第14章 精炼贝叶斯Nash均衡的精炼

3 极小极大化精炼法
给定纯策略组合 s= (s1, s2, …, sn) 和信息集 h Ζ 对 h 上行动集合 A (h) 中的每个行动 a (h) ,
u i (h) (s (a (h ) )
h,
x
)
,
x
∈h
是一个
n
(h )
维向量,
将其分量按从小到大排序 (相等时任意排序)
后记为
→
u i (h)
(s (a
如果它确定的非均衡路径上每个信息集 h (参与人 i (h) ) 的行动选择 as3 (h) 关于 s3 满足极小极大化准则Ζ
定义 3 (极小极大化理性子博弈精炼纳什均衡) 一个纳什均衡 s3 称为极小极大化理性子博弈精炼 的, 如果它既是子博弈精炼纳什均衡, 又是极小极大化精炼的Ζ
从定义明显地看出, 极小极大化精炼方法是对非均衡路径进行精炼的Ζ 在均衡策略 s3 下, 非均衡路径
博弈论的发展过程中各种重要的基本的均衡解的概念都很难在保证存在性的同时保证唯一性由此产生的均衡多重性问题是博弈论面临的一个难解决均衡多重性问题的主要方法是在一种均衡概念中利用特定的评价准则进一步分辨出其中哪些是较合理的哪些是不太合理的从而从多重解中剔出不甚合理的那些解这种方法被称为均衡的精炼完全信息动态博弈中子博弈精炼纳什均衡就是在纳什均衡中精炼挑选的在每个子博弈上都构成纳什均衡的一种符合序贯理性的均衡但子博弈要求从单结信息集开始且不能分割信息集这种限制使得许多后序博弈部分的策略不能进一步精炼见文中例子部分本文给出的精炼概念与方法试图在所有非均衡路径上对子博弈精炼纳什均衡进一步进行精炼挑选记号考虑的信息集的集合博弈树描述中信息集是一些决策结的集合的纯策略空间si的一个纯策略的支付这是完全信息动态博弈的策略式描述本文再引进如下记号开始的后序博弈这时起点上决策结的数目na极小极大化精炼法给定纯策略组合维向量将其分量按从小到大排序相等时任意排序后记为确定的参与人的支付向量定义极小极大化准则称信息集满足极小极大化准则如果对所有其中表示两向量按字典序比较大小后文同义例如非均衡路径极小极大化纳什均衡一个纳什均衡满足极小极大化准则定义极小极大化理性子博弈精炼纳什均衡一个纳什均衡如果它既是子博弈精炼纳什均衡又是极小极大化精炼的从定义明显地看出极小极大化精炼方法是对非均衡路径进行精炼的在均衡策略非均衡路径上的信息集是不能到达的极小极大化精炼法要求合理的均衡也应该在不能到达的信息集上做出较好的安排子博弈精炼也是要求在各个子博弈上做出最优安排但对子博弈的构成要求过高要求从单结信息集开始极小极大化精炼法在一定程度上弥补了这种不足它精炼的信息集开始的后序博弈可以从多结信息集开始在作优化考虑时虽然信息集未到达但在最坏的情况中安排最好的行动选择不失为一种理性行为下面的命题能够说明这种精炼方法在一定意义下是合乎理性的先引入一个定义的严格优超行动如果对每个都成立向量不等式两向量的分量都按其中某些分量可以取等号但至少有一个严格大于成立记为并且诸向量不等式中至少有一个严格小于成立记为命题设信息集的非均衡路径上则下列事实成立是按从小到大排序的支付向量由于排序后向量间的大小关系不变成立时必有由于子博弈只有原博弈及从参与人左边单结信息集开始的后序博弈显然这两个纳什均衡都是子博弈精炼纳什均衡唯一的纯策略极小极大化理性子博弈精炼纳什均衡事实上参与人然该信息集不

类似上述情况称为不完全信息博弈，即在不完 全信息博弈中，至少有一个参与人不知道其他 参与人的支付函数。
第四章 不完全信息静态博弈 -贝叶斯纳什均衡
一 不完全信息静态博弈和贝叶斯纳什均衡
不完全信息博弈 海萨尼转换 不完全信息静态博弈的战略式表述和贝叶斯纳什均衡
二 贝叶斯纳什均衡应用举例 三 贝叶斯纳什均衡与混合战略均衡 四 机制设计理论与显示原理
海萨尼转换
被求爱者对于
求爱者的品德的 信息是不完全的。
不完全信息博弈
你 接受 不接受
求爱博弈：
求爱 100，100 -50，0
品德优良者求爱 求爱者 不求爱 0，0
0，0
100x+（-100）（1-x）=0
当x大于1/2时，接受求爱
求爱博弈： 品德恶劣者求爱 求爱者
你 接受 不接受
求爱 100，-100 -50，0
不完全信息博弈
在生活中我们也会碰到这样的问题，比 如一个乞丐向你乞讨，你愿意帮助别人， 但不知道他是真的乞丐还是骗子，该如 何决定呢？如果你喜欢与人为善，你可 能愿意冒一点上当的危险，这不等于你 愚蠢，而是你认为，帮助一个困境中的 人比回绝一个骗子更重要。
不完全信息博弈
不完全信息：每一个参与人对所有其他参与人 的（对手）的特征、战略空间及支付函数有准 确的 知识，否则为不完全信息。
众官听得这个消息，尽皆失色。孔明登城 望之，果然尘土冲天，魏兵分两路杀来。
孔明令众将旌旗尽皆藏匿，打开城门，每 一门用20军士，扮作百姓，洒扫街道。而孔明 羽扇纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前 凭栏而望，焚香操琴。
不完全信息博弈
司马懿自马上远远望之，见诸葛亮神态自 若，顿时心生疑忌，犹豫再三，难下决断。又 接到远山中可能有埋伏的情报，于是叫后军做 前军，前军做后军，急速退去。司马懿之子司 马昭问：“莫非诸葛亮无军，故做此态，父何 故便退兵？”

表10. 1

参与人2


U （1-p ）
参与人1

D（p）
L
10，0 10，1
R
5，2 2，0
在表10.4.1中，(D，L) 是一个纳什均衡(弱劣 战略均衡)；只要参与人2不选择R，D就是参 与人1的最优选择；同样，只要参与人1不选择 U，L就是参与人2的最优选择。但是,如果参与 人2有可能错误地选择R，那么，不论这个错误 发生的概率是多么小，参与人1的最优选择就 是U而不是D；预测到这一点，参与人2将选择 R。就是说，(D，L)不是一个颤抖手均衡。对 比之下，(U，R)是—个颤抖手均衡：不论参与
如果设想不论参与人1在最初选择什么，如果 博弈进入他的第二个信息集，他更可能选择 R’而不是L‘ (因为前者优于后者)。
那么，如果参与人1最初选择R，参与人2应 该选择D. 可见RR’只包含参与人1的一个错误， RL‘包含参与人1的两个错误。
表2

参与人2
参
P
U
D
与
人
1
L
1-2/m
0,1
( p, q) lim( pm, qm ) m
所以，(L, L), q1 1, q序2 贯(1均,0衡)
10.4 泽尔腾的颤抖手均衡
泽尔腾(1975)使用战略式博弈引入颤抖手均衡的概 念。颤抖手均衡的基本思想是，任何一个博弈中， 每一个参与人都有一定的可能性犯错误(类似一个人 用手抓东西时，手一颤抖，他就可能抓不住他想抓 的东的)；一个战略组合，只有当它在允许所有参与 人都可能犯错误时仍是每一个参与人的最优战略的 组合时，才是一个均衡。
另一方面，如果参与人1以1-2/m选择L，1/m的概 率选择RL‘或RR’(因此，2/m是参与人1犯错误的 概 率 ) ， 参 与 人 2 选 择 U 的 期 望 效 用 是 (1)(1 － 2/m)+(2)(1/m)+(2）(1/m)=1+2/m，选择D的期望 效用是(1)(1-2/m)+(0)(1/m)十(3)(1/m)＝1+1/m， 所以U优于D；令m趋于无穷，我们得到(L，U)是 一个颤抖手均衡。

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一 精练贝叶斯纳什均衡
基本思路
贝叶斯法则
精练贝叶斯纳什均衡 不完美信息博弈的精练贝叶斯均衡

二 信号传递博弈及其应用举例
精练贝叶斯纳什均衡的定义
定义：精炼贝叶斯均衡是一个战略组合 s*( ) (s1*(1), pn ，满足： 和一个后验概率组合p= p1 (P)对于所有的参与人i，在每一个信息集h， h si ( si , i ) arg max pi ( i a i )ui ( si , s i , i )
分离均衡：不同类型的发送者（参与人1）以1的概 率选择不同的信号，或者说，没有任何类型选择与 其他类型相同的信号；在分离均衡下，信号准确地 揭示出类型。 混同均衡：不同类型的发送者选择相同的信号，或 者说，没有任何类型选择与其他类型不同的信号， 因此，接收者不修正先验概率。 准分离均衡：一些类型的发送者随机地选择信号， 另一些类型的发送者选择特定的信号。



在K=J=2时的信号传递博弈模型
这里p=p(t1｜m1)，q=p(ti｜m2)(省略了得益):
t1
1 N
[p]
t2
[1-p]
1
m1
[P]2 a1 a2
m2
[ q] 2 a1 a2
m1
[1-p] 2 a1 a2
m2
2 [1-q] a1 a2
在K=J=2时信号传递博弈的四种纯战略


信号发送者（参与人1）的四种纯战略：
1 1 2 t 2 2 2 p ( t m ) u ( m , a , t ) u ( m , a, t 2 ) 2 2 t
即： a* (m1 ) arg max u2 (m1 , a, t1 )