阐释回归分析的基本思想

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阐释回归分析的基本思想
在客观世界中,变量间总是相互联系、相互依存的。变量之间的关系大致可以分为两类:
一类是具有确定性的函数关系,另一类是非确定性的关系。非确定性的关系在统计学中称为
相关关系。回归分析就是通过分析、判断来确定相关变量之间的内在关系的一种统计方法,
即寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。

1 相关关系与函数关系的异同点:
相同点:均是指两个变量的关系。
不同点:函数关系是一种确定的关系;而相关关系是一种非确定关系;函数关系是自变
量与因变量之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系;而相关关系是非随机变量与随
机变量的关系。

2 散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形,叫做散点图,散点图形象
地反映了各对数据的密切程度。

3 求回归直线方程的思想方法:

设所求的直线方程为 ,其中a、b是待定系数,
则 ,于是得到各个偏差

显见,偏差 的符号有正有负,若将它们相加会造成相互抵消,所以它们的和不
能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度,故采用n个偏差的平方和

表示n个点与相应直线在
整体上的接近程度。


上述式子展开后,是一个关于a、b的二次多项式,采用配方法,可求出使Q为最小值
时的a、b的值,即
其中 。
4 随机误差:当样本点散布在某一条直线的附近,而不是在一条直线上时,可用下面的线
形回归模型来表示:

y=bx+a+e
其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差。

5 相关系数: 对于任何给定的一组样本(
xiy
i
)( i =1,2,…n )都可以用最小二乘法建立起一个线

性回归模型,相应地就可以得到一条回归直线。但是,这样的一条回归直线并不是总有意义的,
只有当变量X与Y之间确实存在某种因果关系时,其回归直线才有意义。统计学中要确定变
量X和Y之间是否确实存在线性相关,通常利用相关系数来检验。相关系数记作r,它能够较
精确地描述两个变量之间线性相关的密切程度。当r>0时称Y与X正相关;当r<0时称Y与
X是负相关。
6 线性回归模型的残差原因:
第一是所选择的数学模型不适合,变量间不是线性关系而建立了线性模型;第二是模型中
所包含的自变量数目不合适,或是遗漏了某些重要的影响因素,或是包含了不必要的其他因素
等。一般地,残差平方和越小的模型,拟和的效果越好;类似地,还可用R2来比较两个模型
的拟和效果,R2越大,模型的拟和效果也越好。
7 建立回归模型的步骤:
(1) 确定研究对象,明确解释变量、预报变量;
(2) 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察是否存在线性关系等;
(3) 确定回归方程的类型;
(4) 按一定的规则估计回归方程中的参数;
(5) 得出结果后分析残差图是否有异常,若存在异常,则探明原因。