刚体的动量与角动量

又 L mR2
dt 1 d
故 LdL m2 gR3 cos θdθ
由题设条件积分上式
L LdL m2 gR3
cosd
0
0
L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2 ( 2g sin )1 2
R
法二 现需求 L L( )
L mRv mR2
故需求 ( )
由质点定轴转动的转动定理
N
C
B
l
M
h A
l/2
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
u l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
Mdt dL
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
冲量矩
角动量定理的微分形式
1.质点 由：dL
r
F
M
dt
得：dL M dt
2.质点系
由：dL
dt
＝M外
得：dL M外dt
3.定轴刚体
由：M 轴
J
J
d
dt
得：Jd M轴d t
(二)、角动量定理的积分形式
瞬时
微分
效应
形式
Lz Liz ri2 mi
i
i
ri2 mi i
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz J
z
or
v
dm
2. 角动量定理
由刚体定轴转动定律

理论力学中的刚体运动与角速度的计算刚体是指具有一定形状和大小，其内部各点间相对位置不会发生改变的物体。

在理论力学研究中，刚体运动是一个重要且常见的问题，其中角速度的计算是关键的一部分。

本文将介绍刚体运动的基本概念和相关计算方法。

一、刚体运动的基本概念刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。

平动是指刚体整体沿直线运动，而转动则是刚体围绕某个轴旋转运动。

在刚体转动的过程中，角速度是一个重要的物理量。

角速度表示刚体某一点在单位时间内绕轴旋转的角度。

通常用符号ω表示，计量单位是弧度/秒。

二、角速度的计算方法1. 定义式计算：对于旋转角速度恒定的情况，可以通过定义式计算角速度。

角速度ω等于单位时间内转过的弧长与转动所需时间的比值。

ω = Δθ / Δt其中，Δθ是转过的弧长，Δt是转动所需时间。

2. 瞬时角速度计算：在某一时刻的瞬时角速度等于通过该点的切线所确定的线速度与该点到轴的距离之比。

即，ω = v / r其中，v表示质点在切线方向上的线速度，r表示质点到该轴的距离。

3. 利用转动惯量计算：转动惯量是刚体抵抗转动的特性参数。

利用转动惯量的计算公式，可以推导出角速度的表达式。

比如，对于圆盘形刚体绕垂直于其平面并通过质心的轴转动的情况，转动惯量I和角速度的关系公式为：Iω = L其中，I表示转动惯量，L表示刚体的角动量。

三、刚体运动与角速度的应用角速度的计算在刚体运动的分析和应用中发挥着重要作用。

下面以两个实例介绍其应用。

实例一：自转的地球地球自转是一个典型的刚体运动问题。

地球自转一周的周期是24小时。

将地球看作一个近似的刚体，其转动惯量与角速度的乘积等于地球的角动量。

通过计算地球的转动惯量和已知的角动量，可以求得地球的角速度。

实例二：陀螺稳定陀螺是另一个常见的刚体运动问题。

陀螺的稳定性与其角速度密切相关。

通过计算陀螺的角速度，可以分析陀螺的稳定性，并设计出能够保持平衡的陀螺。

总结：刚体运动与角速度的计算是理论力学中的重要内容。

Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A

10 1
∫ Mdt
t0
t
是合力矩对时间的积分，称为冲量矩。
2
（三）刚体对定轴的角动量
ω
L = ∑ ∆mi vi ri
= ∑ ∆m= Iω 质点的动量 : P = mv
（四）刚体的转动动能
I →m ω →v
1 Ek = ∑ ∆mi vi2 2 1 1 2 2 2 = ( ∑ ∆mi ri )ω = Iω 2 2 1 2 质点的动能 : Ek = mv I → m ω → v 2
0
θ
∫ ω
0
Idω
I IM θ = ωm = 2 K K
m
10
三、刚体定轴转动的功能关系
dω 将M = Iβ = I 两边同乘以 dθ 并积分 dt ω θ dω ∫θ Md θ = ∫ I dt d θ = ∫ω I ω d ω 1 2 1 2 刚体的动能定理 A = Iω − Iω 0 = Ek − Ek 0 2 2
β
T
m, r
m′, r ′
⋅
T′ T′
B
mg
T
A
mg
a′
= 10.3rad ⋅ s
−2
( 2) 设θ 为组合轮转过的角度 , 则 : θ = h r ω 2 = 2β θ ω = (2 β h r )1 2 = 9.08 rad ⋅ s −1
9
例题：设电风扇的电机力矩恒定为 ， 例题：设电风扇的电机力矩恒定为M，风叶所受空气阻 力矩为M － 力矩为 f=－Kω，风叶转动惯量为 ，风叶转动惯量为I 时刻的角速度ω； 稳定转动时的角速度 稳定转动时的角速度； 求（1）通电后 时刻的角速度 ；(2)稳定转动时的角速度； ）通电后t时刻的角速度 （3）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？ ）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？