初等数学研究答案1
大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一
1答：原则：（1）A ⊂B
（2）A 的元素间所定义的一些运
算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种
运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A
满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴，
假
设
bc
ac M c =∈，即，则
M
c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，
由归纳公理知M=N ，所以命题对任意
自然数c 成立。 （
2）若a <
b ，则
bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得
则ac3
）
若
a>b
，
则
ac
m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。 3
证明:(1)用反证法：若
b
a b,a
b a <>≠或者，则由三分性知。当a >b 时，
由乘法单调性知ac >bc. 当a
（
2
）
用
反
证
法
：
若
b
a b,a
b a =>或者，则由三分性知不小于。当a >b
时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac（
3
）
用
反
证
法
：
若
b
a b,a
b a =<或者，则由三分性知不大于。当a时，由乘法单调性知acbc 矛盾。则a>b 。
4. 解：（1）4
313='=+ 5
41323='='+=+
652333='='+=+ 7
63343='='+=+
8
74353='='+=+
（2）313=⋅
631323=+⋅=⋅
9
3232333=+⋅='⋅=⋅
12
3333343=+⋅='⋅=⋅
15
3434353=+⋅='⋅=⋅
5证明：当n=1时，的倍数。是9181n 154n
=-+
假设当n=k 时的倍数。
是91k 154
k
-+
则
当
n=k+1
时
的倍数。是）（）（918k 451k 154411k 154k
1k +--+=-+++
则对∀N n ∈，1
n 154
n
-+是9的倍数.
6证明：当1n =时，141-=3-，n
21n
21-+=3-；则当1n =时成立。
假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(254
1-)……… (2
1k 241）
（--)=k 21k
21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(254
1-)……… (2
1k 241）
（--)（2
1k 241）
（+-） =
k
21k
21-+（
2
1k 241）
（+-）
=）
（）
（1k 211k 21k 21k 23+-++=
++- 当1k n +=时成立。 7解：（1）0
1x 3x 132
=---==+，则，αββα
（2）3
311
=-=---ββαα，
13
13
13A
n
2n n 2n n n 2
n 2n 2
n ββααβαβα+--+
-=
-=
∴+++++
13
13
11
n 11n n
n ）
（）（-+-+---+
-=
βββαααβα
13
3
13
1
n 1n n
n ++-+-=
βαβα；
n 1n A A 3+=+
（3）当n=1时，1013
A 3
33
=-=
βα的倍数。
是10
假设当n=k 时13
A
3k
3k 3k
βα-=
的倍数。
是10
则当n=k+1时
13
13
13A 33k
33k 3k 33k 33k 31k 31k 31k 3）
（）（）（）（）（βαβαβαββααβα-+-=
⋅-⋅=
-=
+++
k
333k
3k 1013
βαβα+-=
则对∀N n ∈，n
3A 是10的倍数. 8
证
明
：
；
，，则，，使得，；，lar lc kaq kb ar c aq b Z r q c |a b |a ====∈∃∴ 。
；）（lc kb |a a lr kq lc kb +∴+=+∴ 9证明：假设存在b ，使得,1a +<若
，则
1k =；
1a b +=若
，则1k >；即1a k a b +>+=；
1a b +>
因此.1a 是不可能的+
证明：
）；，，，，，，（，，设*3213213
32211Z q q q Z p p p p q c p q
b p q a ∈∈===
则a(bc)===⋅
3213
2133221
1p p p )q q q p q p q p
q
）（（）（）（）（321321p p p q q q a(bc)p q p q p q 3
32211=⋅=）（
