微专题——向量在立体几何中的应用

向量在立体几何中的应用高中立体几何中引入了空间向量，大大降低了立体几何解题的难度．对于解决空间的角与距离等问题提供了很大的帮助．下面简单介绍向量在立体几何中应用。

1、向量在求角中的应用。

（1）异面直线所成的角。

思路：分别找到与两条直线共线的向量→→b a ,、设这两条直线所成的角为θ，则有→→→→→→∙=><=ba ba b a ,cos cos θ，特别地，两条直线垂直有→→∙b a =011D C 中，O 是底面OE 和1FD ，则 11）O （1，1，0）， =（1，-1，1）、1FD =（0，-1，2）321)1()1(011=⨯+-⨯-+⨯=∙FD ,3=5=设异面直线OE 和1FD 所成的角θ，则515153,cos cos 1===><=→→FD OE θ 异面直线OE 和1FD 所成的角θ=515arccos（2）直线与平面所成的角。

思路: 找到与直线共线的向量,→a 平面的一个法向量,→n 设直线与平面所成的角为θ，则→→→→→→∙=><=na na n a ,cos sin θ例: 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面 3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成的角。

解:设AB=1,则PA=3, 建立如图示的空间直角坐标系A-XYZ,则A （0,0,0）、C （1，1，0）、E （109,0, 103）、M(0, 109,0) =（1，1，0）、 =（109,0,103） 、=(0, 109,0)设平面EAM 的法向量为),,(z y x n =→，有0,0=∙=∙即0103109=+z x ，0109=y 整理得03=+z x ，0=y 取,1=x 则3-=z ，而0=y平面EAM 的一个法向量为)3,0,1(-=→n10,2,1===∙→→→→n AC n AC设直线AC 与平面EAM 所成的角为θ→→→→→→∙=><=nAC n AC n AC ,cos sin θ105201==直线AC 与平面EAM 所成的角为θ=105arcsin(3) 平面与平面所成的角(二面角)。

浅谈向量在立体几何中的应用作者：陆俊玲来源：《科技风》2020年第18期摘要：众所周知，立体几何在高中数学中有着举足轻重的地位，它对于学生逻辑思维和空间想象能力的培养和提高有着重要意义。

利用空间向量可以解决所有的空间角与距离问题，并用代数的立式的形式对几何问题进行深入研究，并弥补了学生空间想象力的不足。

文中简要地论述了高中立体几何教学中的困惑，并探讨了向量在高中立体几何中的重要作用，最后结合实例，感受向量在解题中的优势所在，旨在提升我国高中立体几何的教学水平。

关键词：向量;立体几何;应用和传统的几何法相比，向量法的运用能够让学生在解答立体几何问题时变得更加快速、便捷，具有直觀、计算简单、以及不容易出错的特点。

除此之外，向量作为高中数学中的重要组成部分，它能够采用数形结合以及坐标运算的方式快速解答各类几何问题，而且无需增加辅助线，让学生的答题过程变得更加轻松、高效。

一、向量在立体几何中的重要作用向量能够把不同直线或者线段之间的几何关系运用直观的方式表现出来。

由于向量的内容较为单一而且学习难度大，所以学生在进行向量学习的过程中要具有“数形结合”的思维意识，运用代数的方式来对几何图形进行描述。

（一）提高学生的运算水平作为常用的代数对象，向量能够被运用到多种的运算模式中并且容易掌握，在提高学生解题效率和运算速度的过程中，还可以将原本复杂多变、解题难度大的几何问题用代数运算的方式进行直观地展示。

（二）具有重要的思维价值向量既可以代数运算，又能够被运用到与度量相关的几何类问题，因此具有数形结合的特点。

通过对向量的学习和运用，可以显著提高学生数学的学习兴趣，转变传统固态化的数学思维模式，提高自身的数学思维水平和空间理解能力。

二、向量法的解题方式与步骤（一）向量法的解题方式运用向量法解决立体几何问题主要有两种方式：即运用向量进行直接代数计算和利用向量坐标计算。

在通常情况下是以坐标计算为主，因为这种计算方式所需要的计算技巧较少并且学生更容易理解和运用。

向量在立体几何中的几点应用向量在立体几何中的几点应用在数学中，向量是一个有大小和方向的量，它在几何中的应用非常广泛。

在立体几何中，向量也有着重要的应用，下面就来谈谈它的一些应用。

1.向量的叉积向量的叉积在立体几何中有着广泛的应用。

它定义了一个向量和一个法向量，这使得它适用于区分面积和体积，这是立体几何中很重要的概念。

在计算立体几何的体积时，有时需要利用向量的叉积。

例如，在计算一个四棱锥的体积时，可以用其底面上的两个向量构成一个平面向量，然后将这个平面向量与第五个顶点所在的向量做叉积，便可以得到该四棱锥的体积。

这个方法非常简单，而且不需要用到具体的高度或底面积这样的参数，因此，在计算体积时十分方便。

另一个例子是，在求解两条直线的交点时可以使用向量的叉积。

如果已知两个直线所在的平面，可以将它们所在的向量取叉积，便可以得到一个垂直于两条直线所在平面的向量，从而可以得到它们的交点。

这个方法也非常简单，而且不需要求解方程组，因此在计算交点时比较方便。

2.向量的点积向量的点积在立体几何中也有着很重要的应用。

它可以用来计算向量的夹角，从而在计算三角形的面积或四面体的体积等问题时十分方便。

例如，在计算三角形的面积时，可以用两个边向量之间的夹角及其对顶点到该边的距离来计算。

这就用到了向量的点积。

在计算四面体的体积时，我们可以用面积乘以高度来计算，而面积可以使用向量的叉积计算，高度可以用向量的点积计算。

这种方法比基本的平行六面体法更直观，更方便。

3.平面与直线的向量表示在立体几何中，我们经常需要对平面和直线进行求交、平移、旋转等处理。

而这些处理都可以使用向量的表示法来简化。

例如，在求解平面与直线的交点时，如果已知平面和直线的法向量，我们就可以用向量的点积求出它们之间的夹角，从而计算出交点。

这个方法比纯粹的代数方法更加便捷、直观。

再例如，在计算平面和直线的平移时，可以用向量的加减法来表示平移后的位置。

这种向量的表示法非常简单、直观，因此在计算中能够提高效率。

浅谈向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中是一个重要而有效的应用。

在三维几何中，向量是一种抽象
的概念，表示两个点之间的方向与距离；它可以根据加减乘除等四则运算计算出来，从而解决复杂的几何问题。

首先，向量在立体几何中用于表示Google网页上平面上直线、弧和曲线等位
置和方向，可以将它们抽象为向量，然后依据向量的特征完成平面的几何操作。

其次，向量可以用于表示Google网页上立体几何的结构，包括垂足、中线、法向量等。

例如，在研究几何图形的投影及其关系时，可以借助向量表示平面和空间图形之间的关系，从而实现立体几何的计算。

此外，在三维几何中，向量可以用于表示几何图形的平移旋转及其变换。

可以
借助向量的加减乘除等四则运算，实现对三维几何图形的变换，比如旋转、缩放等，从而满足实际应用中的要求。

综上所述，向量在立体几何中的应用十分广泛，不仅在表示平面、立体几何结
构中具有重要作用，而且还可以应用于立体几何图形变换中，从而实现几何模型变形和变换，解决实际工程问题。

空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴//，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，=，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aa a a AC =-= 23cos 111==∴AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA∴⋅=>=<33,cos 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n (B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n(D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______． 7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅A A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421( 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。

向量在立体几何中的应用向量是中学数学的重要概念之一，它兼有数和形的特征，因而它是数形结合的桥梁之一，是实现数形转换的一个重要工具。

许多数学问题用向量知识来解决显得格外简练。

一、证明两直线平行或垂直根据∥?圳=λ（λ≠0）将证两线平行转化为证两向量共线（平行）。

根据⊥?圳·=0，将垂直问题转化为证两向量的数量积等于0.例1.已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1，ab1=1，aa1=2点e为cc1的中点，点f为bd1的中点.求证：ef是bd1与cc1的公垂线。

证明：建立空间直角坐标系，则b（1，1，0），c（0，1，0），c1=（0，1，1），d1（0，0，1），e=（0，1，），f=（，，），=（，，0），=（0，0，1），=（-1，-1，1），所以·=0，·=0，即⊥，⊥.故ef是cc1与bd1的公垂线。

若用立体几何中的理论来证明这道题目则可以通过证明三角形ed1b和三角形fc1c为等腰三角形来达到目的。

证明过程中需利用已知边长，垂直等条件求出其他边长。

而用向量的性质来解则只需将各点坐标表示出来，再利用两向量的数量积是否等于0便可以得出结论。

相较而言，利用向量更为简便，计算量也相对较少。

二、证明线面平行或垂直证明线面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明线面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行，从而得出结论，达到解决问题的目的。

例2.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2，e，f，g分别是bc，cd，cc1的中心，求证：（1）ad1∥平面efg.（2）a1c⊥平面efg.证明：以d为坐标原点建立空间直角坐标系d-xyz，则d（0，0，0），a（2，0，0），a1（1，1，0），d1（0，0，2），c（0，2，0），c1（0，2，2），e（1，2，0），g（0，2，1）所以=（-2，0，2），=（2，-2，2），=（-1，-1，0），=（-1，0，1）。

向量在立体几何中的应用
嘿呀，向量在立体几何中的应用那可真是太有趣啦！比如说，它可以用来求异面直线的夹角呀！就好像在一个复杂的三维世界里，向量就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开异面直线夹角的秘密之门。

你想想，两条异面直线好比两个调皮的小精灵在空间里乱跑，而向量就能把它们抓住，告诉我们它们之间的角度呢！
还可以用向量来证明直线和平面平行呢！这就如同给直线找到了一个安稳的家——平面，向量能帮我们确认它们之间是不是和谐相处。

“哇，原来这条直线真的和这个平面平行啊！”
向量也能计算二面角的大小哦！二面角就像是空间里的一个神秘口袋，向量就能精准地告诉我们这个口袋的大小。

“嘿，有了向量，这个二面角的大小可就藏不住啦！”
甚至可以用向量来解决距离问题呢！空间中两点的距离，就像是一段未知的旅程，而向量能带着我们快速精准地找到那段距离。

“哎呀，向量真的太厉害啦，一下子就找到两点间的距离啦！”总之啊，向量在立体几何中真的是神通广大，让我们能轻松应对各种复杂的几何问题，你难道不觉得这超酷的吗？。

浅谈向量在立体几何中的应用向量知识在高中教学当中，有着非常重要的地位和价值，它的工具性特点在数学的许多分支中都有体现，尤其是在解析几何中，向量的思想渗透的很广泛，而空间向量在解决几何上的优势是传统知识无法替代的。

用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。

向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到以下问题 一.平行问题 1.证明两直线平行b a b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ.知),(),,(2211y x y x ==，则有b a y x y x //1221⇒=.例1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x =，∵α⊥BD ， ∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x j BD ，∴),0,0(z BD =∴z =，又知O 、B 为两个不同的点， ∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行. 2.证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为，α//0AB ⇔⊥⇔=⋅.方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行. 2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=， ∴++= =FB BE AC λλ++-=AB BE BE BC AB λλλλ+-+-- =BE BC )1(λλ-+ ∴//PQ 平面BCE .方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行. 3.面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=n m . 方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥. 方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行. 二．垂直问题 1.证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0.例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD ,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>， 则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ，可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ，因为0022m mPE BC ⋅=-+=，所以 PE BC ⊥. 2.证明线面垂直直线l 的方向向量为，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l .例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使x +=将上式两边与向量l 作数量积，得 n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅， 因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅，所以⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直.3.证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m .方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法. 证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB =2，则A (0,0,0), D (0,2,0), A 1(0,0,2) D 1(0,2,2)，E (2,0,1), F (1,2,0) (1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-∴1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F =设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos 055)2(10012|F D ||AE |11=-⨯+⨯+⨯=所以D 1F ⊥AE ， 由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE =A ，∴D 1F ⊥平面AED ， ∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示. 三．处理角的问题 1．求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB =〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD ,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz , ∵AB =BC =2BD ,设BD =1 则AB =BC =2,DC =3A (1,0,2),B (1,0,0),C (0,3,0),D (0,0,0)设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n)2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DC BC AB设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B ,515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）. 2.求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈是面α的法向量，则有〈=cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.3.求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=QD Q A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z用向量法解决立体几何问题的方式有两种：一是直接用向量的代数式运算，二是用向量的坐标运算.一般来说，向量的坐标运算，思维量更少，运算技巧更低，更容易掌握，因此这也是我们常用的向量方法.若所给图形不容易建立空间直角坐标系，我们也可以用向量的代数式运算来解决问题，但其技巧性相对较高，对学生逻辑推理能力的要求也提高了.用向量坐标运算解题步骤：（1）建立空间直角坐标系.注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右手系建立坐标系.注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致.（2）写出需要用到的点的坐标.注意要仔细再仔细，此步若错，全题皆错.（3）写出所要用到的向量坐标.注意必须终点坐标减始点坐标.（4）通过计算解决具体问题.注意公式要记对，运算要仔细.总之，向量在立体几何中的应用为我们解决立体几何问题提供了新的解题思路和方法，打破了传统解法“一作、二证、三计算”的模式，突破了传统解法中“添置辅助线”的难点，将立体几何中“形”的问题转化为“数”的问题，开创了解决立体几何问题的新模式.。

谈谈向量在立体几何的应用摘要：本文论述应用向量的线形运算解决立体几何的一些问题的方法：空间平行或垂直关系，通过空间向量的共线关系或内积为零的运算来判断；空间成角通过空间方向向量或法向量成角来求得；空间的距离通过对应向量在法向量或方向向量的投影求取。

培养学生应用能力。

主题词：向量应用内积共线夹角距离法向量投影方向《立体几何》研究的内容主要有：平行与垂直的判定，角与距离的计算，面积与体积的计算。

而面积与体积的计算主要是有关线段的长度和高的有关计算。

《立体几何》要解决的就是：平行与垂直的判定，角与距离的计算的实际问题。

这两类问题的解决，《立体几何》的方法比较繁杂，比较抽象；而用空间向量解决这两类问题时，比较直观，比较具体，也大大地减少立体几何构图的难度，也降低了思维的难度，把抽象的空间想象，全部转化为数的运算。

一、应用空间向量判断平行与垂直的问题直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直位置关系是进行立体几何问题研究的基石，是发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力的基础。

（一）、应用空间向量解决平行问题空间平行关系有“直线平行与直线”、“直线平行与平面”、“平面平行与平面”三种，这三种关系的判断，在几何中，要通过它们之间互相转化。

而在向量中，只要表示出相对的向量，用向量的内积关系或共线关系的计算判断；“线平行与线”的判断，找出两直线的方向向量，判断它们是否共线；“线平行与面”的判断，找出直线的方向向量和平面内的任意两向量，判断它们共面与否，或者找出平面的法向量，判断直线方向向量与法向量是否垂直即可。

这样，可以减少空间直线、平面之间的关系转化。

例1、已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别为对角线AC和BF上的动点，且AM=FN。

求证：MN∥平面BEC。

分析：考虑到几何图形较易建立坐标且欲证MN∥平面BEC，即需证MN与平面BEC共面。

故只需证MN能用平面的基底线性表示出，或需证MN与平面BEC的法向量垂直。

向量法在立体几何中的应用近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。

在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,不用作图而直接计算。

下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题时得到的一些方法进行归类和梳理。

一、用向量法处理空间角问题 1、用向量求两条异面直线所成的角求异面直线n m ,所成的角，我们只需要分别在直线n m ,上取定方向向量,,b a则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），即b a =><=,cos cos θ 。

【例题】如图2，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点。

求异面直线BD 与PA 所成角的大小解：如图3建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0A P D B得()()2,2,0,0,1,2-==PA BD ，设异面直线BD 与PA 所成角的大小为θ，则，1010852,cos cos =⨯==><=PA BD θ1010arccos=∴θ，即异面直线BD 与PA 所成角的大小为1010arccos 。

利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。

题中通过><PA BD ,cos 值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。

2、用向量求直线与平面所成的角B CDPAB CD PA图5如图4，求直线L 和平面α所成的角，只需在L 上取定CP ，n 是平面α的法向量，再求|||CP |CP cos n n ⋅=θ，则2πβθ=-为所求的角.【例题】如图5，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求直线CP 与面ADP 所成角的大小；解：如图6，建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()2,0,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0P D C A ，故()2,0,2-=CP ()()2,1,2,2,2,0--=-=DP AP 设面ADP 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则有⎩⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02202200z y x z y DP n AP n DP n AP n 令1=y 得1=z ，21=x ，即⎪⎭⎫⎝⎛=1,1,211n ， 设直线CP 与面ADP 所成角的大小为θ，故622381,cos sin 1=⨯==><=n CP θ，62arcsin =∴θ即直线CP 与面ADP 所成角的大小为62arcsin。

浅析向量在立体几何中的应用作者：潘龙康来源：《青年时代》2016年第27期摘要：我们从中学开始就接触和学习了与向量有关的一些内容，它是作为现代数学的一个标志进入到我们的教学进程中的。

向量给我们学习几何问题提供了一种程序性和代数化的方法，将复杂以及抽象化的几何问题转化为较简单、易理解的代数问题，是我们研究和分析几何问题的强有力的工具。

有利于我们在高中学习数学时更便利，更容易接受，因为在高中的数学学习中几何占据了很重要的地位，是我们学习高中数学不可或缺的一部分。

因为刚刚接触空间几何是很难一步到位，做到融汇贯通的，这就需要我们运用向量作为转换的工具，简化解题程序。

充分的利用向量来解决几何问题中常见的证明和计算这两大类问题，使得解题的步骤变得更加具有程序化和可推理化。

关键词：向量;立体几何;运用一、向量在几何问题中的作用自从在高中的数学教材中增添了向量这一模块后，复数在高中教材中的内容和作用被向量逐渐代替和取代。

这就充分证明了向量的重要性和其广大的发展前景。

而且通过近几年的学生的成绩和学习效果来看，向量的课堂引入所起到的作用远远高于复数的作用，因为复数只能在在平面上应用以解决平面上的问题，没有办法解决空间几何的问题。

而向量有平面向量和空间向量之分，不仅有利于解决平面上的问题，而且对空间几何的帮助也是非常大的。

其给学习空间几何的初学者提供了更易理解的渠道和方法，是促进高中几何代数化的强有力的媒介。

现在数学教材的编制都引入了向量模块，用向量法去解决几何问题具有步骤简化、思路清楚的好处。

这也表明了转变方式恰当的情况下往往会产生出乎意料的结果。

用向量代替复数在数学教程中就是一种正确的方式转化，更容易提高学生的学习兴趣，减轻学生的学习压力。

向量法有平面向量和空间向量之分，一方面，平面向量不仅可以解决不等式、测量、以及三角等问题，还可以解决很多常见的证明问题，例如：平行、垂直、共线、相切等问题;还可以解决一部分的求值问题，例如：比值、距离等问题。

浅谈向量在立体几何中的应用
立体几何学研究的是几何元素的三维构成，其中的向量起着至关重要的作用。

向量可以用来表示方向及大小。

它们能够描述立体几何中的各种元素，如点、线、面及体积等。

因此，向量在立体几何中的应用是非常广泛的。

首先，向量可以用来描述平面和专面上的点、线、面等立体几何元素。

对于点，可以使用一个标量来描述它在空间中的位置。

对于线来说，可以使用一个向量来描述它的方向及长度。

对于面来说，可以使用一个二维向量来描述面的法向量及面积。

此外，向量也可以用来描述立体几何中的平移、旋转、折叠等变换。

比如，使用倾斜向量来描述物体的平移和旋转。

这样，可以用数学表达式来快速描述空间变换，从而实现坐标变换。

此外，在立体几何学中，还有一种重要的概念叫做“定义域”，它是指一个几何物体定义出来之后，用来描述物体细节的特殊几何元素。

而向量可以用来描述这种特殊几何元素的位置及大小，一般情况下，这些特殊几何元素是由一组向量来表示的。

最后，向量在描述立体几何中的各个元素的功能上，可以说是十分重要的。

向量可以用来表示空间中物体的位置，物体的变换，定义域中的特殊几何元素等。

向量可以给出许多关于空间变换和特殊几何元素的定义，从而使立体几何学更加完善，为现代科学发展做出了重大贡献。

总之，向量在立体几何中是十分重要的一环，它可以用来描述各
种立体几何元素，并可以用来描述空间变换及定义域中的特殊元素。

向量既可以作为立体几何中的重要数学工具，也可以是科学研究的有力帮手。

由此可见，在立体几何中，向量是十分重要的。

向量法在高中立体几何中的应用摘要：立体几何是高考的重要考点，常见的命题形式有判断空间中点、线、面的位置关系、求空间角的大小、求空间距离等。

采用常规方法求解较为复杂，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。

这样便将几何问题转化为向量坐标运算问题。

本文结合实例来谈一谈向量法在解答立体几何问题中的应用。

关键词：向量法；高中数学；立体几何通过对近些年的数学高考情况进行分析，立体几何相关问题在考试中频频出现，涉及知识面较为宽广，综合性内容较强，因此很多学生在解决此类问题时往往抓不到关键。

如何帮助学生有效提升解答立体几何问题的能力，本文结合自己的教学经验，进行了以下探讨。

1 向量法背景下高中数学立体几何的解题观向量法指的是利用空间向量的有关知识来解立体几何题，用空间向量表示几何体中线与线，线与面，面与面的位置关系。

如立体几何中求解空间角，空间距离和证明平行，垂直时，使用向量法能够极大地降低解题的难度。

怎样解决学生难以掌握立体几何知识的问题呢？教师又该如何开展立体几何教学呢？为此，借鉴了波利亚的解题思想进行探讨，波利亚在《怎样解题》一书中将解题分成了四个步骤，分别是理解题目、拟定方案、执行方案与回顾反思，这四个步骤也称“解题四重奏”。

1.1理解题目阶段熟悉题目指的是学生需要理解题目的文字表达内容，最好能用自己的话复述题目的内容。

此时教师需要检查学生是否了解题目中的已知量、题目中包含的重要条件以及所求的问题。

进而在熟悉题目的基础上加深对题目内容的理解，并列出通过分析得到的条件。

1.2拟定方案阶段解决问题的关键是拟定一个解题方案，这个方案可以从以下几个方面形成：①从以往获得的知识和经验中形成；②将原来的题目进行有效转化，通过已知条件寻求隐藏条件；③通过引入辅助问题来获得好的解题思路。

1.3执行方案阶段拟定了解题方案后，则需要结合题目内容进行解题，在解题过程中要保证计算正确。

向量在立体几何中的应用(一）学习目标利用空间向量证明平行、垂直问题掌握向量证明解题的书写格式，解题步骤重点：熟练运用空间向量解决直线、平面的平行与垂直问题教学过程：1.直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意 非零向量 也是直线l 的方向向量②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2⇔ v 1∥v 2 .②设平面外的直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2， 则l ∥α⇔ 存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2 .③设平面外的直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α⇔v ⊥u .④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3.用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔ u 1⊥u 2 ⇔u 1·u 2＝0例1. 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG例2.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD练习：如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.小结：运用空间向量解决立体几何问题的解题步骤如下：第一步：建系，根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；第二步：定坐标，确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；第三步：向量运算，进行相关的空间向量的运算（如证共线、共面、平行，求角、距离；）第四步：翻译，将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明；第五步：得结论，得出本题结论。

向量在立体几何中的应用向量是教材改革的新增内容，是数学重要的概念之一，它具有一套优良的运算通性，本身又有几何表示，它是数与形更好的结合，由于新教材是首次增加这部分内容，大纲要求重在基础，所以预计单独考查向量的题目应属于基本运算之类的题型，向量与其他章节的综合题已经出现，因此，要重视教材的基础作用，加强基础知识的学习，做到概念清楚，运算准确的同时，也要加强向量的工具作用，注意综合能力的训练。

下面通过实例说明如何利用向量作为工具解决数学问题： 一、向量在空间线面位置中的应用：例1、已知边长为1的正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M ，N 分别是对角线AC 、BF 上的点，且CM=BN=(),02a a⑴求证：MN//平面BCE ； ⑵求证：MN ⊥AB ；⑶问能否存在a 是C 、M 、E 、N 四点共面？请说明理由； 分析：本题考查了学生分析问题和解决问题的能力，有共面问题、线面位置关系的问题，函数最值问题和二面角求法等，解决问题的思路：一是可以利用向量法求解，二是可以用常规方法求解。

解析：解法一：如图，以A 和原点AF 为x 轴，AB 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则：()()()0,0,0,0,1,0,0,1,1A B C()()()0,0,1,1,1,0,1,0,0D E F则：)),,1,0M a a N ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⑴∵()()22,0,1,0,0,1,1,0,0MN a a BC BE ⎛⎫=-== ⎪⎪⎝⎭∴22122aa MN BE BC ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭∴,,MN BE BC 共面，有M 在平面BCE 外，MN//平面BCE ；⑵、()22,0,1,0,1,022MN a a AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∵ 0MN AB = ∴ MN AB ⊥⑶、要使得C 、M 、E 、N 四点共面，只需,,CM CN CE 共面而()22220,,,,,0,1,0,12222CM a a CN a a CE ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则需存在实数,x y 使CE xCM yCN =+∴ 12202212a x a x a y ax y =⎪⎪⎪⎪--=⎨-=-⎪⎪⎩解得 2a =所以当2a =是C 、M 、E 、N 四点共面。

＝－ ，得一、选择题 向量在立体几何中的应用专题训练1．向量 a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是()A ．a ∥b ，a ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对答案 C 故选 C.→→→→→答案 B 解析 ∵点 D 在 z 轴上，∴可设 D 点坐标为(0,0，m )，则AD ＝(－1,1，m －3)，BC ＝(－1，－2,1)，→ →→ →→→→→→A6 B. 6 6 →C 6→D ．± 6答案 C 解析 OA ＋λOB ＝(1，－λ，λ)，cos120°＝ λ＋λ 1 λ＝± 6.经检验λ＝ 6不合题意，舍去，∴λ＝－ 6.故选 C. 2 6 6 6 →→→4．如图所示，在平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为 A 1C 1 与 B 1D 1 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，→则下列向量中与BM 相等的向量是()A ．－1a ＋1b ＋cB.1 a ＋1b ＋c 2 C ．－1a 2 2 1 － b ＋c22 D.1 2 2 a －1b ＋c 2答案 A→ → → → → →解析 BM ＝BB 1＋B 1M ＝AA 1＋1(AD －AB )＝c ＋1(b －a )＝－1a ＋1b ＋c .故选 A.2 2 2 21＋2λ2· 2→ →→ → → →BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定 →→ →→ →→ → → → → → →＝0，2∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．故选 C.(AB2 226．已知两平面的法向量分别为 m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或 135°D ．90°|m ||n |22A ．4B ．2C ．3D ．1→答案 B 解析 由已知平面 OAB 的一条斜线的方向向量OP ＝(－1，3,2)，→ → →|－2－6＋2| ＝2.故选 B . ＝ |n | ＝22＋(－2)2＋1A ．60°B ．45°C ．30°D ．135°答案 B 解析 以 D 为原点，分别以射线 DA ，DC ，DD 1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角，1，0坐标系 Dxyz ，设正方体的棱长为 1，则 D (0,0,0)，C(0,1,0)， 2→0，－1，－1EF 2 2 ，→ →→→→DC＝(0,1,0)，∴cos〈EF，DC〉＝→→ ＝－2，|EF||DC|→ →∴〈EF，DC〉＝135°，∴异面直线EF和CD所成的角是45°.故选B.9．在三棱锥P－ABC 中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F 分别是棱AB，BC，CP 的中点，AB＝AC ＝1，PA＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )A.15B.2 5555 D.25答案 C 解析以A 为原点，AB，AC，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角1 1，1，0坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D 2 ，0,0，E 2 2 ，0，1，1→→0，1，0→－1，1，1F 2 ，∴PA＝(0,0，－2)，DE＝ 2 ，DF＝ 2 2 .设平面DEF 的法向量为n＝(x，y，z)，→→y＝0，－x＋y＋2z＝0，取z＝1，则n＝(2,0,1)，设PA 与平面DEF 所成的角为θ，BE △→则 sin θ＝ →＝ 5，∴PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 5.故选 C.|PA ||n |10．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，点 E 为 BB 1 的中点，则平面 A 1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为()A.1 2B.2 3C. 3 3D. 2 2答案 B 解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，设棱长为 1，1，0，1则 A 1(0,0,1)，E →2 ，D (0,1,0)，∴A 1D ＝(0,1，－1)， →A 1E ＝ 1，0，－12 ， 设平面 A 1ED 的一个法向量为 n 1＝(1，y ，z )，→y ＝2，y －z ＝0， 即 1－1z ＝0， 2 ∴ z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．又平面 ABCD 的一个法向量为 n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝ 2 ＝2.即所成的锐二面角的余弦值为2.故选 B.3×1 33 11．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，则该四面体的体积为( )A.13B. 6 4 C ．1 D ．2 3答案 A 解析 如图所示，该四面体是棱长均为 2的正四面体 ABCD .设△BCD 的中心为 O ，则 AO ⊥平面 BCD ，AO 即为该四面体的高．在 Rt △AOB 中，AB ＝ 2，BO ＝2 ＝2× 3× 2＝ 6，所以 AO ＝ 2－63 3 2 3 9＝2 3.底面积 S BCD ＝ 3×( 2)2＝ 3，故其体积为1× 3×2 3＝1故选 A.. 3 4 2 3 2 3 33 12．已知正四棱锥 S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE ，SD 所成角的余弦值为 ()A.1 3D.2 3答案 C 解析 以两对角线 AC 与 BD 的交点 O 作为原点，以 OA ，OB ，OS 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设边长为 2，则有 O (0,0,0)，A ( 2，0,0)，B (0， 2，0)，S (0,0，2)，D (0，－ 2，0)，→ →→－ 2， 2，→2E22 ，AE ＝22 ，SD ＝(0，－ 2，－ 2)，|cos 〈AE ，SD 〉|＝ → → ＝ ＝ ， 2×3 3故 AE ，SD 故选 C.3 |AE ||SD |二、填空题13．在空间直角坐标系中，以点 A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为． → →→→→→(x －4)－6＋18＝0，－4)2＝4，解得 x ＝2. 14.如图，在正方形 ABCD 中，EF ∥AB ，若沿 EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶ 2， 则 AF 与 CE 所成角的余弦值为．答案 45解析 ∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶ 2，∴AE ⊥ED ，即 AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB ＝EF ＝CD ＝2，则 E (0,0,0)，A (1,0,0)，F (0,2,0)，C (0，2,1)，2→ → ∴AF ＝(－1,2,0)，EC ＝(0,2,1)， → →∴cos 〈AF ，EC 〉＝ → →＝4＝4，∴AF 与 CE 所成角的余弦值为4.|AF ||EC |5× 5 5 5 15.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC 1 与侧面 ABB 1A 1所成的角为．答案π6解析 以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A (2，0,0)，C 1(0,0,2 2)．点 C 1 在侧面 ABB 1A 1 内的射影为 3， 3，2 点 C 2 2 2 .→ → －1 3所以AC 1＝(－2,0,2 2)，AC 2＝ 2 ， ，2 2，设直线 AC 1 与平面 ABB 1A 1 所成的角为θ，2→ →1＋0＋8 3 0，π π则 cos θ＝ → → ＝＝ .又θ∈ 2 ，所以θ＝ . |AC ||AC | 2 3×3 26 12答案解析如图所示，以D 为坐标原点，以DA，DC，DD1 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角→→→坐标系，则D(0，0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，E(0,1,1)，所以DB＝(1,1,0)，DE＝(0,1,1)，BD1＝(－1，－1,2)．→→设n＝(x，y，z)是平面BDE 的法向量，所以n⊥DB，n⊥DE，→所以→x＋y＝0，即y＋z＝0，令x＝1，则y＝－1，z＝1，所以平面BDE 的一个法向量为n＝(1，－1，1)，→三、解答题|n| 3 317．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1 底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N 分别是A1B1，A1A 的中点．→(1)求BN的模；→→(2)求cos〈BA1，CB1〉的值；(3)求证：A1B⊥C1M.解如图，建立空间直角坐标系．→(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|BN|(2)依题意，得A1(1,0,2)，＝ 3.＝ (1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．→→→ →→→→ →所以cos〈BA1，CB1〉＝→30 →＝.10|BA1||CB1|1，1，2→→1，1，0→→1(3)证明：依题意，得C1(0,0,2)，M 2 2，A1B＝(－1,1，－2)，C1M＝2 22→→＋1＋0＝0，A1B⊥C1M.所以A1B⊥C1M.2BE＝EC＝2，G，F 分别是线段BE，DC 的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．解(1)证明：如图，取AE 的中点H，连接HG，HD，又G 是BE 的中点，所以 GH ∥AB ，且 GH＝1AB .2 又 F 是 CD 的中点，所以 DF1 ＝ CD . 2由四边形 ABCD 是矩形得，AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以 GH ∥DF ，且 GH ＝DF ， 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF ∥DH .又 DH ⊂平面 ADE ，GF ⊄平面 ADE ，所以 GF ∥平面 ADE .(2)如图，在平面 BEC 内，过 B 点作 BQ ∥EC .因为 BE ⊥CE ，所以 BQ ⊥BE .又因为 AB ⊥平面 BEC ，所以 AB ⊥BE ，AB ⊥BQ .→ → →以 B 为原点，分别以BE ，BQ ，BA 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A (0,0,2)， B (0,0,0)，E (2,0,0)，F (2,2,1)．→因为 AB ⊥平面 BEC ，所以BA ＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量． 设 n ＝(x ，y ，z )为平面 AEF 的法向量． →→又AE ＝(2,0，－2)，AF ＝(2,2，－1)，→由→2x－2z＝0，2x＋2y－z＝0，取z＝2，得n＝(2，－1,2)．→→从而cos〈n，BA〉＝→＝＝，3×2 3|n||BA|所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为2.3中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD，PC 分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．解(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.→如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC＝(1,1,0)．|n ·BC |2设平面 ABF 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．→ →＝0， ＋z ＝0.令 z ＝1，则 y ＝－1，所以 n ＝(0，－1,1)． 设直线 BC 与平面 ABF 所成角为α，→则 sin α＝|cos 〈n ，BC 〉|＝ → 1|n ||BC | ＝ .因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为π.6 设点 H 的坐标为(u ，v ，w )．→→因为点 H 在棱 PC 上，所以可设PH ＝λPC (0<λ<1)，即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)．所以 u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为 n 是平面 ABF 的法向量，→2 ，2，解得λ＝ ，所以点H 3 3 所以|PH |＝ 2.在线段 PB 上，PD ∥平面 MAC ，PA ＝PD ＝ 6，AB ＝4.(1)求证：M 为 PB 的中点； (2)求二面角 B －PD －A 的大小；(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．→解(1)证明：设AC，BD 交于点E，连接ME，因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为四边形ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点．(2)取AD 的中点O，连接OP，OE.因为PA＝PD，所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.因为四边形ABCD 是正方形，所以OE⊥AD.→→如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，2)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，BD＝(4，－4,0)，PD＝(2,0，设平面BDP 的法向量为n＝(x，y，z)，－2)．D 1F→4x －4y ＝0，2x － 2z ＝0.＝1，则 y ＝1，z ＝ 2. 于是 n ＝(1,1， 2)．平面 PAD 的法向量为 p ＝(0,1,0)，|n ||p | 2由题意知二面角 B －PD －A 为锐角，π所以它的大小为 .3－1，2， 2→ 3，2，－ 2 (3)由题意知 M 2 ，C (2,4,0)，MC ＝ 2 . 设直线 MC 与平面 BDP 所成角为α，则→→sin α＝|cos 〈n ，MC 〉|＝→ ＝ 9，|n ||MC |所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为2 6. 921.如图甲，设正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 、F 分别在 AB 、CD 上，且满足 AE = 2EB ，CF = 2FD ．如图乙，将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A 1EFD 1 的位置，使得点 A 1 在平面 BEFC 上的射影G 恰好在 BC 上． （1）证明： A 1E 平面CD 1F ；（2）求平面 BEFC 与平面 A 1EFD 1 所成二面角的余弦值．A 1ADFEEBCBGC图甲图乙解析：（1）在图甲中，易知 AE / / D F ，从而在图乙中有 A 1E / /D 1F ，A 1E ⊄ 平面CD 1F ， D 1F ⊂ 平面CD 1F ，∴ A 1E 平面CD 1F ． …………………………………………………… 4 分（2）法一：（传统几何法）略解如下： 过点G 作GH ⊥ EF 于 H ，连接 A 1H ， 易证（略）， ∠A 1HG 即为所求二面角的平面角，10102 易求得： BG = 1，AG = GH = AG - AH = 210，5， AH = 310 ， 5在 Rt ∆A GH 中， cos ∠A HG = 2． …………………………………………………… 12 分1 13法二：（向量法）如图，在图乙中作GH ⊥ EF ,垂足为 H ,连接 A 1H ,由于 A 1G ⊥ 平面 EBCF ，则 A 1G ⊥ EF , ∴ EF ⊥ 平面 A 1GH ,则 EF ⊥ A 1H ，图甲中有 EF ⊥ AH ， 又 EF ⊥ GH ，则 A 、G 、 H 三点共线．设CF 的中点为 M ,则 MF = 1,可证 ∆ABG ≅ ∆EMF ， ∴ BG = MF = 1，则 AG = 10 ，又由 ∆ABG ∆AHE ，得， A H = AH = AB ⋅ AE = 6，1AG丙图于是, HG = AG - AH =4，在 Rt ∆A 1GH 中, A 1G = ， ……………………………………………… 8 分 作GT / /BE 交 EF 于点T ，则TG ⊥ GC ．以点G 为原点,分别以GC 、GT 、GA 1 所在直线为 x 、 y 、 z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系， 则G (0, 0, 0) , E (-1,1, 0) , F (2, 2, 0) , A 1 (0, 0, 2) ，则 EF = (1,3, 0) , EA 1 = (-1,1, 2) , GA 1 是平面 BEFC 的一个法向量，易求得平面 A 1EFD 1 的一个法向量 n = (3, -1, 2 2) , ………………………………………… 10 分设平面 BEFC 与平面 A 1EFD 1 所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，2cos θ=| cos < n , GA 1 >|= 3，所以，平面 BEFC 与平面 A EFD 所成二面角的余弦值为 2．……………………………… 12 分1 1322．【2017 届四川成都市高三一诊】如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E , F 分别是 AB , BC 的中点，BD 与 EFBR交于点 H , G 为 BD 中点，点 R 在线段 BH 上，且RH= λ(λ> 0).现将 ∆AED , ∆CFD , ∆BEF 分别沿DE , DF , EF 折起，使点 A , C 重合于点 B （该点记为 P ），如图 2 所示.（1）若λ= 2 ，求证： GR ⊥ 平面 PEF ；10A H 2- HG 2 15存在，请说明理由.【答案】(1)详见解析；（2）λ= 1.3（2）由题意，分别以 PF , PE , PD 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz ．设 PD = 4，则 P (0, 0, 0), F (2, 0, 0 ), E (0, 2, 0 ), D (0, 0, 4 )．∴ H (1,1, 0)．PRλ ⎛ λ λ ⎫ ∵ = λ，∴ P R = RH 1 PH ，∴ R 1 , , 0 ⎪ . + λ ⎝ + λ 1+ λ ⎭⎛λ λ ⎫ ⎛ 2 +λ λ ⎫ ∴ RF = 2 - 1, - , 0⎪ = , - , 0⎪．⎝+λ 1+λ ⎭ ⎝ 1+λ 1+λ ⎭又∵ EF = (2, -2, 0), DE = (0, 2, -4 )， 设平面 DEF 的一个法向量为 m = (x , y , z )．2 2 2 2 ⎩由⎧ EF m = 0⇒ ⎧2x - 2 y = 0 ．取 z = 1，则 m = (2, 2,1)．⎨ ⎩DE m = 0 ⎨2 y - 4z = 0∵直线 FR 与平面 DEF 所成角的正弦值为， 5∴ m RF 4 1+ λ 2 2 cos m , RF = = = = m RF ⎛ 2 + λ⎫2 ⎛ λ ⎫2 3 λ2 + 2λ+ 2 5 3 1+ λ⎪ + -1+ λ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴ 9λ2+18λ- 7 = 0 ，解得λ= 1 或λ= - 7 （不合题意，舍去）3 31故存在正实数λ= ，使得直线 FR 与平面 DEF 所成有的正弦值为．352 2。

向量法在立体几何中的应用立体几何中的线与线，线与面，面与面所成的角；点与面，线与面，线与线的距离的相关计算问题， 是数学考试中考查的重点， 而这又恰恰是学生的薄弱点。

其实，求上述三种角， 三个距离问题， 难就难在很多时候不容易作出所要求的角和距离，这就给接下来的计算带来更大的困难。

导致数学得分普遍较低。

在我们学习了向量知识之后，上述求角和距离问题就变的简单多了， 下面我就向量求角，求距离方面的应用举例说明。

一．线与线所成的角理论依据：欲求两直线所成的角，联系向量中的数量积可得cos a, ba ?b ，a b由此公式就能够求得两直线所成的角：arccosa? b。

a b例题一：（2004 广东高考试题）如图，在长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，已知 AB=4 ，AD=3 ，AA 1=2，E ，F 分别是线段 AB ， BC 上的点，且 EB=FB=1，求直线 EC 1 与 FD 1 所成角的余弦值。

D1C1A1B1D CFA EB解析：因为长方体是特殊的几何体， 有三条两两垂直的直线， 所以能够通过建立空间直角坐标系来求计算。

以点 D 为坐标原点， DA ， DC ，DD 1 所在的直线分别为 X ，Y ， Z 轴建立空间直角坐标系。

则 E （3， 3， 0），C 1（0，4，2）， F （ 2， 4， 0），D 1 （0， 0， 2）。

所以 EC 1( 3,1,2), FD 1( 2,4,2) ，设直线 EC 1 与 FD 1 所成角为 ，则cosEC 1 ? FD 1 621 。

EC 1 FD 1142414评注：要求两条直线所成的角，只要取两条直线所在的两个向量并求出，然后利用向量的数量积，就能够求线与线所成的角。

二．线与面所成的角理论依据：欲求直线与平面所成的角，能够先找出平面的一条法向量，再利用直线与法向量所成的角进而求出线面角。

例题二：设平面的一条斜线 AB ，平面的一条垂线n,求直线AB与平面所成的角。

高中数学：向量在几何中的应用解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。

两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。

合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1. 证平行、证垂直具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。

证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。

例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。

图1证明：，且又所以即可知，与共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。

例2. 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则ΔABC是___________。

分析：（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1）显见：，故ΔABC为直角三角形。

2. 求角、求距离如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。

定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：（1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但，，所以（2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角（或补角的余角）。

如图2：。

图2（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。

例3. 如图3，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB ＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点。