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初等数学研究答案第一章到第六章[1]

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大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社

习题一

1答：原则：（1）AB

（2）A的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。

（3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行。

(4) 在同构的意义下,B应当是A满足上述三原则的最小扩展,而且由A唯一确定。

方式：（1）添加元素法；（2）构造法

2证明:(1)设命题能成立的所有c组成集合M。a=b，M11b1a，

假设bcacMc，即，则Mccbbbcaacca，

由归纳公理知M=N，所以命题对任意自然数c成立。

（2）若ab，则bckcacbc,k)c(a)1(bkaNk即，，由，使得

则ac

（3）若a>b，则acmcbcac,m)c(b)1(ambNm即，，由，使得

则ac>bc。

3证明:(1)用反证法：若bab,aba或者，则由三分性知。当ab时，由乘法单调性知acbc. 当ab时，由乘法单调性知ac

（2）用反证法：若bab,aba或者，则由三分性知不小于。当ab时，由乘法单调性知acbc. 当a=b时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac

（3）用反证法：若bab,aba或者，则由三分性知不大于。当abc矛盾。则a>b。

4. 解：（1）4313 541323 652333

763343 874353

（2）313 631323 93232333

123333343 153434353

5证明：当n=1时，的倍数。是9181n154n

假设当n=k时的倍数。是91k154k

则当n=k+1时的倍数。是）（）（918k451k154411k154k1k

则对Nn，1n154n是9的倍数.

6证明：当1n时，141=3，n21n21=3；则当1n时成立。

假设当kn时成立，即(141)(941)(2541)……… (21k241）（)=k21k21

当1kn时，(141)(941)(2541)……… (21k241）（)（21k241）（）

=k21k21（21k241）（）=）（）（1k211k21k21k23

当1kn时成立。

7解：（1）01x3x132，则，

（2）3311，

131313An2nn2nnn2n2n2n

131311n11nnn）（）（

133131n1nnn；n1nAA3

（3）当n=1时，1013A333的倍数。是10

假设当n=k时13A3k3k3k的倍数。是10

则当n=k+1时

131313A33k33k3k33k33k31k31k31k3）（）（）（）（）（ k333k3k1013

则对Nn，n3A是10的倍数.

8证明：；，，则，，使得，；，larlckaqkbarcaqbZrqc|ab|a

。；）（lckb|aalrkqlckb

9证明：假设存在b，使得,1aab由得，ba，，使得kabNk

若，则1k；1ab若，则1k；即1akab；1ab

因此.1a是不可能的b

10证明：）；，，，，，，（，，设*321321332211ZqqqZppppqcpqbpqa

则a(bc)=321321332211ppp)qqqpqpqpq）（（）（）（）（321321pppqqqa(bc)pqpqpq332211）（

11答:(1)加法,乘法,减法; 构成数环 (2)乘法,除法; (3)加法,乘法; (4)加法,乘法;

(5)加法,乘法,除法; (6)乘法; (7)加法,乘法,减法;构成数环

(8)加法,乘法,减法;构成数环

12 证明：方法一nn332211babababa 即n11n2112baba,baba

11n21n21babbbaaa1n21n2111n21bbbbbbbabaaa）（）（）（

0bbbbbababa-ba1n21n11n2112）（）（）（

nn332211babababa 即1-nnn1-n1nn1baba,baba，

nnn21n21babbbaaann21n21nnn21bbbbbbbabaaa）（）（）（

0bbbbbababa-bann211-nnn1-n1nn1）（）（）（

方法二：设p,ba11q,bann则由p=nn332211babababa=q得，

pba11， pba22，pbann；

qba11， qba22，qbann；

则n21n21bbbpbpbpbn21n21bbbaaa

即q.bbbaaapn21n21则.babbbaaabannn21n2111\

13．（1）;109.16.5003105.1102.16.50031053.1102.143434

（2）;88.4238.026.433824.026.43

（3）;7.6872232.687138.6813.2264.32

（4）43564.2)1063.2(3.1008.163875.1079436.2)1063.2(33

14 解：5.046308.0%02.04.2315|a|

则它的有效数字的个数为4。

15 解：551.45511.47321.11416.3232

16 证明：方法一：dcxbaxS是有理数，则其不包含x；

dcxkdbxdcxkcakdcxkdbxkcadcxkdcxbaxS）（）（又

。；即，bcadkdbkca

，代入，，则；令其为bpcapdpbcaddcxbaxS得,

为有理数。pabapxbpbaxdcxbaxS

方法二：dcxbaxS是有理数，则dcxbaxSZ,nm,使得=.nm；

bn.-dmcm)x-(and)m(cxb)n(ax，即则bc.ad;bndmmcan,xQdcba*即则是无理数，，，，又由于

又;d)d(cxb)d(axdcxbaxS2dcdxbdadxbc.ad

则.)(d)b(cxd)d(cxb)d(axdcxbaxS2dbdcxddcdxbdadx

dcxbaxS是有理数

17 证明：cdcdcdba，dbca

则若。时，cdba

若b-acdb-ac-dcdba时由得b-ab-ac-dd2;

即无理数等于有理数矛盾,则。cd

18解：（1）1n2n4534231nn433221；

并且时并且当n;01n21nn1n2n01n21nn1n2n

此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.

（2）1n14131210000；

并且时并且当n;01n101n101n101n1

此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为0.

（3）11112n1-2n654321；

并且时并且当n;02n12n1-2n102n12n1-2n1

此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.

19.（1）（）答：复数集与复平面内以0为起点的一切向量组成的集合一一对应；

（2）() 答:两复数的和与积都是实数的充分条件是：这两个复数是共轭复数

（3）()答：共轭虚数的正整数次幂仍是共轭复数；

（4）() 答: 一个非零复数的模等于1的充分条件是它与它的倒数之和为实数.

20 证明:当时k3n，3k2i31）（；）（22i313k

当时1k3n，13k2i31）（；）（12i3113k

当时2k3n，23k2i31）（；）（12i3123k

21 解：Z=72i31）（=1)6isin6(cos17)67isin67(cos=i21231

则|Z|=22263241)23-(12；则.23arctan2）（

22 解：|z|=1，，则令isincosz

1zz2=)isin-sin(2coscoscos22

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实变函数第一章答案

实变函数第一章答案

第一章：集合与实数集

(8)设是上的实函数，假若存在𝑀>0,使得对于任何有限个两两不等的实数𝑥

1,...,𝑥

𝑛,

⃒

⃒

⃒𝑛∑︁

𝑘=1𝑓(𝑥

𝑘)⃒

⃒

⃒≤𝑀.

证明:{𝑥:𝑓(𝑥)=0}是至多可数集。

证明:令

𝐴

+={𝑥:𝑓(𝑥)>0},𝐴

−={𝑥:𝑓(𝑥)<0}.

则

{𝑥:𝑓(𝑥)=0}=𝐴

+∪𝐴

−.

所以，只要证明𝐴

+,𝐴

−都是至多可数集。我们仅考虑𝐴

+.注意到

𝐴

+=∪∞

𝑛=1𝐴

𝑛,+,其中𝐴

𝑛,+={𝑥:|𝑓(𝑥)|>1/𝑛}.

这样问题就归结为证明对于任意的𝑛,𝐴

𝑛是至多可数集.由假设条件知道：𝐴

𝑛是一

个有限集合，其中的点的个数不超过[𝑛𝑀]+1个.

(9)证明：R上单调函数的间断点是至多可数的.

证明：设𝑓是R上的单增函数，我们首先证明：对于任意的𝑥

0∈R,

lim

𝑥→𝑥0−0𝑓(𝑥),lim

𝑥→𝑥0+0𝑓(𝑥)

都是存在有限的.为简单起见，我们仅考虑左极限的存在性.我们只要证明：

(a)对于任意的{𝑥

𝑛},𝑥

𝑛→𝑥

0,𝑥

𝑛<𝑥

0,lim

𝑛→∞𝑥

𝑛都存在有限

(b)对于任意的{𝑥

𝑛},𝑥

𝑛→𝑥

0,𝑥

𝑛<𝑥

0,{𝑦

𝑛},𝑦

𝑛→𝑥

0,𝑦

𝑛<𝑥

0,lim

𝑛→∞𝑥

𝑛=

lim

𝑛→∞𝑦

𝑛.

结论(a)是明显的，至于结论(b),我们只要注意到对于任意的𝑛,一定存在𝑁>𝑛使

得当𝑚>𝑁时𝑦

𝑚>𝑥

𝑛,从而𝑓(𝑥

𝑚)>𝑓(𝑥

𝑛),这依次隐含着

lim

𝑛→∞𝑓(𝑥

𝑛)≤lim

𝑚→∞𝑓(𝑦

𝑚).

2同理可证

lim

𝑛→∞𝑓(𝑥

𝑛)≥lim

𝑚→∞𝑓(𝑦

𝑚).

现在回到要证明的结论.假如𝑓在𝑥

0不连续，则𝑓(𝑥

0−0)<𝑓(𝑥

0+0),这样我们

就得到一个区间(𝑓(𝑥

0−),𝑓(𝑥

0+)).对于𝑓的任意两个不连续点𝑥

(红对勾)人教版高中数学高一必修一答案

(红对勾)人教版高中数学高一必修一答案

未知驱动探索，专注成就专业

1

人教版高中数学高一必修一答案

目录

• 第一章 线性方程与不等式

• 第二章 函数基础

• 第三章 函数的初等函数

• 第四章 三角函数

• 第五章 数列

• 第六章 概率

第一章 线性方程与不等式

1. 解答:

(1) 解：因为

$$ \\begin{aligned} x+y&=-2\\\\ 2x-y&=1 \\end{aligned}

$$

(2) 解得： 未知驱动探索，专注成就专业

2

$$ \\begin{aligned} x&=-\\frac{3}{5}\\\\ y&=-\\frac{7}{5}

\\end{aligned} $$

(3) 所以方程的解为$x=-\\frac{3}{5}$，$y=-\\frac{7}{5}$。

(2) 解：因为

$$ \\begin{aligned} 2x+y&=-3\\\\ 3x-2y&=4 \\end{aligned}

$$

(3) 解得：

$$ \\begin{aligned} x&=-\\frac{11}{5}\\\\ y&=\\frac{7}{5}

\\end{aligned} $$

(4) 所以方程的解为$x=-\\frac{11}{5}$，$y=\\frac{7}{5}$。

2. 解答:

(1) 解：根据题意，2𝑥−3<4，移项得2𝑥<7，再除以2得$x<\\frac{7}{2}$，所以不等式的解集为$x<\\frac{7}{2}$。 未知驱动探索，专注成就专业

3

(2) 解：根据题意，$3x+2\\leq 5$，移项得$3x\\leq 3$，再除以3得$x\\leq 1$，所以不等式的解集为$x\\leq 1$。

第二章 函数基础

1. 解答:

(1) 解：由题意，函数𝑥(𝑥)的定义域是$x\\geq -3$，根据函数的图象可得：当$x\\geq -3$时，𝑥(𝑥)的值为正；当𝑥<−3时，𝑥(𝑥)的值为负。

初等数论备课

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数论相关题目

第一章 整数的整除性

1.1 整除

1.整数

（1）自然数、正整数、非负整数、整数等

的表示方法

（2）字母表示数字的方法：字母相乘时如

何表示，以字母表示多位数如何表示

1．一个两位数，个位上的数字比十位上的

数字大1，把个位数字与十位数字交换位置

后得到一个新的两位数。原数与新数相加的

和是121，求这个两位数。

2．一个三位数，个位上的数字是5，如果将

个位上的数字移到第一位数字前面时，所得

的新数比原数大288，原数是多少？

3．由3个不同的数字（都不为0）组成的所

有的三位数的和是1332，这样的三位数中最

大的是多少？

4．有一个四位数，各位上的数字各不相同，

它和它的反序数（所谓反序数就是将原来的

数字顺序倒过来排列，例如1234的反序数

是4321）之和是一个五位数，且这个五位数

的数字排列是以当中的数字为对称的，这样

的四位数最大可以是多少？

5．已知算式1994EFGHABCD，其中ABCD、EFGH均

为四位数；A、B、C、D、E、F、G、H是

0、1、2„9中的8个不同整数，且0A、0E。那么ABCD与EFGH之和的最大值是多少？最小

值是多少？

6．七位数abcdefgh中，不同的字母分别代表0~9

中不同的数字。已知abcd－efg=8721，

abcd+efg=10183，这个七位数是多少？

7．两位数ab中，数字a比数字b大2，ab+ba

的和是88，ab是多少？

8．用1、2、3、4、5、6、7七个数字组成

三个两位数，一个一位数。已知这4个数的

各个数位上的数字都不相同，并且4个数的

和等于100。如果要求其中最大的两位数尽

可能大，那么这个最大的两位数是多少？

9．一个三位数，个位上的数字是5.如果将

个位上的数字移到第一位数字前面时，所得

的新数比原数大288，原数是多少？

10．abcd是四位数，a，b，c，d均代表0、1、

2、3中的某个数字，且各不相同。那么，满

足关系ab>d的四位数都有哪些？

【北师大版】七年级数学上册：第1~6章练习+章末测试(含答案)

【北师大版】七年级数学上册：第1~6章练习+章末测试(含答案)

1生活中的立体 基础巩固 1.（题型二）如图1-1-1,属于棱柱的有( ) 图1-1-1 A.2个 B．3个 C．4个 D.5个 2.（知识点3）雨滴从空中落下、流星从空中划过,这些现象都给我们以_____的形象；汽车的雨刷摆动、将教室前的投影幕展开,这些现象给我们以_____的形象；硬币在桌面上快速旋转、向玻璃杯中注水水面的上升,这些现象给我们以______的形象. 3.（题型一）将下列物体的名称与相应的几何体用线连接起来. 螺丝帽 塔尖 字典 足球 蜡烛 魔方 长方体 正方体 圆锥 球 圆柱 棱柱 4.（题型三）如图1-1-2的几何体,分别由哪个平面图形绕某条直线旋转一周得到？请画出相应的平面图形．

图1-1-2 能力提升 5.(题型四)观察下列多面体,把下表补充完整,并回答问题.

（1）根据上表中的规律推断,十四棱柱共有___个面,共有___个顶点,共有____条棱. （2）若某个棱柱由30个面构成,则这个棱柱为____棱柱. （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n,则它有____个侧面,共有___个面,共有____个顶点,共有_____条棱. （4）观察表中的结果,你能发现a,b,c之间有什么关系吗？请写出关系式． 答案 1.B 解析：正方体、长方体、三棱柱是棱柱,共3个.故选B． 2.点动成线线动成面面动成体 解析：观察现象,我们可以从中发现它们运动的形象. 3. 解：

4. 解：如图D1-1-1.

图D1-1-1 能力提升 5. 解：填表如下：

（1）16 28 42. （2）二十八. （3）n n+2 2n 3n. （4）a+c-b=2． 2展开与折叠 基础巩固 1.（知识点1）下列选项能折叠成正方体的是（ ）

2.（知识点1）将图1-2-1的表面带有图案的正方体沿某些棱展开后,得到的图形是（ ）

图1-2-1

3.（题型四）图1-2-2是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体包装盒的容积是（包装材料厚度不计）（ ）