第七章不可压缩流体动力学基础49页

m y 2 2 2 x y
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A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
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流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
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2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
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2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
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a ln r , a
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速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C

Q
7.7 复位势及复速度
对于平面运动, 不可压无旋时流函数和势函数同时存在.且
u x y , v y x
所以, 和 满足柯西-黎曼条件,可用复变函数求解问题
和 满足柯西-黎曼条件, 则 w i 是复变量
z x i y 的解析函数
任一解析函数的实部和虚部都满足拉氏方程 不可压平面无旋运动
dw i u iv dz x x
解析函数 w(z)
7.7 复位势及复速度
引入复速度
V u iv V ei
V u iv V ei
共轭复速度
复位势 w( z ) i 的性质
W ( z) ln z 2 i
已知原点以外流动为无旋运动，无旋流动速度环量应 为0。在原点附近流动必是有旋流，原点以外无旋的圆周 运动是由于原点附近有旋运动诱导的结果，因此称为点涡 或自由涡。
当原点附近有旋流区为有限大时，则称该旋转核心与 周围无旋流的结合为兰金涡，旋转核心称为涡核。
7.9 基本流动
Vr r V 1 r Vz z
不可压连续方程
2
V 0
u v w 0 x y z
2 2 2 2 2 2 0 x y z
在理想、不可压缩、重力场、无旋运动时，运动方程为
7.1 引言、方程组
物体C上
无穷远 处
dw V dz
属于复变函数中求解析函数的范畴
7.9 基本流动
复变函数方法 解析函数
奇点法
保角映射方法 平面不可压无旋流动
解决实际不可压平面势流问题时：根据经验选用2个或 更多简单解析函数进行叠加。只要结果与给定的边界 条件相符，即为所求解

自学p172111211112111131322221111gqgpzgvvdsgpzgqvvdsgpzgsvvdsgpzgdsvssss?????????????????????????????????????????????????????????????73总流伯努利方程gdqhgpgvzgdqgpgvzw??????????????????????????22221211224粘性流体的总流伯努利方程22222211121122dsgvhgpgvzdsgvgpgvzw??????????????????????????gvdshgvdsgpgvzgvdsgpgvzswss??????????????????????????????221222273总流伯努利方程???????????????????????222222211121122swvdshggqgpzgvgqgpzgv???????gvdshgvdsgpgvzgvdsgpgvzswss??????????????????????????????2212222lthgvgpzgvgpz??????222222221111????单位重量流体的水利损失上式适用条件
基本概念和运动分类以及推得的稳定流动基本方程，如能量方程、动量方程等均适
用于紊流流动。 应该指出，时间平均化的概念是人为的一种研究模型，其目的仅在于使研究过 程和方法简化。当涉及紊流物理本质问题时，就必须考虑流体质点相互混杂的影响。 例如在研究紊流流动能量损失时就不能应用牛顿内摩擦定律，必须考虑流体质点脉 动、混杂的影响。
层流转变为紊流； 流动状态由紊流转变为层流
V c f d , ,
' c
管中流速达 V c 下临界速度
因此，流动状态可以按管中速度值分为以下三种情况：

第四节 理想流体运动微分方程式欧拉积分
和伯努里积分
一、运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。
在流场中取一平行六面体，如图7－6所示。其边长分别为
dx，dy，dz，中心点为A(x,y,z) 。中心点的压强为p=p(x,y,z)， 密度为ρ=ρ(x,y,z) 。因为研究的对
含有 v x 、v y项，如果只考虑这两项，则经过时间dt，矩形 ABCD向右移动 v x dt 的距离，向上移动 v y dt 的距离。移动到 新位置后，形状保持不变，如图7-4 (a)所示。
（2）线变形运动：如果只考虑AB边和CD边在x轴方向上的
速度差 2 v x dx ，则经过时间dt，AD边和BC边在x轴方向上伸
（a）
（b）
图7-5 流体微团运动轨迹
【例7-2】 某一流动速度场为 vx ay，vy vz 0，其中
x a是不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是
有旋流动还是无旋流动。
【解】 由于
x
12vyz
vy z
0
x
y
1vx 2z
vz 0 x
z 1 2vxy vyx1 2a0
所以该流动是有旋运动。
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：
tCVd V tCVd xdy d tdzxdydz（d）
将式（c），（d）代入式（7-1），取 dxdydz→0，
则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为:
xvx yvy zvz t0
（7-1）
或
(v) 0
t
（7-1a）
z
1 2
v y x