浦东新区初三数学期末测试卷 2023.1
一、选择题
1. 下列各组中的图形一定相似的是（ ）
A. 两个等腰三角形
B. 两个直角三角形
C. 两个等边三角形
D. 两个菱形 2. 已知抛物线()2213y x =-+，那么它的顶点坐标是（ ）
A. ()1,3-
B.（1,3）
C.（2,1）
D.（2,3）
3. 在Rt ABC 中，∠B=90°，如果,BC A a α∠==，那么AC 的长是（ ）
A. tan a α⋅
B. cot a α⋅
C. cos a α
D. sin a α
4. 小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（ ） A. 23h B. 45h C. 43h D. 54h
5. 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图1所示，那么点(),P a b 在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6. 如图2，DF//AC ，DE//BC ，下列各式中正确的是（ ） A. BD AB CE AC = B. AD BF BD FC = C. AD CE DE BD = D. AE BF CE CF
=
二、填空题
7. 已知23a b =，那么代数式b a a b
-+的值是____________ 8. 如果两个相似三角形的面积比是4:9，那么它们对应高的比是____________
9. 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>PN ，如果MN=8，那么PM 的长是____________
10. 如果在比例尺为1:1000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是____________千米
11. 两个相似三角形的对应边的中线之比是2:3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是____________
12. 将抛物线2
41y x x =+-向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是____________
14. 已知一条斜坡的长度为10米，高度为6米，那么坡角的度数约为____________（备用数据：tan31cot 590.6,sin37cot 530.6︒=︒≈︒=︒≈）
15. 在Rt ABC 中，∠A=90°，已知AB=1，AC=2，AD 是∠BAC 的平分线，那么AD 的长是____________
16. 如图4，点E 、F 分别在边长为1的正方形ABCD 的边AB 、AD 上，BE=2AE 、AF=2FD ，正方形''''A B C D 的四边分别经过正方形ABCD 的四个顶点，已知''A D //EF ，那么正方形''''A B C D 的边长是____________
17. 在ABC 中，∠A=2∠B ，如果AC=4，AB=5，那么BC 的长是____________
18. 如图5，正方形ABCD 的边长为5，点E 是边CD 上的一点，将正方形ABCD 沿直线AE 翻折后，点D 的对应点是点'D ，联结'CD 交正方形ABCD 的边AD 于点F ，如果AF=CE ，那么AF 的长是___________
三、解答题
19. 计算：cot 454sin 452tan 30cos30cos60︒︒-︒︒+
︒
20. 如图6，在ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE//BC ，AD=3，DE=2.
（1）求AE:EC 的值；
（2）设,AB a BC b ==，求向量BE （用向量,a b 表示）
21. 如图7，在Rt EAC 中，∠EAC=90°，∠E=45°，点B 在边EC 上，BD AC ⊥，垂足为D ，点F 在BD 延长线上，∠FAC=∠EAB ，BF=5，3tan 4
AFB ∠=
. 求：（1）AD 的长；
（2）cot ∠DCF 的值.
22. 某地一段长为50米的混凝土堤坝，堤坝的横断面ABCD 是等腰梯形（如图8所示），坝顶AD 宽为8米，坝高为4米，斜坡AB 的坡度为1:1.5.
（1）求横断面ABCD 的面积；
（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混凝
土?（堤坝的体积=横断面的面积⨯堤坝的长度）
23. 如图9，在ABC 中，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，AD 和CF 交于点E.
（1）如果BF AB BD BC ⋅=⋅，求证：EF CE DE AE ⋅=⋅；
（2）如果2AE BF AF DE ⋅=⋅，求证：AD 是ABC 的中线.
24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
3y ax bx =++，x 轴的正、负半轴分别交于点B 、A ，与y 轴交于点C ，已知AB=5，tan ∠CAB=3，OC:OB=3:4.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的对称轴分别与x 轴、BC 交于点E 、F ，求EF 的长；
（3）在（2）的条件下，联结CE ，如果点P 在该抛物线的对称轴上，当CEP 和CEB 相似时，求点P 的坐标.
25. 如图11，在Rt ABC 中，∠ABC=90°，AC=10，3tan 4
C =
，点D 是斜边AC 上的动点，联结BD ，EF 垂直平分BD 交射线BA 于点F ，交边BC 于点E.
（1）如图，当点D 是斜边AC 上的中点时，求EF 的长；
（2）联结DE ，如果DEC 和ABC 相似，求CE 的长；
（3）当点F 在边BA 的延长线上，且AF=2时，求AD 的长.
参考答案
一、选择题
1. C
2. B
3. D
4. C
5. B
6. A
二、填空题
7. 15 8. 23
9. 4 10. 34 11. 8 12. 224y x x =-- 13. 6.4 14. 37°
15. 16. 17. 6 18. 5
三、解答题
19. 1
20.（1）3
5
（2）3
2
55BE b a =-
21.（1）12
5
（2）9
16
22.（1）56平方米
（2）1075立方米
23.（1）证明略
（2）证明略
24.（1）23
9
344y x x =-++
（2）15
8
（3）12339,5,,224P P ⎛⎫⎛
⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
25.（1）125
24
（2）32
7或5
（3）6
5-
