高中数学微专题：立体几何压轴小题(含答案)

一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．42D ．25 【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()252PE =+=,选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=u u u r u u u r，因为CD DB BA AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. CA DB考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得这个几何体的体积是（）112222侧视图俯视图主视图A．343cmB．383cmC．33cm D．34cm【答案】B．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==ShV．考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P是正方体1111ABCD A B C D-对角线1AC上一动点，设AP的长度为x，若PBD∆的面积为(x)f，则(x)f的图象大致是（）【答案】A【解析】试题分析：设AC与BD交于点O,连接OP.易证得BD⊥面11ACC A,从而可得BD OP⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC∆中126cos33C AC∠==在AOP∆中22OA=,设(),03AP x x=≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； （4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4） 【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A（B（C （D 【答案】D.【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA Θ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则；在1BDA Rt ∆中，；在1ABA ∆中，；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为AB ．π12 CD ．π3 【答案】D 正视图 侧视图俯视图试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90oD ．1AP PD +的最小值为22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥Θ，11DC B A ⊥，1111A B A D A =I ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征．9．下列命题中，错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 【答案】B试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】A【解析】试题分析：当P、B1重合时，主视图为选项B；当P到B点的距离比B1近时，主视图为选项C；当P到B 点的距离比B1远时，主视图为选项D，因此答案为A.考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ， 则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2， 即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）【答案】C 【解析】 试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-=+⇒=,故选B. 考点：三视图 内切圆 球 三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B.【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=Q在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos ,24aAG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ．13B ．56C ．239D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=o所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =I ,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ） A.B.C. D.【答案】A 【解析】 试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A 点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且 AB＝AC＝ a ，BD＝ 2a ，则 CD 的长为( )A． 2aB． 5aC． a【答案】A 【解析】D． 3a试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式 EF  d 2  m2  n2  2mn cos ，对于本题中， d  a ，m  a ， n  2 ，  60o，故 CD  a2  a2  2a2  2  a  2a  cos 60o  2a ．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是 24，所有棱长的和是 24，则对角线的长是（）．Ａ． 14B．4C．3 2D．2 3【答案】B 【解析】 试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长 度． 考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为 l 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，E，F，M 分别是 AB、AD、 AA1 的中点，又 P、Q 分别在线段 A1B1、A1D1 上,且 A1P=A1Q=x,0<x<1 ，设面 MEF I 面 MPQ= l ，则下列结论中不成立的是( )A． l / / 面 ABCD B． l  ACC．面 MEF 与面 MPQ 不垂直D．当 x 变化时， l 不是定直线【答案】D 【解析】试题分析：解：连结 AC, BD, A1C1, B1D1 , AC, BD 交于点 O A1C1, B1D1 交于点 O1由正方体的性质知， BD / / B1D1，AC / / A1C1, AC  BD, A1C1  B1D1因为 E, F 是 AD, AB 的中点，所以 EF / /BD因为 A1P  A1Q ,所以 PQ / / B1D1试卷第 11 页，总 53 页所以 PQ / /EF ,所以 PQ / / 平面 MEF , EF / / 平面 MPQ ,由 MEF I 面 MPQ= l ， EF  平面 MEF ，所以 EF / /l ，而 EF 平面 ABCD, l  平面 ABCD , 所以， l / / 面 ABCD ，所以选项 A 正确； 由 AC  BD ， EF / /BD 得 EF  AC 而 EF / /l ，所以 l  AC，所以选项 B 正确；连 MB1, MD1,O1M ,则 O1M / / AC1, 而 AC1  A1B, AC1  BD，BD / /EF, A1B / /MF所以， O1M  EF ,O1M  MF ,所以 O1M  平面 MEF ，过直线 l 与平面 MEF 垂直的平面只能有一个，所以面 MEF 与面 MPQ 不垂直，所以选项 C 是正确的；因为 EF / /l ， M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线 l 是唯一的，故选项 D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形 ABC的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ，已知 AED是△ ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A．动点 A在平面 ABC上的射影在线段 AF 上B．恒有平面 AGF ⊥平面 BCDEC．三棱锥 A  EFD的体积有最大值D．异面直线 AE 与 BD不可能垂直【答案】D 【解析】试题分析：由于 A'G  DE, FG  DE ．所以 DE 平面 A' FG ．经过点 A' 作平面 ABC 的垂线垂足在 AF 上．所以 A 选项正确．由 A 可知 B 选项正确．当平面 A' DE 垂直于平面 BCDE 时，三棱锥 A  EFD 的体积最大，所以 C 正确．因为 BD PEF ，设 AC  2a ．所以 EF  A' E  a ，当 A' F  2a 时，2a  A'G  GF ( A'G  GF  3 a) 2 ．所以异面直线 AE 与 BD可能垂直．所以 D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为 l 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，E，F，M 分别是 AB、AD、 AA1 的中点，又 P、Q 分 别在线段 A1B1、A1D1 上,且 A1P=A1Q=x,0<x<1 ，设面 MEF I 面 MPQ= l ，则下列结论中不成立的是( )试卷第 12 页，总 53 页A． l / / 面 ABCD B． l  ACC．面 MEF 与面 MPQ 不垂直D．当 x 变化时， l 不是定直线【答案】D 【解析】试题分析：解：连结 AC, BD, A1C1, B1D1 , AC, BD 交于点 O A1C1, B1D1 交于点 O1由正方体的性质知， BD / / B1D1，AC / / A1C1, AC  BD, A1C1  B1D1因为 E, F 是 AD, AB 的中点，所以 EF / /BD因为 A1P  A1Q ,所以 PQ / / B1D1所以 PQ / /EF ,所以 PQ / / 平面 MEF , EF / / 平面 MPQ , 由 MEF I 面 MPQ= l ， EF  平面 MEF ，所以 EF / /l ，而 EF 平面 ABCD, l  平面 ABCD , 所以， l / / 面 ABCD ，所以选项 A 正确； 由 AC  BD ， EF / /BD 得 EF  AC 而 EF / /l ，所以 l  AC，所以选项 B 正确； 连 MB1, MD1,O1M ,则 O1M / / AC1, 而 AC1  A1B, AC1  BD，BD / /EF, A1B / /MF所以， O1M  EF ,O1M  MF ,所以 O1M  平面 MEF ，过直线 l 与平面 MEF 垂直的平面只能有一个，所以面 MEF 与面 MPQ 不垂直，所以选项 C 是正确的；因为 EF / /l ， M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线 l 是唯一的，故选项 D 不正确． 考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质． 23．把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与 前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（ ）A．B．C． D．3试卷第 13 页，总 53 页【答案】A 【解析】由题意，四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1，且三个球心到桌面的距离都为 1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选 A．24．如图所示，四边形 ABCD 为正方形，QA⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥 Q－ABCD 的体积与棱锥 P－DCQ 的体积的比值是（ ）A. 2:1 B. 1:1 C. 1:2 D. 1:3 【答案】C【解析】设 AB＝a.由题设知 AQ 为棱锥 Q－ABCD 的高，所以棱锥 Q－ABCD 的体积 V1＝ .易证 PQ⊥面 DCQ，而 PQ＝ ，△DCQ 的面积为，所以棱锥 P－DCQ 的体积 V2＝ .故棱锥 Q－ABCD 的体积与棱锥 P－DCQ 的体积的比值为 1:1，选 C.25．正四面体 ABCD，线段 AB / / 平面 ，E，F 分别是线段 AD 和 BC 的中点，当正四面体绕以 AB 为轴 旋转时，则线段 AB 与 EF 在平面 上的射影所成角余弦值的范围是（ ）A． [0，2]2【答案】B 【解析】B．[ 2 ，1] 2C．[ 1 ，1] 2D．[ 1 ，2]22试题分析：如图，取 AC 中点为 G，结合已知得 GF / / AB，则线段 AB、EF 在平面 上的射影所成角等于 GF 与 EF 在平面 上的射影所成角，在正四面体中，AB  CD，又 GE / / CD，所以 GE  GF,所以 EF 2  GE 2  GF 2 ，试卷第 14 页，总 53 页当四面体绕 AB 转动时，因为 GF / / 平面 ，GE 与 GF 的垂直性保持不变，显然，当 CD 与平面 垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，此时EF在平面上的射影E1F1的长取得最小值1 2，当CD与平面平行时，GE在平面上的射影长最长为1 2，E1F1取得最大值2 2，所以射影 E1F1 长的取值范围是[ 1 ， 2 ]， 22而 GF 在平面 上的射影长为定值 1 ，所以 AB 与 EF 在平面 上的射影所成角余弦值的范围是[ 2 ，1].22故选 B 考点：1 线面平行；2 线面垂直。