函数的连续性与间断性

无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x

f(x)=f(x0 )］，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.
设函数y=f(x)在区间［a,b］内有定义，如果有limx→b－
f(x)=f(b)，那么我们就称函数y=f(x)
b左连续；如果
limx→a+f(x)=f(a)，那么我们就称函数y=f(x)在左端点a右连续.
一、 函数的连续性
定义19
y=f(x)
x0连续.
在定义16中，若令x=x0+Δx, 即Δx=x－x0，则当Δx→0时，也就
是当x→x0时.又因为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而
limΔx→0Δy=0
limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).
因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述如下.
A=x2，当自变量x有一个改变 量Δx时，相应函数的增量为ΔA.
ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x•Δx+(Δx)2.
一、 函数的连续性
2. 函数的连续性概念
定义16
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当Δx趋向于零时，
函数相对应的增量Δy也趋向于零，即limΔx→0Δy=0成立，则称函数
一、 函数的连续性
定义17
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有limx→x0f(x)=f(x0) 成立，则称函数y=f(x)在点x0处连续，且称x0为函数y=f(x)的连续点.
(1)函数y=f(x)在点x0有定义.
(2)limx→x0f(x)
.
(3)极限值等于该点的函数值f(x0) .
图 2-12

函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。

如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。

如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。

如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。

如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。

二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。

（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。

如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。

如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。

如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。

如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。

至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。

历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。

0
则 点 义 称 x0为 数f (x) 可 间 点 函 的 去 断 .
x2 −1 x ， 例8 函 f（ ） x −1， ≠1 数 x = y 0 x =1 。 ， x2 −1 在 x =1 ， 为 点 处 因 lim = x→ x −1 1 1 lim x +1 = 2 而（） 0 （ ） ， f 1 = ，
不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 返回
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时 , y = D( x ) = 0, 当x是无理数时 ,
在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间 在定义域 内每一点处都间断,且都是第二类间 内每一点处都间断 断点. 断点
x→ 1
y=
x −1
2
x −1
以 所 x =1是 数 可 间 点 函 的 去 断 。 o
1
x
返回
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. y 数的定义 则可使其变为连续点 如上例中, 如上例中 令 f (1) = 2,
x 则f ( x )在 =1处 续 连 .
y=
解
f (0−0) = 0,
f (0+0) =1 ,
y
Qf (0−0) ≠ f (0+0),
∴x = 0 函 的 跃 断 . 为 数 跳 间 点
o
x
返回
点 的 限 在 2.可去间断点 如 f (x)在 x0处 极 存 , 可去间断点 果 lim 但x→x f (x) = A≠ f (x0 ), 或f (x)在 x0处 定 点 无
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线