华师大七年级角

同位角、内错角、同旁内角华师大七上课件一、教学内容本节课选自华东师范大学出版社七年级数学教材第二册第三章“相交线与平行线”的第三节“平行线的性质”，具体内容包括：1. 理解并掌握同位角、内错角、同旁内角的定义；2. 掌握平行线性质中同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的规律。

二、教学目标1. 让学生理解同位角、内错角、同旁内角的概念，能够识别并运用这些角的关系；2. 使学生掌握平行线的性质，能运用这些性质解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：同位角、内错角、同旁内角的识别及其在平行线性质中的应用。

教学重点：平行线的性质及其在实际问题中的运用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、直尺、量角器；2. 学具：直尺、量角器、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示实际生活中含有平行线的图片，引导学生观察并提问：“你们在这些图片中发现了哪些数学知识？”由此引出本节课的主题——平行线的性质。

2. 知识讲解：（1）通过课件展示同位角、内错角、同旁内角的定义，让学生了解并掌握这些概念；（2）讲解平行线的性质，特别是同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的规律；3. 例题讲解：通过黑板演示和讲解典型例题，让学生学会如何运用平行线的性质解决问题；4. 随堂练习：发放练习题，让学生独立完成，巩固所学知识；六、板书设计1. 平行线的性质2. 定义：（1）同位角（2）内错角（3）同旁内角3. 平行线性质：（1）同位角相等（2）内错角相等（3）同旁内角互补七、作业设计1. 作业题目：（1）求证：如果两条直线平行，那么它们之间的同位角相等。

（2）求证：如果两条直线平行，那么它们之间的内错角相等。

（3）求证：如果两条直线平行，那么它们之间的同旁内角互补。

2. 答案：略。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对平行线性质的理解和应用能力是否达到预期，教学方法是否得当，哪些地方需要改进；2. 拓展延伸：布置一道实践作业，让学生在生活中寻找平行线的例子，并运用所学知识进行分析。

华师大新版七年级上学期《4.6.2 角的比较和运算》同步练习卷一．解答题（共30小题）1．附加题（本题满分10分，不计入总分）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与点O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒8°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，OE平分∠AOB？②OE能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．2．已知，点O是直线AB上一点，OC、OD为从点O引出的两条射线，∠BOD=30°，∠COD=∠AOC．（1）如图①，求∠AOC的度数；（2）如图②，在∠AOD的内部作∠MON=90°，请直接写出∠AON与∠COM之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，若OM为∠BOC的角平分线，试说明∠AON=∠CON．3．已知点O是AB上的一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE．（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时，若∠AOC=40°，求∠BOE 和∠COF的度数，∠BOE和∠COF有什么数量关系？（2）当点C，E，F在直线AB的异侧（如图2所示）时，若∠AOC=β，那么（1）中∠BOE和∠COF的数量关系的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由；（3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0＜m＜180），得到射线OD．设∠AOC=n°，若∠BOD=（60﹣n）°，则∠DOE的度数是多少？（请用含n的式子直接写出结果）4．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后OM恰好平分∠BOC，则t=（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒∠MOC=36°？请说明理由．5．如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．（1）如图①，当∠AOB=80°时，则∠DOE的度数为°；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是．6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=；若∠AOC=120°，则∠DOE=；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．7．已知：∠AOD=160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD 内旋转时，∠MON=度．（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．8．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC 和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图①，当α=120°，∠AOC=40°时，求∠DOE的度数；（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．9．如图①，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）如图①，若∠AO C=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，OE平分∠BOC．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，且∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．10．如图1所示：已知，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）∠MON═；（2）如图2，∠AOB=90°，∠BOC=x°，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数若能，求出其值；若不能，说明理由．（3）如图3，若∠AOB=α，∠BOC=β（α、β均为锐角，且α＞β），仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数．若能，求∠MON 的度数．（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你发现了什么规律？11．已知∠AOB=130°，∠COD=80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，如图1，求∠MON的度数；（2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155），如图2，①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD 的大小；将图1中的OA绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由．12．如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度数．（2）若将题干中的∠AOB=90°改为∠AOB=α，其余条件不变，求∠MON的度数；（3）若将题干中的∠BOC=30°改为∠BOC=β（β为锐角），其余条件不变，求∠MON的度数．（4）从前面的结果中，你能得出什么结论？13．已知直线AB经过点O，∠COD=90°，OE是∠BOC的平分线．（1）如图1，若∠AOC=50°，则∠DOE=；（2）如图1，若∠AOC=α，则∠DOE=；（用含α的式子表示）（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由；（4）将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，则∠DOE=（用含α的式子表示）14．（1）如图1，射线OC在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠AOB=110°，求∠MON的度数；（2）射线OC，OD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠AOB=100°，∠COD=20°，求∠MON的度数；（3）在（2）中，∠AOB=m°，∠COD=n°，其他条件不变，请用含m，n的代数式表示MON的度数（不用说理）．15．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．初步尝试：（1）如图1，若∠AOC=30°．求∠DOE的度数；类比探究：（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；解决问题：（3）如图2时，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系．直接写出你的结论．16．已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．17．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB 的奇妙线．（1）一个角的角平分线这个角的奇妙线．（填是或不是）（2）如图2，若∠MPN=60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值．18．（1）如图1，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．（2）如图2，∠BOE=2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF=20°．求∠AOB．19．回答问题：（1）已知∠AOB的度数为54°，在∠AOB的内部有一条射线OC，满足∠AOC=∠COB，在∠AOB所在平面上另有一条射线OD，满足∠BOD=∠AOC，如图1和图2所示，求∠COD的度数．（2）已知线段AB长为12cm，点C是线段AB上一点，满足AC=CB，点D是直线AB上满足BD=AC．请画出示意图，求出线段CD的长．20．如图①，已知线段AB=20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC 和BC的中点（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）（2）若BC=14cm，求DE的长（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE 的大小与射线OC的位置是否有关？21．如图1，点O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针旋转一周，在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．22．如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．（1）若∠AOC=20°，∠AOB=110°，则∠BOC=°，∠DOE=°；（2）若∠AOC=m°，∠AOB=n°（n＞m），则∠BOC=°，∠DOE=°；（3）猜想：∠DOE与∠BOC有怎样的数量关系？并说明理由．23．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．24．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．25．已知，∠AOD=160°，OB、OM、ON 是∠AOD内的射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MON=°（2）如图2，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的大小；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB=2t°时，∠AOM：∠DON=2：3，求t 的值．26．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=60°，将一直角三角板如图①摆放（∠MON=90°）．（1）将图①中的三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求t的值？（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；（3）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．27．如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD．（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON=°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n=时，∠MON=2∠BOC．28．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？29．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．现将图25﹣1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，若经过t秒后，线段OM恰好平分∠BOC，此时∠COM=°；∠AON=°；t=秒；（2）在（1）的条件下，线段ON是否平分∠AOC？请说明理由；（3）如图3，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MON？30．已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=∠BOD，求∠DOE的度数；（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值：（3）若射线OM绕着O点从OA开始以15度秒的速度逆时针旋转至OB结束，在装转过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON一∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t所在的时间段．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）华师大新版七年级上学期《4.6.2 角的比较和运算》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．附加题（本题满分10分，不计入总分）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与点O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒8°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，OE平分∠AOB？②OE能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据：角度=速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．（2）①由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．②通过计算分析，OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．【解答】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，∴90﹣5t=75，解得：t=3，此时∠MOA=5°×3=15°=∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①若OE平分∠AOB，由题意得30+8t﹣5t=90÷2，解得t=5；②若OE平分∠NOB上面，由题意得180﹣（30°+8t）=（90﹣5t），解得t=．【点评】本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．2．已知，点O是直线AB上一点，OC、OD为从点O引出的两条射线，∠BOD=30°，∠COD=∠AOC．（1）如图①，求∠AOC的度数；（2）如图②，在∠AOD的内部作∠MON=90°，请直接写出∠AON与∠COM之间的数量关系∠AON+20°=∠COM；（3）在（2）的条件下，若OM为∠BOC的角平分线，试说明∠AON=∠CON．【分析】（1）由题意可知：∠AOD=∠AOC+∠COD，即∴∠AOC+∠AOC=150°，即可求解；（2）由图可见：∠AON+20°=∠COM；（3）OM是∠BOC的角平分线，可以求出∠CON=∠MON﹣∠COM=35°，而∠AON=∠AOC﹣∠CON=35°，∴∠AON=∠CON．【解答】解：（1）由题意可知：∠AOB=180°，∠BOD=30°，∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=150°，∵∠AOD=∠AOC+∠COD，∠COD=∠AOC，∴∠AOC+∠AOC=150°，∴∠AOC=70°；（2）由图可见：∠AON+20°=∠COM，故：答案为：∠AON+20°=∠COM；（3）证明：∵∠AOC=70°，∠AOB=180°，∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=110°，∵OM是∠BOC的角平分线∴∠COM=∠BOC=55°，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠MON﹣∠COM=35°，∵∠AOC=70°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=35°，∴∠AON=∠CON．【点评】本题主要考查的是角的计算，角平分线的定义，根据OD的位置进行分类讨论是解题的关键．3．已知点O是AB上的一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE．（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时，若∠AOC=40°，求∠BOE 和∠COF的度数，∠BOE和∠COF有什么数量关系？（2）当点C，E，F在直线AB的异侧（如图2所示）时，若∠AOC=β，那么（1）中∠BOE和∠COF的数量关系的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由；（3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0＜m＜180），得到射线OD．设∠AOC=n°，若∠BOD=（60﹣n）°，则∠DOE的度数是多少？（请用含n的式子直接写出结果）【分析】（1）求出∠BOE和∠COF的度数即可判断；（2）结论：∠BOE=2∠COF．根据角的和差定义即可解决问题；（3）如图3中，根据∠DOE=180°﹣∠AOE﹣∠BOD计算即可；【解答】解：（1）∵∠COE=90°，∠AOC=40°，∴∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=180°﹣40°﹣90°=50°，∠AOE=∠AOC+∠COE=40°+90°=130°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOE=×130°=65°，∴∠COF=∠COE﹣∠EOF=90°﹣65°=25°，∴∠BOE=2∠COF．（2）∠BOE=2∠COF．理由如下：∵∠COE=90°，∠AOC=β，∴∠AOE=∠COE﹣∠AOC=90°﹣β，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=180°﹣（90°﹣β）=90°+β，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠AOE=（90°﹣β）=45°﹣β，∴∠COF=β+（45°﹣β）=45°+β，∴2∠COF=2（45°+β）=90°+β∴∠BOE=2∠COF．（3）如图3中，∠DOE=180°﹣∠AOE﹣∠BOD=180°﹣（90°﹣n°）﹣（60﹣n）°=（30+n）°．【点评】本题考查角的计算，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后OM恰好平分∠BOC，则t=5秒（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒∠MOC=36°？请说明理由．【分析】（1）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠AON=∠CON，即可得出OM平分∠BOC；（2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出答案；（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可．【解答】解：（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=2∠COM=150°，∴∠COM=75°，∴∠CON=15°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒；②是，理由如下：∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC；（2）5秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠COM=45°，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∵∠AOC﹣∠AON=45°，可得：6t﹣3t=15°，解得：t=5秒；（3）如上图：OC平分∠MOBOC可能在∠MOB内侧也可能在外侧，由题意得：6t﹣3t=54°﹣30°=24°或6t﹣3t=126°﹣30°=96°，解得：t=8或32秒；答：经过8或32秒∠MOC=36°．【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．5．如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．（1）如图①，当∠AOB=80°时，则∠DOE的度数为40°；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是∠DOE=∠BOE+∠DOA．【分析】（1）（2）根据角平分线定义得出∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，求出∠DOE=（∠AOC+∠BOC）=AOB，即可得出答案；（3）根据角平分线定义得出∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，求出∠DOE=（∠AOC﹣∠BOC）=AOB，即可得出答案；（4）根据角平分线定义即可求解．【解答】解：当射线OC在∠AOB的内部时，∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，∴∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=AOB，（1）若∠AOB=80°，则∠DOE的度数为40°．故答案为：40；（2）∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC=∠BOE+∠DOA．（3）当射线OC在∠AOB的外部时（1）中的结论不成立．理由是：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线∴∠COD=∠AOC，∠EOC=∠BOC，∠DOE=∠COD﹣∠EOC，=∠AOC﹣∠BOC，=∠AOD﹣∠BOE．（4）∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，∴∠DOC=∠AOD，∠EOC=∠BOE，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠BOE+∠DOA．故∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是∠DOE=∠BOE+∠DOA．故答案为：∠DOE=∠BOE+∠DOA．【点评】本题考查了角的有关计算和角平分线定义，能够求出∠DOE=∠AOB 是解此题的关键，求解过程类似．6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=50°；若∠AOC=120°，则∠DOE=60°；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=α（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．【分析】（1）先根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求得∠COE，再根据直角的定义可求∠DOE；（2）先根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求得∠COE，再根据直角的定义可求∠DOE；（3）设∠DOE=x，∠AOF=y，根据已知和（2）的结论可得出x﹣y=45°，从而得出结论．【解答】解：（1）∵∠AOC=100°，∴∠BOC=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×80°=40°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣40°=50°；∵∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×60°=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣30°=60°；故答案为：50°；60°；（2）∠DOE=α；∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=90°﹣α，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣（90°﹣α）=α；故答案为：α；（3）∠DOE﹣∠AOF=45°．理由：∵∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，∴∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，设∠DOE=x，∠AOF=y，左边=∠AOC﹣3∠AOF=2∠DOE﹣3∠AOF=2x﹣3y，右边=2∠BOE+∠AOF=2（90°﹣x）+y=180°﹣2 x+y，∴2x﹣3y=180﹣2 x+y 即4x﹣4y=180°，∴x﹣y=45°∴∠DOE﹣∠AOF=45°．【点评】此题考查的知识点是角平分线的性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．7．已知：∠AOD=160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD 内旋转时，∠MON=80度．（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．【分析】（1）依据OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，即可得到∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD；（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC进行计算即可；（3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°﹣10°﹣2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°﹣2t），进而得出t的值．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，∴∠MON=∠BOM+∠BON=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，故答案为：80；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°﹣10°﹣2t），又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴3（30°+2t）=2（150°﹣2t），得t=21．答：t为21秒．【点评】本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．8．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC 和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图①，当α=120°，∠AOC=40°时，求∠DOE的度数；（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE=∠COE+∠COD；（2）结合角的特点∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；（3）根据周角的定义，结合角的特点∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算．【解答】解：（1）∵α=120°，∠AOC=40°，∴∠BOC=80°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠BOC=40°，∠COD=∠AOC=20°，∴∠DOE=60°；（2）∵∠BOC=α﹣∠AOC，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠BOC=α﹣∠AOC，∠COD=∠AOC，∴∠DOE=∠COE+∠COD=α；（3）∠DOE=（360°﹣α）=180°﹣α．【点评】考查了角的计算，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．9．如图①，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）如图①，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，OE平分∠BOC．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，且∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度数；（2）由第（1）问的求法，可以直接写出∠DOE的度数；（3）①首先写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，由∠COD是直角，OE平分∠BOC，BOC+∠AOC=180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC 和∠DOE的度数之间的关系；②首先得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，由2∠AOF+∠BOE=（∠AOC﹣∠AOF），∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．【解答】解：（1）∵∠AOC=40°∴∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣40°=140°∵OE平分∠COB∴∠COE=∠COB=70°，又∵∠COD=90°∴∠EOD=∠COD﹣∠COE=20°（2）∠DOE=，（3）①∠DOE=∠AOC，理由如下：∵OE平分∠COB∴∠COE=∠COB又∵∠COD=90°∴∠EOD=∠COD﹣∠COE=90°﹣∠COB，∵∠COB+∠AOC=180°∴∠COB=180°﹣∠AOC∴∠EOD=90°﹣（180°﹣∠AOC）=∠AOC②4∠EOD﹣3∠AOF=180°，理由如下：∵OE平分∠COB∴∠EOB=∠COE∴∠AOC﹣2∠BOE=∠AOC﹣2∠COE=∠AOC﹣2（90°﹣∠EOD）=∠AOC+2∠EOD﹣180°又∵∠DOE=∠AOC∴∠AOC﹣2∠BOE=4∠EOD﹣180°∵∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE∴4∠EOD﹣3∠AOF=180°【点评】本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．10．如图1所示：已知，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）∠MON═45°；（2）如图2，∠AOB=90°，∠BOC=x°，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数若能，求出其值；若不能，说明理由．（3）如图3，若∠AOB=α，∠BOC=β（α、β均为锐角，且α＞β），仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数．若能，求∠MON 的度数．（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你发现了什么规律？【分析】（1）根据题意可知，∠AOC=120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=∠BOC=15°，由图形可知，∠MON=∠MOC ﹣∠CON，即∠MON=45°；（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出∠MOC与∠NOC的度数，然后相减即可得到∠MON的度数；（3）用α、β表示∠MOC，∠NOC，根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC得到．（4）由（1）、（2）、（3）的结果中，∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON=．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=∠BOC=15°，∴∠MON=∠MOC﹣∠CON=60°﹣15°=45°；故答案为：45；（2）能．∵∠AOB=90°，∠BOC=x°，∴∠AOC=90°+x°∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=（90°+x°）=45°+x，∴∠CON=∠BOC=x，∴∠MON=∠MOC﹣∠CON=45°+x﹣x=45°．（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∵ON平分∠BOC，∴∠NOC=∠BOC=，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣=．（4）规律：∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON=．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∵ON平分∠BOC，∴∠NOC=∠BOC=，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣=．【点评】本题考查角的和差定义、角平分线的定义，利用∠MON=∠MOC﹣∠NOC 是解决问题的关键．11．已知∠AOB=130°，∠COD=80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，如图1，求∠MON的度数；（2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155），如图2，①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD 的大小；将图1中的OA绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义得：∠AOM=∠AOB=65°，∠AON=40°，相减可得∠MON的度数；（2）①根据角的和差定义计算即可；②构建方程求出n即可；（3）根据角的和差定义计算即可；【解答】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB=130°，∴∠AOM=∠AOB=×130°=65°，∵ON平分∠COD，∠COD=80°，∴∠AON=∠COD=×80°=40°，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=65°﹣40°=25°；（2）①如图2中，∠MON=∠COM﹣∠NOC=65°+n°﹣40°=n°+25°．②当∠MON=90°时，n°+25°=90°，∴n=65°．（3）如图3中，∠MON=∠COM﹣∠CON=65°+m°﹣（80°+m°）=m°+25°．【点评】本题考查角的计算、角平分线的定义、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，属于中考常考题型．12．如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度数．（2）若将题干中的∠AOB=90°改为∠AOB=α，其余条件不变，求∠MON的度数；（3）若将题干中的∠BOC=30°改为∠BOC=β（β为锐角），其余条件不变，求∠MON的度数．（4）从前面的结果中，你能得出什么结论？【分析】（1）根据题意，易得∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC进而结合∠MON=∠MOC﹣∠NOC的关系，易得答案；（2）由（1）的结论，易得当∠AOB=x°时，总有∠MON=∠AOB的关系，即得答案；（3）由（1）的结论，易得当∠BOC=y°（∠BOC为锐角）时，总有∠MON=∠AOB的关系，即得答案；（4）分析（1）（2）（3）的结论，易得答案．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，又∵∠AOB=90°，∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=∠AOC﹣∠BOC=（∠AOC﹣∠BOC）=∠AOB=12×90°=45°．（2）当∠AOB=α，其他条件不变时，∠MON=∠AOB=α．（3）当∠BOC=β，其他条件不变时，∠MON=∠AOB=×90°=45°．（4）由（1）（2）（3）的结果，可得出结论：∠MON总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关．【点评】本题考查角平分线的定义与运用，注意结合图形，发现角与角之间的关系，利用互余、互补等关系解题．13．已知直线AB经过点O，∠COD=90°，OE是∠BOC的平分线．（1）如图1，若∠AOC=50°，则∠DOE=25°；（2）如图1，若∠AOC=α，则∠DOE=；（用含α的式子表示）（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由；（4）将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，则∠DOE=180°﹣α（用含α的式子表示）【分析】（1）如图1，根据平角的定义和∠COD=90°，得∠AOC+∠BOD=90°，从而求得：∠BOD=40°，由角平分线定义得：∠BOE==65°，利用角的差可得结论；（2）同理可得：∠DOE=α；（3）如图2，根据平角的定义得：∠BOC=180°﹣α，由角平分线定义得：∠EOC=∠BOC=90°﹣α，根据角的差可得（2）中的结论还成立；（4）同理可得：∠DOE=∠COD+∠COE=180°﹣．【解答】解：（1）如图1，∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠AOC=50°，∴∠BOD=40°，。

（2）在几何图形中，运用内角和与外角性质进行证明：
a.证明：四边形的内角和等于360度。
b.证明：在任意三角形中，两边之和大于第三边。
3.实际应用题：
（1）观察生活中的三角形物体，测量其内角和与外角度数，并与理论值进行比较。
（2）运用所学知识，设计一个测量角度的工具，并说明其原理。
4.探究性问题：
（1）探究：在三角形中，内角和与外角和之间有什么关系？
3.内角和与外角性质在几何证明中如何运用？
在讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，各小组汇报讨论成果，教师进行点评和总结。
（四）课堂练习，500字
设计以下几类练习题，帮助学生巩固所学知识：
1.基础题：计算给定三角形的内角和、外角度数。
2.拓展题：运用内角和与外角性质解决实际问题。
2.三角形外角的性质
介绍三角形外角的概念，引导学生观察外角与内角之间的关系。通过几何画板演示，让学生发现外角等于不相邻两个内角的和。接着，讲解外角性质的理论依据，并举例说明。
（三）学生小组讨论，500字
将学生分成小组，让他们围绕以下问题展开讨论：
1.三角形内角和定理的应用有哪些？
2.如何利用外角性质解决实际问题？
二、学情分析
七年级的学生经过上半学期的学习，已经具备了一定的几何基础，掌握了三角形的基本概念和性质。在此基础上，学习三角形内角和与外角的性质，对于他们来说既是挑战，也是提升。学生在这个阶段，好奇心强，求知欲旺盛，但注意力容易分散，因此需要在教学过程中充分激发他们的学习兴趣，引导他们主动探索和发现几何知识。
（一）教学重难点
1.重点：三角形内角和与外角的性质及其应用。
2.难点：
（1）理解并掌握三角形内角和定理，能够灵活运用内角和定理解决实际问题。

所以∠1 与∠2 互余.
2 1
合作探究
2 补角
探究1：你能猜猜∠3 与∠4 的数量关系吗？
补角：
如果两个角的和等于 180° (平角) ，就说这两个角互为补角，简称这 两个角互补．
34
几何语言：
因为∠3 与∠4 互补，
所以 ∠3 +∠4 = 180°
互
或 ∠3 = 180° -∠4
补
或 ∠4 = 180° -∠3.
同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和 A O B
∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角． 余角的定义
练一练 2. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则 ∠3 = 155° . 3. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 126° .
分析：1. ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 65° = 25° ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 25° = 155°
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，
所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
D
C E
补角的定义
A OB
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC
等式的性质
= (∠AOC +∠BOC )
= 90°
D
C E
所以∠COD 和∠COE 互为余角，
④如图，∠A 不是∠B 的余角； × 32° A
⑤如图，∠C 是∠A 的补角. √
148° C
3 余角与补角的性质
探究2：想想看，如果 ∠1 与∠2 互余，∠3与∠4互余， ∠2 = ∠4，那么 ∠1 与 ∠3 有什么关系？ 因为∠1 与∠2 互余，∠3与∠4互余， 所以∠1 = 90° - ∠2，∠3 = 90° - ∠4. 因为∠2 =∠4，所以∠1 = 90° - ∠4，所以∠1 =∠3.