初中数学非对称式求值的两种方法专题辅导

“非对称”韦达定理的处理策略在圆锥曲线解答题中我们通常利用直线与二次曲线联立得到一元二次方程的韦达定理来处理类似12212122212111,y x y x x x x x x x +++-，，等结构，这些形式通过合理的变形均可以用2121x x x x ⋅+，整体带入的方法达到避开解交点坐标的目的。

（这是圆锥曲线大题中普遍使用韦达定理的初衷）但我们在做题中也经常会遇到类似于2121,x x x x μλ+这种系数不对等的结构，（我们不妨称之为“非对称”韦达定理）显然按照先前的方法就很难顺利的处理掉，本专题就此类问题给出几个常见的处理策略。

实例讲解：已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 过点()22，，且离心率为22。

（1）求椭圆C 方程（2）B A ,分别为椭圆C 的上下顶点，过()40，P 点斜率为k 的直线与椭圆C 交于N M ,两点，求证：直线AN BM ,的交点在定直线上解：（1）椭圆148:22=+y x C （2）()()2,0,2,0-B A ,设()()2211,,,y x N y x M ，直线MN 的方程为:4+=kx y联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+414822kx y y x ，得()024162122=+++kx x k ，,0>∆得232>k则2212212124,2116k x x k k x x +=⋅+-=+ 直线AN 的方程为：x x y y 2222-=- ，直线BM 的方程为：x x y y 1122+=+ （这里先要根据对称性分析预判交点在平行于x 轴的定直线上以确定下一步的消元方向！！）联立两直线方程消元：()()2211212112622222x x kx x x kx x y x y y y ++=+-=+- （21,x x 的系数不对称了） （无论怎么消元都会得到类似的一个非对称结构）下面给出几种处理策略：策略1：暴力平推（这是没有办法的办法，时间成本高）由二次方程解出22222216428,216428kk k x k k k x +-+-=+---=代入化简， 31641224644821642862124216428221242222222222-=-+---=+-+-+++---++=+-k k k kk k k k k k k k k y y ，得1=y 即直线AN BM ,的交点在定直线1=y 上策略2：利用韦达定理21,x x 保留一个（这是一种试探性的化简，“前途未卜”，不具一般性） 由韦达定理得2212116x kk x -+-=带入化简 ()()31126244286212421162212422222222222-=+++--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=+-x k k x k k x k k x k k k k y y ，得1=y 即直线AN BM ,的交点在定直线1=y 上策略3：将21x x ⋅与21x x +的关系代入化简（倒数反凑对称韦达定理，非对称结构中不含常数项时可尝试此法） 由2212212124,2116k x x k k x x +=⋅+-=+，得()212123x kx x x ⋅=+-（即k x x 321121-=+）带入化简 ()()3162322322221121-=++-++-=+-x x x x x x y y ，得1=y ，即直线AN BM ,的交点在定直线1=y 上策略4：带一点进曲线方程转化为对称韦达定理（常见于非对称乘积结构，参考2020年全国一卷题）带()11,y x M 点进椭圆方程得1482121=+y x 化简得()()422418112121y y y x -+=-= 进而得到()()1111222x y y x -=+，带入化简()()212122222x x y y y y ⋅---=+-（奇迹出现了，“对称韦达定理”）接下来就是常规套路，不多赘述了。

圆锥曲线非对称韦达定理专题圆锥曲线中很多题都是利用韦达定理得到两根间的关系来处理有关21,x x （或21,y y ）的对称量，诸如21x x +，21x x ，21x x -，2221x x +，1221x x x x +，222211-⋅-x y x y 等，它们都是关于21,x x （或21,y y ）的轮换对称式，这类问题我们称之为“对称型韦达定理”题型，这类问题我们只需将韦达定理代入化简即可得到结果。

但还有少部分题不是关于21,x x （或21,y y ）的轮换对称式，这类问题我们称之为“非对称型韦达定理”题型，一般都是定值定点的证明问题，这类问题我们不能简单的代入韦达定理来得到结果，那么这类问题我们该怎么办呢？首先来看看一道“对称型韦达定理”题型，与后面“非对称型韦达定理”题型作比较引例：已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，椭圆C 的四个顶点围成的四边形的面积为24（1）求椭圆的标准方程（2）设)0,2(M ，过点)0,6(N 且斜率不为0的直线与椭圆C 相交于Q P ,两点，记直线QM PM ,的斜率分别为21,k k ，求证：21k k 为定值例1.（2019年武昌四月调考）如图，O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距等于其长半轴长，N M ,为椭圆的上、下顶点，且32=MN （1）求椭圆C 的方程（2）过点)1,0(P 作直线l 交椭圆C 于异于N M ,的B A ,两点，直线BN AM ,交于点T ，求证：点T 的纵坐标为定值例2.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率23=e ，O 为坐标原点，圆O ：5422=+y x 与直线AB 相切 （1）求椭圆E 的标准方程（2）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线BD AC ,的斜率分别为21,k k ，试问21k k ⋅是否为定值？证明你的结论例3.已知F 为椭圆13422=+y x 的右焦点，B A ,分别为其左、右顶点，过F 作直线交椭圆于Q P ,两点（异于B A ,），记直线BQ AP ,的斜率分别为21,k k ，求证：21k k 为定值例4.已知B A ,分别为椭圆13422=+y x 的左右顶点，过点)0,4(-Q 且斜率不为0的直线l 交椭圆于T S ,两点，设直线BT AS ,交于点P ，求证：点P 在一条定直线上例5.设过椭圆C ：13422=+y x 的右焦点2F 的直线交椭圆于B A ,两点，过点A 作直线l ：4=x 的垂线交l 于点H ，证明：直线BH 过定点E ，并求出定点E 的坐标例6.已知B A ,分别为椭圆E ：1922=+y x 的左、右顶点，P 为直线6=x 上的动点，PA 与E 的另一个交点为C ，PB 与E 的另一个交点为D ，证明：直线CD 过定点F ，并求出F 的坐标例7.已知椭圆C :14822=+y x 的上、下顶点分别为B A ,，过点)4,0(E 斜率为k 的直线与椭圆C 交于N M ,两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程例8.已知椭圆C ：13422=+y x 的左、右顶点分别为B A ,，过右焦点2F 作直线交椭圆于N M ,两点，直线AM 与BN 的交点为G ，证明：点G 在一条定直线上例9.已知过点)3,0( P 的直线l 和椭圆14922=+y x 顺次交于B A ,两点，求PBAP 的取值范围。

轮换对称分式问题的求值方法张明张希超所谓轮换对称分式是指如果一个分式中的所有字母按某种次序轮换后，得到的分式与原分式相同，则称这个分式为轮换对称分式。

如cabc ab abc ,c 1b 1a 1++++等。

轮换对称分式的求值问题，一直是各类竞赛命题的热点之一。

由于它的解法灵活，技巧性强，令不少同学望而生畏。

现结合竞赛题介绍这类问题的几种常用方法。

一、倒数法例1. 已知a 、b 、c 为实数，且满足51a c ca ,41c b bc ,31b a ab =+=+=+。

求cabc ab abc ++的值。

解：分别取已知式的倒数得：5a1c 1,4c 1b 1,3b 1a 1=+=+=+。

以上三式相加，得：6c1b 1a 1=++。

所以6abcca bc ab =++， 所以61ca bc ab abc =++。

例2. 设y x z c ,x z y b ,z y x a +=+=+=，且0z y x ≠++。

求1c c 1b b 1a a +++++的值。

解：对已知等式分别取倒数得：zy x c 1,y x z b 1,x z y a 1+=+=+=， 所以zz y x c 1c ,y z y x b 1b ,x z y x a 1a ++=+++=+++=+。

因为0z y x ≠++， 所以zy x z 1c c ,z y x y 1b b ,z y x x 1a a ++=+++=+++=+。

所以11c c 1b b 1a a =+++++。

二、整体处理例3. 已知b a 5b 1a 1+=+，求ba ab +的值。

分析：已知等式中有两个未知数，一般不可能分别确定其值。

若视a b b a +为整体，则问题可获解。

解：因为ba 5b 1a 1+=+， 所以5bb a a b a =+++。

即51ba ab 1=+++， 所以3b a a b =+。

例4. 已知0abc ≠，0c b a =++，求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b 1a 1c a 1c 1b c 1b 1a 的值。

模型演变 【问题】两定点 A、B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 PA＋PB 值最小．
【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同“基础模型”即可 解决，作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′，与直线 l 交于点 P， 点 P 即为所求．
注：也可以作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B，与直线 l 交于 点 P.
第 7 题图
8. 如图，在矩形 ABCD 中，AD＝5，∠CAB＝30°，点 P 是线段 AC 上的动点，点 Q 是线段 CD 上的动点，则 AQ＋QP 的最小值为 __5__3____．
第8题图
模型三 “两点两线”型(两个动点＋两个定点)
模型分析 【问题】点 P、Q 是∠AOB 内部两定点，在 OA 上找一点 M，在 OB 上找一点 N，使得四边形 PQNM 的周长最小．
第2题图
类型二 线段差最大值问题
模型分析 【问题】两定点 A、B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 |PA－PB|的值最大．
【解题思路】根据两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即 AB 的长， 连接 AB 并延长，与直线 l 交于点 P，点 P 即为所求．
模型演变 【问题】两定点 A、B 位于直线 l 异侧，在直线 l 上找一点 P，使得 |PA－PB|的值最大．
【解题思路】要使四边形 PQNM 周长最小，PQ 为定值，即求得 PM ＋MN＋NQ 的最小值即可，需将三条线段转化到同一直线上，作点 P、Q 关于 OA、OB 的对称点 P′、Q′，连接 P′Q′，交 OA、OB 于点 M、N，点 M、N 即为所求．
模型应用 9. 如图，点 A(－1，4)，点 B(－4，1)，点 C、D 分别是 x 轴、y 轴 上的动点，则四边形 ABCD 周长的最小值是_8__2___．