阅读题专项训练 试题版

1.若一个三位数t=abc（其中a，b，c不完全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为T（t）。例如，357的差数T（357）=753-357=396.

（1）已知一个三位数1ab（其中a>b>1）的差数T（1ab）=792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；

（2）若一个三位数2ab（其中a，b都不为0）能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数2ab被4除余1，再将新数的个位数字移到百位得到另一个新数2ba被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”。例如：因为612=4×153,261=4×65+1,126=4×31+2，所以612是4的一个闺蜜数。求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T（t）的最大值。

2. 如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数"．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1－2|＝|2－3|＝|3－2|＝|2－1|＝1,因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，„„，都是“阶梯数”。若一个“阶梯数"' 从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为，记P（t）=2N-M，Q(t)=M+N

(1 )己知一个三位“阶梯数t，其中P(t)=12，且Q(t)为一个完全平方数，求这个三位数;

（2）己知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t)除以4余2，求该五位“阶梯数t”的最大值与最小值，

3.一个形如abcde的五位自然数（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且0,0ab），若有,aebd且cab，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”. 同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，224334693，则43734是一个“智慧对称数”．

（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。例如：12321与21312为一组“相关对称数”，求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；

（2）求出所有的“智慧对称数”中的最大“智慧对称数”．

4. 在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”。若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”。比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324－13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”。

（1）请根据以上方法判断31568 （填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值。

（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除。

5. t是一个三位正整数，且（，，，且a，b，c为整数）．若t的百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6，则我们称这个三位数t是“幸运数”，并规定：．如237是幸运数，且(237)3271F．

（1）若t既能被3整除，又能被5整除，求符合条件的“幸运数”t；

（2）若两个“幸运数”，的十位数字均为y，百位数字分别为x，m，，个位数字分别为z，n，，且123()4()2FtFt，证明：315mz．

6.一个三位自然数abc（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a＋c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=34=12．

（1）对于“欢喜数abc”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除；

（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（mn），若F（m）F（n）=3，求mn的值．

7.一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选取两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”。例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”.

一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”。

（1）判断123是不是“公主数”，说明理由.

（2）证明：当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则z=2x.

（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”。

10010tabc19a≤≤0b≤9c≤3Ftac1t2txmzn8.对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数（a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c﹣2b|最小时，称此时的为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=﹣1．

（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0

（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．

9.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数p，将它各个数位上的数字平方后再取其个位，得到三个心的数字：再将这三个数字重新组合成三位数xyz，当|x+2y-z|的值最小时，称此时的xyz为自然数p的理想数，并规定K（p）=2(xy)+y.例如245，各数字平方后取个位分别为4,6，5,再重新组合为465,456,546，564，654,645，因为|4+2×4-6|=7最小，所以546是原三位数245的理想数，此时K（p）=(5-6)2+4=5;

（1）若有三位自然数q，满足有两个数位上的数字相同且不等于0，另一个数位上的数字为1，求证：K（q）=1；

（2）若一个三位正整数的十位数字是个位数字的2倍，则称这个数自信数，例如384，其中8=4×2，所以384是自信数；对于一个各数位上的数字均不为0三位正整数p，把它的个位数字和百位数字交换所得到的新三位数记为p1，把它的个位数字和十位数字交换得到的新三位数记为p2，若p，p1，p2，这三个数的和能被29整除，则称这个数p为成功数，若一个成功数p也是自信数，求所有符合条件的成功数K（p）的最小值。

10.我们可以将任意三位数记为，（其中a、b、c分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且a≠0）．显然=100a+10b+c．

材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为0，则称之为原始数，比如123就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出5个新的原始数，比如由123可以产生出132，213、231、312、321这5个新原始数，将这6个数相加，得到的和1332称为由原始数123生成的终止数．

问题：

（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：247，638；

（2）若由一个原始数生成的终止数为1110，求满足条件的所有原始数．

11.一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可以与m相同），记m'=，在m’所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此时的m’是m的“幸福美满数”，并规定K（m）=a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1﹣8|=3，|3+2×8﹣1|=18，|8+2×1﹣3|=7，|1+2×3﹣8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美满数”．K（318）=12+2×32﹣82=﹣45．

（1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为0，求证：K（t）=0；

（2）设三位自然数s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上的数字得到新数s'，若19s+8s'=3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s）的最大值．

12.若一个自然数各位数字左右对称，则称这样的自然数是对称数，如22，989，5665，12321…，都是对称数．

若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数．例如：17与71，132与231，5678与8765，…，都互为逆序数．

有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与这个和的逆序数相加，连续进行下去…，便可以得到一个对称数．例如：17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；

（1）猜想任意一个三位数与其逆序数之差能否被99整除？并说明理由．

（2）若两位自然数A按上述方式的第一个对称数是484，A的十位上的数字大于个位上的数字，求A的值．

13.若将一个自然数从左到右各数位上的数字排列成一列后，后一个数减去前一个数的差始终是同一个常数，则这个自然数叫做“阶梯数”．如：四位数1357排列后为：1，3，5，7，因为7﹣5=5﹣3=3﹣1=2，且差2是常数，故1357是一个四位阶梯数．又如，9876，55555等数也是阶梯数．

若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数，简称“互逆数”．例如：1357与7531，9876与6789，…，都是互逆数．