上海2023届浦东新区中考数学一模

上海中考数学2023年试卷考生注意：1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1.下列运算正确的是（）A.523a a a ÷= B.336a a a += C.()235a a = D.a=2.在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A.2550y y ++= B.2550y y -+= C.2510y y ++= D.2510y y -+=3.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（）A.6y x = B.6y x =- C.6y x = D.6y x =-4.如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A.小车的车流量与公车的车流量稳定；B.小车的车流量的平均数较大；C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D.小车与公车车流量的变化趋势相同．5.在四边形ABCD 中，,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）A.AB CDB.AD BC =C.A B ∠=∠D.A D∠=∠6.已知在梯形ABCD 中，连接AC BD ，，且AC BD ⊥，设,AB a CD b ==．下列两个说法：①()2AC a b =+；②AD =则下列说法正确的是（）A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.分解因式：29n -=________．8.化简：2211x x x---的结果为________．9.已知关于x 2=，则x =________10.函数()123f x x =-的定义域为________．11.已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，那么a 的取值范围是________．12.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．13.如果一个正多边形的中心角是20︒，那么这个正多边形的边数为________．14.一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．15.如图，在ABC 中，点D ，E 在边AB ，AC 上，2,AD BD DE BC =∥，联结DE ，设向量AB a = ，AC b = ，那么用a ，b 表示DE = ________．16.垃圾分类（Refuse sorting ），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．17.如图，在ABC 中，35C ∠=︒，将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒，旋转后的点B 落在BC 上，点B 的对应点为D ，连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线，则α=________．18.在ABC 中7,3,90AB BC C ==∠=︒，点D 在边AC 上，点E 在CA 延长线上，且CD DE =，如果B 过点A ，E 过点D ，若B 与E 有公共点，那么E 半径r 的取值范围是________．三、解答题：（本大题共7题，共78分）19.计算：2311853325-⎛⎫+-+- ⎪+⎝⎭20.解不等式组36152x x x x >+⎧⎪⎨<-+⎪⎩21.如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且41cos ,52ABC OC OB ∠==．（1）求O 的半径；（2）求BAC ∠的正切值．22.“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y 元/升，原价为x 元/升，求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？23.如图，在梯形ABCD 中AD BC ∥，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且=FAC ADE ∠∠，AC AD=（1）求证：DE AF=（2）若ABC CDE ∠=∠，求证：2AF BF CE=⋅24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c =++经过点B．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求b ，c 的值；（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD x ∥轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．25.如图（1）所示，已知在ABC 中，AB AC =，O 在边AB 上，点F 边OB 中点，为以O 为圆心，BO 为半径的圆分别交CB ，AC 于点D ，E ，联结EF 交OD 于点G．（1）如果OG DG =，求证：四边形CEGD 为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结OE ，如果90,,4BAC OFE DOE AO ∠=︒∠=∠=，求边OB 的长；（3）联结BG ，如果OBG 是以OB 为腰的等腰三角形，且AO OF =，求OGOD 的值．。

2023学年第一学期九年级数学期中质量检测考生注意：1.本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. “相似的图形”是( ) A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重合的图形 D. 大小相同的图形【答案】A 【解析】【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【详解】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同， 故选A ．【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形． 2. 已知在 Rt ABC 中， ∠C = 90°，AC = 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（ ） A. 8sin 17A =B. cosA=815C. tan A =817D. cot A=815【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答. 【详解】由勾股定理知，AB=17；A.15sin 17BC A AB == ,所以A 错误；B.8cos 17AC A AB ==，所以，B 错误；C.15tan 8BC A AC ==，所以，C 错误；D.cot AC A BC ==815，所以选D. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键. 3. 对于非零向量a 、b 、c ，下列条件中，不能判定a 与b 是平行向量的是（ ） A. a c ∥，c b ∥B. 30a c +=，3b c =C. 3a b =−D. 3a b =【答案】D 【解析】【分析】根据向量平行向量定义“方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量”进行逐一判定即可．【详解】A 选项，对于非零向量a 、b 、c ，根据a c ∥，b c =，可以得出a b ∥，故本项不符题意； B 选项，因为30a c +=，所以a 和3c 的方向相反，由于3b c =，所以b 和3c 的方向相同，所以a 、b 的方向相反，所以a b ∥，故本项不符题意；C 选项，因为3a b =−，所以a 、b 的方向相反，故a b ∥的，故本项不符题意；D 选项，因为3a b =，所以a 、b 的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查的是平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键． 4. 如图，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE BC ∥的条件是（ ）A. ::AE EC AD DB =B. ::AD AB DE BC =C. ::AD DE AB BC =D. ::BD AB AC EC =【答案】A 【解析】【分析】先证明ABC ADE △△∽，可得D B ∠=∠，可得DE BC ∥，再逐一分析即可． 【详解】解：A ．∵::AE EC AD DB =， ∴EC DBAE AD=， ∴都减去1得：AC ABAE AD=， ∵BAC EAD ∠=∠， ∴ABC ADE △△∽， ∴D B ∠=∠，∴DE BC ∥，故本选项正确；的B ．根据::AD AB DE BC =不能推出ABC ADE △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误；C ．根据::AD DE AB BC =不能推出ABC ADE △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误；D ．根据::BD AB AC EC =不能推出ABC ADE △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误； 故选A ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．5. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB =（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm【答案】C 【解析】【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB ．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm ）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm ），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴468AB =， ∴=3AB （cm ）， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．6. 《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH 是一座正方形小城，北门A 位于FG 的中点，南门B 位于EH 的中点．从北门出去正北方向20步远的C 处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C 处的树木，则正方形小城的边长为（ ）A. 105步B. 200步C. 250步D. 305步【答案】C 【解析】【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，相似三角形的对应边成比例．【详解】设小城的边长为x 步，根据题意， Rt △CAF ∽Rt △CDM ，∴CA FACD MD=， 即200.520141775xx =++，去分母并整理， 得x 2+34x -71000=0，解得x 1=250，x 2=-284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250步． 故选：C ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7. 如果x :y 4:3=，那么():x y y −=________．【答案】13【解析】【分析】根据x :y 4:3=得到43x y =，把它代入后面的式子求出比值． 【详解】解：∵x :y 4:3=， ∴34x y =，即43x y =， ∴()411:::1:3333x y y y y y y y ⎛⎫−=−=== ⎪⎝⎭．故答案是：13． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 8. 计算：()34a a b −+=___________． 【答案】4a b −− 【解析】【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【详解】解：()343444a a b a a b a b −+=−−=−−， 故答案为：4a b −−．【点睛】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．9. 如果地图上A ，B 两处的图距是4cm ，表示这两地实际的距离是20km ，那么实际距离500km 的两地在地图上的图距是______cm ． 【答案】100． 【解析】【详解】试题分析：设实际距离500km 的两地在地图上的图距是xcm ，则 4：2000000=x ：50000000，解得x=100． 故答案为100． 考点：比例线段．10. 已知线段4cm MN =，P 是线段MN 的黄金分割点，且MP NP >，那么线段MP 的长度等于________cm ．【答案】2##2−+ 【解析】【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段PM 和()PN PM PN >，且使PM 是AB 和PN 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点． 【详解】解：根据黄金分割的定义，得2·PM AB PN =，()244PM PM =−，解得2PM =（负值舍去），故答案2．【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．11. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段3AB =，则线段BC =______．【答案】32##1.5 【解析】【分析】如图，过点A 作AF CF ⊥于点F ，交过点B平行线于点E ，交A 的邻近平行线于点D ，根据题意，AD DE EF h ===，利用平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】解：如图，过点A 作AF CF ⊥于点F ，交过点B 的平行线于点E ，交A 的邻近平行线于点D ，根据题意，AD DE EF h ===，的所以232AB AE h BC EF h BC====． 解得32BC =． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．12. 如图，在ABC 中，点D 是AB 边上一点，连接CD ．已知4=AD ，5BD =，6AC =，3CD =，那么线段BC 的长度是________．【答案】92【解析】【分析】证明ABC ACD ∽，根据相似比即可求解； 【详解】4AD =，5BD =，6AC =，63453,4262AC AB AD AC +∴====， AC AB AD AC ∴=， CAD BAC ∠=∠，ABC ACD ∴∽，23CD BC ∴=， 3CD =，92BC ∴=， 故答案为：92． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似．13. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是________．【答案】1：4 【解析】【分析】根据是相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答即可．【详解】因为原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4． 故答案为1：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答．14. 如果锐角α的正切值为3，那么锐角α为________度 【答案】30 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【详解】解：因为锐角α的正切值为3，即tan 3α=，所以锐角α为30度， 故答案为：30．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 15. 如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么底角的余弦值等于________． 【答案】35【解析】【分析】如图，ABC 中，根据等腰三角形的腰与底边的比是5:6，设腰长为5AB AC k ==，底边长6BC k =，作AE BC ⊥于E ，则12BE EC BC ==，在Rt AEC △中，根据1cos 2EC BC C AC AC==，即可解决问题．【详解】解：如图，ABC 中， ∵等腰三角形的腰与底边的比是5:6，设腰长为5AB AC k ==，底边长6BC k =， 作AE BC ⊥于E ， ∴12BE EC BC ==，在Rt AEC △中， ∴1163cos 2255EC BC k C AC AC k ===⨯=， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 16. 如图，在ABC 中，4AB =，点E 、F 分别为AC 、BC 上的中点，联结AF、BE 交于点O ．如果BE AF ⊥，30ABE ∠=︒，那么AC 的长度为________．【答案】 【解析】【分析】连接EF ，利用中位线定理，勾股定理，含30︒角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接EF ．∵点E 、F 分别为AC 、BC 上的中点，30ABE ∠=︒，4AB =， ∴FE AB ∥，24AB EF==，2AC AE =，∴30FEO EBA ∠=∠=︒，2EF =， ∵BE AF ⊥，∴90FOE BOA ∠=∠=︒,∴根据含30︒角直角三角形的性质：122AO AB ==,112FO EF ==,∴EO ==,∴EA ==,∴2AC AE ==，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键．17. 如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，若125DOE COA S S =△△，则BDECDES S =△△______．【答案】14【解析】【分析】由//DE AC ，推出DEO CAO △∽△，可得21()25DEO CAO S DE S AC ∆∆==，推出15DE BE AC BC ==，推出14BE EC =，即可求解． 【详解】解：//DE AC ，DEO CAO ∴∽△△， ∴21()25DEO CAO S DE S AC ==△△， 15DE BE AC BC ∴==， 14BE EC ∴=，14BED DEC S S ∴=△△， 故答案为：14． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．将ADE 沿着DE 所在的直线翻折，使点A 的对应点F 落在边BC 的延长线上．如果FD 平分EFB ∠，那么AD 的长度为________．【答案】207【解析】【分析】由翻折得出AD DF A DFE ∠∠＝，＝，再根据FD 平分EFB ∠，得出DFH A ∠∠＝，然后借助相似列出方程即可．【详解】解：作DH BC ⊥于H ，在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠︒＝，由勾股定理得：5AB ==， ∵将ADE 沿DE 翻折得DEF ，∴AD DF A DFE ∠∠＝，＝， ∵FD 平分EFB ∠， ∴DFE DFH ∠∠＝，∴DFH A ∠∠＝， 设3DH x ＝，Rt DHF △中，3sin sin 5DFH A ∠∠＝＝ ，∴5AD DF x ==， ∴55BD x =−， ∵BDH BAC ∽，∴BD DHAB AC =， ∴55354x x−=， ∴47x =，∴2075AD x ==．故答案是：207．【点睛】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：24cos 30cot 45tan 602sin 45︒−︒︒+︒【答案】 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代值计算即可．【详解】解：原式2412⎛⎫⋅− ⎪=，，=−【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键．20. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 上一点，且2DE =，3CE =，射线AE 与射线BC 相交于点F ．（1）求EFAF的值； （2）如果AB a =，AD b =，求向量EF ．（用向量a 、b 表示）． 【答案】（1）35（2）3325b a + 【解析】【分析】（1）证明ADE FCE ∽得到32EF EC E ED A ==，由此即可得到35EF AF =； （2）根据平行四边形对边平行且相等得到DC AB a ==，则25DE a =，根据向量的运算法则得到25AE AD DE b a =+=+，则32332525EF b a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．【小问1详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥， ∴ADE FCE ∽，EF ECAE ED∴=， 2DE =，3CE =，32EF AE ∴=， ∴33235EF AF ==+； 【小问2详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，DC AB =，DC AB a ∴==， 2DE =，5DC =，25DE DC ∴=； 又DE 和DC 同向，25DE a ∴=， 25AE AD DE b a =+∴=+，∵32EF AE =， 32EF AE ∴=， 又EF 和AE 同向，32332525EF b a b a ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，向量的线性运算，正确推出32EF AE =是解题的关键．21. 如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上任意一点（BE ＞DE ），CE 的延长线交AD 于点F ，连接AE ．（1）求证：△ABE ∽△FDE ； （2）当BE =3DE 时，求tan ∠1的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB =BC ，∠ABE =∠CBE =∠FDE =45°，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠ECB ，等量代换得到∠BAE =∠DFE ，即可得到结论；（2）连接AC 交BD 于O ，设正方形ABCD 的边长为a ，根据勾股定理得到BDa ，BO =OD =OC=2a，根据已知条件得到OE =12OD=4a ，然后在直角△EOC 中，根据三角函数的定义得到结论． 【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵AB =BC ，∠ABE =∠CBE =∠FDE =45°， 在△ABE 与△CBE 中，AB CB ABE CBE BE BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABE ≌△CBE ， ∴∠BAE =∠BCE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DFE =∠BCE ， ∴∠BAE =∠DFE ， ∴△ABE ∽△FDE ； （2）连接AC 交BD 于O ，设正方形ABCD 的边长为a ， ∴BDa ，BO =OD =OC=2a ， ∵BE =3DE ， ∴OE =12OD=4a ， ∵BD ⊥AC ， ∴tan ∠1=tan ∠OEC =OCOE=2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，求三角函数值等知识；掌握这些知识是关键．22. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N 点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)．【答案】小军身高BE的长约为1.75米．【解析】【分析】先利用相似三角形的性质求出MN的长度，再利用相似三角形的性质求出EB的长度就可．【详解】由题意可知∠CAD=∠MND="90°," ∠CDA=∠MDN∴△CAD∽△MND∴AC ADMN ND=即()1.610.8510.8MN⨯=+⨯∴ MN=9．6又∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MNF ∴△EBF∽△MNF∴EB BFMN NF=即()20.89.6290.8EB⨯=+⨯∴ EB=1．75所以小军身高BE的长为1．75米．23. 已知：如图，在ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，ACD B∠=∠，AG与CD相交于点F．（1）求证：2AC AD AB =⋅； （2）若AD DFAC CG=，求证：2CG DF BG =⋅． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【分析】（1）证明△ACD ∽△ABC ，得出对应边成比例AC ：AB=AD ：AC ，即可得出结论；2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG ，由已知证出△ADF ∽△ACG ，得出∠DAF=∠CAF ，AG 是∠BAC 的平分线，由角平分线得出=AC CG AB BG ，再证△AFC ∽△AGB ，得=AC CF AB BG ，证出CG=CF ，则=AC CGAB BG，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B ，∠CAD=∠BAC ， ∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC ：AB=AD ：AC ， ∴AC 2=AD•AB ；（2）证明：∵△ACD ∽△ABC ， ∴∠ADF=∠ACG ， ∵AD DFAC CG=， ∴△ADF ∽△ACG ， ∴∠DAF=∠CAF ， 即∠BAG=∠CAG ， 又∵∠ACD=∠B ， ∴△AFC ∽△AGB ，∴=AC CFAB BG， ∵∠CFG=∠CAG+∠ACD ，∠CGF=∠BAG+∠B ， ∴∠CFG=∠CGF ，∴CG=CF ，∴=AC CGAB BG由（1）得：AC ADAB AC=∴=DF CGCG BG∴CG 2=DF•BG ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．（1）求OAB ∠的余切值；（2）如果点C 为直线AB 上第一象限内的点，且2AB BC =，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线AB 上是否存在点P ，使OAP △与OBC △相似，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2）()2,6（3）存在，()6,2−−或()8,4−− 【解析】【分析】（1）根据余切值的定义，即可求得． （2）画出图，根据相似三角形的性质即可求得．（3） 根据OBC △的135︒角所对边的关系，从而分类讨论找出两个符合条件的点，利用相似即可求得坐标．【小问1详解】解：根据题意得直线4y x =+与x 轴交点A 的坐标为()4,0−，与y 轴交点B 的坐标为()0,4．4∴=OA ，4OB =．在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，cot 1AOOAB BO∴∠==． 【小问2详解】解：过点C 作CD y ∥轴交x 轴于点D ，则AOB ADC △∽△．OA OB ABAD DC AC∴==． 2AB BC =，23AB AC ∴=． 4=OA ，4OB =，6AD CD ∴==．2OD ∴=．∴点C 的坐标为()2,6．【小问3详解】解：如图所示：4OA OB ==，45ABO BAO ∴∠=∠=︒．45BOC ︒∴∠<，45BCO ∠<︒．又90OBC ︒∠>，∴满足题意的点P 在BA 的延长线上，且135OAP OBC ︒∠=∠=设点(),4P m m +(4m <−)，则)4AP m =+．()0,4B，()2,6C ，BC ∴=(ⅰ)当OAP OBC △∽△时，AP OABC OB =444m +=，则)4m += 解得6m =−．∴点P 的坐标为()6,2−−．(ⅱ)当OAP CBO △∽△时，AP OAOB BC =，即)44m +=． 解得8m =−．∴点P 的坐标为()8,4−−．综上所述，点P 的坐标为()6,2−−或()8,4−−．【点睛】本题考查余切值、一次函数综合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键25. 在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =．点M 是边BC 上的一点（与端点B 、C 不重合）．（1）如图1，当3BM =时，连结MD 交AC 于点E ，求线段DE 的长度； （2）如图2，当90DEC ∠=︒时，求四边形ABME 的面积；（3）如图3，过点M 作AM 的垂线，交边CD 于点F ，交AC 于点G ．设BM x =，FGy AM=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1 （2）95750（3）28276x xy x−+=+，（08x <<）【解析】【分析】（1）由题意，可求得5MC =，由勾股定理求DM =，再由AD BC ∥可得85DE AD ME CM ==，即813DE DM =，则可求DE 的长度； （2）证明ECD ADC ∽可求得185CE =，由AD BC ∥可知ADE CME ∽△△，则AD AEMC EC=，解得92MC =，2710ME =,四边形ABME 的面积为ABC MEC S S −解得四边形ABME 的面积为95750． （3）分别证明FGH FMC △∽△和MAB FMC ∽，故可得MAB FGH ∽由相似分别得到()86x x FC −=，()86x x CH xy −=−．再由GH AD 可证GH CH AD CD =，代入得到()86686x x xy y −−=，则问题可证．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，6AB =，8AD =， 6DC AB ∴==，8BC AD ==，AD BC ∥．又3BM =，5MC ∴=．在Rt CDM △中，90MCD ∠=︒，5MC =，6DC =，DM ∴=∵AD BC ∥，85DE AD ME CM ∴==． 813DE DM ∴=．DE ∴= 【小问2详解】∵90DEC ADC ∠=∠=︒，ECD DCA ∠=∠，ECD ADC ∴△∽△．CE CD CD CA∴=． ∵6CD =，10AC =， 185CE ∴=． ∵AD BC ∥，∴ADE CME ∽△△， ∴AD AE MC EC=， ∴181085185MC−=∴92MC =，∴2710ME ===, ∴四边形ABME 的面积为1122ABC MEC S S AB BC ME EC −=⋅−⋅ 1127186822105=⨯⨯−⨯⨯ 95750= ∴四边形ABME 的面积为95750． 【小问3详解】过点G 作GH BC ∥交CD 于点H ，则FGH FMC △∽△．∵四边形ABCD 是矩形，90ABC BCD ∴∠=∠=︒．∵AMB FMC MAB ABC ∠+∠=∠+∠，90AMF ∠=︒，FMC MAB ∴∠=∠．MAB FMC ∴△∽△．MAB FGH ∴△∽△．GH FH FG y AB MB MA∴===． ∵=6AB ，MB x =，6GH y ∴=，FH xy =．∵MAB FMC ∽，FC CM MB BA∴=． ∵=6AB ，MB x =，8CM x =−，()86x x FC −∴=．()86x x CH xy −∴=−． ∵GH BC ∥，AD BC ∥，GH AD ∴∥．GH CH AD CD∴=． 即()86686x x xy y −−=． 整理得28276x x y x−+=+，（08x <<）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式．。

2023年上海市初中学业水平考试考生注意：1. 本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2. 作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上的作答一律不得分．4. 选择题和作图题用2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．【详解】解：A、，故正确，符合题意；B、，故错误，不符合题意；C、，故错误，不符合题意；D、，故错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．2. 在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设，则原方程可变形为，即；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.3. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．【详解】解：A、，，y随x的增大而增大，不符合题意；B、，，y随x的增大而减小，符合题意；C、，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；D、，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．4. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A. 小车的车流量与公车的车流量稳定；B. 小车的车流量的平均数较大；C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D. 小车与公车车流量的变化趋势相同．【答案】B【解析】【分析】根据折线统计图逐项判断即可得．【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意；B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意；C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意；D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．5. 在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A：，为平行四边形而非矩形故A不符合题意B：，为平行四边形而非矩形故B不符合题意C：为矩形故C符合题意D：不是平行四边形也不是矩形故D不符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6. 已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法：①；②则下列说法正确的是（）A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①②均正确D. ①②均错误【答案】D【解析】【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形为等腰梯形，即，时，①；②，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．【详解】解：过作，交延长线于，如图所示：若梯形为等腰梯形，即，时，四边形是平行四边形，，，，，，即，又，，在中，，，则，，此时①正确；过作于，如图所示：在中，，，，则，，，此时②正确；而题中，梯形是否为等腰梯形，并未确定；梯形是还是，并未确定，无法保证①②正确，故选：D．【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 分解因式：________．【答案】【解析】【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．8. 化简：结果为________．【答案】2【解析】【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．【详解】解：；故答案为：2．【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．9. 已知关于的方程，则________【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，，即，，等式两边分别平方，移项，，符合题意，故答案：．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．10. 函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．【详解】解：由可知：，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键．11. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，解得：；故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．12. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．【答案】【解析】【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．13. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________．【答案】18【解析】【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．【详解】根据正n边形的中心角的度数为，则，故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．14. 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即，∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，∴，即，，∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．15. 如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________．【答案】【解析】【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得．【详解】解：∵向量，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．16. 垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．【答案】1500吨【解析】【分析】由题意易得试点区域垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解．【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为（吨），∴全市可收集干垃圾总量为（吨）；故答案为1500吨．【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．17. 如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________．【答案】【解析】【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：，，∵是的角平分线，∴，∵，，∴，则在中，∵，∴，解得：；故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．18. 在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接，过点，且，的半径为7，过点，它的半径为，且，，，，，在边上，点在延长线上，，即，，与有公共点，，即，不等式①可化为，解方程得：或，画出函数的大致图象如下：由函数图象可知，当时，，即不等式①的解集为，同理可得：不等式②的解集为或，则不等式组的解集为，又，半径r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，共78分）19. 计算：【答案】【解析】【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．20. 解不等式组【答案】【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．21. 如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．（1）求的半径；（2）求的正切值．【答案】（1）5 （2）【解析】【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；（2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得．【小问1详解】解：如图，延长，交于点，连接，由圆周角定理得：，弦的长为8，且，，解得，的半径为．【小问2详解】解：如图，过点作于点，的半径为5，，，，，，即，解得，，，则的正切值为．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．22. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？【答案】（1）900 （2）（3）【解析】【分析】（1）根据，计算求解即可；（2）由题意知，，整理求解即可；（3）当，则，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可．【小问1详解】解：由题意知，（元），答：实际花了900元购买会员卡；【小问2详解】解：由题意知，，整理得，∴y关于x的函数解析式为；【小问3详解】解：当，则，∵，∴优惠后油的单价比原价便宜元．【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．23. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，（1）求证：（2）若，求证：【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．【小问1详解】证明：，，在和中，，，．【小问2详解】证明：，，，即，在和中，，，，由（1）已证：，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．24. 在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．【答案】（1），（2），（3）或【解析】【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得；（2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c；（3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案．【小问1详解】解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，当时，代入得：，故，当时，代入得：，故，【小问2详解】设，则可设抛物线的解析式为：，∵抛物线M经过点B，将代入得：，∵，∴，即，∴将代入，整理得：，故，；【小问3详解】如图：∵轴，点P在x轴上，∴设，，∵点C，B分别平移至点P，D，∴点，点向下平移的距离相同，∴，解得：，由（2）知，∴，∴抛物线N的函数解析式为：，将代入可得：，∴抛物线N的函数解析式为：或．【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．25. 如图（1）所示，已知在中，，在边上，点边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．（1）如果，求证：四边形为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结，如果，求边的长；（3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证；（2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解；（3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解．【小问1详解】证明：∵∴∵∴,∴∴，∵是的中点，，∴是的中位线，∴，即，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：∵，点边中点，设，，则由（1）可得∴，∴，又∵∴,∴即，∵，在中，，∴，∴解得：或（舍去）∴；【小问3详解】解：①当时，点与点重合，舍去；②当时，如图所示，延长交于点P，∵点是的中点，，∴，设，∵∴，∴，设，∵∴，∴，∴，∴，连接交于点，∵，∴∴，∴，在与中，，，∴，又，∴，∴，∴，∴，，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键．。

上海市浦东新区2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．::=AE EC AD DBC．5．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）液面AB=（）A．1cm BC．3cm D．4cm6．《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是：如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH 的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（）A．105步B．200步C．250步D．305步中，12．如图，在ABCCD=，那么线段BC317．如图，D、E分别是若125DOECOASS=△△，则SS△△18．如图，在Rt ABC△中，AC上．将ADEV沿着DE所在的直线翻折，使点上．如果FD平分EFB∠，那么五、证明题21．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），CE的延长线交AD于点F，连接AE．（1）求证：△ABE∽△FDE；（2）当BE=3DE时，求tan∠1的值．六、解答题22．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF 恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)．七、证明题（1）求证：2AC AD AB =⋅；八、计算题24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求OAB ∠的余切值；(2)如果点C 为直线AB 上第一象限内的点，且2AB BC =，求点C 的坐标；(3)在（2）的条件下，直线AB 上是否存在点P ，使OAP △与OBC △相似，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．(1)如图1，当3BM=时，连结MD交AC于点E，求线段DE的长度；(2)如图2，当90DEC∠=︒时，求四边形ABME的面积；(3)如图3，过点M作AM的垂线，交边CD于点F，交AC于点G．设BM x=，FGAM 求y关于x的函数关系式，并写出定义域．。

上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编-01选择题（基础题）2目录一．二次函数的定义（共1小题） (2)二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） (2)三．二次函数图象与几何变换（共3小题） (2)四．等腰直角三角形（共1小题） (2)五．*平面向量（共5小题） (2)六．轨迹（共1小题） (3)七．比例线段（共1小题） (3)八．黄金分割（共1小题） (3)九．平行线分线段成比例（共3小题） (4)一十．相似图形（共1小题） (4)一十一．相似三角形的判定（共2小题） (4)一十二．锐角三角函数的定义（共3小题） (5)一十三．解直角三角形（共3小题） (5)一．二次函数的定义（共1小题） (6)二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） (6)三．二次函数图象与几何变换（共3小题） (7)四．等腰直角三角形（共1小题） (7)五．*平面向量（共5小题） (8)六．轨迹（共1小题） (10)七．比例线段（共1小题） (10)八．黄金分割（共1小题） (10)九．平行线分线段成比例（共3小题） (11)一十．相似图形（共1小题） (12)一十一．相似三角形的判定（共2小题） (13)一十二．锐角三角函数的定义（共3小题） (15)一十三．解直角三角形（共3小题） (15)一．二次函数的定义（共1小题）1．（2023•金山区一模）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝C．y＝3x2+1D．y＝二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）2．（2023•长宁区一模）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3B．﹣4C．0D．﹣1三．二次函数图象与几何变换（共3小题）3．（2023•崇明区一模）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）A．开口方向不变B．顶点不变C．对称轴不变D．与y轴的交点不变4．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝x2﹣3，如果点A（1，﹣2）与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B 的坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）5．（2023•长宁区一模）将抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝﹣（x+1）2+4C．y＝﹣x2+5D．y＝﹣x2+3四．等腰直角三角形（共1小题）6．（2023•奉贤区一模）如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，那么AP：AB等于（）A．B．C．D．2：3五．*平面向量（共5小题）7．（2023•杨浦区一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A．B．C．D．8．（2023•崇明区一模）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为||的4倍；向量与方向相同，且其模为||的2倍，则下列等式中成立的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝D．＝﹣9．（2023•金山区一模）已知，，是非零向量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣2 10．（2023•奉贤区一模）如果C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（）A．B．C．D．11．（2023•松江区一模）已知、为非零向量，下列判断错误的是（）A．如果＝2，那么∥B．如果＝，那么＝﹣C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．如果为单位向量，且＝2，那么||＝2六．轨迹（共1小题）12．（2023•杨浦区一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．2米C．米D．9米七．比例线段（共1小题）13．（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm八．黄金分割（共1小题）14．（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A．B．C．D．九．平行线分线段成比例（共3小题）15．（2023•徐汇区一模）如图，a∥b∥c，若，则下面结论错误的是（）A．B．C．D．16．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝17．（2023•奉贤区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能判定DE∥BC的是（）A．B．C．D．一十．相似图形（共1小题）18．（2023•长宁区一模）下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰梯形B．两个矩形C．两个直角三角形D．两个等边三角形一十一．相似三角形的判定（共2小题）19．（2023•杨浦区一模）如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD ＝∠B，下列结论中，错误的是（）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE20．（2023•松江区一模）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA 延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4一十二．锐角三角函数的定义（共3小题）21．（2023•崇明区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cos A的值是（）A．B．C．D．22．（2023•长宁区一模）在△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝3，AB＝5，那么∠A的余弦值为（）A．B．C．D．23．（2023•松江区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列结论正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝一十三．解直角三角形（共3小题）24．（2023•杨浦区一模）已知点A（1，2）在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为（）A．B．2C．D．25．（2023•奉贤区一模）在直角坐标平面内有一点A（3，1），设OA与x轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（）A．B．C．D．26．（2023•青浦区一模）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编（11套）-01选择题（基础题）2参考答案与试卷解析一．二次函数的定义（共1小题）1．（2023•金山区一模）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝C．y＝3x2+1D．y＝【答案】C【解答】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；B、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）2．（2023•长宁区一模）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3B．﹣4C．0D．﹣1【答案】D【解答】解：假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函数解析式得：，解得，函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝﹣2时，y＝5，故选：D．方法二：解：假设函数经过（0，﹣3），（2，﹣3），则对称轴为直线x＝1，此时y＝﹣4，函数值最小，∴函数开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，而表格中，x＝﹣2时，y＝﹣1，由题意不符，故选：D．三．二次函数图象与几何变换（共3小题）3．（2023•崇明区一模）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）A．开口方向不变B．顶点不变C．对称轴不变D．与y轴的交点不变【答案】A【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确；B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，顶点的横坐标改变，纵坐标不变，故错误；C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，形状不变，顶点改变，对称轴改变，故错误；D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，与y轴的交点也改变，故错误．故选：A．4．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝x2﹣3，如果点A（1，﹣2）与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B 的坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）【答案】D【解答】解：∵y＝x2﹣3的对称轴为x＝0，∴点A（1，﹣2）关于该抛物线的对称轴对称点B的坐标为（﹣1，﹣2），故选：D．5．（2023•长宁区一模）将抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝﹣（x+1）2+4C．y＝﹣x2+5D．y＝﹣x2+3【答案】A【解答】解：抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4．故选：A．四．等腰直角三角形（共1小题）6．（2023•奉贤区一模）如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，那么AP：AB等于（）A．B．C．D．2：3【答案】A【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴AC＝AB，由题意可知：AC＝AP，∴AP：AB＝AC：AB＝＝1：，故选：A．五．*平面向量（共5小题）7．（2023•杨浦区一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、得出的是向量n的方向不是单位向量，故不符合题意；B、符合向量的长度及方向，故符合题意；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；D、左边得出的是向量m的方向，右边得出的是向量n的方向，两者方向不一定相同，故不符合题意．故选：B．8．（2023•崇明区一模）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为||的4倍；向量与方向相同，且其模为||的2倍，则下列等式中成立的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝D．＝﹣【答案】B【解答】解：根据题意知，＝﹣4，＝2．则＝﹣2，观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．9．（2023•金山区一模）已知，，是非零向量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣2【答案】C【解答】解：∵，，∴，故A能；∵，∴，故B能；∵||＝||，不能判断与方向是否相同，故C不能；∵，，∴＝﹣，∴，故D能，故选：C．10．（2023•奉贤区一模）如果C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由题意得：||＝||，且它们的方向相反，∴+＝，，故选：B．11．（2023•松江区一模）已知、为非零向量，下列判断错误的是（）A．如果＝2，那么∥B．如果＝，那么＝﹣C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．如果为单位向量，且＝2，那么||＝2【答案】C【解答】解：A、如果＝2，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意．B、如果＝，那么两向量为共线向量，则＝﹣，故本选项不符合题意．C、||＝||，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．D、根据向量模的定义知，||＝2||＝2，故本选项不符合题意．故选：C．六．轨迹（共1小题）12．（2023•杨浦区一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．2米C．米D．9米【答案】A【解答】解：∵BC：AC＝1：3，∴3：AC＝1：3，∴AC＝9，∴AB＝＝＝3，∴物体从A到B所经过的路程为3，故选：A．七．比例线段（共1小题）13．（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【答案】C【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C．八．黄金分割（共1小题）14．（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故选：C．九．平行线分线段成比例（共3小题）15．（2023•徐汇区一模）如图，a∥b∥c，若，则下面结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由，得＝＝，故A不符合题意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合题意；根据已知条件得不出＝，故C符合题意；由＝，得＝＝，故D不符合题意；故选：C．16．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．17．（2023•奉贤区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能判定DE∥BC的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵，∴DE∥BC，选项A不符合题意；∵＝，∴DE∥BC，选项B不符合题意；由，不能判定DE∥BC，选项C符合题意；∵，∴DE∥BC，选项D不符合题意．故选：C．一十．相似图形（共1小题）18．（2023•长宁区一模）下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰梯形B．两个矩形C．两个直角三角形D．两个等边三角形【答案】见试卷解答内容【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形，故选：D．一十一．相似三角形的判定（共2小题）19．（2023•杨浦区一模）如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD ＝∠B，下列结论中，错误的是（）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE【答案】D【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，故A正确；∵△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠BAG＝∠CAE，∴△ADE∽△ACG，故B正确；∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAE，又∵∠ACD＝∠B，∴△ACE∽△ABG，故C正确；由已知条件无法证明△ADE∽△CGE，故D错误；故选：D．20．（2023•松江区一模）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA 延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：延长CD交射线BA于点E，∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，如图1，点P与点E重合，则△PAD与△EAD完全重合，∴△PAD∽△PBC；如图2，点P在点E与点A之间，∵∠PAD＝∠CBP，∴当＝时，△PAD∽△CBP，∵AB＝3，AD＝2，BC＝4，∴＝，解得AP＝或AP＝（不符合题意，舍去），∴此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；如图3，点P在AE的延长线上，若△PAD∽△PBC，则＝＝＝，∴PA＝PB，∴A为BP的中点，∴AP＝AB＝3＝AE，显然与点P在AE的延长线上不符，∴此时△PAD与△PBC不相似，综上所述，这样的点P有2个，故选：B．一十二．锐角三角函数的定义（共3小题）21．（2023•崇明区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cos A的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴cos A＝＝，故选：C．22．（2023•长宁区一模）在△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝3，AB＝5，那么∠A的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴cos A＝＝，故选：C．23．（2023•松江区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列结论正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴tan A＝＝，cot A＝＝，sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，故选：B．一十三．解直角三角形（共3小题）24．（2023•杨浦区一模）已知点A（1，2）在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为（）A．B．2C．D．【答案】C【解答】解：连接OA，作AB⊥x轴于点B，则∠ABO＝90°，∵点A（1，2）∴OB＝1，AB＝2，∴OA＝＝＝，∵射线OA与x轴正半轴的夹角为α，∴cosα＝＝＝，故选：C．25．（2023•奉贤区一模）在直角坐标平面内有一点A（3，1），设OA与x轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，∵A的坐标是（3，1），∴AB＝1，OB＝3，∵OA＝＝＝，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝，cotα＝＝3，故选：C．26．（2023•青浦区一模）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定【答案】C【解答】解：∵一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，∴扩大后的BC边上的高也扩大为原来的2倍，∴锐角A的正弦值没有变化，故选：C．。

2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题试卷练习—解答题（基础题）目录一．实数的运算（共2小题） (1)二．二次根式的性质与化简（共1小题） (2)三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） (2)四．二次函数的性质（共1小题） (2)五．二次函数图象与几何变换（共1小题） (3)六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） (3)七．抛物线与x轴的交点（共1小题） (4)八．三角形的重心（共1小题） (4)九．*平面向量（共1小题） (4)一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） (5)一十一．作图—应用与设计作图（共1小题） (5)一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题） (5)一十三．特殊角的三角函数值（共4小题） (7)一十四．解直角三角形（共1小题） (8)一十五．解直角三角形的应用（共1小题） (8)一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） (8)一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） (9)一．实数的运算（共2小题）1．（2023•宝山区一模）计算：．2．（2023•青浦区一模）计算：．二．二次根式的性质与化简（共1小题）3．（2023•长宁区一模）计算：．三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）4．（2023•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，a）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，新函数的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，如果点B的纵坐标是横坐标的3倍，求m的值．四．二次函数的性质（共1小题）5．（2023•松江区一模）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．五．二次函数图象与几何变换（共1小题）6．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）7．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线；（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．8．（2023•长宁区一模）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．（1）求t的值并写出函数解析式；（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．七．抛物线与x轴的交点（共1小题）9．（2023•徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+9．（1）用配方法把二次函数y＝﹣3x2+6x+9化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；（2）如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，求四边形DACB的面积．八．三角形的重心（共1小题）10．（2023•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．（1）设，＝（用向量表示）；（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．九．*平面向量（共1小题）11．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）12．（2023•宝山区一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）13．（2023•杨浦区一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：＝；sin∠ABC＝；（1）S△ABC＝S△ABC．（不要求写作法，（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP但保留作图痕迹，写出结论）一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）14．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3．（1）求的值；（2）联结FC，设，，那么＝，＝.（用向量、表示）15．（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求证：AE•BD＝AD•DC；（2）如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．16．（2023•长宁区一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．（1）求证：△BDG∽△CBA；（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．17．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD ＝2DB．（1）如果BC＝4，求DE的长；（2）设＝，＝，用、表示．18．（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，试用、表示向量．19．（2023•青浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD、BE 相交于点F，∠AFE＝∠ABC，AB2＝AE•AC．（1）求证：△ABF∽△BCE；（2）求证：DF•BC＝DB•CE．一十三．特殊角的三角函数值（共4小题）20．（2023•崇明区一模）计算：4cos30°﹣cos45°tan60°+2sin245°．21．（2023•金山区一模）计算：+2cot30°•sin60°．22．（2023•普陀区一模）计算：﹣4cot30°•cos230°．23．（2023•奉贤区一模）计算：4cos30°•sin60°+．一十四．解直角三角形（共1小题）24．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE ⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．（1）求∠ABC的正切值；（2）求的值．一十五．解直角三角形的应用（共1小题）25．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）26．（2023•崇明区一模）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i＝1：的斜坡CD．如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．（1）当影子全在水平地面BC上（图1）．求标尺与路灯间的距离；（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）27．（2023•松江区一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（基础题）答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•宝山区一模）计算：．【正确答案】﹣3﹣2．解：原式＝2×﹣|1﹣|+＝1﹣（﹣1）+＝1﹣+1﹣2（+2）＝2﹣﹣2﹣4＝﹣3﹣2．2．（2023•青浦区一模）计算：．【正确答案】．解：＝＝＝．二．二次根式的性质与化简（共1小题）3．（2023•长宁区一模）计算：．【正确答案】﹣1．解：原式＝+＝+（2﹣）＝+﹣＝﹣1．三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）4．（2023•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，a）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，新函数的图象与反比例函数y ＝（x＞0）的图象交于点B，如果点B的纵坐标是横坐标的3倍，求m的值．【正确答案】（1）y＝x；（2）．解：（1）根据题意，将点A（3，a）代入反比例函数y＝，得3a＝3，解得a＝1，∴点A坐标为（3，1），将点A（3，1）代入正比例函数y＝kx，得3k＝1，解得k＝，∴正比例函数解析式为y＝x；（2）这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，得y＝，设点B横坐标为t，则纵坐标为，∵点B的纵坐标是横坐标的3倍，∴＝3t，解得t＝1或t＝﹣1（舍），∴点B坐标为（1，3），将点B坐标代入y＝，得3＝+m，解得m＝．四．二次函数的性质（共1小题）5．（2023•松江区一模）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．【正确答案】（1）二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）画图象见解答过程；（3）当x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大．解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）由（1）知抛物线顶点为（1，3），由y＝2x2﹣4x﹣1可得抛物线过（0，﹣1），（2，﹣1），（3，5），（﹣1，5），如图：（3）当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．五．二次函数图象与几何变换（共1小题）6．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．【正确答案】（1）平移后新抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）2+2，抛物线开口方向向下，顶点坐标为（﹣2，2），对称轴为直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；（2）图象见解答．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位得新抛物线解析时为y＝﹣（x﹣1+3）2+4﹣2，即y＝﹣（x+2）2+2，∴抛物线开口方向向下，顶点坐标为（﹣2，2），对称轴为直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；（2）∵抛物线的顶点为（﹣2，2），对称轴为x＝﹣2，当x＝﹣1或﹣3时，y＝1，当x＝0或﹣4时，y＝﹣2，∴用五点法画出函数图象，如图所示：六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）7．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线x＝2；（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．【正确答案】（1）x＝2；解：（1）∵A（1，m）、B（3，n），m＝n，∴点A和点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；故x＝2；（2）把A（1，m）、B（3，n）分别代入y＝x﹣1得m＝0，n＝2，∴A（1，0）、B（3，2），把A（1，0）、B（3，2）分别代入y＝ax2+bx+2得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．8．（2023•长宁区一模）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．（1）求t的值并写出函数解析式；（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【正确答案】（1）t＝2，y＝4x2﹣4x﹣3；（2）开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．解：（1）根据题意得t+2≠0且t2﹣2＝2，解得t＝2，所以抛物线解析式为y＝4x2﹣4x﹣3；（2）y＝4x2﹣4x﹣3＝4（x﹣）2﹣4，∵a＝4＞0，∴该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．七．抛物线与x轴的交点（共1小题）9．（2023•徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+9．（1）用配方法把二次函数y＝﹣3x2+6x+9化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；（2）如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与x轴交于点A、B（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，求四边形DACB的面积．【正确答案】（1）y＝﹣3（x﹣1）2+12，图象开口向下，对称轴x＝1，顶点坐标为（1，12）；（2）54．解：（1）y＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x2﹣2x）+9＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1）+9＝﹣3（x﹣1）2+12，∴y＝﹣3（x﹣1）2+12，∵﹣3＜0，∴图象开口向下，则对称轴x＝1，顶点坐标为（1，12）；（2）根据题意可得平移后的解析式为：y＝﹣3（x﹣3）2+12，∴顶点坐标为（3，12），即D（3，12），当y＝0时，即﹣3（x﹣3）2+12＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∵新函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），∴A（1，0），B（5，0），当x＝0是，y＝﹣15，∴点C的坐标为（0，﹣15），＝S△ABD+S△ABC如图所示S四边形ACBD＝×4×12+×4×15＝54，∴四边形DACB的面积为54．八．三角形的重心（共1小题）10．（2023•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．（2）边AC的长为3．解：（1）连接AG并延长交BC于M，如图：∵G是△ABC的重心，∴AG＝2MG，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABM，△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴DE＝BC，∵＝，DE∥BC，∴＝；故；（2）∵AB＝9，由（1）知＝，∴AD＝6，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即AC2＝AB•AD，∴AC2＝9×6，解得AC＝3（负值已舍去），∴边AC的长为3．九．*平面向量（共1小题）11．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．【正确答案】（1）证明见解答；（2）＝2﹣．（1）证明：∵BD＝AB＝BC，E是BD的中点，∴BE＝BD，∴＝，＝＝，又∵∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵BD＝AB＝BC，∴BD＝DC，∴＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝2﹣．一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）12．（2023•宝山区一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．【正确答案】（1）；（2）120°．解：（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，∵CD平分AB，∴AE＝BE＝3，CD⊥AB，在Rt△OAE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为；（2）连接OB，如图，∵DE＝3EC，∴OC+OE＝3EC，即OE+CE+OE＝3CE，∴OE＝CE，∴OE＝OC＝OA，在Rt△OAE中，∵sin A＝＝，∴∠A＝30°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠A＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，即弦AB所对的圆心角的度数为120°．一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）13．（2023•杨浦区一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：＝4；sin∠ABC＝；（1）S△ABC＝S△ABC．（不要求写作法，（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP但保留作图痕迹，写出结论）【正确答案】（1）4，；（2）作图见解答过程．解：（1）由图可得：S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×2＝4，过A作AD⊥BC于D，如图：∵וAD＝4，∴AD＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故4，；（2）如图：点P即为所求点．一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）14．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3．（1）求的值；（2）联结FC，设，，那么＝，＝.（用向量、表示）【正确答案】（1）；（2），．解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE＝CD，∵EF：CD＝1：3，∴EF：AE＝1：3，EF：AF＝1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；（2）联结FC，如图，由（1）可得AF＝2EF，∵，∴，，∴＝，＝，∵，AD＝EC，∴，∴＝＝，∴＝＝．故，．15．（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求证：AE•BD＝AD•DC；（2）如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【正确答案】（1）（2）证明见解析．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵∠EAD＝∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD＝DC：BD，∴AE•BD＝AD•DC；（2）∵AE：AD＝DC：BD，且，∴＝，而∠EDF＝∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF＝∠DBC，∴EF∥BC．16．（2023•长宁区一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．（1）求证：△BDG∽△CBA；（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．【正确答案】（1）证明见解答过程；（2）60．（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EF垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵∠GBD＝∠C，∠BDG＝∠CBA，∴△BDG∽△CBA；（2）解：由（1）知△BDG∽△CBA，∴＝，∵AB＝18，DG＝6，∴＝＝，∴＝，∴＝，＝180，∵S△ADC＝90，∴S△ABD∵AC＝AB＝18，DG＝6，∴AG＝12，∴＝，∴＝，＝S△ABD＝×90＝60．∴S△ABG17．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD ＝2DB．（1）如果BC＝4，求DE的长；（2）设＝，＝，用、表示．【正确答案】（1）DE＝；（2）＝+．解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝2DB，∴＝，∴＝，∴DE＝BC，∵BC＝4，∴DE＝；（2）由（1）知DE＝BC，∴BC＝DE，∵DE∥BC，＝，∴＝，∴＝+＝+．18．（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，试用、表示向量．【正确答案】（1）EA：AB的值为；（2）．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF＝2AF，∴，∴；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DF＝2AF，∴，∵，，∴，，∴．19．（2023•青浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD、BE 相交于点F，∠AFE＝∠ABC，AB2＝AE•AC．（1）求证：△ABF∽△BCE；（2）求证：DF•BC＝DB•CE．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．证明：（1）∵AB2＝AE•AC，∴，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABF＝∠C，∠ABC＝∠AEB，∵∠ABC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEB，∴180°﹣∠AFE＝180°﹣∠AEB，即∠AFB＝∠BEC，∴△ABF∽△BCE；（2）∵△ABF∽△BCE，∴，∠CBE＝∠BAF，∵∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴，∴＝，∴DF•BC＝DB•CE．一十三．特殊角的三角函数值（共4小题）20．（2023•崇明区一模）计算：4cos30°﹣cos45°tan60°+2sin245°．【正确答案】2﹣+1．解：原式＝4×﹣×+2×（）2＝2﹣+2×＝2﹣+1．21．（2023•金山区一模）计算：+2cot30°•sin60°．【正确答案】4．解：原式＝+2××＝+3＝1+3＝4．22．（2023•普陀区一模）计算：﹣4cot30°•cos230°．【正确答案】﹣4．解：原式＝﹣4×＝﹣3＝﹣﹣3＝﹣4．23．（2023•奉贤区一模）计算：4cos30°•sin60°+．【正确答案】5+．解：原式＝4××+＝3+＝3+2+＝5+．一十四．解直角三角形（共1小题）24．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE ⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．（1）求∠ABC的正切值；（2）求的值．【正确答案】（1）tan B＝；（2）＝2．解：（1）过A作AH⊥BC于H，如图：∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝；（2）由（1）知tan B＝，∴tan C＝，∴＝，∵D是AC的中点，AC＝10，∴CD＝5，∴DE＝4，CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝12﹣3＝9，∵tan B＝，∴＝，∴EF＝12，∴DF＝EF﹣DE＝12﹣4＝8，∴＝＝2．一十五．解直角三角形的应用（共1小题）25．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）【正确答案】见试题解答内容解：过P作PH⊥AB于H，如图：由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，∵∠PAH＝45°，∴∠APH＝∠PAH＝45°，∴AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，tan30°＝，∴BH＝＝50≈86.6米，∴AB＝AH+BH≈136.6米，∵60千米/小时＝米/秒，而136.6÷≈8.2（秒），∴车辆通过AB段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）26．（2023•崇明区一模）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i＝1：的斜坡CD．如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．（1）当影子全在水平地面BC上（图1）．求标尺与路灯间的距离；（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？【正确答案】（1）标尺与路灯间的距离为8米；（2）此时标尺与路灯间的距离为14米．解：如图1，连接AE并延长，交BC于点G，由题意可知，AB＝9米，EF＝3米，FG＝4米，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△GEF∽△GAB，∴，即，∴BG＝12米，∴BF＝BG﹣FG＝12﹣4＝8（米），∴标尺与路灯间的距离为8米；（2）如图2，连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，由题意可得，CF+CH＝4米，，设CH＝x米，则CF＝（4﹣x）米，HP＝米，CP＝米，∴MF＝BN＝HP＝米，MH＝米，∴AN＝米，ME＝米，∵BC＝15.5米，∴NH＝米，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴∠EMH＝∠ANH，∠HEM＝∠HAN，∴△HEM∽△HAN，∴，即，整理得：2x2+9x﹣35＝0，解得：x1＝﹣7（不符合题意，舍去），，则CF＝4﹣x＝4﹣＝1.5（米），∴BF＝BC﹣CF＝15.5﹣1.5＝14（米），∴此时标尺与路灯间的距离为14米．一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）27．（2023•松江区一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【正确答案】旗杆AB的高度是12.1米．解：设直线EF交AB于G，如图：根据题意，∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，∴△AEG的等腰直角三角形，∴AG＝GE，设AG＝GE＝x米，则旗杆AB高度为（x+1.6）米，∴GF＝GE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△AGF中，tan∠AFG＝，∴tan37°＝，即0.75＝，解得：x＝10.5，∴x+1.6＝10.5+1.6＝12.1，答：旗杆AB的高度是12.1米．。

上海市2023年中考数学真题一、选择题：(本大题共6题，每题4分，共24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1.下列运算正确的是()A.a 5÷a 2=a 3 B.a 3+a 3=a 6 C.a 3 2=a 5 D.a 2=a 2.在分式方程2x -1x 2+x 22x -1=5中，设2x -1x 2=y ，可得到关于y 的整式方程为()A.y 2+5y +5=0B.y 2-5y +5=0C.y 2+5y +1=0D.y 2-5y +1=03.下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是()A.y =6xB.y =-6xC.y =6x D.y =-6x 4.如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是()A.小车的车流量与公车的车流量稳定；B.小车的车流量的平均数较大；C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D.小车与公车车流量的变化趋势相同。

5.在四边形ABCD 中，AD ∥BC ,AB =CD 。

下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是()A.AB ∥CDB.AD =BCC.∠A =∠BD.∠A =∠D 6.已知在梯形ABCD 中，连接AC ，BD ，且AC ⊥BD ，设AB =a ,CD =b 。

下列两个说法：①AC =22a +b ；②AD =22a 2+b 2则下列说法正确的是()A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误二、填空题：(本大题共12题，每题4分，共48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.分解因式：n 2-9=________。

8.化简：21-x -2x 1-x的结果为________。

9.已知关于x 的方程x -14=2，则x =________。

10.函数f x =1x -23的定义域为________。

2023年上海市15区中考数学一模汇编专题08解直角三角形的应用（解答题22题）一．解答题（共15小题）1．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）2．（2022秋•嘉定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图4，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°，即∠ADC＝17°（此时点B、C、D在同一直线上）．求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）3．（2022秋•杨浦区校级期末）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向1000米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）（2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离45米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）5．（2022秋•静安区期末）有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．6．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1：2，斜坡AB的长为6米，车库的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°（图中的∠ACB＝14°）．（1）求车库的高度AH；（2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25，cot14＝4.01）7．（2022秋•徐汇区校级期末）某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同时满足下面两个条件：（1）当太阳光与地面的夹角是α时，太阳光刚好射入室内．（2）当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬BCD中CD的长、CD离地面的高度．8．（2022秋•浦东新区期末）某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面ABCD是等腰梯形（如图所示），坝顶AD宽为8米，坝高为4米，斜坡AB的坡度为1：1.5．（1）求横断面ABCD的面积；（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按斜坡AB的坡度竖直加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积＝横断面的面积×堤坝的长度）9．（2022秋•金山区校级期末）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝度，∠ADC＝度；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．10．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）11．（2022秋•徐汇区期末）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地．已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若要打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（用进一法．结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）12．（2022秋•黄浦区期末）圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即∠CBD）为35°34′，夏至正午太阳高度角（即∠CAD）为82°26′，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长）约为多少米？（参考数据见表，结果精确到个位）αsinαcosαtanα35°34′0.580.810.7282°26′0.990.137.5（注：表中三角比的值是近似值）13．（2022秋•杨浦区期末）如图，高压电线杆AB垂直地面，测得电线杆AB的底部A到斜坡C的水平距离AC长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为37°．已知斜坡CD的坡比i＝1：2.4，求该电线杆AB的高．（参考数据：sin37°＝0.6）14．（2022秋•徐汇区期末）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求DE的值；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．15．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD 的高度．（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果精确到0.1米）2023年上海市15区中考数学一模汇编专题08解直角三角形的应用（解答题22题）一．解答题（共15小题）1．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【分析】由已知可得△ABC中∠C＝67°，∠B＝37°且AB＝20海里．要求BC的长，可以过A作AD ⊥BC于D，先求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形．【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sin B＝，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cos B＝，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝，∴CH＝≈5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．2．（2022秋•嘉定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图4，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°，即∠ADC＝17°（此时点B、C、D在同一直线上）．求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【分析】根据坡度的概念，设AB＝5x米，则BC＝12x米，根据勾股定理列出方程，解方程求解，然后根据余切的定义列出算式，求出DC．【解答】解：由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，设AB＝5x米，则BC＝12x米，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5米，BC＝12米，在Rt△ABD中，tan∠ADC＝，∵∠ADC＝17°，AB＝5米，∴，∴CD≈4.1（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为4.1米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区校级期末）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向1000米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）（2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【分析】（1）延长CB到点D，使CD⊥AD于D，设BD＝x，则AB＝2x，，CD＝900+x，在Rt△ACD中，，即可求出x＝450，根据Rt△ACD中，即可求出湖岸A 与码头C的距离；（2）设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程＝BC+AC，列出方程，求出时间t，再和5分钟进行比较即可求解．【解答】解：（1）延长CB到点D，使CD⊥AD于D，由题易知：，CD＝AD，，BD＝AD，∴（米），∴AD＝500，∴AC＝2AD＝1000≈1732（米），则1800t+320•（t﹣）＝1732，500t＝2732，解得：，∴6min内可以将该游客送上救援船．【点评】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离45米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AD⊥HB，交HB的延长线于点D，由坡度的定义计算出BD与AD的关系，根据勾股定理求出AD即可得到答案；（2）过点A作AE⊥GH于点H，则四边形ADHE是矩形，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥HB，交HB的延长线于点D，∴∠ADB＝90°，∵山坡AB的坡度，AB＝30米，∴，；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝15米，∴山坡的高度为15米；（2）过点A作AE⊥GH于点H，则四边形ADHE是矩形，由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝45米，∵米，∴米，在Rt△AGE中，，∴米，又∵EH＝AD＝15米，∴米，答：铁塔的高度GH为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，掌握锐角三角函数、坡度的意义是解题的关键．5．（2022秋•静安区期末）有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．【分析】（1）由∠α的余弦求出∠α的度数，即可解决问题；（2）由∠DEO的正弦求出∠DEO，即可解决问题．【解答】解：（1）∵cosα＝＝≈0.417，∴α≈65°，∵50°≤65°≤75°，∴此时人能安全地使用这架梯子；（2）此时人不能安全使用这架梯子，理由如下：梯子顶端A离开地面最高时，∠ABO＝75°，∵sin∠ABO＝，∴AO＝AB•sin75°＝6×sin75°≈5.82（米），梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点，OD＝AO﹣AD＝5.82﹣1.5＝4.32（米），∵sin∠DEO＝＝＝0.72，∴∠DEO≈46°，∵46°＜50°，∴此时人不能安全使用这架梯子．【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的三角函数定义求出梯子与地面的夹角．6．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1：2，斜坡AB的长为6米，车库的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°（图中的∠ACB＝14°）．（1）求车库的高度AH；（2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25，cot14＝4.01）【分析】（1）利用坡度为i＝1：2，得出AH：BH＝1：2，进而利用勾股定理求出AH的长；（2）利用tan14°＝，求出BC的长即可．【解答】解：（1）由题意可得：AH：BH＝1：2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2+（2x）2＝（6）2，解得：x＝6，答：车库的高度AH为6m；（2）∵AH＝6，∴BH＝2AH＝12，∴CH＝BC+BH＝BC+12，在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝，∴0.25＝，解得：BC＝12，答：点B与点C之间的距离是12m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，注意：坡度等于坡角的正切值．7．（2022秋•徐汇区校级期末）某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同时满足下面两个条件：（1）当太阳光与地面的夹角是α时，太阳光刚好射入室内．（2）当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬BCD中CD的长、CD离地面的高度．【分析】在直角三角形△BCD和△ACD，利用相应的三角函数用BC分别表示出CD、AC长，而AC﹣BC＝AB，由此即可求得BC长，进而求得CD长．【解答】解：设BC＝x米，∵∠α＝30°，∠β＝60°，∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，∴CD＝x，在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，∴CD＝，∴＝x，解得x＝，∴CD＝（米），CD离地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．答：直角形遮阳蓬BCD中CD的长为米，CD离地面的高度3.05米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，在解直角三角形的题目中，应先找到和所求线段相关的线段所在的直角三角形，然后确定利用什么形式的三角函数，最后解直角三角形即可求出结果．此题还需注意太阳光线是平行的．8．（2022秋•浦东新区期末）某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面ABCD是等腰梯形（如图所示），坝顶AD宽为8米，坝高为4米，斜坡AB的坡度为1：1.5．（1）求横断面ABCD的面积；（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按斜坡AB的坡度竖直加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积＝横断面的面积×堤坝的长度）【分析】（1）作分别过A，D作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，可得四边形AEFD为矩形，得到EF＝AD，根据AB的坡度可求得BE的长，证得Rt△ABE≌Rt△DCF可得到CF的长，根据梯形的面积公式即可求得结果；（2）根据堤坝的上下底不变，高AE增加1米，求出梯形ABCD的面积，即可求得增高后需要混泥土的土方数．【解答】解：（1）分别过A，D作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，∵堤坝的横断面ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，AD∥BC，∴AE＝DF，AE⊥AD，∴四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF＝8米，∵AB的坡度为1：1.5，AE＝4米，∴＝，∴BE＝6米，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝CF＝6米，∴BC＝AE+EF+CF＝20米，∴横断面ABCD的面积＝（AD+BC）•AE＝（8+20）×4＝56（平方米）；（2）斜坡AB的坡度竖直加高1米，BC的长不变，横断面的高＝5，∴AD＝BC﹣2×1.5×5＝5，∴横断面ABCD的面积＝（AD+BC）•AE＝（5+20）×5＝（平方米），（﹣56）×50＝325（立方米）．答：加高堤坝需要325立方米的混泥土．【点评】本题考查了坡度坡角的求解，正确作出辅助线，根据坡度求出BE的长度是解题的关键．9．（2022秋•金山区校级期末）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝75度，∠ADC＝60度；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．【分析】（1）由平角的性质可得∠APD；过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，根据三角形内角和定理可得∠ADC．（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，tan30°＝，解得DE＝，结合CD＝DE+EC可得出答案．（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE，可得PF＝AE＝100米，再根据PG＝PF+FG可得出答案．【解答】解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．故答案为：75；60．（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，tan30°＝，解得DE＝，∴CD＝DE+EC＝（+10）米．∴楼CD的高度为（+10）米．（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE，∵∠DAE＝∠30°，∴∠PAD＝30°，∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°，∴∠ADP＝∠APD，则AP＝AD，∴△APF≌△DAE（AAS），∴PF＝AE＝100米，∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）．∴此时无人机距离地面BC的高度为110米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．10．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据题意可得：∠ACD＝90°，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，分别利用锐角三角函数的定义求出BC，CD的长，最后根据BD＝10.6米，列出关于AC的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，∴DC＝AC•tan45°＝AC，在Rt△ABC中，∠BAC＝53°，∴BC＝AC•tan53°≈1.33AC，∵BD＝10.6米，∴BC﹣CD＝10.6，∴1.33AC﹣AC＝10.6，∴AC≈32.1米，∴此时观测点A到发射塔CD的水平距离约为32.1米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．11．（2022秋•徐汇区期末）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地．已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若要打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（用进一法．结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×＝＝480km，BD＝AB•cos67°＝520×＝200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×，∴AC＝AD+CD＝480+≈480+116＝596（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为596km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．12．（2022秋•黄浦区期末）圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即∠CBD）为35°34′，夏至正午太阳高度角（即∠CAD）为82°26′，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长）约为多少米？（参考数据见表，结果精确到个位）αsinαcosαtanα35°34′0.580.810.7282°26′0.990.137.5（注：表中三角比的值是近似值）【分析】设CD＝x米，由∠CAD，∠CBD的正切定义表示出DA，BD的长，列出关于x的方程，即可解决问题．【解答】解：设CD＝x米，∵tan∠DAC＝，∴AD＝＝≈（米），∵tan∠CBD＝，∴BD＝＝≈（米），∵DA+AB＝DB，∴+11.3＝，∴x＝9，答：损坏的“表”原来的高度（即CD的长）约为9米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的正切定义列出关于CD的方程．13．（2022秋•杨浦区期末）如图，高压电线杆AB垂直地面，测得电线杆AB的底部A到斜坡C的水平距离AC长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为37°．已知斜坡CD的坡比i＝1：2.4，求该电线杆AB的高．（参考数据：sin37°＝0.6）【分析】过点D作DE垂直AC的延长线于点E，DF垂直AB于点F，根据斜坡CD的坡比i＝1：2.4，CD＝5.2米，求出CE、DE的长度，然后求出AE和DF的长度，在△BDF中，求出BF的长度，即可求出AB的长度．【解答】解：过点D作DE垂直AC的延长线于点E，DF垂直AB于点F，则四边形AEDF为矩形，AF＝DE，AE＝DF，∵斜坡CD的坡比i＝1：2.4，CD＝5.2米，∴设DE＝x，CE＝2.4x，CD＝＝2.6x＝5.2米，解得：x＝2，则DE＝AF＝2米，CE＝4.8米，∴AE＝DF＝AC+CE＝15.2+4.8＝20（米），在△BDF中，∵∠BDF＝37°，DF＝20米，sin37°＝0.6，∴cos37°＝＝0.8，∴BF＝DF tan37°＝DF＝20×＝15（米），∴AB＝AF+BF＝2+15＝17（米）．答：该电线杆AB的高为17米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．14．（2022秋•徐汇区期末）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求DE的值；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．【分析】（1）设DE＝5x米，则CE＝12x米，根据勾股定理得到结论；（2）根据勾股定理得到CE＝＝4，过点D作DF⊥AB于点F．根据矩形的性质得到DE＝AF＝2米，DF＝AE，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，∴＝，设DE＝5x米，则CE＝12x米，在Rt△CDE中，CD＝26米，由勾股定理得（5x）2+（12x）2＝（13x）2＝262，解得x＝2．∴斜坡CD的高度DE为10米；（2）在Rt△CDE中，∵CD＝26米，DE＝10米，∴CE＝＝24米，过点D作DF⊥AB于点F．则DE＝AF＝10米，DF＝AE，在Rt△BDF中，∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝a米，则DF＝a米，则AB＝BF+AF＝（10+a）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，tan60°＝＝＝，解得AC＝（10+a），∴AE＝AC+CE＝（10+a）+24＝a，解得a＝5+12．∴AB＝10+5+12＝（15+12）米．∴大楼AB的高度为（15+12）米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．15．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD 的高度．（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果精确到0.1米）【分析】过点B作BE⊥CD与点E，解直角三角形得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE＝45°，∠DAC＝60°，CE＝AB＝16，设AC＝x，则CD＝x，BE＝AC＝x，∵DE＝CD﹣CE＝x﹣16，∵∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴BE＝DE，∴x＝x﹣16，∴x＝8+8，CD＝x＝24+8≈37.9（米），答：商务楼CD的高度为37.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，能正确解直角三角形是解此题的关键．。

上海市浦东新区2023届高三上学期一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合()2,2A =-，()3,1B =-，则A B = ______.2．若幂函数a y x =的图象经过点)，则实数=a ______.3．函数()2log 2y x =-的定义域为______.4．()52x +的二项展开式中2x 的系数为______.5．若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．6．已知α为锐角，若π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.7．已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为______.（精确到0.01）8．已知抛物线2:16C y x =的焦点为F ，在C 上有一点P 满足13PF =，则点P 到x 轴的距离为______.9．某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.10．如图，在ABC 中，点D 、E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AB y AC +=+，，则19x y+的最小值为______.11．已知定义在()π,π-上的函数()()()cos cos 0πf x x x x ϕϕ=+-<<为偶函数，则()f x 的严格递减区间为______.12．已知项数为m 的有限数列{}(),2n a m m ∈≥N 是1，2，3，…，m 的一个排列.若12231m m a a a a a a --≤-≤⋅⋅⋅≤-，且1112m k k k a a m -+=-=+∑，则所有可能的m 值之和为______.二、单选题13．已知x ，y ∈R ，则“||x y +=||||x y +”是“0xy >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．虚数的平方是（）A ．正实数B ．虚数C ．负实数D ．虚数或负实数15．已知直线l 与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）①平面α内的所有直线均与直线l 异面；②平面α内存在与直线l 垂直的直线；③平面α内不存在直线与直线l 平行；④平面α内所有直线均与直线l 相交.A ．1B ．2C ．3D ．416．已知平面直角坐标系中的直线1:3l y x =、2:3l y x =-.设到1l 、2l 距离之和为12p 的点的轨迹是曲线1C ，1l 、2l 距离平方和为22p 的点的轨迹是曲线2C ，其中1p 、20p >.则1C 、2C 公共点的个数不可能为（）A ．0个B ．4个C ．8个D ．12个三、解答题17．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，14a =，且1a ，3a ，4a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值.18．如图，三棱锥-P ABC 中，侧面PAB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体PAOC 的体积.19．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD 所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD 区域中，将三角形ABD 区域设立成花卉观赏区，三角形BCD 区域设立成烧烤区，边AB 、BC 、CD 、DA 修建观赏步道，边BD 修建隔离防护栏，其中100CD =米，200BC =米，π3A ∠=.(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD 区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？20．已知1F 、2F 分别为椭圆221:14x C y +=的左、右焦点，直线1l 交椭圆1C 于A 、B 两点.(1)求焦点1F 、2F 的坐标与椭圆1C 的离心率1e 的值；(2)若直线1l 过点2F 且与圆221x y +=相切，求弦长AB 的值；(3)若双曲线2C 与椭圆共焦点，离心率为2e ，满足212e e =，过点2F 作斜率为()0k k ≠的直线2l 交2C 的渐近线于C 、D 两点，过C 、D 的中点M 分别作两条渐近线的平行线交2C 于P 、Q 两点，证明：直线PQ 平行于2l .21．已知定义域为R 的函数()y f x =.当a ∈R 时，若()()()()f x f a g x x a x a-=>-是严格增函数，则称()f x 是一个“()T a 函数”.(1)分别判断函数()153f x x =+、()2222f x x x =++是否为()1T 函数；(2)是否存在实数b ，使得函数()e ,01,0x x h x bx x ⎧<=⎨+≥⎩，是()1T -函数？若存在，求实数b 的取值范围；否则，证明你的结论；(3)已知()()2e 1x J x qx =+，其中q ∈R .证明：若()J x '是R 上的严格增函数，则对任意n ∈Z ，()J x 都是()T n 函数.参考答案：1．()2,1-【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】因为()2,2A =-，()3,1B =-，所以()2,1A B ⋂=-，故答案为：()2,1-.2．4【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求a 即可.【详解】因为幂函数a y x =的图象经过点)，所以3a=，所以433a=，所以4a =，故答案为：4.3．(),2-∞【分析】由真数大于0求出定义域.【详解】由题意得：20x ->，解得：2x <，故定义域为(),2-∞.故答案为：(),2-∞.4．80【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】()52x +的二项展开式中含2x 的项为32325C 280x x ⋅⋅=，所以2x 的系数为80.故答案为：805．π2【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式πS rl =求得结果.【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径12r =，母线1l =，故圆锥的侧面积ππ2S rl ==.故答案为：π2.6．7-【分析】由条件结合诱导公式可求cos α，再由同角关系求tan α，结合两角和正切公式求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=，又α为锐角，所以4sin 5α==，sin 4tan cos 3ααα==，所以4π1tan tanπ34tan 7π441tan tan 143ααα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--.故答案为：7-.7．0.36【分析】先求样本数据的平均数，再由方差的定义求方差.【详解】由已知样本数据的平均数为5.6 5.8 6.2 6.3 6.6 6.67.37.46.4758+++++++=，所以样本数据的方差()()()()()()()222222221 5.6 6.475 5.8 6.475 6.2 6.475 6.3 6.475 6.6 6.475 6.6 6.4757.3 6.4758s ⎡=-+-+-+-+-+-+-+⎣化简可得，()()()()()()()()22222222210.8750.6750.2750.1750.1250.1250.8250.9258s ⎡⎤=-+-+-+-++++⎣⎦，所以21 2.8950.368s =⨯≈.故答案为：0.36.8．12【分析】由条件结合抛物线的定义求出点P 横坐标，再由抛物线方程求其纵坐标，由此可求点P 到x 轴的距离.【详解】因为抛物线C 的方程为216y x =，所以其焦点F 的坐标为()4,0，其准线方程为4x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，因为13PF =，所以点P 到准线4x =-的距离为12，即0413x +=，所以09x =，因为点()00,P x y 在抛物线216y x =上，所以20169144y =⨯=，所以012y =±，所以点P 的坐标为()9,12或()9,12-，故点P 到x 轴的距离为12.故答案为：12.9．1835【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率公式求概率.【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有37C 种，再求出选出的3名医生中恰有1名女医生的组合有1234C C 种，所以事件恰有1名女医生的概率123437C C 18C 35P =＝.故答案为：183510．8【分析】以向量AB AC，为基底，表示向量,AD AE ,结合平面向量基本定理可得2x y +=，再利用基本不等式求19x y+的最小值.【详解】设BD BC λ= ，EC BC μ= ，则01λ≤≤，01μ≤≤，AD AB BD AB BC λ=+=+，AE AC CE AC BC μ=+=-，所以()()()AD AE AB AC AB BC AC A C B A λμλμ+-=+-+++-=，所以()()11AD AE AB AC λμλμ++=-++- ，又AD AE x AB y AC +=+ ，所以1,1x y λμλμ=-+=+-，所以2x y +=，因为01λ≤≤，01μ≤≤，所以10μ-≤-≤，11λμ-≤-≤，所以012λμ≤+-≤，即02y ≤≤，同理可得02x ≤≤，若0y =则，1μλ-=，因为DB BC λ=- ，EC BC μ=，所以DB EC BC += ，所以DB BC CE BE =+= ，即0BE BD +=，此时,,B D E 三点重合，与已知矛盾，所以02y <≤，同理02x <≤所以111191()1010829922y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当9y x x y =，即12x =，32y =时取等号；所以19x y+的最小值为8．故答案为：8．11．ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭和π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由偶函数的性质求ϕ，再由导数与函数的单调性的关系求()f x 的严格递减区间.【详解】因为函数()()()cos cos 0πf x x x x ϕϕ=+-<<在()π,π-为偶函数，所以()()f x f x -=-恒成立，即()()()cos cos cos cos x x x x x x ϕϕ--+--=+-，所以()()cos +cos 0x x ϕϕ+-=，所以cos cos 0x ϕ=，又0πϕ<<，故π2ϕ=，所以()πcos cos sin cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，其中()π,πx ∈-，所以()sin cos sin cos f x x x x x x x '=--+=-，令()0f x '<，π0cos 0x x -<<⎧⎨<⎩或0πcos 0x x <<⎧⎨>⎩，解得ππ2x -<<-或π02x <<，所以()f x 的严格递减区间为ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭和π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭和π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.12．9【分析】首先通过试值法可知，当2m =或3不满足题意，当4m =或5时满足题意，然后证明当6m ≥，N m ∈不满足题意即可.【详解】当2m =时，显然不合题意;当3m =时,因为12(1,2)+-≤=i i a a i ,所以12235-+-<a a a a ,不符合题意;当4m =时,数列为3,2,4,1，此时1223346-+-+-=a a a a a a ,符合题意，当5m =时,数列为23451,,,,.此时122334457-+-+-+-=a a a a a a a a ,符合题意;下证当6m ≥时,不存在m 满足题意.令1(1,2,,1)+=-=- k k k b a a k m ,则1211m b b b -≤≤≤≤L ,且112m k k b m -==+∑,所以k b 有以下三种可能:①1,(1,2,,2)4,(1)k k m b k m =-⎧=⎨=-⎩ ；②1,(1,2,,3)2,(2)3,(1)k k m b k m k m =-⎧⎪==-⎨⎪=-⎩ ；③1,(1,2,,4)2,(3,2,1)k k m b k m m m =-⎧=⎨=---⎩ 当1,(1,2,,2)4,(1)k k m b k m =-⎧=⎨=-⎩时,因为122m b b b -===L ,即112(1,2,,2)m m m m a a a a m n +++-=-=- .所以112m m m m a a a a +++-=-或()112m m m m a a a a +++-=--.因为数列{}n a 的各项互不相同,所以112m m m m a a a a +++-=-.所以数列{}n a 是等差数列.则121,,,m a a a - 是公差为1(或)1-的等差数列.当公差为1时,由14m b -=得14m m a a -=+或14m m a a -=-,所以1142m m a a a m m -=+=++>或154m m m a a a --=-=,与已知矛盾.当公差为1-时,同理得出与已知矛盾.所以当1,(1,2,,2)4,(1)k k m b k m =-⎧=⎨=-⎩时,不存在m 满足题意.其它情况同理可得.综上，m 的所有取值为4或5，故所有可能的m 值之和为9.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题作为填空题易通过试值知4m =或5，但对于6,N m m ≥∈不合题意的证明是一个难点，我们通过找到k b 的所有情况，选定一种情况，利用题意得到数列{}n a 是等差数列，则有14m m a a -=+或14m m a a -=-，从而得到与已知条件相矛盾的结论.13．B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：若0xy >，则x ，y 同号，则||||||x y x y +=+成立，所以“||||||x y x y +=+”是“0xy >”的必要条件；但||||||x y x y +=+成立时，x ，y 不异号，即0xy ≥，所以0xy >不一定成立，故“||x y +=||||x y +”不是“0xy >”的充分条件．因此“||||||x y x y +=+”是“0xy >”的必要而不充分条件．故选：B ．14．D【分析】根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断.【详解】设()i 0z a b b =+≠，则()()222i 2i a b a b ab +=-+，若0a =，则22z b =-，即负实数；若0a ≠，则()2222i z a b ab =-+，即虚数；故选：D.15．B【分析】利用长方体模型举反例判断命题①④，分情况证明命题②，利用反证法证明命题③正确.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，取平面ABCD 为平面α，直线1AA 为直线l ，则直线l 与平面α相交，满足条件，对于命题①，因为直线AB ⊂平面ABCD ，直线AB 与直线1AA 相交，所以命题①错误，对于命题④，因为直线BC ⊂平面ABCD ，直线BC 与直线1AA 不相交，所以命题④错误，对于命题②，若直线l 与平面α垂直，则任取直线c α⊂，都有l c ⊥，即平面α内存在与直线l 垂直的直线；若直线l 与平面α不垂直，如图，l N α⋂=，在直线l 上任取异于点N 的点E ，过点E 作EH ⊥平面α，垂足为H ，连接HN ，在平面α过点H 作直线d NH ⊥，因为EH ⊥平面α，d α⊂，所以EH d ⊥，又d NH ⊥，EH NH H = ，,EH NH ⊂平面ENH ，所以d ⊥平面ENH ，直线l ⊂平面ENH ，所以直线d l ⊥，故平面α内存在与直线l 垂直的直线；命题②正确，对于命题③，如图l M α⋂=，假设平面α内存在直线b 与直线l 平行；因为l α⊄，b α⊂，//l b ，所以//l α，与l M α⋂=矛盾，所以平面α内不存在直线与直线l 平行；命题③正确，故选：B.16．D【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线1C 为矩形，曲线2C 为椭圆，通过联立方程组求曲线1C 、2C 公共点的个数.【详解】由题意，直线1l 与直线2l 相互垂直，设曲线1C 上的点为(),x y ，满足12p =，即133x y x y -++=，则当30x y ->，30x y +>时，1x p =；当30x y ->，30x y +<时，1y =；当30x y -<，30x y +>时，1y =；当30x y -<，30x y +<时，13x p =-，所以曲线1C 是以11p ⎫⎪⎪⎝⎭、11p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、11,p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、11,p ⎫⎪⎪⎝⎭为顶点的矩形，设曲线2C 上的点为(),x y ''，满足2222p ⎛+= ⎝，即222910y x p ''+=，所以2C 的轨迹为椭圆222910y x p +=，当212p p >时，联立12223910x p y x p⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得222110100y p p =-<，方程组无解，即直线1x p =与椭圆222910y x p +=没有交点，同理可得1x p =与椭圆222910y x p +=没有交点，联立1222910y y x p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得2221910100x p p =-<，方程组无解，即直线1y =与椭圆222910y x p +=没有交点，同理直线1y =与椭圆222910y x p +=没有交点，所以曲线1C 、2C 公共点的个数0，当212p p =时，联立1222910x y x p⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得222110100y p p =-=，所以130x p y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即直线13x p =与椭圆222910y x p +=有一个交点，同理可得13x p =与椭圆222910y x p +=有一个交点，联立1222910y y x p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得2221910100x p p =-=，解得10x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即直线1y =与椭圆222910y x p +=有一个交点，同理直线1y =与椭圆222910y x p +=有一个交点，所以曲线1C 、2C 公共点的个数4，当212p p <时，联立12223910x p y x p ⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得222110100y p p =->，所以1x p y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即直线1x p =与椭圆222910y x p +=有两个交点，同理可得1x p =与椭圆222910y x p +=有两个交点，联立1222910y y x p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得2221910100x p p =->，解得，即直线1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩222910y x p +=有两个交点，同理直线1y =与椭圆222910y x p +=有两个交点，所以曲线1C 、2C 公共点的个数8，故选：D17．(1)5n a n =-；(2)4n =或5时，n S 取得最大值.【分析】（1）根据题意列出关于公差d 的方程，求得d ，可得答案；（2）等差数列的前n 项和公式求n S ，结合二次函数性质求最大值.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，由1a ，3a ，4a 成等比数列，得2314a a a =，即()()242443d d +=+，解得1d =-.所以数列{}n a 的通项公式为()()4115n a n n =+-⨯-=-.（2）由()112n n n S na -=+得()2211919422281822n n n S n n n n -⎛⎫=-=-+- ⎪⎭+=-⎝，N n *∈，当4n =或5时，n S 取得最大值，最大值为10.18．(1)证明见解析(2)14【分析】(1)由面面垂直性质定理证明PO ⊥底面ABC ，由此证明PO AE ⊥，再证明AE OC ⊥，由线面垂直判定定理证明⊥AE 平面POC ，最后证明PC AE ⊥；(2)结合线面角的定义可得60PCO ∠= ，结合锥体体积公式求四面体PAOC 的体积.【详解】（1）连接PO ，因为PA PB =，所以PO AB ⊥，侧面PAB 垂直于底面ABC ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以PO ⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，所以PO AE ⊥，ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠= ，所以12AC AB =，又因为O 为AB 的中点，所以12CO AO AB ==,所以AOC 为等边三角形，又E 为OC 的中点，所以AE OC ⊥，因为PO AE ⊥，AE OC ⊥，PO OC O = ，,PO OC ⊂POC ，所以⊥AE 平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC AE ⊥；（2）由（1）知PO ⊥底面ABC ，所以直线PC 与底面ABC 所成角为PCO ∠，因为直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60 ，60PCO ∠= ，因为2AB =，所以1OC =，在Rt POC △中，tan60PO =︒=，111sin6024AOC S =⨯⨯︒= ，所以1134PAOC V ==.19．(1)247.4m(2)应使得AB AD ==，π2C ∠=来修建观赏步道.【分析】（1）由三角形面积公式求出24sin 25C =，得到7cos 25C =-，利用余弦定理求出247.4BD ≈m ；（2）解法一：先得到烧烤区的占地面积最大时，BD =，π2C =，设ABD α∠=，利用正弦定理得到2,π3AD AB αα⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由面积公式得到12cos 2π323ABD S α⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合20,π3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到面积的最大值，及AB AD ==，得到答案.解法二：先得到烧烤区的占地面积最大时，BD =m ，π2C =，设AB x =，AD y =，由余弦定理得到BD =，结合基本不等式求出50000xy ≥，1sin 2ABD S xy A =≤ ，此时AB AD ==.【详解】（1）11sin 100200sin 960022BCD S BC CD C C =⋅⋅=⨯⨯= ，解得：24sin 25C =，因为C 是钝角，所以7cos 25C =-.由余弦定理得：BD =247.4=，故需要修建247.4m 的隔离防护栏；（2）解法一：11sin 1000022BCD S BC CD C BC CD =⋅⋅≤⋅= ，当且仅达π2C =时取到等号，此时BD =，设ABD α∠=，20,π3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在ABD △中，π2sin sin sin π33ADAB αα===⎛⎫- ⎪⎝⎭解得：2,π3AD AB αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故12sin sin sin π23ABD S AD AB A αα⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭12cos 2π323α⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为20,π3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ222,π333α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故当2=02π3α-，即π31α=时，2cos 2π3α⎛⎫- ⎪⎝⎭取的最大值为1，112ABD S ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭当且仅当π3α=时取到等号，此时AB AD ==答：修建观赏步道时应使得AB AD ==，π2C ∠=.解法二：11sin 1000022BCD S BC CD C BC CD =⋅⋅≤⋅= ，当且仅达π2C =时取到等号，此时BD =设AB x =，AD y =.则由余弦定理，BD ===，故由平均值不等式，2250000x y xy xy =+-≥，从而1sin 2ABD S xy A =≤等号成立当且仅当x y ==答：修建观赏步道时应使得AB AD ==，π2C ∠=.20．(1)左焦点1F ()、右焦点2F )，离心率12c e a ==；(2)2；(3)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆方程求,,a b c ，结合焦点坐标和离心率的定义求解；(2)由直线与圆相切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，(3)由条件利用待定系数法求双曲线方程，联立方程组求交点,C D ，求出M 的坐标，再求,MP MQ 方程，联立求,P Q 坐标，求直线PQ 斜率，由此证明直线PQ 平行于2l .【详解】（1）设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，因为椭圆1C 的方程为2214x y +=，所以2,1,a b c ===所以左焦点1F的坐标为()、右焦点2F的坐标为)，离心率12c e a ==.（2）圆221x y +=的圆心为原点，半径为1，当直线AB 的斜率不存在时，因为直线AB过点)2F ，所以其方程为x =圆221x y +=的圆心到直线x =x =221x y +=不相切，与条件矛盾，故直线AB斜率存在，因而设直线方程为(y k x ='2112k '=⇒=.联列方程：())()22222214124044y k x k x k x k x y '''⎧=⎪⎡⎤⇒+-+-=⎨⎩'⎣+=⎪'⎦，化简得2320x -+=，方程2320x-+=的判别式(2432240∆=--⨯⨯=>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121223x x x x +==，所以1223AB x -==，即弦长AB 的值为2；（3）设双曲线的实半轴长为m ，虚半轴长为n ，因为双曲线2C 与椭圆共焦点，所以双曲线的左焦点1F 的坐标为()、右焦点2F 的坐标为)，由题可知212e e ==m=223n m =-，故221,2m n ==，因而双曲线方程：2212y x -=，双曲线2212y x -=的渐近线方程为y =，设()00,M xy ，直线(:CD y k x =-，联立C y kx x y ⎧=-⎪⇒=⎨=⎪⎩C y，同理D y kx x y ⎧=-⎪⇒=⎨=⎪⎩D y所以2120222x x x k +==-，120222y y y k +-==-，设()33,P x y ，()44,Q xy 则)002222y x x y x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，化简得()()200002y y =---，所以003x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭同理400x y ⎛⎫=⎪⎪⎭所以300004x x y y ⎛⎫+=+⎪⎪⎭030224002x x y x ⎛⎫-+=+⎪⎪⎭-，所以3200402212x x x y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭所以0300222204000022112222x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝--=--⎭-300004x x y y⎛⎫-=+⎪⎪⎭3022004422yx x yy x⎛⎫-=--⎪⎭-，所以322004221x xy x⎛⎫-=+-⎪⎭因而)))34343434343000422 PQx x y x x y x x xy y x k kx x x x x x y-++--+--=====---因而直线//CD直线PQ.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．(1)()1f x不是，()2f x是；(2)存在，11eb->-；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，得到()()11511f x fx-=-，()()222311f x fxx-=+-，根据单调性得到结论；（2）令()()()()()111h x hH x xx--=>---，分10x-<<与0x≥两种情况，先得到10x-<<时，()H x严格增，根据0x≥时，要想()11e1bH x bx---=++严格增，得到11eb->-，验证后得到函数为()1T-函数；（3）根据()J x'是R上的严格增函数求出10,2q⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再证明10,2q⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，得到x n>时()()J x J nx n'⎛⎫->-⎝⎭，从而()J x为()T n函数.【详解】（1）当1x>时，()()()1115385111f x f xg xx x-+-==--不是严格增函数，故()1f x不是()1T函数；当1x>时，()()()222222523111f x f x xg x xx x-++-===+--，是严格增函数，故()2f x 是()1T 函数；（2）令()()()()()111h x h H x x x --=>---，当10x -<<时，由()1e e 1x H x x --=+，得()()12e e 1x x H x x -+=+'，令()1e e x x u x -=+，10x -<<，则()()e 10x u x x =+>'在10x -<<上恒成立，故()1e e x x u x -=+在10x -<<上单调递增，所以()()110e e 1u x u -->+=-=-，故此时1e e x x ->-，得()0H x '>，从而()H x 严格增.当0x ≥时，()111e 1e 11bx b H x b x x --+---==+++，后者严格增，当且仅当11e 0b ---<，即11e b ->-，又因为当10x -<<时，()()101e H x H -<=-，从而1x >-上，()()()()()111h x h H x x x --=>---严格增，故11e b ->-为所求.（3）()()()22e 12e e 21x x x J x qx qx qx qx '=++++=，令()()()2e 21x v x J x qx qx '=++=，()()2e 421x v x qx qx q '=+++，若“()J x '严格增”等同于24210qx qx q +++>（或0≥），当0q =时，10>恒成立，故符合要求，当0q ≠时，()20Δ164210q q q q >⎧⎨=-+≤⎩，解得：102q <≤，当12q =时，()2e 210x qx qx '⎡⎤++≥⎣⎦，等号成立当且仅当2x =-，故()J x '在(),2-∞-与()2,-+∞上分别严格增，且当<2x -时，()()2J x J '<'-；当2x >-时，()()2J x J '>'-.故此时()J x '也是R 上的严格增函数.综上：10,2q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，下设10,2q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则对任意n ∈Z ，()()()()()()()()2J x x n J x J n J x J n x n x n ''---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭.令()()()()()()j x J x x n J x J n =---'，则()()()2e 421x j x qx qx q x n =+++-'.当10,2q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，24210qx qx q +++≥，等号成立当且仅当122q x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.因x n >，故同上可知，()j x 为(),n +∞上的严格增函数，且()()0j x j n >=.因而，当x n >时()()0J x J n x n '⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，从而()J x 为()T n 函数.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。

2023年上海各区数学中考一模压轴题分类汇
编
一、整数与有理数
1. 下列说法中与负数有理数有关的是（）
A.偶数是自然数，也是有理数
B.奇数是整数，也是有理数
C.零是整数，也是有理数
D.所有的整数都是有理数
2. 结果为有理数的是（）
A.3-3√2
B.√2+√3
C.√5-2√5
D.1+2√3
二、代数式与方程
3. 如果代数式3x-7的值在3和6之间，则x的范围是（）
A.3<x<6
B.3≤x≤6
C.3≤x<6
D.3<x≤6
4. 已知代数式2x-a的值在-5和3之间，则实数a的范围是（）
A.-8≤a≤1
B.-1≤a≤8
C.-8<a≤1
D.-1<a≤8
三、图形与几何
5. 在坐标平面直角坐标系中，若点P的坐标是(3，-4)，则点P 所在的象限是（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6. 平面内的点集合最可能是（）
四、函数与不等式
7. 在函数图象上，若x增大时y不断减小，则该函数是（）
A.单调递增函数
B.单调递减函数
8. 若|2x-5|<7,则x的取值范围是（）
A.-1<x<6
B.-6<x<1
C.1<x<6
D.-1≤x≤6
以上就是2023年上海各区数学中考一模压轴题的分类汇编，希望同学们认真复习，提前了解考点，为考试做好充分准备。

祝各位同学顺利通过考试！。