第五章 连续交通流模型
如果从飞机上俯看某条高速公路，我们会很自然地把来来往往的车流想象成河流或某种连续的流体。正是由于这种相似性，经常使用流量、密度、速度等流体力学术语来描述交通流特性。我们知道，流体满足两个基本假设：一是流量守恒，二是速度与密度（或流量与密度）对应。对于交通流，其中第一个假设比较容易证明，而第二个假设的成立需要有一定的条件。本章将推导交通守恒方程，介绍它的解析解法和数值解法，以此为依据还将介绍更精确的动态模型，并详细地讨论交通波理论。
第一节 守恒方程
一、守恒方程的建立
守恒方程比较容易推导，可以采用下面的方法：考察一个单向连续路段，在该路段上选择两个交通记数站，如图5—1所示，两站间距为Δx,两站之间没有出口或入口（即该路段上没有交通流的产生或离去）。
设N i 为Δt 时间内通过i 站的车辆数，q i 是通过站i 的流量，Δt 为1、2站同时开始记数所持续的时间。令ΔN = N 2-N 1，则有：
N 1/Δt=q 1 N 2/Δt=q 2 ΔN /Δt=Δq
如果Δx 足够短，使得该路段内的密度k 保持一致，那么密度增量△k 可以表示如下：
x
图5—1 用于推导守恒方程的路段示意图
x
N N k ∆--=
∆)
(12
式中（N 2－N 1）前面之所以加上“-”号，是因为如果（N 2－N 1）>0，说明从站2驶离的车辆数大于从站1驶入的车辆数，也就是两站之间车辆数减少，即密度减小。换句话说，ΔN 与△k 的符号相反，于是：
N x k ∆-=∆∆
同时，根据流量的关系，有：
△q △t =△N 因此
x k t q ∆∆=∆∆- 即
0=∆∆+∆∆t
k x q 假设两站间车流连续，且允许有限的增量为无穷小，那么取极限可得：
0=∂∂+∂∂t
k x q （5—1） 该式描述了交通流的守恒规律,即有名的守恒方程或连续方程，这一方程与流体力学的方程有着相似的形式。
如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下更一般的形式：
),(t x g t
k x q =∂∂+∂∂ （5—2）
这里的g （x ，t ）是指车辆的产生（或离去）率（每单位长度、每单位时间内车辆的产生或离去数）。
二、守恒方程的解析解法
守恒方程5—1和5—2可以用来确定道路上任意路段的交通流状态，它把两个互相依赖的基本变量——密度k 和流率q 与两个相互独立的量——时间t 和距离x 联系了起来。但是，如果没有另外的附加方程或假设条件，对方程5—2的求解是不可能的。为此我们把流率q 当作密度k 的函数，即q =f （k ）。相应地u =g （k ），这是一个合理的假设，但只有在平衡状态时才能成立。下面介绍守恒方程的解析解法。
回到式（5—2）的求解。考虑下面的基本关系式：
ku q = (5—3)
易知,如果在式(5—2)中u =f （k ），我们将得到只有一个未知量的方程，可以对其解析求解。针对一般情况的解析解法很复杂，实际应用起来也不方便。为了简化求解过程，我们只考虑没有交通产生和离去的影响，即g （x ，t ）=0的情况，这样我们可以把守恒方程化为如下形式：
0)()]([)(=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂t
k x dk k df k x k k f t k k kf x t k ku x （5—4） 或
0)(=∂∂+∂∂⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+t k x k dk df k k f (5—5) 应该指出的是f （k ）可以是任一函数，没有必要特意构造条件使得结果通用，例如采
用格林希尔治速度—密度线性模型，式（5—4）就变为：
02=∂∂+∂∂⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-t k x k k k u u j
f
f （5—6） 式中：u f ——自由流速度；
k j ——阻塞密度。
式（5—4）是一阶拟线性偏微分方程，可以通过特征曲线方法求出其解析解，具体的解析解法例子将在后面介绍。
三、守恒方程的数值解法
根据前面的介绍，我们可以看出解析解法的主要缺点是推导过程中要求的条件过于简化，这包括简单的初始交通流条件、车辆的到达和离开模型、没有出口和入口、简单的流率—密度关系等。更重要的是，在真实条件下经常遇到很复杂的情况，如存在转向车道和出入口匝道等等，因此要想求得精确的解析解是非常困难的。通常对于可压缩流体的类似问题，可以通过对状态方程进行数值求解来解决。该方法考虑到的情况包括在实际中可能遇到的复杂情况，即对真实到达和离开模型的处理、更复杂的u —k 模型以及实验条件等。
数值计算思路如下：首先把所要考虑的道路离散成若干很的路段△x ，并按连续时间增量△t 来更新离散化的网络中每一节点的交通流参数值。
图5—2 道路空间离散实例
如图5—2所示，首先从空间上对路段进行离散化处理，然后再将时间离散，即：
T =n Δt
T 为观测周期，并满足下面的方程：
)(2
)(2)(211111111n j n j n
j n j n j n j n j
g g t q q x t k k k -+-+-+++∆+-∆∆-+= （5—7） 式中：n
j n j q k ,——在j 路段，t =t 0+n Δt 时刻的密度、流量；
t 0——初始时刻；
Δt ，△x ——时间和空间的增量，要求△x /△t 大于自由流速度； n j g ——路段j 在t=t 0+n Δt 的净流率（产生率减去离去率）
。 如果密度确定，在t 0+ △t （n +1）时刻的速度由平衡态速度—密度关系获得，即：
)(1
1++=n j e n j k u u (5—8)
例如，对于格林希尔治线性模型有：
)1(1
1
jam
n j
f n j
k k u u ++-
= (5—9)
式中： u f ——自由流速度；
jam k ——阻塞密度。
需要指出的是，式（5—8）适用于任何速度—密度模型，包括不连续模型；如果无法获得u 的解析表达式，那么可以从u —k 曲线通过数值方法获得其数值解。t 0+ △t （n +1）时刻的流率可从下面的基本关系式获得：
1
11+++=n j n j n j u k q (5—10)
数值解法所需的基本数据可以由检测设备获得。数值解法的应用比较广泛，比较有代
表性的应用是分析多车道交通流的动态特征。
四、多车道流体力学模型
1．模型设计
考虑一个同向2车道路段，如图5—3所示。
图5—3 同向2车道高速公路空间离散图示
假定每一条车道都满足守恒方程，两车道之间车流的交换代表所研究车道的车辆产生和离去。对每一车道分别写出守恒方程：
