江苏省盐城市盐城中学2020届高三数学11月月考试题(含解析)

江苏省盐城市东台新安中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x（1﹣），则（）A．f（﹣3）B．f（）＜f（﹣3）＜f（2）C．f（2）D．f（2）参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件判断函数的周期性，奇偶性以及单调性，利用函数奇偶性和周期性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1），∴f（x）=f（x+2），即函数的周期是2，当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x（1﹣）=x?，则f（﹣x）=﹣x?=﹣x?=x?=f（x），则函数f（x）为增函数，当0≤x＜1时，函数y=x为增函数，y=1﹣也为增函数，则函数f（x）=x（1﹣）=x?在0≤x＜1为增函数，则f（）=f（﹣2）=f（），f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（1），f（2）=f（0），则f（0）＜f（）＜f（1），即f（2），故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，奇偶性以及单调性是解决本题的关键．2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A．B．C．D．参考答案：D【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数， C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D3. 设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于A. B.或2 C. 2 D.参考答案：A本题主要考查了圆锥曲线的第一定义，同时考查了学生的应变能力。

属中等题因为当为椭圆时= (4+2):3 =2：1即2a:2c=2：1 所以e=当为双曲线时(4-2):3=2:3 即2a:2c=2:3 所以e==4. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）A B C D参考答案：A5. 设函数f（x）= 则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）参考答案：D略6. 若全集，集合，，则( )A．{2} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4，5}参考答案：7. 定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于A.-1B.0C.1D.4参考答案：B8. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果的值比2016小，若使输出的最大，那么判断框中应填入（）A．? B．?C．? D．?参考答案：C考点：算法和程序框图试题解析：否，否，否，是。

盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M = ▲ . 2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足MB PM 2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ . 8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca b B A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列{}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AC AB AH 3231+=,则ABAC 的取 值范围是 ▲ . 13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它 们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设3()2f x m n =⋅-． （1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lS r f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分） 设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x x x g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S .（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式.。

江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.） 1. 若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，则实数m 的值为_______. 【答案】1-【解析】【分析】直接根据交集运算的定义求解即可．【详解】解：∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =， ∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z (3＋i )＝10，则z 的值为_______. 10【解析】【分析】由复数的除法运算与求模长的计算公式求解即可. 【详解】()221010(3)331103(3)(3)i z i z i i i -===-⇒=+-=++-10【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求复数的模，属于基础题.3. 从数字0，1，2中任取两个不同数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为_______.【答案】34【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，列出基本事件总数，求出满足条件的事件，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，有10,12,21,20，共4个，满足大于10的有3个，故概率34 P=故答案为：3 4【点睛】本题考查等可能事件的概率，解题的关键是理解事件两位数大于10确定此事件的计数方法，本题概率基本公式考查题，考查分析判断的能力，本题是一个基础题．4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250].若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为_______天.【答案】12【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可．【详解】解：根据频率分布直方图，得：日销售量少于100个的频率为(0.0030.005)500.4+⨯=，则估计这家面包店一个月内日销售量少于100个的天数为：300.412⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题．5. 执行如图所示的流程图，输出k的值为_______.【答案】4【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，k 的值，当18S =时满足条件16S >，退出循环，输出k 的值为4．【详解】解：由题意，执行程序框图，可得1k =，0S =，3S =，2k =，不满足条件16S >，S 9=，3k =，不满足条件16S >，18S =，4k =，满足条件16S >，退出循环，输出k 的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题． 6. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为2y x =±，则其离心率的值为_______. 5【解析】【分析】 利用渐近线斜率为b a和双曲线,,a b c 的关系可构造关于,a c 的齐次方程，进而求得结果. 【详解】由渐近线方程可知：2b a =，即224b a =，22224b c a a ∴=-=， 2225c e a ∴==，e ∴=.【点睛】本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题，关键是利用渐进线的斜率构造关于,a c 的齐次方程.7. 若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为_______.【答案】8【解析】【分析】利用等体积法和切割法即可求解 【详解】解析：11111111111111113P BCC B A BCC B ABC A B C A A B C ABC A B C ABC A B C V V V V V V ------==-=- 1112212833ABC A B C V -==⨯=. 答案：8【点睛】本题考查棱柱和棱锥的体积问题，属于基础题8. “ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的_______条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）.【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义求解即可．【详解】解：当ω＝2时，526126x πππωπ+=⨯+=，sin()06x πω+=，故此时()f x 的图象关于点(512π，0)对称； 而当()f x 的图象关于点(512π，0)对称，则5126k ππωπ⨯+=，1225k ω-=，k ∈Z ； 故“ω＝2”是“函数()sin()6f x x πω=+的图象关于点(512π，0)对称”的充分不必要条件； 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查三角函数的对称性，属于基础题．9. 在△ABC 中，C ＝B ＋4π，AB ＝4AC ，则tanB 的值为_______. 【答案】2【解析】【分析】由C ＝B ＋4π，AB ＝4AC ，得sin sin()4C B B B π=⇒+=， 然后化简即可求解【详解】解析：由AB ＝4AC ，得sin sin sin()444C B B B π=⇒+=，224B B B +=，化简得2cos sin B B =， 所以tanB 的值为2.答案：2【点睛】本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式，属于简单题10. 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(1)(21)n n n a n -=+--，则1001002a S -的值为_______.【答案】299【解析】【分析】根据题意，利用通项公式求出100a ，利用分组并项求和法求出100S ，由此可求出答案．【详解】解：∵12(1)(21)n n n a n -=+--， ∴9910022(2199)a =⨯+，10011001242[(13)(57)(197199)]S -=+++++-++-+++-+10021100=-+， ∴10010010010022398(21100)299a S -=+--+=，故答案为：299．【点睛】本题主要考查数列的分组并项法的求和公式，考查计算能力，属于基础题．11. 若集合P ＝{}22(, )40x y x y x +-=，Q＝2(, )x x y y ⎧+⎪≥⎨⎪⎩，则P Q 表示的曲线的长度为_______. 【答案】23π 【解析】【分析】作出2240x y x +-=与2x y+≥P Q 表示的曲线，利用圆的弧长即可求解.【详解】由2240x y x +-=得22(2)4x y -+=，由2x y +≥得22x y x ≥-≤=⎪<-⎪⎩且0y >， 作出两曲线图像如下：此时P Q 表示的曲线长度为图中上半圆去掉劣弧AB 部分， 1520x --=与圆心的距离221151d --==+，且r ＝2， 在Rt ACD △ 中，1cos 2ACD ∠=， 60ACD ∴∠=︒∴2120ACB ACD ∠=∠=︒， ∴曲线长度为：1202243603πππ︒-⨯=︒. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，直线与圆的相交，二元一次不等式表示平面区域，属于中档题.12. 若函数2e ,?0()e 1,?0x m x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是_______.【答案】2e 1+【解析】【分析】由题意题目可转化方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-，令()2()e 1e 0x g x x x =+->，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案．【详解】解：∵点(),x y 关于原点对称的点为(),x y --，∴题目可转化为函数()22e 1e 1y x x ⎡⎤=-⋅--=+⎣⎦与e x y m =+图像在第一象限内有两个交点，即方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-，令()2()e 1e 0x g x x x =+->，则2()e e x g x '=-，由()0g x '>得02x <<，由()0g x '<得2x >，∴函数()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，∴2()(2)e 1g x g ≤=+，∴2e 1m ≤+，故答案为：2e 1+．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题．13. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点，若AB AD ⋅＝90，则AB AE ⋅的值是_______. 【答案】1752【解析】【分析】把,AE AD 用,AB AC 表示，代入已知条件求得AB AC ⋅，再计算AB AE ⋅即得．【详解】由角平分线定理可知32AC CD AB BD ==，所以22()55AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-2355AC AB =+ 因为90AB AD ⋅=，所以22233232()1090555555AB AC AB AB AC AB AC AB ⋅+=+⋅=⨯+⋅=，75AC AB ⋅=， 所以22111175()()(1075)2222AB AE AB AB AC AB AC AB ⋅=⋅+=+⋅=⨯+= 故答案为：1752. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是以,AB AC 为基底，其他向量都用基底表示后再进行运算．14. 若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝1，则7x 2﹣4xy ＋4y 2的最小值是_______. 【答案】38 【解析】【分析】 将式子化为为222222744744447x xy y x xy y x xy y -+-+=++，讨论x ＝0或x ≠0，将分子、分母同除x ，利用判别式0∆≥即可求解. 【详解】解析：222222744744447x xy y x xy y x xy y -+-+=++， 当x ＝0，原式的值为47， 当x ≠0，令222744(74)(44)470447y t t t m m t m t m x t t-+=⇒=⇒-+++-=++ 2438(44)4(74)(47)0783m m m m m ≠⇒∆=+---≥⇒≤≤. 故答案为：38【点睛】本题主要考查了判别式法求最值，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 若函数()()sin f x M x ωϕ=+(M ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，最小正周期是2π，且图象经过点N (3π，1). （1）求()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，若()85f A =，()1013f B =，求cosC 的值. 【答案】（1）()2cos f x x =.（2）1665 【解析】【分析】（1）利用三角函数的性质：最值求出M ，最小正周期求出ω，特殊点代入求出ϕ，即可求出解析式.（2）首先利用解析式求出4cos 5A =，5cos 13B =，再利用同角三角函数的基本关系求出sin A 、sin B ，然后结合三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解.【详解】解：（1）因为()f x 的最小值是﹣2，所以M ＝2.因为()f x 的最小正周期是2π，即22T ππω==，所以ω＝1， 又由()f x 的图象经过点(3π，1)，可得13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以236k ππϕπ+=+或526k ππ+，k ∈Z ， 又0＜ϕ＜π，所以2πϕ=，故()2sin 2f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()2cos f x x =. （2）由（1）知()2cos f x x =，又()85f A =，()1013f B =， 故82cos 5A =，102cos 13B =，即4cos 5A =，5cos 13B =， 又因为△ABC 中，A ，B ∈(0，π)，所以3sin 5A ===，12sin 13B ===， 所以cosC ＝cos [π﹣(A ＋B )]＝﹣cos (A ＋B )＝﹣(cosAcosB ﹣sinAsinB ) ＝453121651351365⎛⎫-⨯-⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角恒等变换、诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.16. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PC ⊥BC ，点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD.求证：（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）设AC BD＝O，连结OE，从而可得AP//OE，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）利用面面垂直的性质定理可得PC⊥平面ABCD，即证出PC⊥BD，再由AC⊥BD，根据线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，最后利用面面垂直的判定定理即可证出.【详解】证明：（1）设AC BD＝O，连结OE，因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，又因为点E是PC的中点，所以AP//OE，又因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，所以AP//平面BDE.（2）因为平面PBC⊥平面ABCD，PC⊥BC，平面PBC平面ABCD＝BC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥平面ABCD 又BD⊂平面ABCD，所以PC⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，AC PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC 又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理，考查了考生的逻辑推理能力，属于基础题.17. 如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）.为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值.（所有道路宽度忽略不计）【答案】305【解析】【分析】设∠PCM＝θ，用θ表示出各道路长，并求出和()fθ.然后求导，用导数知识求得最大值．【详解】解：连接CM，设∠PCM＝θ，则PC＝1cosθ，PM＝PN＝tanθ，OP＝OC﹣PC＝10﹣1cosθ，AB＝2OP＝20﹣2cosθ，设新建的道路长度之和为()f θ，则3()2tan 30cos f PM PN AB OP θθθ=+++=-+， 由1＜PC ≤10得110≤cos θ＜1，设01cos 10θ=，0θ∈(0，2π)， 则θ∈(0，0θ]，0311sin 10θ=，223cos ()cos f θθθ-'=，令()0f θ'=得2sin 3θ= 设12sin 3θ=，1θ∈(0，0θ]，θ，()f θ'，()f θ的情况如下表： θ(0，1θ)1θ(1θ，0θ)()f θ'＋ 0 － ()f θ单调递增极大值单调递减由表可知1θθ=时()f θ有极大值也是最大值，此时2sin 3θ=，5cos θ=tan 5θ=，()305f θ=答：新建道路长度之和的最大值为305-.【点睛】本题考查导数的实际应用，解题关键是建立三角函数的模型，引入参数∠PCM ＝θ，把各道路长用θ表示，并求出和()f θ.18. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点.当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H (3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k . ①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率； ②求1234()()k k k k ++的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）①1或78②4225-【解析】 【分析】（1）已知条件有1b =，直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形，利用椭圆定义和勾股定理可求得a ，得椭圆方程；（2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得后化简，设P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )，应用韦达定理得2122412k x x k+=+，21222212k x x k -=+，计算12k k +并代入1212,x x x x +可得； ②分类讨论，当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+，计算1234()()k k k k ++后应用基本不等式可得最小值．【详解】解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形， 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =， 由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为2212x y +=.（2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=，设P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=---- 12121212[24()6]3()9k x x x x x x x x -++=-++222222222224[246]2121222487391212k k k k k k k k k k k-⨯-⨯+++==-+-⨯+++所以122228715k k k k +==+，解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率. ②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k -+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k --++==++++4225≥=-，当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号. 综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中定值与最值问题．求椭圆方程时由于已知直线的特殊位置，利用椭圆的定义是解题关键，在直线与椭圆相交问题中，采取设而不求思想方法，即设直线方程，设交点坐标1122(,),(,)P x y P x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入其他条件化简变形即可得．19. 如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为()P k 数列. （1）若数列{}n a 是()1P 数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是()2P 数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在()P k 数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）313a =；（2）0n b =或12n b =或2n n b =；（3）存在；满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=. 【解析】 【分析】（1）根据()P k 数列的定义，得623a a a =，1226a a a =，可求3a ；（2）根据()P k 数列的定义，得2mn m n b b b =，分10b =和10b ≠两种情况讨论. 当10b =，0n b =.当10b ≠时，由{}n b 是等差数列，对,m n 赋值，求出1b 和公差d ，即求n b ；（3）假设存在满足条件的()P k 数列{}n c ，设等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q .则有2020202020202020c kc c ⋅=，2020202120202021c kc c ⋅=，可得q ＝1，故当2020n ≥时，1n c k=.当12020n <<时，不妨设2020i n ≥，i N *∈且i 为奇数，由()()1122221i i i i i ii n n n n n n n n n n n c c kc c kc c k c c k c -----⨯⨯==⨯=⨯=⨯==，可得1n c k=. 即满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=. 【详解】（1）由数列{}n a 是()1P 数列，得6231a a a ==，12263a a a ==，可得313a =； （2）由{}nb 是()2P 数列知2mn m n b b b =恒成立，取m ＝1得12n n b b b =恒成立， 当10b =，0n b =时满足题意，此时0n b =，当10b ≠时，由2112b b =可得112b =，取m ＝n ＝2得2422b b =， 设公差为d ，则21132()22d d +=+解得0d =或者12d =，综上，0n b =或12n b =或2n n b =，经检验均合题意. （3）假设存在满足条件的()P k 数列{}n c ，不妨设该等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q ， 则有2020202020202020202020202020202020202020,c kc c c q kc c ⋅-⋅=∴⋅=⋅，可得2020202020202020qkc ⋅-=①2020202120202020202120202021202020202020,c kc c c q kc c q ⋅-⋅=∴⋅=⋅⋅，可得2020202120212020qkc ⋅-=②综上①②可得q ＝1，故202020202020c c ⋅=，代入2020202020202020c kc c ⋅=得20201c k=， 则当2020n ≥时，1n c k=， 又20201202011,c kc c c k=⋅∴=， 当12020n <<时，不妨设2020i n ≥，i N *∈且i 为奇数，由()()1122221i i i i i ii n n n n n n n n n n n c c kc c kc c k c c k c -----⨯⨯==⨯=⨯=⨯==，而1i n c k =，11()i i n k c k -∴=，1()()ii n c k ∴=，1n c k∴=. 综上，满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=. 【点睛】本题考查创新型题目，考查等差数列和等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.20. 设函数32()3ln 2f x x x ax ax =-++-. （1）若a ＝0时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在x ＝1时取极大值，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的零点个数为m ，试求m 的最大值. 【答案】（1）单调增区间为(1，+∞)（2）92<-a （3）2 【解析】 【分析】（1）求导得到函数的单调增区间. （2）求导，讨论32a ≥-，9322a -<<，92a =-或32a =，92<-a 几种情况，分别计算函数极值得到答案. （3）考虑92a ≥-，92<-a 两种情况，求导得到单调区间，计算极值判断零点个数，得到答案.【详解】（1）当a ＝0时，3()3ln f x x x =-+，所以31()3x f x x-'=⋅，由()0f x '=得x ＝1，当x ∈(0，1)时，()'f x ＜0；当x ∈(1，+∞)时，()'f x ＞0， 所以函数()f x 的单调增区间为(1，+∞). （2）由题意得23(1)2()[(1)1]3x af x x x x -'=+++，令22()(1)13a g x x x =+++(x ＞0)，则3(1)()()x f x g x x-'=， 当213a +≥0即32a ≥-时，()g x ＞0恒成立，故()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点，不满足； 当22(1)403a ∆=+-<即9322a -<<时，此时()g x ＞0恒成立， ()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点，不满足；当22(1)403a ∆=+-=即92a =-或32a =时，()f x 在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以x ＝1是函数()f x 的极小值点，不满足；当22(1)403a ∆=+->时，解得92<-a 或32a >（舍），当92<-a 时，设()g x 的两个零点为1x ，2x ，所以1x 2x ＝1，不妨设0＜1x ＜2x ， 又2(1)303a g =+<，所以0＜1x ＜1＜2x ，故123()()(1)()f x x x x x x x'=---， 当x ∈(0，1x )时，()'f x ＜0；当x ∈(1x ，1)时，()'f x ＞0；当x ∈(1，2x )时，()'f x ＜0；当x ∈(2x ，+∞)时，()'f x ＞0；∴()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增； 所以x ＝1是函数()f x 极大值点，满足. 综上所述：92<-a . （3）①由（2）知当92a ≥-时，函数()f x 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数()f x 至多有两个零点，欲使()f x 有两个零点，需(1)10f a =-<，得1a >，()23ln 28443ln 280f a a =-++-=-+>；32()32320a a a a a f e a e ae ae a ae a -----=++->->>，()0,1ae -∈，故满足函数有2个零点.②当92<-a 时，由（2）知()f x 在(0，1x )上递减，在(1x ，1)上递增，在(1，2x )上递减，在(2x ，+∞)上递增；而0＜1x ＜1，所以311111()3ln (2)0f x x x ax x =-++->， 此时函数()f x 也至多有两个零点综上①②所述，函数()f x 的零点个数m 的最大值为2.【点睛】本题考查了函数的单调区间，根据极值求参数，零点个数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.选修4—2：矩阵与变换21. 已知矩阵A ＝ 2 1a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量. 【答案】 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】根据特征向量和特征值的定义列出矩阵方程求出,a b ，写出特征多项式，由特征多项式可求得另一个特征值，再得特征向量．【详解】解：由题意知 2113 111a A b α⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2313a b +=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以矩阵A 的特征多项式21 2()(1)42 1f λλλλ--==----，由()0f λ=，解得3λ=或1λ=-，当1λ=-时，220220x y x y --=⎧⎨--=⎩，令x ＝1，则y ＝﹣1，所以矩阵A 的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 【点睛】本题考查特征值与特征向量，掌握特征值与特征向量的概念、特征多项式是解题关键．B.选修4—4：坐标系与参数方程22. 在极坐标系中，已知直线:cos 2sin l m ρθρθ+=（m 为实数），曲线:2cos 4sin C ρθθ=+，当直线l 被曲线C 截得的弦长取得最大值时，求实数m 的值.【答案】5m =【解析】【分析】将直线l 和圆C 的极坐标方程均化为普通方程，由题意可知直线l 过圆C 的圆心，由此可求得实数m 的值.【详解】由题意知直线l 的直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线C 的极坐标方程2cos 4sin ρθθ=+，即22cos 4sin ρρθρθ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为22240x y x y +--=，即()()22125x y -+-=， 所以曲线C 是圆心为()1,2的圆，当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得2120m +-=，解得5m =.【点睛】本题考查直线与圆的综合问题，考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查计算能力，属于基础题.C.选修4—5：不等式选讲23. 已知实数x 、y 、z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 【答案】16【解析】【分析】利用柯西不等式得出()()()22222221122x y z x y z ++++≥++，由此可求得222x y z ++的最小值.【详解】由柯西不等式有()()()222222211221x y z x y z ++++≥++=， 所以22216x y z ++≥（当且仅当112x y z ==即16x y ==，13z =时取等号）， 所以222x y z ++的最小值是16. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键就是对代数式进行配凑，考查计算能力，属于基础题.【必做题】解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24. 如图，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点()2,0P 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB 长为42.（1）求抛物线的方程；（2）若APF 与BPO △的面积相等，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）240x y --=或240x y +-=.【解析】【分析】（1）由题意可知点(2,22在抛物线C 上，将该点坐标代入抛物线C 的方程，求得p 的值，进而可求得抛物线C 的方程；（2）由题意得出2A B y y =，可得知直线AB 的斜率不为零，可设直线AB 的方程为2x my =+，将该直线方程与抛物线方程连理，列出韦达定理，由题意得出2A B y y =-，代入韦达定理后可求得m 的值，进而可求得直线AB 的方程.【详解】（1）当直线l 与x 轴垂直时AB的长为又()2,0P，取(2,A，所以(222p =⋅，解得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =；（2）由题意知1122APF A A S FP y y =⋅=△，12BPO B B S OP y y =⋅=△， 因APF BPO S S =△△，所以2A B y y =，当0AB k =时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以0AB k ≠，故设直线AB 的方程为2x my =+，代入抛物线方程得2480y my --=，所以4A B y y m +=，80A B y y =-<，2A B y y ∴=-，可得2428A B B A BB y y y m y y y +=-=⎧⎨=-=-⎩，解得12m =±. 所以，直线AB 的方程为240x y --=或240x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积关系求直线的方程，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.25. 若有穷数列{}n a 共有k 项(2)k ≥，且11a =，12()1r r a r k a r +-=+，当11r k ≤≤-时恒成立.设12k k T a a a =+++. （1）求2T ，3T ；（2）求k T .【答案】（1）20T =；313T =（2）1[1(1)]2k k T k =-- 【解析】【分析】（1）分别令2k =和3k =，得到r 的值，再计算2T ，3T 即可.（2）首先利用累乘法和组合数性质得到1111(2)2r r r k a C k+++=--，从而得到11221[(2)(2)(2)]2k k k k k k S C C C k =-+-++--，再利用二项式定理即可得到11[(12)1][1(1)]22k k k S k k=--=---. 【详解】（1）令2k =时，得1r =，由212(12)111a a -==-+，得21a =-，2110T =-=， 令3k =时，得1r =或2，由212(13)211a a -==-+，得22a =-， 由322(23)2213a a -==-+，得343a =，3411233T =-+=. （2）因12()1r r a r k a r +-=+，由累乘法得：321122(1)2(2)2()231r r a a a k k r k a a a r +---⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+， 所以1(1)(2)()!(2)(2)231(1)!(1)!r r r k k k r k a r k r k r +---=-⋅⋅⋅=-++--， 所以1111(2)2r r r k a C k+++=--， 当0r =时，111(2)12k a C k =⨯-⨯=-，也适合1111(2)2r r r k a C k+++=--， 所以11221[(2)(2)(2)]2k k k k k k S C C C k=-+-++--， 即0011221[(2)(2)(2)(2)1]2k k k k k k k S C C C C k=-+-+-++---， 所以11[(12)1][1(1)]22k k k S k k =--=---. 【点睛】本题主要考查了数列的累乘法，同时组合数的性质和二项式定理，考查了学生分析问题的能力，属于难题.。

江苏省盐城市东台西溪中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 与抛物线相切于坐标原点的最大的圆的方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：C2. 已知复数满足，为虚数单位，则z的虚部是（）A．-2i B．2i C．-2 D．2参考答案：C3.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：答案：D4. 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量，向量，则的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A5. 复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数除法法则，算出z=的值，结合共轭复数的定义找到的值，再根据复数的几何意义，不难找到在复平面内的对应点所在的象限．【解答】解：∵z1=3+i，z2=1﹣i∴复数z===（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=1﹣2i，对应复平面内的点P（1，﹣2），为第四象限内的点故选D6. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．11B．3C．2D．参考答案：D考点：线性规划试题解析：因为可行域如图，在点取得最小值为。

所以，故答案为：D7. 若满足2x+=5, 满足2x+2(x-1)=5, +=A． B．3 C． D．4参考答案：C8. 在极坐标方程中，曲线 C 的方程是，过点(4, π/6)作曲线C 的切线，切线长为Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ． 22 Ｄ．3 2参考答案：C9. 已知非负实数x、y满足2x+3y﹣8≤0且3x+2y﹣7≤0，则x+y的最大值是( )A．B．C．3 D．2参考答案：C考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=x+y，平移直线过（1，2）时z有最大值解答：解：画可行域如图，z为目标函数z=x+y，可看成是直线z=x+y的纵截距，画直线0=x+y，平移直线过A（1，2）点时z有最大值3．故选C．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．10. （理）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)、4 m，不考虑树的粗细．现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是 ．参考答案：法一：数形结合法：设，由题意可得，即，解之得．法二：设点，，则由条件得A 点坐标为，，从而，整理得， 化归为，从而，于是由得。