b =e 1b -1<0,满足题意, 若b>0,令g'(x )=-e -x +b=0,得x=-ln b.∴g (x )在(-∞,-ln b )上单调递减;在(-ln b ,+∞)上单调递增,则g (x )min =g (-ln b )=e ln b -b ln b=b-b ln b ≤0,∴b ≥e .综上所述,实数b 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞).f'(x )=1x −ax 2,则由题意,得f'1e =e -a e 2=-e,解得a=2e .∴f (x )=ln x+2ex ,从而f1e=1,。

四川省2024年高考文科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A．{}1,2,3,4B．{}3,2,1 C.{}4,3D．{}9,2,12．设z =，则z z ⋅=（）A．i-B．1C.1-D．23．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，则5z x y =-的最小值为（）A．5B．12C．2-D．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A．2-B．73C．1D．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．236．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()10,4F 、()20,4F -，且经过点()6,4P -，则双曲线C 的离心率是（）A．4B．3C．2D．27．曲线()136-+=x x x f 在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．61B．2C．12D．23-8．函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[]8.2,8.2-的大致图像为（）9．已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．132+B．1-C．23D．31-10.已知直线02=-++a y ax 与圆01422=-++y y x C ：交于B A ,两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.611．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m =βα .下列四个命题：①若m n ∥，则n α∥或n β∥；②若m n ⊥，则n α⊥，β⊥n ；③若n α∥且n β∥，则m n ∥；④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，其中所有真命题的编号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①③④12．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A．13B．13C．2D．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()sin f x x x =-在[]0,π上的最大值是______．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ，下底面半径均为2r ，圆台的母线长分别为()122r r -，()123r r -，则圆台甲与乙的体积之比为．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =______．16．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的前n 项和．18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：（1）填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p .设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果()np p p p -+>165.1，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（247.12150≈）19．（12分）如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，4,=AD AD EF AD BC ，∥∥，2===EF BC AB ，且10=ED ，32=FB ，M 为AD 的中点．（1）证明：∥BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离．20．（12分）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且MF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,4P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与直线MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+．（1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若2AB =，求a 的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）实数a ，b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题1.A 解析：由题意可得{}843210，，，，，=B ，∴{}4,3,2,1=B A .2.D解析：∵i z 2=，∴i z 2-=，∴222=-=⋅i z z .3.D 解析：实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，作出可行域如图：由y x z 5-=可得z x y 5151-=，即z 的几何意义为z x y 5151-=的截距的51-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线z x y 5151-=过点A，联立⎩⎨⎧=-+=--09620334y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==123y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23A ，则271523min -=⨯-=z .4.D解析：法一：利用等差数列的基本量由19=S ，根据等差数列的求和公式1289919=⨯+=d a S ，整理得13691=+d a ，又()92369928262111173=+=+=+++=+d a d a d a d a a a .法二：特殊值法不妨取等差数列公差0=d ，则有1991a S ==，∴911=a ，故有922173==+a a a .5.B解析：当甲排在排尾，乙排在第一位，丙有2种排法，丁有1种排法，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁有1种排法，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理，乙排在排尾共4种排法，于是共8种排法，基本事件总数显然是2444=A ,根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为31248=.6.C解析：由题意，()4,01F ，()402-，F ，()4,6-P，则()()6446,10446,8222222121=-+==++===PF PF c F F ，则4610221=-=-=PF PF a ,24822===a c e .7.A解析：()365+='x x f ，则()30='f ，∴该切线方程为x y 31=-，即13+=x y ，令0=x ，则1=y ，令0=y ，则31-=x ，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积6131121=-⨯⨯=S .8.B解析：()()()()()x f x e e x x e ex x f x x x x=-+-=--+-=---sin sin 22，又函数定义域为[]8.2,8.2-，故函数为偶函数，可排除A,C，又()021*******sin 111sin 111>->--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=e e e e e e e f π，故排除D.9.B 解析：∵cos cos sin ααα=-，∴3tan 11=-α，解得331tan -=α，∴132tan 11tan 4tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπα.10.C 解析：由题意可得圆的标准方程为：()5222=++y x ，∴圆心()20-，C ,半径为5，直线02=-++a y ax 可化为()()021=++-y x a ，∴直线过定点()21-，D ,当AB CD ⊥时，AB 最小，易得1=CD ，故()415222=-⨯=AB .11.A 解析：对①，当α⊂n ，∵n m ∥，β⊂n ，则β∥n ，当β⊂n ，∵n m ∥，α⊂m ，则α∥n ，当n 既不在α也不在β内，∵n m ∥，βα⊂⊂m m ,，则α∥n 且β∥n ，故①正确；对②，若n m ⊥，则n 与βα，不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与βα，分别相交于直线s 和直线t ，∵α∥n ，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知s n ∥，同理可得t n ∥，则t s ∥，∵⊄s 平面β，⊂t 平面β，则∥s 平面β，∵⊂s 平面α，m =βα ，则m s ∥，又∵s n ∥，则n m ∥，故③正确；对④，若m =βα ，n 与βα，所成的角相等，如果βα∥，∥n n ，则n m ∥，故④错误；综上，①③正确.12.C 解析：∵3π=B ，294b ac =，则由正弦定理得31sin 94sin sin 2==B C A .由余弦定理可得：ac ac c a b 49222=-+=，即ac c a 41322=+，根据正弦定理得1213sin sin 413sin sin 22==+C A C A ，∴()47sin sin 2sin sin sin sin 222=++=+C A C A C A ，∵A,C 为三角形内角，则0sin sin >+C A ，则27sin sin =+C A .二、填空题13.2解析：()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=3sin 2cos 23sin 212cos 3sin πx x x x x x f ，当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,33πππx ，当23ππ=-x 时，即65π=x 时()2max =x f .14.46解析：由题可得两个圆台的高分别为：()[]()()1221221232r r r r r r h -=---=甲，()[]())12212212223r r r r r r h -=---=乙∴()()()()462233131121212121212=--==++++=r r r r h h h S S S S h S S S S V V 乙甲乙甲乙甲.15.64解析：由25log 21log 34log 1log 1228-=-=-a a a a ，整理得()06log 5log 222=--a a ，可得1log 2-=a 或6log 2=a ，又1>a ，∴6log 2=a ，∴6426==a .16.()1,2-解析：令()a x x x +--=-2313，即1523+-+=x x x a ，令()()01523>+-+=x x x x x g ，则()()()1535232-+=-+='x x x x x g ，令()()00>='x x g 得1=x ，当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()x g 单调递减；当()+∞∈,1x 时，()0>'x g ，()x g 单调递增，()()21,10-==g g ，∵曲线x x y 33-=与()a x y +--=21在()∞+，0上有两个不同的交点，∴等价于a y =与()x g 有两个交点，∴()1,2-∈a .三、解答题17.解：（1）∵3321-=+n n a S ，∴33221-=++n n a S ，两式相减可得121332+++-=n n n a a a ，即1253++=n n a a ，∴等比数列{}n a 的公比35=q ，当1=n 时有35332121-=-=a a S ，∴11=a ，∴135-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a .（2）由等比数列求和公式得2335233513511-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=nn n S ，∴数列{}n S 的前n 项和nS S S S T nn n 23353535352332321-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=++++= 4152335415233513513523--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=n n n n.18.解：（1）根据题意可得列联表：可得()6875.416755496100507024302615022==⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，∵635.66875.4841.3<<，∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为64.015096=，用频率估计概率可得64.0=p ，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p ，则()()568.0247.125.065.15.01505.015.065.15.0165.1≈⨯+≈-⨯⨯+=-+n p p p ，可知()np p p p -+>165.1，∴可以认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.19.解：（1）∵AD BC ∥，2=EF ，4=AD ，M 为AD 的中点，∴MD BC MD BC =，∥，则四边形BCDM 为平行四边形，∴CD BM ∥，又∵⊄BM 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，∴∥BM 平面CDE .（2）如图所示，作AD BO ⊥交AD 于点O ，连接OF .∵四边形ABCD 为等腰梯形，4,=AD AD BC ∥，2==BC AB ，∴2=CD ，结合（1）可知四边形BCDM 为平行四边形，可得2==CD BM ，又2=AM ，∴ABM ∆为等边三角形，O 为AM 的中点，∴3=OB .又∵四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，∴MD EF MD EF ∥,=，四边形EFMD 为平行四边形，AF ED FM ==，∴AFM ∆为等腰三角形，ABM ∆与AFM ∆底边上中点O 重合，3,22=-=⊥AO AF OF AM OF ，∵222BF OFOB =+，∴OF OB ⊥，∴OF OD OB ,,互相垂直，由等体积法可得ABM F ABF M V V --=，233243213121312=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆-FO S V ABM ABM F ,由余弦定理，()()10212102322102cos 222222=⋅⋅-+=⋅-+=∠ABF A FB AB F A F AB ，∴10239cos 1sin 2=∠-=∠F AB F AB .则2391023921021sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅=∆F AB AB F A S F AB ，设点M 到面ABF 的距离为d ，则有232393131=⋅⋅=⋅⋅==∆--d d S V V F AB ABM F ABF M ，解得13133=d ，即点M 到面ABF 的距离为13133.20.解：（1）由题意可得()x f 定义域为()∞+，0，()xax x a x f 11-=-='，当0≤a 时，()0<'x f ，故()x f 在()∞+，0上单调递减；当0>a 时，令()0='x f ，解得ax 1=，当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1a x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 1,0时，()0<'x f ，()x f 单调递减；综上所述：当0≤a 时，()x f 在()∞+，0上单调递减；当0>a 时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0上单调递减.（2）当2≤a 且1>x 时，()()x x e x x a e x f ex x x ln 121ln 1111+++≥-+--=----，令()()1ln 121>++-=-x x x ex g x ，则()()1121>+-='-x xe x g x ，令()()x g x h '=，则()()1121>-='-x xex h x ，显然()x h '在()∞+，1上单调递增，则()()0110=-='>'e h x h ，因()()x h x g ='，则()x g '在()∞+，1上单调递增，故()()01210=+-='>'e g x g ，即()x g 在()∞+，1上单调递增，故()()01ln 1210=++-=>e g x g ，即()()()01ln 111>≥-+--=---x g x x a e x f ex x ，∴当1>x 时，()1-<x ex f 恒成立.21.解：（1）设()0,c F ，由题设有1=c ，且232=a b ，故2312=-a a ，解得2=a ，故3=b ，故椭圆方程为：13422=+y x .（2）由题意知，直线AB 额斜率一定存在，设为k ，设()()()2211,,,,4:y x B y x A x k y AB -=，由()⎪⎩⎪⎨⎧-==+413422x k y y x 可得()0126432432222=-+-+k x k x k ，∵()()012644341024224>-+-=∆kkk ，∴2121<<-k ，由韦达定理可得22212221431264,4332kk x x k k x x +-=+=+，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N ，∴直线⎪⎭⎫ ⎝⎛--=252522x x y y BN ：，故52325232222--=--=x y x y y Q，∴()()()()524352452352523222122212211--+-⋅-=-+-=-+=-x x k x x k x y x y x y y y y Q()0528433254312642528522222222121=-++⨯-+-⨯=-++-=x k k k k k x x x x x k 故Q y y =1，即AQ y ⊥轴．22.解：（1）由1cos +=θρρ，将⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy x θρρcos 22代入1cos +=θρρ，可得122+=+x y x ，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为122+=x y .（2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为a x y +=.法一：直线l 的斜率为1，故倾斜角为4π，故直线的参数方程可设为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==s a y s x 2222，R s ∈.将其代入122+=x y 中得)()01212222=-+-+a s a s .设B A ,两点对应的参数分别为21,s s ，则()()12,12222121-=--=+a s s a s s ，且()()01616181822>-=---=∆a a a ，故1<a ，∴()()()218184222122121=---=-+=-=a a s s s s s s AB ，解得43=a .法二：联立⎩⎨⎧+=+=122x y ax y ，得()012222=-+-+a x a x ，()()088142222>+-=---=∆a a a ，解得1<a ，设()()2211,,,y x B y x A ，∴1,2222121-=-=+a x x a x x ，则()()()21422241122212212=---⋅=-+⋅+=a a x x x x AB ，解得43=a .23.解：（1）∵()()0222222222≥-=+-=+-+b a b ab a b a b a ，当b a =时等号成立，则()22222b a b a +≥+，∵3≥+b a ，∴()b a b a b a +>+≥+22222.（2）()b a b a a b b a ab b a +-+=-+-≥-+-222222222222()()()()()623122222=⨯≥-++=+-+≥+-+=b a b a b a b a b a b a .。

集合、简易逻辑（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集， N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象 a与集合M的关系是a M ，或者 a M ，两者必居其一 .（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法： { x | x具有的性质 } ，其中x为集合的代表元素 .④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ).（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图(1)A A（或(2) AA 中的任一元素A(B)子集BAB A) 都属于 B若 A B 且 B C ，则 A C 或(3)(4) 若 A B 且 B A ，则A BA BA B，且B 中（1） A （A 为非空子集）真子（或至少有一元素不(2) 若 A B 且 B C ，则 A C集B ）属于 AAA中的任一元素集合都属于(1)A B B，B 中的相等任一元素都属于A(2)BA（7）已知集合A有n(n1) 个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有 2n1个非空子集，它有 2n2非空真子集 .集合的基本运算1.集合运算：交、并、补 .2.主要性质和运算律（1）包含关系：A A,A, A U ,CUA U ,A B,BC A C ; A I B A, A I B B; A U B A, A U B B.（2）等价关系：A B A I B A A U B B C U A U B U（3）集合的运算律：交换律： A B B A; A B B A.结合律 : (A B) C A (B C ); ( A B) C A (B C )分配律 :. A(B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C )0-1 律：I A, U A A,U I A A,U U A U等幂律： A A A, A A A.求补律： A∩C U A=φ A ∪C U A=U ?C U U=φ ?C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A) ∪( C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩( C U B)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

高考试题解析数学（文科）分项版11 排列组合、二项式定理一、选择题:1．(高考广东卷文科7)正五棱柱中，不一样在任何侧面且不一样在任何底面旳两顶点旳连线称为它旳对角线，那么一种正五棱柱对角线旳条数共有（ ）A ．20B ．15C ．12D ．10【答案】A【解析】先从5个侧面中任意选一种侧面有15C 种选法，再从这个侧面旳4个顶点中任意选一种顶点有14C 种选法，由于不一样在任何侧面且不一样在任何底面旳两顶点旳连线称为它旳对角线，因此除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上旳共8个点，还剩余2个点，把这个点和剩余旳两个点连线有12C 种措施，不过在这样处理旳过程中刚好每一条对角线反复了一次，因此最终还要乘以,21因此这个正五棱柱对角线旳条数共有2021121415=•••C C C ,因此选择A.2.（高考全国卷文科9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲旳不一样选法共有（A ）12种 （B ）24种 （C ）30种 （D ）36种 二、填空题:3.（高考湖南卷文科16)给定*k N ∈，设函数**:f N N →满足：对于任意不小于k 旳正整数n ，()f n n k =-（1）设1k =，则其中一种函数f 在1n =处旳函数值为 ；（2）设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，则不一样旳函数f 旳个数为 。

答案：（1）()a a 为正整数，（2）16解析：（1）由题可知*()f n N ∈，而1k =时，1n >则*()1f n n N =-∈，故只须*(1)f N ∈，故(1)()f a a =为正整数。

（2）由题可知4k =，4n >则*()4f n n N =-∈，而4n ≤时，2()3f n ≤≤即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，由乘法原理可知，不一样旳函数f 旳个数为4216=。

4. （高考四川卷文科13)()81x +旳展开式中3x 旳系数是 （用数字作答）答案：84解析：()81x +旳展开式中3x 旳系数是538884C C ==. 5.（高考全国卷文科13) (1-x )20旳二项展开式中，x 旳系数与x 9旳系数之差为: .7．（高考重庆卷文科11)6(12)x +旳展开式中4x 旳系数是【答案】240三、解答题:8．(高考江苏卷23)（本小题满分10分）设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中旳点，其中,{1,2,3,,},a b n a b ∈> （1）记n A 为满足3a b -=旳点P 旳个数，求n A ；（2）记n B 为满足1()3a b -是整数旳点P 旳个数，求n B解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。