应力应变关系
弹性模量 ||广义虎克定律
1.弹性模量
对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括:
a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即
b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即
c 体积弹性模量三向平均应力
与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即
d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即
此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。
2.广义虎克定律
线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。
A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。
B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即
体积弹性定律
应力偏量与应变偏量关系式
在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法
弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式
1.弹性力学基本方程
在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即
(1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为
(2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为
(3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为
或
2.边界条件
弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。
a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为
式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。
这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。
b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为
式中，U*i为表面上给定的位移分量。
这一类问题是已知体积力和表面各点的位移，求解体内各点的位移、应变和应力。
c 混合问题部分边界上给定力，部分边界上给定位移。
3.按位移求解的弹性力学基本方法
按位移求解时，以3个位移分量为基本未知量，利用几何方程和物性方程，15个基本方程简化为以位
移表示的平衡方程：
求解时位移分量在物体内部满足式（3-14），在位移边界S u上满足式（3-13），在应力边界Sσ上满足式（3-12），但式中的应力分量应利用应力-应变关系和应变-位移关系变换为位移的形式。求出位移分量后，再利用几何方程和物性方程，求出应变和应力分量。
4.按应力求解的弹性力学基本方程
按应力求解时，以6个应力分量为基本未知量。它们必须满足平衡方程，同时还要满足以应力表示的协调方程，即
式（3-15）和平衡方程式（2-1-22）一起，成为按应力求解弹性问题的基本方程组。按应力求解弹性问题，就是寻求满足基本方程式（2-1-22）和式（3-15），以及边界条件[式（3-12）]的解。
5.平面问题的基本方程
弹性力学平面问题，包括平面应力和平面应变问题两类。通常利用应力函数将弹性力学平面问题简化为解双调和方程的边值问题。平面问题基本方程的直角坐标和极坐标表达式见表3-4 平面问题的基本方程。表中除物性方程外，对于其他方程，平面应力和平面应变问题中的形式是相同的。比较一下这两类问题的基本方程后可知，只要将平面应力问题的解中的弹性常数E、v改为E/（1-V2）、V/（1-V）后，就得到对应的平面应变问题的解。因此，对于截面形状和边界条件相同的物体，平面应力问题与平面应变问题中的应力分布（σx、σy、τxy、σz除外）是相同的。
6.基本方程的解法
15个弹性力学基本方程简化为以位移表示的3个平衡方程[式（3-14）]或以应力表示的6个协调方程[式（3-15）]。求解上述方程时，类似在平面问题中应用艾雷应力函数所用的方法，常引用应力函数或位移函数，以消去应力分量或位移分量，求解以应力函数表示的协调方程，或以位移函数表示的平衡方程。
表3-5 帕普科维奇-诺埃伯谢函数和勒夫谢函数列出用帕普科维奇-诺埃伯函数和勒夫函数表示的无体积力时平衡方程的齐次解。勒夫函数常用于求解轴对称问题。
7.二维和三维问题常用的应力、位移公式
（见表3-6 二维和三维问题常用的应力、位移公式）
能量原理
应变能、应变余能与应变能定理 || 虚位移定理 || 最小势能原理 || 虚力原理||
最小余能原理 || 卡氏定理 || 互等定理 || 李兹法
直接求解弹性力学基本方程在数学上存在困难，只有一些比较简单的问题已求得精确解。而能量法把求解问题的过程转变为一种极值问题，它比直接求解偏微分方程边值问题能更方便地得到近似解。因此能量原理是目前广泛应用的近似计算方法的基础。
1.应变能、应变余能与应变能定理
a 应变能单位体积的应变能称为应变能密度，以W表示。W为应变分量εij的函数，W可用脚标形式表示为
对于线弹性体，其值为
线弹性体的总应变能为
对各向同性材料，利用虎克定律，应变能密度可用单一的应力分量或应变分量表示为
b 应变余能单位体积的应变余能W*为应力分量σij的函数，W*（σij）定义为
对线弹性体，
c 用应变能和应变余能表示力与应变的关系应变能密度函数W（εij），表示因弹性变形而储存于单位体积内的弹性势能。应力与应变之间的关系，通过弹性势函数W表示为
如果把应变分量表示为应力分量的函数时，则存在如下关系式，即
