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初一数学第10讲：全等三角形综合应用及提升

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第10讲 全等三角形综合提升
一、知识梳理
证明思路：几何命题都可以表述成这种形式：A（条件） B（结论）
1、分析法：B（结论） C D…… A（条件）
2、翻译法：
a
b
A（条件） c B（结论）
……
z

二、典例剖析
类型一：倍长中线法
例1.在⊿ABC中, D为BC的中点. 过D点的直线GF交AC于F, 交AC的
平行线BG于点G . DE⊥GF, 并交AB于点E. 连结EG..
(1) 求证:BG=CF.
(2) 请猜想BE+CF与EF的大小关系, 并加以证明.
（太原·中考题）

变式训练：在⊿ABC中, D为BC的中点. 过D点的直线GF交AC于F, 交AC的平行线BG于点G . DE⊥GF,
并交AB于点E. 连结EG..
(1) 求证:BG=CF.
(2) 请猜想BE+CF与EF的大小关系, 并加以证明.
（太原·中考题）

类型二：截长补短法
例2. （淄博·中考题）在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于E，且AE=12(AB+AD)，
则∠ABC与∠ADC间有何关系？为什么？

A
D

B
C

E
2

变式训练：（德州·中考题）已知：如图，AD//BC，∠DAB、∠ABC角平分线相交于CD边上的E点，则（1）
AB与AD+BC有何关系？为什么？（2）AE与BE有何位置关系？为什么？

类型三：综合型
例3. （湘潭·中考题）已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于
O.
① 求证：AN=BM
② 求 ∠AOB的度数。
③ 若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。

变式训练：（扬州·中考题）如图, △ABC中, P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，
垂足分别是R、S, AQ=PQ, PR=PS.
求证 ：(1) AS=AR; (2) QP∥AR.

例4. （西安·中考题）在 Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，直线为经过点A的任一直线，BD⊥于
D,
CE⊥于E，若BD>CE，试问：
（1）AD与CE的大小关系如何？请说明理由.
（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？你能说明清楚
吗？不妨试一试.

B
A
P
R
\

C
Q
S

A
B
C
D

E
L

A
B
C

M
N
O
P
Q
3

例5.（ 荆州·中考题） 如图，△ABC中，∠B＝600，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，
求证：AE＋CD＝AC

变式训练：如图，BE、CF分别是⊿ABC的高，且BP=AC, CQ=AB,
试判断AP与AQ是否垂直？并说明理由。 （长春·中考题）

三、创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）
1. 如图，在Rt⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，∠1=∠2，CE⊥BD，CE，BD的延长线
于E，试说明BD=2CE (杭州·中考题)

2. 如图, 已知△ABC≌△ADE, BC的边长线交AD于F, 交AE于G, ∠ACB=105°,
∠CAD=10°,∠ADE=25°, 求∠DFB和∠AGB度数.

A
C
D
B

E
O

A
B
C
E
F
P

Q

D
E
G
C
A
F

B
4

3．如图，AD为等腰直角三角形ABC的底角平分线，∠C=90º，试探索AC+CD与AB的关系，并说
明理由.

4．(湖州·中考题)如图，已知AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF．

5. 已知: 正方形ABCG和正方形CDEF有公共顶点C。
试证：BF=DG

6.已知：如图,D是△ABC的边BC上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD 中线,
求证: AC=2AE.

A
B C D
E

F

G

A
B
D E

C
5

B
A
D

E

C

家庭作业
第一部分：
1. 如图，AB=DC，AD=BC，且BE=DF，若∠AEB=100º，
∠ADB=30º，则∠BCF=________。

2. 如图，AB=CD，AD=BC，O为BD中点过O点作直线与DA、BC延长线交
于E、F，若∠ADB=60º，EO=10，则∠DBC= ，FO= 。

3. 如果⊿ABC≌⊿ADC，AB=AD，∠B=70º，BC=3cm,那么∠D= 度，DC= cm。
4. 已知⊿ABC≌⊿EFG，有∠B=68º，∠G-∠E=56º，则∠C= 度。
5. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑
梯水平方向的长度DF相等。若∠CBA=320，则∠FED= ，∠EFD= 。

第二部分：

6.如图,已知∠DCE=90°,∠DAC=90°,BE⊥AC于B,且DC=EC, 能否找出与AB+AD相等的线段,并说明
理由.

第三部分
7．实验与推理：如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺
的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），
另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③ 请证明你的上述两猜想。
（2图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,
使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。 （河北·中考题）

A
B

C
D
F

E
O

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七年级全等三角形的应用例题及反思

七年级全等三角形的应用例题及反思

全等三角形的应用对一道几何习题的深层剖析七年级学生经常会在练习题中遇到这样的一道几何习题（例1），此题是全等三角形的经典习题，从它上面，我们可以发掘更多、更深的知识。

笔者在实际教学中对此题的讲解，深得学生的赞赏，现将此题拿出，跟广大师生分享，希望大家获得更多的解题心得。

.1AE AD CD BE AC AB ABC ===∆；求证：，中，）已知：如图，在（例分析：此题常规思路是通过说明ACE ABD ∆≅∆来证明AE AD =；显然求证条件是足够的，在ABC ∆中，AC AB =已经隐含了C B ∠=∠，加之)(EC DE DE BD CD BE +=+=实际上是CE BD =，即：)(SAS ACE ABD ∆≅∆。

当然如果考虑到AE AD 、是ADE ∆的两边时，那么说明ADE ∆是等腰三角形也不失为一种方法，但要说明ADE ∆是等腰三角形时，就要证明AED ADE ∠=∠，而要证明AED ADE ∠=∠，就得证明AEC ADB ∠=∠，其实就是说明ACE ABD ∆≅∆，可见我们回到了第一种方法上，当我们把题目多角度思考时，总会收获许多知识。

图一).( )( SAS ACE ABD CE BD CB AC AB ACE ABD CE BD CE DE DE BD DC BE C B AC AB ∆≅∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆=⇒+=+=∠=∠⇒=中：和在；；证明：由笔者在第一题的基础上，稍作改变，得到了以下两个新题，这两个题目的解题思路可以极大地丰富我们对全等三角形及相关知识点的认识。

.1CG BF G F CD BE AC AB ABC =∠=∠==∆；求证：，，中，）已知：如图，在（练习图二分析：此题要证明CG BF =，即证明：CEG BDF ACG ABF ∆≅∆∆≅∆或；以证明ACG ABF ∆≅∆为例。

在例1中我们已经证明了ACE ABD ∆≅∆，易CAG BAF ∠=∠，根据条件AC AB =、G F ∠=∠；很易说明ACG ABF ∆≅∆。

北师大版数学七年级下册同步小专题(三) 全等三角形性质与判定的综合应用

北师大版数学七年级下册同步小专题(三) 全等三角形性质与判定的综合应用

小专题(三)全等三角形性质与判定的综合应用全等三角形是证明线段相等和角相等的常用方法,在解题中要注意寻找全等三角形,探索三角形全等的条件是三角形的重点,又是进一步学习平面几何的基础.在具体应用三角形全等的判定方法时,要认真分析已知条件,仔细观察图形,弄清已具备了哪些条件,从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系,从而选择适当的说明方法.有些题目中既要用到证全等,又要用到全等的性质,二者相互联合应用.在解决问题时,要注意题目的特点,选择合适的方法和解题思路.类型1全等三角形的判定1.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,则P1,P2,P3,P4四个点中符合条件的点P有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个2.在△ADB和△ADC中,下列条件:①BD=DC,AB=AC;②∠B=∠C,∠BAD=∠CAD;③∠B=∠C,BD=DC;④∠ADB=∠ADC,BD=DC.能得出△ABD≌△ACD的是①②④.(只填序号)类型2四种判定全等方法的综合应用3.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②AO=CO=1AC;③2△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(D)A.0个B.1个C.2个D.3个类型3全等三角形判定的实际应用4.有一块长方形的土地ABCD,分别被甲、乙两户承包,一条公路GEFH穿过这块地.为发展经济,决定将这条公路尽量修直,为不影响甲、乙两户土地面积,请你设计一种方案,来解决这个问题.解:如图,取EF的中点M,连接GM并延长交FH于点N,GN就是修直后的道路.类型4全等三角形性质与判定的综合应用5.如图,在△ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=∠C,BC=8 cm,D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1 s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP全等?解:(1)△BPD≌△CQP.理由:因为t=1 s,所以BP=CQ=3×1=3(cm),因为AB=10 cm,D为AB的中点,所以BD=5 cm.又因为PC=BC-BP=8-3=5(cm),所以PC=BD.又因为∠B=∠C,所以△BPD≌△CQP(SAS).(2)因为v P≠v Q,所以BP≠CQ,又因为△BPD与△CPQ全等,∠B=∠C,所以BP=PC=4 cm,CQ=BD=5 cm,所以点P,点Q运动的时间t=BP3=43(s),所以v Q=CQt =543=154(cm/s).答:当点Q的运动速度为154cm/s时,△BPD与△CQP全等.。

鲁教版数学七年级下册10.1《全等三角形》教学设计2

鲁教版数学七年级下册10.1《全等三角形》教学设计2

鲁教版数学七年级下册10.1《全等三角形》教学设计2一. 教材分析《全等三角形》是鲁教版数学七年级下册10.1节的内容，本节课主要让学生了解全等三角形的概念，性质和判定方法。

通过学习全等三角形，培养学生观察、思考、推理的能力，为后续几何学习打下基础。

教材内容主要包括全等三角形的定义、性质、SSS、SAS、ASA、AAS五种判定方法及应用。

二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的了解。

但全等三角形概念较为抽象，对学生空间想象能力和逻辑推理能力要求较高。

此外，学生可能对五种判定方法的记忆和应用存在困难。

三. 教学目标1.了解全等三角形的概念、性质和判定方法。

2.培养学生观察、思考、推理的能力。

3.提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.全等三角形的概念和性质。

2.SSS、SAS、ASA、AAS五种判定方法的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究全等三角形的性质和判定方法。

2.利用几何画板软件，直观展示全等三角形的判定过程。

3.采用小组合作交流，培养学生团队合作精神。

4.结合实例，让学生在实际问题中应用全等三角形的知识。

六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示全等三角形的判定过程。

2.准备相关实例，用于巩固全等三角形的应用。

3.准备PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示两个三角形的全等变换，引发学生对全等三角形的兴趣。

提问：什么是全等三角形？全等三角形的性质有哪些？2.呈现（10分钟）介绍全等三角形的定义、性质和SSS、SAS、ASA、AAS五种判定方法。

通过PPT展示，让学生直观理解全等三角形的概念和性质。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生利用五种判定方法，判断给定的三角形是否全等。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示一组三角形，让学生运用全等三角形的知识，解决实际问题。

例如：在直角三角形中，已知两个直角边相等，求斜边是否相等。

上海(沪教版)七年级下数学辅导讲义-第10讲-三角形的有关概念和内角和教师版

上海(沪教版)七年级下数学辅导讲义-第10讲-三角形的有关概念和内角和教师版

学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题三角形的有关概念和内角和教学内容1．理解三角形的有关概念及三角形的分类，体会分类思想；2．理解三角形内角和定理的是如何推导出来的，能够熟练的运用三角形内角和定理解决一些常见的计算问题；3．灵活运用三角形的内角和性质及三角形的外角的性质进行简单的几何推理.（以提问的形式回顾）1. 三角形的分类：按角分类：锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形）直角三角形（有一个内角是直角的三角形）钝角三角形（有一个内角是钝角的三角形）按边分类：不等边三角形（三边互不相等的三角形）等腰三角形（有两边相等的三角形）2. 三角形的主要性质：（1）三角形的任何两边之和第三边，任何两边之差第三边；（2）三角形的内角之和等于；（3）三角形的一个外角等于和它；三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角。

（4）三角形的外角和等于。

（1）大于，小于；（2）180°；（3）不相邻的两个内角和，大于；（4）360°小练习：1．△ABC 中，如果∠B =∠A ＋∠C ，那么这个三角形是______________三角形； 2．在，则此三角形是，中，已知︒=∠︒=∠∆5535C B ABC 三角形。

3．=∠∠∠∆C B A ABC ：：中，已知在1：2：3，则最大的一个角度数是 度。

4．如果等腰三角形两边长分别为3，7，那么三角形的周长是________________； 5．△ABC 中，AB ＝9，BC ＝4,那么AC 的取值范围是 ； 6．等腰三角形周长为16，且边长都为整数，则能构成不同形状的三角形共有 ( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7．一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长为奇数，那么第三边的长为（ ） （A ）3或5 （B ）5或7 （C ）7或9 （D ）9或118．下列说法正确的是 ( )（A ）直角三角形的高只有一条 （B ）三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部 （C ）三角形中至少有一条高在形内 （D ）直角三角形的三条高不能相交于一点 9．下列说法错误的是 ( )（A ）三角形的三条中线交于一点 （B ）三角形的三条角平分线交于一点 （C ）三角形的三条高交于一点 （D ）三角形的三条边的垂直平分线交于一点 10．下列说法正确的个数有（ ）个（1） 三角形的外角大于它的任何一个内角 （2）外角都是钝角的三角形是锐角三角形 （3）三角形的外角和是指三角形所有外角的和 （4）外角中有一个角为︒90的三角形是直角三角形 A 1B 2C 3D 4参考答案：1、直角； 2、直角； 3、90； 4、17； 5、513AC <<； 6、C ； 7、C ； 8、C ； 9、C ； 10、B（采用教师引导，学生轮流回答的形式）a c b-<∴<<c b3因此，c是最小边，所以：c<解不等式得，PRQFEABCD参考答案：360°试一试： 如图，求出任意一个五角星的顶角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？ABCDE参考答案：180°（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1．一个三角形的三个内角中，最多有 个钝角，有 个直角。