【精准解析】四川省乐山第一中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

2019-2020学年四川省江油中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．集合{}260A x x x =--<，则A =（ ） A ．()1,2 B ．()2,3-C ．()2,2-D ．()0,2【答案】B【解析】解一元二次不等式即可求出集合A 【详解】解：因为260x x --<，所以()()023x x +-<，解得23x -<< 所以{}()|232,3A x x =-<<=- 故选：B 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体， 上部分是一个圆锥， 下部分是一个圆柱，而且圆锥和圆柱的底面积相等， 故此几何体的直观图是：故选D 【详解】3．设a b c R ∈，，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<- B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 【答案】A【解析】利用不等式的性质或通过取特殊值即可得出． 【详解】解：A 、由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-．故本选项正确；B 、当0c 时，该不等式不成立，故本选项错误；C 、当1a =．2b =-时，112>-，即不等式11a b<不成立，故本选项错误；D 、当1a =-，2b =-时，21ba =>，即不等式1b a<不成立，故本选项错误；故选：A ． 【点睛】熟练掌握不等式的性质及通过取特殊值否定一个命题等是解题的关键,属于基础题． 4．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4A π=，23C π=，33c =，则a =（ ） A 2 B ．22C ．32D ．2【答案】C【解析】利用正弦定理可求得a . 【详解】 因为2,43A C ππ==，33c =由正弦定理得sin sin 2sin 4sin3c a A C ππ=⨯=⨯= 故选：C 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查运算求解能力. 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a ，则9a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算6．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin :sin :sin 3:7:8A B C =，则ABC ∆的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C【解析】由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可推得::3:7:8a b c =，再由余弦定理计算最大边的余弦值即可判断三角形形状． 【详解】因为sin :sin :sin 3:7:8A B C =，所以::3:7:8a b c =，设3a k =，b k =，8c k =，则角C 为ABC ∆的最大角，由余弦定理可得2222949641cos 0427k k k C k +-==-<，即2C ππ<<，故ABC ∆是钝角三角形.【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题．7．已知向量满足||2,a =||1b =，()a b b -⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】根据向量||2,a =||1b =，()a b b -⊥，由()0-⋅=a b b ，利用平面向量的数量积的定义和运算律求解. 【详解】因为向量满足||2,a =||1b =，()a b b -⊥，所以2()21cos 10a b b a b b a b -⋅=⋅-=⨯⨯--=， 所以1cos 2a b -=， 因为[]0,a b π-∈， 所以3a b π-=，故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．如图，已知OAB ∆，若点C 满足()2,,AC CB OC OA OB R λμλμ==+∈，则11λμ+=（ ）A ．13B ．23C ．29D ．92【答案】D【解析】把2AC CB =转为1233OC OA OB =+，故可得,λμ的值后可计算11λμ+的值. 【详解】因为2AC CB =，所以()2OC OA OB OC -=-，整理得到1233OC OA OB =+，所以12,33λμ==，1192λμ+=，选D. 【点睛】一般地，O 为直线l 外一点，若,,A B C 为直线l 上的三个不同的点，那么存在实数λ满足()1OC OA OB λλ=+-；反之，若平面上四个不同的点满足()1OC OA OB λλ=+-，则,,A B C 三点共线.9．若关于x 的不等式2(3)2(3)40a x a x -+--<解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞- B ．(1,3]-C ．(,3]-∞-D ．(1,3)-【答案】B【解析】当30a -=，不等式即为40-<，对一切x ∈R 恒成立，当3a ≠时 利用二次函数的性质列出a 满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围． 【详解】解：当30a -=，即3a =时，不等式即为40-<，对一切x ∈R 恒成立 ① 当3a ≠时，则须2304(3)16(3)0a a a -<⎧⎨=-+-<⎩， 解得 即13a -<<∴②由①②得实数a 的取值范围是(]1,3-， 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质．注意对二次项系数是否为0进行讨论，属于中档题．10．在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进2003m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为A ．200mB ．300mC ．400mD ．【答案】B【解析】先根据题意可知AB BP =，BC CP =进而根据余弦定理可求得cos2θ的值进而求得θ，最后在直角三角形PCD 中求解． 【详解】解：依题意可知600AB BP ==，BC CP ==222cos22BC BP PC BC BP θ+-∴==⋅ 230θ∴=，15θ=所以该山峰的高度sin60300PD PC m =⋅== 故选B ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理及给值求角问题，考查计算能力及转化能力，属于基础题． 11．已知2x >-，8y >-，8082x y x -=++，则x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．14【答案】C【解析】依题意可得82182y x +=++，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为8082x y x -=++，所以822082x y x +--=++，即82182y x +=++， 因为2x >-，8y >-，所以20x +>，80y +>，所以()8282x y x y y x ⎛⎫+=++⎪++⎝⎭()()82281082x y y x ⎛⎫⎡⎤=+++-+ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()822882x y y x ++=+++8==当且仅当()()822882x y y x ++=++即4x =，4y =时取等号，【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题。

2020 年春四川省叙州区第一中学高一期中考试数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题（60 分）
B．直⻆三⻆形
C．钝⻆三⻆形
D．等边三⻆形
11．如图所示，在山底 A 处测得山顶 B 的仰⻆为 又测得山顶的仰⻆为 ，则山高 BC=
，沿倾斜⻆为
的山坡向山顶走 1000 米到达 S 点，
A．500 米
B．1500 米
C．1200 米
D．1000 米
12．已知 的取值范围是
，
，若对任意
，
或
，则
2
A．
所以 0<B< ，所以 < ＋ < ，
所以 f（B）＝sபைடு நூலகம்n
＋∈
．
21．（1）由
，得
成等比数列
解得： 或
，
数列 的通项公式为
．
（2）
.
22．（1）因为
，所以 的定义域为，
因为
是偶函数，即
，
所以
，故
，
所以
，即方程
的解为一切实数，所以
，
因为
，且
，
8
所以原方程转化为
，
令
，
，
所以
当
时，使
又由
所以 在 上是减函数，
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知向量

四川省阆中中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学（理）试题（总分：150分 时间：120分钟 ）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷卷面分计5分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（60分，每小题5分） 1. 0sin300=( )A ．12 B ．12- C ．2-D ．22． 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ＝2，3S ＝12，则6a 等于( )A ．8B ．10C ．12D ．143． 若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝( )A ．(－2，－4)B ．(2，4)C ．(6，10)D ．(－6，－10)4． 已知等差数列{}()12101162019cos n a a a a a a π+++=-=中，，则（ ）A ．2B ．2-C ．2±D.05． 在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ， 则这个三角形的最大内角为（ ）A ．ο30 B ．ο90 C ．ο120 D ．ο606． 在下列向量组中，可以把向量a r＝(3，2)表示出来的是( )A ．1e u r ＝(0，0)，2e u u r＝(1，2)B ．1e u r ＝(－1，2)，2e u u r＝(5，－2)C ．1e u r ＝(3，5)，2e u u r＝(6，10)D ．1e u r ＝(2，－3)，2e u u r＝(－2，3)7． 已知cos 2θ=44sin cos θθ-的值为（ ）A ．3 B ．3- C ．1118D ．29-8． 已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r = 0r, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心9． 已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a ＝1，那么10a ＝( )A ．1B ．9C ．10D ．5510. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若222(a +c -b ,则角B 的值为( )A.6π B.3πC.6π或56πD.3π或23π11. 函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，3212. 已知函数()()22cos 1f x x x f x =-+，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()()12123g x g x x x ⋅=--，则的值可能为（ ） A ．2πB ．34πC ．πD.3π 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（20分，每小题5分） 13. 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α= ． 14. 在等差数列{n a }中，已知48a a +＝16，则该数列前11项和11S ＝15. 已知1e u r ，2e u u r 是夹角为2π3的两个单位向量，a r ＝1e u r －22e u u r ，b r ＝k 1e u r ＋2e u u r .若 a r ·b r＝0，则实数k 的值为________．16. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”， 而把 1,4,9,16,… 这样的数称为“正方形数”．如图,可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+； ②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式 是 ．（填写所有正确结论的编号）……三、解答题（本答题共6个小题，共65分。

高一年级下期期中测试数学一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知向量(1,1)a =-，(2,)b x =..若•1a b =,则x = A. —1 B. —12C.12D. 1【答案】D 【解析】由•1a b =得•1211a b x =⨯-⨯=，解得1x =，故选D考点定位：本题是平面向量问题，意在考查学生对于平面向量点乘知识的理解2.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，3a +，则数列的通项公式是（ ） A. 25n a n =-B. 21n a n =+C. 21n a a n =+-D.23n a a n =+-【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得2(1)13a a a +=-++，解得a 为任意实数，故可得等差数列{}n a 的前三项，由此求得数列的通项公式．【详解】解：已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，3a +，故有2(1)13a a a +=-++， 解得a 为任意实数，故等差数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，3a +，故数列{}n a 是以1a -为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式1(1)223n a a n a n =-+-⨯=+-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于基础题． 3.已知等差数列{}n a 中，14727a a a ++=，3699a a a ++=，则9S 等于（ ） A. 27B. 36C. 54D. 72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可求得()19336a a +=，从而有1912a a +=，由等差数列的前n 项和公式即可求得答案.【详解】解：因为等差数列{}n a 中，14727a a a ++=，3699a a a ++=()()147369279a a a a a a ∴+++++=+ ()19336a a ∴+=，即1912a a +=，()19991295422a a S +⨯⨯===故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n 项和公式是解决问题的关键，属于中档题.4.如果向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则a 和b 的夹角大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 75°D. 135°【答案】B 【解析】 【分析】求两向量的夹角需要求出两向量的内积与两向量的模的乘积，由题意两向量的模已知，故由两向量的垂直这个条件求出两个向量的内积即可．【详解】解：由题意()a a b ⊥-故()0a a b -=，即21a a b === 故两向量夹角的取值范围是45︒ 故选：B ．【点睛】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．5.等差数列{}n a 中，已知前13项和1365S =，则7a =（ ） A. 10 B.52C. 5D. 15【答案】C 【解析】 【分析】由13713S a =，1365s =，可求7a【详解】解：由等差数列的求和公式可知， ()1121371313652a a S a +⨯==⨯=75a ∴=故选：C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础题． 6.若三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是（ ） A. 2，4，8B. 8，4，2C. 2，4，8或8，4，2D. 2，4-，8【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解． 【详解】解：设这三个数分别为x ，y ，z ， 则由题意可得14x y z ++=，64xyz =，且2xz y=，解可得，248x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或842x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．7.已知AD 、BE 分别为ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD a =,BE b =,则BC 等于（ ）A. 42 33 a b+ B. 2433a b+ C.2433a b- D.2433a b-+【答案】B【解析】【分析】如图所示, BC BE EC=+,12EC AC=,AC AD DC=+,12DC BC=,则可得1122BC BE AD BC⎛⎫=++⎪⎝⎭,将AD a=,BE b=代入式子中整理即可求出BC.【详解】解:如图所示:BC BE EC=+,12EC AC=,AC AD DC=+,12DC BC=,1122BC BE AD BC⎛⎫∴=++⎪⎝⎭,又因为AD a=，BE b=则上式化为1122BC b a BC⎛⎫=++⎪⎝⎭,整理可得2433BC a b=+.故选:B【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.已知数列{}n a满足递推关系111,12nnnaa aa+==+，则2017a=（）A.12016B.12018C.12017D.12019【答案】B 【解析】 【分析】两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果. 【详解】由11n n n a a a +=+，所以11111n n n na a a a ++==+ 则1111n n a a ，又112a =，所以112a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公比的等差数列所以11n n a =+，则11n a n =+ 所以201712018a = 故选：B【点睛】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题. 9.设点A （1，2）、B （3，5），将向量AB 按向量a =（–1，–1）平移后得到''A B 为( ) A. （1，2） B. （2，3）C. （3，4）D. （4，7）【答案】B 【解析】 【分析】根据向量是既有大小又有方向的量,向量的要素是大小、方向;向量平移后为相等向量,故坐标相同.【详解】∵A （1，2）、B （3，5），∴AB =（3，5）–（1，2）=（2，3），将向量AB 向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到''A B ，则AB 与''A B 的方向相同，大小相等，只是位置不同，于是''A B AB ==（2，3），故选B ．【点睛】本题考查向量的性质:平移只改变位置不改变坐标,属于基础题.10.若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )A. (10,3)+∞ B. [10,)3+∞ C. 10(,)3-∞ D.10(,]3-∞【答案】A 【解析】由题意可得：3250a b λ⋅=-+⨯< ， 求解关于λ 的不等式可得λ的取值范围是 10,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 本题选择A 选项.11.等差数列{}n a 满足224747a 29a a a ++=，则其前10项之和为（ ）A. －9B. －15C. 15D. 15±【答案】D 【解析】由已知(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，从而a 1＋a 10＝±3. 所以S 10＝1102a a +×10＝±15.故选D.12.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，26·4a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1212nS S S n+++取最大值时，n 的值为（ ） A. 8 B. 9C. 17D. 8或9【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出3a 、5a 的值，可求出1a 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n a ，由此得出n b ，并求出数列{}n b 的前n 项和n S ，然后求出1212nS S S n+++，利用二次函数的性质求出当1212nS S S n+++取最大值时对应的n 值.【详解】由题意可知35a a >，由等比数列的性质可得3526353554a a a a a a a a+=⎧⎪==⎨⎪>⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩， 所以21414101a q a q q ⎧=⎪=⎨⎪<<⎩，解得11612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，115111622n n n n a a q ---⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭，2log 5n n n b a ∴=-=，则数列{}n b 为等差数列，()245922n n n n n S +--∴==， 92n S nn -∴=，()2129417117289212244216n n n n n S S S n n -⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭∴+++===--+ ⎪⎝⎭， 因此，当8n =或9时，1212nS S S n+++取最大值，故选D. 【点睛】本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前n 项和的最值，在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，2,3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅= ▲． 【答案】3 【解析】试题分析：由数量积的运算公式可得：0cos30232a b a b ⋅=== 考点：向量的数量积14.已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为___． 【答案】6 【解析】 【分析】利用（2a +3b ）⊥（k a -4b ），结合数量积直接求出k 的值即可．【详解】由(2a +3b )·(k a -4b )＝2ka 2－12b 2＝2k －12＝0，∴k ＝6. 故答案为6.【点睛】本题是基础题，考查向量的数量积的应用，两向量垂直，其数量积为0是解决本题的关键．15.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则该数列的通项公式n a =______ 【答案】12n - 【解析】 【分析】根据1121S a =-求出1a ；利用11n n n a S S ++=-得到12n n a a +=，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.【详解】由21n n S a =-得：1121n n S a ++=-11122n n n n n a S S a a +++∴=-=-，即12n n a a +=又1121S a =-，则11a =由此可得，数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 则12n na本题正确结果：12n -【点睛】本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用n S 证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式.16.已知数列{}n a 满足：11a =1=，则使25n a <成立的n 的最大值为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】1=得到关于的通项 公式后可得{}na 的通项公式，解不等式后可得使25n a <成立的n 的最大值.【详解】易知等差数列，首项为11a =，公差为1()111n n =+-⨯=，∴2n a n =，令225n <，∴5n <，∴4n ≤.故答案为 4【点睛】本题考查等差数列的通项的求法及数列不等式的解，属于容易题. 三、解答题（共70分）17.已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =. （1）若||25c =，且//c a ，求c ； （2）若5||2b =，且()()22a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角. 【答案】（1）(2,4)c =或(2,4)c =--（2）π. 【解析】 【分析】（1）设(),c x y =，根据//c a ，得到 20x y -=，再根据||25c =，建立方程组求解.（2）根据22a b a b +⊥-，得到(2)(2)0a b a b +⋅-=，结合2||5a =，||b =求得a b ⋅，再求夹角.【详解】（1）设(),c x y =，//c a ，(1,2)a =，∴20x y -=，∴2y x =， ∵||25c =，=∴2220x y +=，即22420x x +=，∴24x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=-⎩∴(2,4)c =或(2,4)c =--. （2）∵22a b a b +⊥-，∴(2)(2)0a b a b +⋅-=， ∴222320a a b b +⋅-=， 即222||32||0a a b b +⋅-= 又∵2||5a =，2255||()24b ==， ∴5253204a b ⨯+⋅-⨯=， ∴52a b ⋅=-， ∵||5a =，5||2b =∴52cos 1||||552a ba b θ-⋅===-⋅⋅∵[]0,θπ∈，∴θπ=.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.已知2a =，3b =，a 与b 的夹角为60，53c a b =+，3d a kb =+，当实数k 为何值时， （1）//c d ； （2）c d ⊥. 【答案】（1）95k =；（2）2914k =-．【解析】试题分析：（1）利用平面向量共线判定条件进行求解；（2），利用平面向量的数量积为0进行求解．试题解析：（1）若//c d ，则存在实数，使，即，则，解得得95k =；（2）若c d ⊥，则，解得2914k =-. 考点：1.平面向量共线的判定；2.平面向量垂直的判定． 19.已知1a =，12a b ⋅=，()()12a b a b -⋅+=． （1）求a 与b 的夹角；（2）求a b -与a b +的夹角的余弦值． 【答案】（1）4π；（2）5．【解析】 【分析】（1）将()()12a b a b -⋅+=展开求出b ，再利用夹角公式求求a 与b 的夹角； （2）根据已知条件分别求出a b -与a b +的模，再用夹角公式a b -与a b +的夹角． 【详解】（1）()()12a b a b -⋅+=221||||2a b -=， 212||||2b a ∴=-=，设a 与b 的夹角为θ， 则2cos 2a b a bθ⋅==，而[]0,θπ∈，4πθ∴=． （2）设a b -与a b +的夹角为φ，则()222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=， ()22102a b a ba ab b +=+=+⋅+=， ()()5cos 5a b a b a b a bφ-⋅+∴==-+． 考点：1、向量数量积；2、向量的模；3、夹角公式．20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前项和为n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈.（1）求1a 的值；n 【答案】（1）11a =；（2）．【解析】试题分析：（1）由题n=1可得11121T S S ==-，不难得到11a =；（2）由题22112,2(1)(2)n n n n T S n T S n n --=-=--≥，两式相减可得221(2)n n S a n n =-+≥，然后根据数列求和递推关系可以得到122n n a a -=+，进而得到1322n a -=⋅-. 试题解析：（1）当n=1时，1111211T S S a ==-⇒=；（2）22112,2(1)(2)n n n n T S n T S n n --=-=--≥112()21(2)n n n n T T S S n n --⇒-=--+≥ 221(2)n n S a n n ⇒=-+≥111111122(1)1(2)2222222222(2)(2)n n n n n n n n n n n n n S a n n S S a a a a a a a a a n -------⇒=--+≥⇒-=--⇒=--⇒=+⇒+=+≥所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，11232322n n n a a --∴+=⨯∴=⨯-.考点：数列递推关系求和【方法点睛】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f(n)或a n ＋1＝f(n)·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项．21.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a ∈R ，且0a ≠），且11a ，21a ，41a 成等比数列.n （2）记21nn b a =（*n ∈N ），求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）n a na =；（2）1112nn a T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎢⎣=⎭⎥⎦【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，2214111()a a a = 可得1d a a ==．即通项公式n a na =．（1）首先求出数列{}n b 的通项，再根据等比数列的前n 项和公式计算可得； 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，2214111()a a a = 即2111()(3)a d a a d +=+，从而21a d d =，因为0d ≠，所以1d a a ==．故通项公式n a na =． （2）由（1）知n a na =，所以22nna a =，所以2112n n n b a a== 24821111nn T a a a a =+++⋯+ 所以2311111()2222n n T a =+++⋯+11[1]1112211212n n a a -⎡⎤⎛⎫==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-． 【点睛】本题考查了等差、等比数列的性质，数列求和，考查了计算能力，属于基础题． 22.某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等. （1）求第n 年的预计投入资金与出售产品的收入；（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）【答案】（1）111000,16{220,7n n n a n -⎛⎫⨯≤≤ ⎪=⎝⎭≥，8040,16{440,7n n n b n -≤≤=≥；（2）第8年. 【解析】试题分析：（1）设n 年的投入资金和收入金额分别为,n n a b ，根据题意可得n a 是首项为1000，公比是12的等比数列，n b 是首项为40，公差为80的等差数列，问题得以解决.（2）根据等差数列的求和公式等比数列的求和公式得到n S ，再根据数列的函数特征，即可求出答案 试题解析：（1）设第n 年的投入资金和收入金额分别为n a 万元，n b 万元. 依题意得，当投入的资金不低于20万元，即20n a ≥时，()111,8022n n n a a b b n --==+≥， 此时，{}n a 是首项为1000，公比为12的等比数列； {}n b 是首项为40，公差为80的等差数列，所以，111000,80402n n n a b n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭，令20n a <，得1250n ->，解得7n ≥，所以，111000,16{220,7n n n a n -⎛⎫⨯≤≤ ⎪=⎝⎭≥，8040,16{440,7n n n b n -≤≤=≥. （2）由（1）可知当16n ≤≤时，总利润()211000124080401200040200012212n nn n n S n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤+-⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=⨯+- ⎪⎝⎭-， 所以，1120008040,22nn n S S n n -⎛⎫-=-⨯+-≥ ⎪⎝⎭， 因为()1200080402xf x x ⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭为增函数，()()30,40f f ， 所以，当23n ≤≤时，1n n S S ->；当46n ≤≤时，1n n S S -<， 又因为160,528.750S S <=-<，所以，当16n ≤≤时，0n S <，即前6年未盈利， 当7n ≥时，()()()()67788528.754206n n n S S b a b a b a n =+-+-++-=-+-，令0n S >，得8n ≥.综上，预计该公司从第8年起开始盈利.。