浙江新高考数学理一轮复习限时集训：2.4二次函数与幂函数(含答案详析)

第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数

[最新考纲]

1．了解幂函数的概念．

2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图像，了解它们的变化情况．

3．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．

4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知 识 梳 理

1．幂函数

(1)幂函数的定义

如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．

(2)常见的5种幂函数的图像

(3)常见的5种幂函数的性质

函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1

定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，

且x≠0}

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，

且y≠0}

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 (－∞，0]减， 增 增 (－∞，0)减， [0，＋∞)增 (0，＋∞)减

定点 (0,0)，(1,1) (1,1)

2.二次函数

(1)二次函数的定义

形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫作二次函数．

(2)二次函数的三种常见解析式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；

③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．

(3)二次函数的图像和性质

函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)

图像 a>0 a<0

定义域 R R

值域 y∈4ac－b24a，＋∞ y∈－∞，4ac－b24a

对称轴 x＝－b2a

顶点

坐标 －b2a，4ac－b24a

奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数

递增

区间 －b2a，＋∞ －∞，－b2a

递减

区间 －∞，－b2a －b2a，＋∞

【金版教程】2014届高考数学总复习 2.4 幂函数与二次函数限时规范训练 理 新人教A版

(时间：45分钟 分值：100分)

一、选择题

1. [2013·开封模拟]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(12，22)，则k＋α＝( )

A. 12 B. 1

C. 32 D. 2

答案：C

解析：∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1.

又f(x)的图象过点(12，22)，

∴(12)α＝22，∴α＝12，∴k＋α＝1＋12＝32.

2. 已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是( )

A. a≤2或a≥3 B. 2≤a≤3

C. a≤－3或a≥－2 D. －3≤a≤－2

答案：A

解析：对称轴a≤2或a≥3，函数在(2,3)内单调递增，选A项．

3. [2013·南宁段考]已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：

x 1 12

f(x) 1 22

则不等式f(|x|)≤2的解集是( )

A. {x|－4≤x≤4} B. {x|0≤x≤4}

C. {x|－2≤x≤2} D. {x|0

答案：A 解析：由题表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f(x)＝.

∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.

4. [2013·威海模拟]已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )

A. 1 B. －1

C. 0 D. 2

答案：A

解析：∵f(x)＝－x2＋4x＋a

＝－(x－2)2＋4＋a，且x∈[0,1]，

∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴a＝－2，

f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.

5. [2013·杭州模拟]函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是( )

A. a≤0 B. a<－4

第二章 第4节 幂函数与二次函数

A－基础巩固题组

1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )

A．1 B．2

C．1或2 D．3

解析：选A．∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．

2．已知函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是( )

A．(－1，2) B．[－1，2]

C．(1，2) D．[1，2]

解析：选A．函数f(x)＝2x2－4kx－5图象的对称轴为直线x＝k，若函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是(－1，2).

3．若a＝(12)23，b＝(15)23，c＝(12)13，则a，b，c的大小关系是( )

A．a

C．b

解析：选D．因为y＝x23在[0，＋∞)上单调递增，∴(12)23>(15)23.又y＝x13在[0，＋∞)上单调递增，∴(12)13>(14)13＝(12)23，∴c>a>b，故选D．

4．(2023·西安联考)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是( )

A．(－∞，－1 ) B．(－1，2]

C．[－1，2] D．[2，5]

解析：选C．∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2，故选C．

5．(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( )

A．f(－1) B．f(1)

学习资料

班 级： 科 目： 2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训12幂函数与二次函数理含解析新人教 课后限时集训(十二) 幂函数与二次函数

建议用时：40分钟

一、选择题

1．已知幂函数f (x)＝(m2－3m＋3）xm＋1为偶函数，则m＝（ ）

A．1 B．2 C．1或2 D．3

A ［∵函数f (x)为幂函数,∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f (x)＝x2为偶函数,满足条件；当m＝2时，幂函数f （x)＝x3为奇函数，不满足条件,故选A．］

2。若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（ ）

A．d＞c＞b＞a

B．a＞b＞c＞d

C．d＞c＞a＞b

D．a＞b＞d＞c

B [幂函数的图象在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，由下至上,幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B．］

3．设x＝0.20.3，y＝0。30。2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )

A．x＜z＜y B．y＜x＜z

C．y＜z＜x D．z＜y＜x

A [由函数y＝0。3x在R上单调递减，可得y＞z。由函数y＝x0。3在（0,＋∞)上单调递增，可得x＜z。所以x＜z＜y。］

4．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是（ ）

A B

C D

B ［①当a＝0，b≠0时，y＝2ax＋b的图象可能是A；

②当a＞0时,－错误!≥0⇒b≤0,y＝2ax＋b的图象可能是C；

③当a＜0时，－错误!≥0⇒b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D．故选B．]

5．已知a，b，c∈R，函数f （x）＝ax2＋bx＋c，若f （0）＝f (4）＞f （1），则( ）

A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0，4a＋b＝0