辽宁省鞍山市九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析

辽宁省鞍山市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·苏州模拟) 在反比例函数y= 的图象上有两点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）．若x1＜0＜x2 ， y1＜y2则k的取值范围是（）A . k≥B . k＞C . k＜﹣D . k＜2. （2分）方程的两根分别为（）A .B .C .D .3. （2分）一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）A .B .C .D . 14. （2分） (2019九上·自贡月考) 关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是A . 2B . 1C . 0D . －15. （2分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A . 10mB . 12mC . 15mD . 40m6. （2分）如图，AD∥BE∥CF ，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F ，若AB=2，AC=6，DE=1.5，则DF的长为（）A . 7.5B . 6C . 4.5D . 37. （2分）如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，下列说法正确的是（）A . 主视图的面积最大B . 左视图的面积最大C . 俯视图的面积最大D . 主视图与俯视图的面积相等8. （2分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y=（y＞0）的图象上一个动点，当△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小时，则k的取值范围是（）A . k＜3B . k≤3C . k＞3D . k≥39. （2分） (2017九上·抚宁期末) 如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A . 4mB . 6mC . 8mD . 12m10. （2分）菱形有一个内角是120，且较短的对角线长为6cm,则菱形的边长为（）.A . 6cmB . 2 cmC . 6 cmD . 12 cm二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分） (2019九上·宝坻月考) 方程4 =9的根为________.12. （1分）(2017·岳池模拟) 若12xm﹣1y2与3xyn+1是同类项，点P（m，n）在双曲线上，则a 的值为________．13. （2分） (2019九上·台州期末) 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正那赢；如果两次是一正一反，则我嬴．”小红赢的概率是________ ，据此判断该游戏 ________（填“公平”或“不公平”）．14. （1分）(2016·无锡) 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．15. （1分）(2018·肇源模拟) 如图，矩形ABCD中，AD= ，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=________．16. （1分）如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形，…，如此反复下去，那么第n个正方形的对角线长为________．三、解答题 (共9题；共60分)17. （5分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，求这个三角形的周长．18. （5分）如图，一次函数y=kx+b(k≠ 0)与反比例函数(m≠0)的图象有公共点A(1，2),D(a,-1)．直线轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．(1) 求一次函数与反比例函数的解析式；(2) 求△ABC的面积。

辽宁省鞍山市九年级上册数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共17题；共34分)1. （2分）在二次根式中，最简二次根式有（）个。

A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2018九上·南召期中) 已知，则化简的结果是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017七下·兰陵期末) 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019九上·阳信开学考) 已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，a 的取值范围是（）A . a<2B . a<2且a≠1C . a>2D . a<--25. （2分）用配方法解方程：x2+x-1=0，配方后所得方程是（）A . （x-）2=B . （x+）2=C . （x+）2=D . （x-）2=6. （2分）若方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2m+5与4m+1，则的值为（）A . 1B . 2C . 9D . 47. （2分） (2017七下·惠山期末) 不等式组的解集在数轴上可以表示为（）。

A .B .C .D .8. （2分）(2019·石家庄模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（）A . 4B . 6C . 8D . 109. （2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有（）A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对10. （2分）在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2分） (2011七下·广东竞赛) 在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(-4，-1),B(1,1),将线段AB平移后得到线段A′B′,若点A′的坐标为（-2,2）则点B′的坐标为（）A . (4,3)B . （3,4）C . （-1，-2）D . （-2，-1）12. （2分）如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 413. （2分）Rt△ABC中，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（）A . AH＜AE＜ADB . AH＜AD＜AEC . AH≤AD≤AED . AH≤AE≤AD14. （2分）下列各式中正确的是（）A . =aB . =±aC . =﹣aD . =|a|15. （2分）(2019·江苏模拟) 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A .B .C .D .16. （2分）正方形具备而菱形不具备的性质是（）A . 对角线互相平分B . 对角线互相垂直C . 对角线相等D . 每条对角线平分一组对角17. （2分） (2018九上·浙江月考) 当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)18. （1分）(2017·姑苏模拟) 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．19. （1分） (2016九上·芦溪期中) 已知一元二次方程x2﹣x﹣c=0有一个根为2，则常数c的值是________．20. （1分）(2017·仙游模拟) 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=60°，AB=3，BD=1，则EC=________．21. （1分） x2+kx+9是完全平方式，则k=________22. （1分） (2018九上·松原月考) 如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大．正确的有：________．三、解答题 (共8题；共68分)23. （5分）计算：（）﹣1+（1+）（1﹣）﹣．24. （15分）解一元二次方程：（1）（x﹣1）2﹣4（x+2）2=0（2） 3x（2x+1）=4x+2（3） x2﹣5=2（x+1）25. （10分） (2017八下·呼伦贝尔期末) 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别在CD和BC 的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF= 。

2020-2021学年辽宁省鞍山市九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．下列四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正五边形2．一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+44．如图，AB是⊙O的直径，A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝110°，则∠D的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．70°5．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数为（）A．30°B．60°C．70°D．75°6．某超市1月份的营业额是0.2亿元，第一季度的营业额共1亿元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．0.2（1+x）2＝1B．0.2+0.2×2x＝1C．0.2+0.2×3x＝1D．0.2×[1+（1+x）+（1+x）2]＝17．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（）A．4B．5C．6D．78．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分），9．中心角为30°的正多边形边数为．10．反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为．11．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A′D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝8，则△ABC 与△A'B'C′的周长比等于．12．已知x＝1是一元二次方程x2﹣4x+k＝0的一个根，则k＝．13．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2+k的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．（请用“＞”连接）14．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB于点F，下列结论：①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC＝，则AB＝8；④CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有．（填序号即可）16．如图，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，2），将△OAB绕点A第一次顺时针旋转90°得到△O1AB1，将△O1AB1绕点B1第二次顺时针旋转90°得到△O2A1B1，将△O2A1B1绕点B1第三次顺时针旋转90°得到△O3A2B1，…，如此进行下去，则点O2021的坐标为．三、解答题（每题8分，共16分）17．（16分）用适当的方法解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）2x2﹣3x﹣5＝0．18．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB∽△AEC．四、解答题（每题10分，共20分）19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n），B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．20．如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？五、解答题（每题10分，共20分）21．小明根据学习函数的经验，对y＝﹣1+的图象的性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；（1）函数y＝﹣1+的自变量x取值范围为；（2）完成表格，并画出函数的图象；x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y……（3）写出函数y＝﹣1+的两条性质．22．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC 交于点G．（1）求证：∠BEC＝2∠AGE；（2）若＝，求的值．六、解答题（每题10分，共20分）23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，且CE与AB交于点G，DF∥EC交AC于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若＝，AC＝5，求⊙O的半径长．24．某服装厂自主经销一款精品服装，生产成本为500元/套，提价40%后进行销售，每周可以销售60件；受“新冠疫情”影响，原材料价格上涨，使得该款服装生产成本上涨，该服装厂决定在保持利润率不变的情况下提高销售价；调研发现该款服装生产成本上涨10元/套，每周销量就减少1套，若设该款服装生产成本上涨x元/套（x＞0且x为10的整数倍），销售价为y元/套．（利润率＝）（1）求y与x之间函数关系式；（2）设每周销售利润为w元，求w与x之间函数关系式，并求服装生产成本上涨多少元/套时，每周销售利润最大．七．解答题（本愿12分）25．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点P、点G是射线AB上的两个动点，过G作AB的垂线，点E为该垂线上一点，连接CE，使得∠CEG＝∠CPB．（1）如图1，若点G与点A重合，①求的值；②当AE＝AP＝2时，求PC的长；（2）若点G与点A不重合，且AB＝8AG，求的值．八、解答题（本题14分）26．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（﹣2，0）和点C（0，﹣2），与x轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（0，n）是y轴上的一个动点，将线段OB绕点P顺时针旋转90°，得到线段O'B'；①若线段O'B'与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出n的取值范围；②直线PB'交抛物线于M、N两点，若点B'是线段MN的中点，求n的值．参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．下列四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．圆B．等边三角形C．平行四边形D．正五边形【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．解：A、圆既是中心对称图形又是轴对称图形；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；D、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；故选：A．2．一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】将方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ＝0，由此即可得出结论．解：原方程可变形为4x2﹣4x+1＝0，∵在方程4x2﹣4x+1＝0中，Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，∴方程4x2+1＝4x有两个相等的实数根．故选：B．3．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4【分析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．故选：A．4．如图，AB是⊙O的直径，A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝110°，则∠D的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．70°【分析】根据邻补角互补可得∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得∠D的度数．解：∵∠AOC＝110°，∴∠BOC＝180°﹣110°＝70°，∴∠D＝∠BOC＝35°，故选：B．5．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数为（）A．30°B．60°C．70°D．75°【分析】由旋转的性质可得AO＝CO，∠AOC＝30°，由等腰三角形的性质可求解．解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，∴AO＝CO，∠AOC＝30°，∴∠A＝∠ACO＝＝75°，故选：D．6．某超市1月份的营业额是0.2亿元，第一季度的营业额共1亿元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．0.2（1+x）2＝1B．0.2+0.2×2x＝1C．0.2+0.2×3x＝1D．0.2×[1+（1+x）+（1+x）2]＝1【分析】根据增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额＝1，把相关数值代入即可求解．解：设平均每月的增长率为x，根据题意：二月份的月营业额为0.2（1+x），三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，为0.2（1+x）×（1+x），则列出的方程是：0.2×[1+（1+x）+（1+x）2]＝1．故选：D．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD 的面积．解：∵在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，∴CD∥AB，∴△DOC∽△BOE，∴＝2，∵S△EOB＝1，∴S△BOC＝2，S△DOC＝4，∴S△BCD＝6，∴S△DAB＝6，∴四边形AEOD的面积为：S△DAB﹣S△EOB＝6﹣1＝5，故选：B．8．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，分两种情况：①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△DPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，①当BM≤4时，∵点P′与点P关于BD对称，∴P′P⊥BD，∴P′P∥AC，∴△P′BP∽△CBA，∴，即，∴PP′＝，∵DM＝8﹣x，∴△DPP′的面积y＝PP′•DM＝×（8﹣x）＝﹣x2+6x；∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，12）；②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；综上所述：y与x之间的函数图象大致为：故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分），9．中心角为30°的正多边形边数为12．【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．解：因为360°÷30°＝12．所以这个正多边形的边数为12．故答案为：12．10．反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为y＝﹣．【分析】首先设y＝，再把P（﹣1，2）代入可得关于k的方程，然后可得解析式．解：设y＝，∵图象经过点P（﹣1，2），∴2＝，解得：k＝﹣2，∴y关于x的解析式为y＝﹣，故答案为：y＝﹣．11．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A′D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝8，则△ABC 与△A'B'C′的周长比等于5：4．【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝8，∴ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：8＝5：4．故答案为：5：4．12．已知x＝1是一元二次方程x2﹣4x+k＝0的一个根，则k＝3．【分析】把x＝1代入方程x2﹣4x+k＝0得1﹣4+k＝0，然后解关于k的方程即可．解：把x＝1代入方程x2﹣4x+k＝0得1﹣4+k＝0，解得k＝3．故答案为3．13．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2+k的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y3＞y1＞y2．（请用“＞”连接）【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而减小，即可得出答案．解：∵y＝（x﹣2）2+k，∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝2，∴A（4，y1）关于直线x＝2的对称点是（0，y1），∵﹣2＜0＜，∴y3＞y1＞y2，故答案为y3＞y1＞y2．14．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为9．【分析】由圆周角定理可知∠ABC＝∠D，又∠ABC＝∠CAD，则可得∠D＝∠CAD，从而可得出CA＝CD；由直径所对的圆周角为直角可得∠ACD＝90°；由勾股定理求得CA 的值；由∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，可判定△ACB∽△ECA，由相似三角形的性质可得比例式，变形即可得出答案．解：∵∠ABC＝∠CAD，∠ABC＝∠D，∴CA＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CA2+CD2＝AD2，∵AD＝3，CA＝CD，∴2CA2＝18，解得：CA＝3．∵∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，∴△ACB∽△ECA，∴BC：AC＝AC：CE，∴CE•BC＝AC•AC＝9．故答案为：9．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB于点F，下列结论：①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC＝，则AB＝8；④CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有①②④．（填序号即可）【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求∠AEB＝∠DEC＝45°，由外角的性质可求∠EAC＝∠EDB，可判断①；通过证明△ADP∽△EBP，可得＝2，可判断②；通过证明△ADQ∽△CEQ，可得＝2，可得AQ＝2QC，由三角形的面积公式可求AB＝4，可判断③，由“SAS”可证△ABE≌△DCE，可得AE＝DE，由相似三角形的性质可求PE＝EQ，通过证明△PEF∽△CDE，可得，可判断④，即可求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∵BC＝2AB，点E是边BC的中点，∴BE＝EC＝AB＝CD，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∵∠AEB＝∠ACB＝∠EAC，∠DEC＝∠DBC+∠BDE，∴∠EAC＝∠EDB，故①正确；∵PF⊥AE，∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF，∵AD∥BC，∴△ADP∽△EBP，∴＝2，∴AP＝2PE＝2PF，故②正确；∵AD∥BC，∴△ADQ∽△CEQ，∴＝2，∴AQ＝2QC，∵S△DQC＝，∴S△ADC＝16，∴×AD×DC＝16，∴DC＝4，∴AB＝4，故③错误，∵AB＝BE，DC＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴AE＝DE，∵△ADP∽△EBP，△ADQ∽△CEQ，∴＝，＝∴，∴，∴PE＝EQ，∵∠AEB＝∠DEC＝45°，∠EPF＝∠ECD＝90°，∴△PEF∽△CDE，∴，∴CE•EF＝EQ•DE．故④正确；故答案为：①②④．16．如图，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，2），将△OAB绕点A第一次顺时针旋转90°得到△O1AB1，将△O1AB1绕点B1第二次顺时针旋转90°得到△O2A1B1，将△O2A1B1绕点B1第三次顺时针旋转90°得到△O3A2B1，…，如此进行下去，则点O2021的坐标为（2021，1）．【分析】根据题意得出O点坐标变化规律，进而得出点O2021的坐标位置，进而得出答案．解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，2），△AOB是直角三角形，∴OA＝1，AB＝2，将△OAB绕点A第一次顺时针旋转90°得到△O1AB1，此时O1为（1，1），将△O1AB1绕点B1第二次顺时针旋转90°得到△O2A1B1，得到O2为（1+2+1，2），再将△O2A1B1绕点B1第三次顺时针旋转90°得到△O3A2B1，得到O3（1+2+2，﹣1），…，依此规律，∴每4次循环一周，O1（1，1），O2（4，2），O3（5，﹣1），O4（4，0），∵2021÷4＝505…1，∴点O2021（505×4+1，1），即（2021，1）．故答案为（2021，1）．三、解答题（每题8分，共16分）17．（16分）用适当的方法解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）2x2﹣3x﹣5＝0．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）x2+4x﹣1＝0．移项得：x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，开方得：x+2＝±，∴原方程的解是：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．（2）2x2﹣3x﹣5＝0．因式分解得（2x﹣5）（x+1）＝0，∴2x﹣5＝0或x+1＝0，∴x1＝，x2＝﹣1．18．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB∽△AEC．【分析】由旋转的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，可得，由相似三角形的判定定理可证△ADB∽△AEC．【解答】证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，∴，∴△ADB∽△AEC．四、解答题（每题10分，共20分）19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n），B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．【分析】（1）先把B点坐标代入y＝中求出m得到反比例函数解析式为y＝﹣；再利用y＝﹣确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先利用一次函数解析式确定C（0，1）．利用关于x轴对称的性质得到D（0，﹣1）．则BD∥x轴，然后根据三角形面积公式计算．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点B（2，﹣1），∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣；∵点A（﹣1，n）在y＝﹣的图象上，∴n＝2，则A（﹣1，2），把点A，B的坐标代入y＝kx+b，得，解得∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于点C，∴C（0，1）．∵点D与点C关于x轴对称，∴D（0，﹣1）．∵B（2，﹣1），∴BD∥x轴．∴S△ABD＝×2×3＝3．20．如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？【分析】设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，根据所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．解：设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，依题意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1﹣），整理得：8x2﹣22x+5＝0，解得：x1＝，x2＝，当x＝时，10﹣2×4x＝﹣10＜0，不合题意，舍去；当x＝时，10﹣2×4x＝8＞0，符合题意，∴5x＝，4x＝1．答：每个横彩条的宽度为cm，每个竖彩条的宽度为1cm．五、解答题（每题10分，共20分）21．小明根据学习函数的经验，对y＝﹣1+的图象的性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；（1）函数y＝﹣1+的自变量x取值范围为x≠0；（2）完成表格，并画出函数的图象；x …﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣﹣﹣2﹣3﹣4210﹣﹣…（3）写出函数y＝﹣1+的两条性质．【分析】（1）根据分式中分母不能为0求出自变量x的取值范围即可，（2）根据图表中x的值代入解析式即可完成表格，用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；（3）观察函数图象，写出一条函数性质即可，答案不唯一．解：（1）根据题意得：x≠0，即函数y＝﹣1+的自变量x的取值范围x≠0，故答案为：x≠0；（2）完成表格如下，x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣﹣﹣2﹣3﹣4210﹣﹣…用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如图所示：（3）观察函数图象，发现该函数没有最大值，也没有最小值，图象不经过原点，即该函数的性质：该函数没有最大值，也没有最小值；图象不经过原点．22．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC 交于点G．（1）求证：∠BEC＝2∠AGE；（2）若＝，求的值．【分析】（1）根据题意利用同角的余角相等，得出∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，又因为BE＝CE，所以∠B＝∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，再根据三角形内角和定理容易求解；（2）由（1）问的角度关系，可求证△EFC∽△GDC，可得线段比例关系，进而求证△BEF∽△BAD，求得，通过等量代换可求解．【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠CGD，AD⊥BC，即∠GDC＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，∵BE＝CE，∴∠B＝∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠ECB＝180°﹣2（90°﹣∠AGE）＝2∠AGE，∴∠BEC＝2∠AGE；（2）如图，过点E作EF⊥BC交于点F，由（1）知∠BEC＝2∠AGE，则∠BEC＝∠AGE+∠EAG，∴∠AGE＝∠EAG，则AE＝EG，∵∠EFC＝∠GDC，∠FCE＝∠DCG，∴△EFC∽△GDC，∵，BE＝BC，∴，，∵，∴，∵∠ABC＝∠EBC，∠EFB＝∠ADB＝90°，∴△BEF∽△BAD，∴，∵，∴，∵AD＝，GD＝EF，∴AG＝EF，∴＝4．六、解答题（每题10分，共20分）23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，且CE与AB交于点G，DF∥EC交AC于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若＝，AC＝5，求⊙O的半径长．【分析】（1）由∠ACB＝90°，AC＝BC得∠B＝∠A＝45°，再由圆周角定理得∠DOC ＝90°，再由DF∥EC，即可证DF为⊙O的切线；（2）先证明∠CDF＝∠A＝45°，由∠CDF＝∠A和∠ACD＝∠DCF可证△ACD∽△DCF，从而有，再由＝、DF∥EC、AC＝5得AF＝3、AC＝5，由此求出CD，再用勾股定理求出OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠A＝45°，∴∠DOC＝2∠B＝90°，∴OD⊥CE，∵DF∥EC，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠DOC＝90°，OD＝OC，∴∠DCO＝45°，∵DF∥EC，∴∠CDF＝∠DCO＝45°，∴∠CDF＝∠A，∵∠ACD＝∠DCF，∴△ACD∽△DCF，∴，即CD2＝AC•CF，∵＝，DF∥EC，∴AF：CF＝2：3，∵AC＝5，∴AF＝3，AC＝5，∴CD＝，∵CO2+OD2＝CD2，∴OC＝，∴⊙O的半径长为．24．某服装厂自主经销一款精品服装，生产成本为500元/套，提价40%后进行销售，每周可以销售60件；受“新冠疫情”影响，原材料价格上涨，使得该款服装生产成本上涨，该服装厂决定在保持利润率不变的情况下提高销售价；调研发现该款服装生产成本上涨10元/套，每周销量就减少1套，若设该款服装生产成本上涨x元/套（x＞0且x为10的整数倍），销售价为y元/套．（利润率＝）（1）求y与x之间函数关系式；（2）设每周销售利润为w元，求w与x之间函数关系式，并求服装生产成本上涨多少元/套时，每周销售利润最大．【分析】（1）可利用每套的生产成本加上提高的的钱数即为销售价；（2）可利用w＝每套的利润×销售量列函数关系式，根据抛物线的性质及最值可计算求解．解：（1）y＝（500+x）（1+40%）＝700+1.4x；（2）w＝40%×（500+x）（60﹣）＝﹣0.04x2+4x+12000，＝﹣0.04（x﹣50）2+12100，∵a＝﹣0.04＜0，∴当x＝50时，w有最大值为12100元．故服装生产成本上涨50元/套时，每周销售利润最大．七．解答题（本愿12分）25．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点P、点G是射线AB上的两个动点，过G作AB的垂线，点E为该垂线上一点，连接CE，使得∠CEG＝∠CPB．（1）如图1，若点G与点A重合，①求的值；②当AE＝AP＝2时，求PC的长；（2）若点G与点A不重合，且AB＝8AG，求的值．【分析】（1）①如图1﹣1中，连接PE，取PE的中点O，连接AO，OC．证明A，E，C，P四点共圆，推出∠CEP＝∠CAP＝60°，可得结论．②如图1﹣1中，利用勾股定理求出PE，解直角三角形求出PC即可．（2）分两种情形：如图2中，连接PE，CG，过点C作CH⊥AB于H．如图3中，当点G在线段AB上时，证明∠GCH＝∠CPE，求出tan∠GCH可得结论．解：（1）①如图1﹣1中，连接PE，取PE的中点O，连接AO，OC．∵∠CEG＝∠CPB，∠CPB+∠APC＝180°，∴∠AEC+∠APC＝180°，∴∠EAP+∠ECP＝180°，∵EA⊥PA，∴∠PAE＝∠PCE＝90°，∵OE＝OP，∴OA＝OE＝OP＝OC，∴A，E，C，P四点共圆，∴∠CEP＝∠CAB，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠PEC＝∠CAP＝60°，∴∠EPC＝30°，∴＝tan30°＝．②如图1﹣1中，∵AE＝AP＝2，∠EAP＝90°，∴PE＝AE＝2，∵∠EPC＝30°，∴PC＝PE•cos30°＝2×＝．（2）如图2中，当点G在BA的延长线上时，连接PE，CG，过点C作CH⊥AB于H．∵AB＝8AG，∴可以假设AG＝a，则AB＝8a，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝4a，在Rt△ACH中，∵CAH＝60°，AC＝4a，∴AH＝AC•cos60°＝2a，∴CH＝AH＝2a，∴tan∠GCH＝＝＝，由（1）可知G，E，C，P四点共圆，∴∠CGP＝∠CEP，∴∠CGP+∠GCH＝90°，∠CEP+∠CPE＝90°，∴∠GCH＝∠CPE，∴tan∠CPE＝tan∠GCH＝，∴＝tan∠CPE＝．如图3中，当点G在线段AB上时，同法可证∠EPC＝∠GCH，tan∠GCH＝＝＝，可得＝，综上所述，满足条件的的值为或．八、解答题（本题14分）26．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（﹣2，0）和点C（0，﹣2），与x轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（0，n）是y轴上的一个动点，将线段OB绕点P顺时针旋转90°，得到线段O'B'；①若线段O'B'与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出n的取值范围；②直线PB'交抛物线于M、N两点，若点B'是线段MN的中点，求n的值．【分析】（1）将点B（﹣2，0）和点C（0，﹣2）代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求解析式；（2）①由题可知O'（﹣n，n），B'（﹣n，n+2），当O'在抛物线上时，n2+n﹣2＝n，求出n＝4或n＝﹣2；当B'在抛物线上时，n2+x﹣2n＝2，求出n＝1+或n＝1﹣，再结合函数图象即可确定n的取值范围；②求出PB'的解析式为y＝﹣x+n，联立﹣x+n＝x2﹣x﹣2，由根与系数的关系得x M+x N＝2﹣，又由B'是MN的中点，则x M+x N＝﹣2n，所以2﹣＝﹣2n，即可求出n ＝﹣1．解：（1）将点B（﹣2，0）和点C（0，﹣2）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣2；（2）①由题可知O'（﹣n，n），B'（﹣n，n+2），当n＞0时，如图1，当O'在抛物线上时，n2+n﹣2＝n，解得n＝4或n＝﹣2（舍），当B'在抛物线上时，n2+x﹣2n＝2，解得n＝1+或n＝1﹣（舍），∴当4≤n≤1+时线段O'B'与抛物线有一个公共点；当n＜0时，如图2，当O'在抛物线上时，n2+n﹣2＝n，解得n＝4（舍）或n＝﹣2，当B'在抛物线上时，n2+x﹣2n＝2，解得n＝1+（舍）或n＝1﹣，∴当1﹣≤n≤﹣2时线段O'B'与抛物线有一个公共点；综上所述：线段O'B'与抛物线有一个公共点时，1﹣≤n≤﹣2或4≤n≤1+；②设PB'的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴y＝﹣x+n，联立﹣x+n＝x2﹣x﹣2，∴x2+（﹣2）x﹣（8+4n）＝0，∴x M+x N＝2﹣，∵B'是MN的中点，∴x M+x N＝﹣2n，∴2﹣＝﹣2n，∴n＝﹣1．。

【数学】九年级上册鞍山数学全册期末复习试卷检测题（Word版含答案）一、选择题1．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝1.5，BC＝2，DE＝1.8，则EF＝（）A．4.4 B．4 C．3.4 D．2.42．已知△ABC，以AB为直径作⊙O，∠C＝88°，则点C在（）A．⊙O上B．⊙O外C．⊙O内3．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（）A．9︰16 B．3︰4 C．9︰4 D．3︰164．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若BC的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°5．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（）A．小于12B．等于12C．大于12D．无法确定6．如图，已知O的内接正方形边长为2，则O的半径是（）A．1 B．2 C2D．22 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A＝80°，则∠C的度数是（）A ．40°B ．80°C ．100°D ．120°8．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( ) A ．方差 B ．平均数 C ．众数 D ．中位数 9．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定10．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．11．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）A ．一定相似B ．一定全等C ．不一定相似D ．无法判断12．如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，点P 在一次函数6y x =-+的图像上，Q 是线段PA 的中点，连结OQ ，则线段OQ 的最小值是（ ）A ．22B ．1C ．2D ．213．二次函数y =x 2﹣2x +1与x 轴的交点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．314．如图所示的网格是正方形网格，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．22C ．35D ．4515．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表： x…134 …y … 2 4 2 ﹣2…则下列判断中正确的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x=﹣1时y ＞0D ．方程ax 2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间二、填空题16．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）17．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．18．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AB 边上一点（不与A 、B 重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC 相似，并且平分△ABC 的周长，则AD 的长为____．19．二次函数y=x 2−4x+5的图象的顶点坐标为 ．20．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝____． 21．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF 的长为_____．23．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.24．关于x 的方程220kx x --=的一个根为2，则k =______.25．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA 的值为________．26．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.27．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．28．如图，抛物线2143115y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．29．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB 、CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为_____．30．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____． x … ﹣1 0 1 2 … y…343…三、解答题31．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）： 小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10． （1）填写下表：平均数（环） 中位数（环） 方差（环2） 小华 8 小亮83（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）32．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.（1）求证：BDE CAD ∆∆∽；（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.33．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ． （1）证明：△ADC ∽△ACB ；（2）若AD ＝2，BD ＝6，求边AC 的长．34．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号)①ABM ；②AOP ；③ACQ（2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为12，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 3为半径画⊙B ，若直线3与⊙B 的“最美三3B 的横坐标B x 的取值范围．35．解方程：2670x x --=四、压轴题36．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．37．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．38．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）39．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标． 40．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，2AB =，6BD =CD 的长；（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AB DE BC EF=,∵AB＝1.5，BC＝2，DE＝1.8,∴1.5 1.82EF= , ∴EF=2.4故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是关键．2．B解析：B【解析】【分析】根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C在圆上，由由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质可知点C在圆外.【详解】解：∵以AB为直径作⊙O，当点C在圆上时,则∠C=90°而由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质∴点C在圆外．故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.3．B解析：B【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.考点：本题主要考查了相似三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方4．B解析：B【解析】【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=AC BC，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．【详解】∵BC的度数为50°，∴∠BOC=50°，∵半径OC⊥AB，∴=AC BC，∴∠ADC=12∠BOC=25°．故选B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．5．B解析：B【解析】【分析】利用概率的意义直接得出答案．【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上概率等于12，前6次的结果都是正面朝上，不影响下一次抛掷正面朝上概率，则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：12，故选：B．【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．6．C解析：C【解析】【分析】如图，连接BD，根据圆周角定理可得BD为⊙O的直径，利用勾股定理求出BD的长，进而可得⊙O的半径的长.【详解】如图，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴BC=CD=2，∠BCD=90°，∴BD=2222+=22，∵正方形ABCD是⊙O的内接四边形，∴BD是⊙O的直径，∴⊙O的半径是1222⨯=2，故选：C.【点睛】本题考查正方形的性质、圆周角定理及勾股定理，根据圆周角定理得出BD是直径是解题关键.7．C解析：C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A=180°，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A=180°，∵∠A=80°，∴∠C=100°，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质的应用.熟记圆内接四边形对角互补是解决此题的关键. 8．A【解析】【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．【详解】平均数，众数，中位数都是反映数字集中趋势的数量，方差是反映数据离散水平的数据，也就会说反映数据稳定程度的数据是方差故选A考点：方差9．C解析：C【解析】【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a的值为﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.10．B解析：B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC、2只有选项B的各边为1B．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.11．A解析：A【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=，∴ADG ~CDH ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．12．A解析：A【解析】【分析】先求得A 、B 两点的坐标，设()6P m m -，，根据之间的距离公式列出2PB 关于m 的函数关系式，求得其最小值，即可求得答案.【详解】令0y =，则21404x -=， 解得：4x =±，∴A 、B 两点的坐标分别为：()()4040A B -，、，， 设点P 的坐标为()6m m -，， ∴()()2222246220522(5)2PB m m m m m =-+-=-+=-+，∵20>，∴当5m =时，2PB 有最小值为：2，即PB ，∵A 、B 为抛物线的对称点，对称轴为y 轴，∴O 为线段AB 中点，且Q 为AP 中点，∴122OQ PB ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性质，二次函数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得2PB的最小值是解题的关键.13．B解析：B【解析】由△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点．故选B．14．C解析：C【解析】【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，∵224225AC BC=+==，BC＝22，AD＝2232AC CD+=，∵S△ABC＝12AB•CE＝12BC•AD，∴CE＝223265525BC ADAB⨯==，∴6535525CEAsin CABC∠==＝，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．15．D解析：D【解析】【分析】根据表中的对应值，求出二次函数2y ax bx c =++的表达式即可求解．【详解】解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴二次函数表达式为232y x x =-++∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；令0y =，得2320x x -++=，解得：1x =，2x =∵10-，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．二、填空题16．【解析】【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.解析：2【解析】【分析】根据黄金比值为12计算即可. 【详解】 解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴AP 2AB ==故答案为：2.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.17．－1＜x ＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，故答案为：－1＜x ＜3.【点睛解析：－1＜x ＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，故答案为：－1＜x ＜3.【点睛】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．18．、 、【解析】【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.【详解】解：设过点D 的直线与△ABC 的另一个交点为E ，∵AC＝4，BC ＝解析：83、103、54【解析】【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.【详解】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，∵AC＝4，BC＝3，∴AB=2234+=5设AD=x，BD=5-x，∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，分四种情况讨论：①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x∴BE BDBC AB=，即：5153x x-+=，解得x=54，②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x∴BD BEBC AB=，即：5135x x-+=，解得：x=11 4，BE=154>BC，不符合题意.③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x∴AD AEAB AC=，即654x x-=，解得：x=103，④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x∴AD AEAC AB=，即：645x x-=，解得：x=83，综上：AD的长为83、103、54.【点睛】本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.19．（2，1）【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】将二次函数配方得则顶点坐标为（2，1）考点：二次函数的图象和性质．解析：（2，1）【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】将二次函数245y x x =-+配方得22()1y x =-+则顶点坐标为（2，1）考点：二次函数的图象和性质． 20．【解析】【分析】直接利用根与系数的关系求解．【详解】解：根据题意得x1+x2═故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1 解析：12- 【解析】【分析】直接利用根与系数的关系求解．【详解】解：根据题意得x 1+x 2═12b a -=- 故答案为12-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=c a． 21．4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第解析：4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n行n个数，故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝(1)2n n+，∵当n＝63时，前63行共有63642⨯＝2016个数字，2020﹣2016＝4，∴2020在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．【点睛】本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键.22．【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的解析：410【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AB=2，∴BE=1，∴=∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AM ME FN AN=，4x=-，解得：x=4 3∴3=．点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，23．【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红解析：5 8【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55538=+ 故答案为:58． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 24．1【解析】【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k 的方程，从而求得k 的值．【详解】把x ＝2代入方程得：4k −2−2＝0，解得k ＝1故解析：1【解析】【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k 的方程，从而求得k 的值．【详解】把x ＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k ＝1故答案为:1．【点睛】本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．25．【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=，AB=，∴sinA=.【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，，∴sinA=5BD AB ==.26．【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是，解析：4 9【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是49，故答案为：49．【点睛】此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则.27．25%【解析】【分析】设每次降价的百分比为x，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x，，解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合解析：25%【解析】【分析】设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程280(1)45x ，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x ， 280(1)45x ，解得：x 1=0.25=25%，x 2=1.75（不合题意舍去）故答案为：25%.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1±x ）2=后量，即可解答此类问题.28．【解析】【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.【详解】令中y=0，得x1=【解析】【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.【详解】令2111515y x x =--中y=0，得x 1x 2∴直线AC 的解析式为1y =-， 设P （x ，31x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1∴PQ 2=PB 2-BQ 2，2+（31x ）2-1， =24283753x x ，∵43a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.29．【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt △ABD 是等腰直角三角形，进而可得Rt △ACF 是等腰直角三角形，求出CF ，再根据△ACE ∽△BDE 的相似比为1：3，根据勾股定理求【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt △ABD 是等腰直角三角形，进而可得Rt △ACF 是等腰直角三角形，求出CF ，再根据△ACE ∽△BDE 的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD 的长，从而求出CE ，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．【详解】过点C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，在Rt △ACD 中，CD =由网格可知，Rt △ABD是等腰直角三角形，因此Rt △ACF 是等腰直角三角形，∴CF ＝AC •sin45°＝2， 由AC ∥BD 可得△ACE ∽△BDE ， ∴13CE AC DE BD==， ∴CE ＝14CD在Rt △ECF 中，sin ∠AEC＝25CF CE ==，故答案为：25．【点睛】考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．30．（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）解析：（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x=0+22=1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为（3，0）．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．三、解答题31．（1）8，8，23；（2）选择小华参赛．（3）变小【解析】【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；（2）根据方差的意义求解；（3）根据方差公式求解．【详解】（1）解：小华射击命中的平均数:7+8+7+8+9+96=8,小华射击命中的方差:2222122(78)2(88)2(98)63S ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦, 小亮射击命中的中位数:8+8=82； （2）解：∵x 小华＝x 小亮，S 2小华＜S 2小亮∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．32．（1）见解析；（2）6013DE =. 【解析】【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C ，△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD ⊥BC ，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED ，至此问题不难证明； 对于（2），利用勾股定理求出AD ，利用相似比，即可求出DE.【详解】解：（1)证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠.又∵AD 为BC 边上的中线，∴AD BC ⊥.∵DE AB ⊥，∴90BED CDA ︒∠=∠=，∴BDE CAD ∆∆∽.(2)∵10BC =，∴5BD =.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得12AD ==. 由（1）得BDE CAD ∆∆∽，∴BD DE CA AD =， 即51312DE =， ∴6013DE =. 【点睛】 此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.33．（1）见解析; （2）4.【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；（2）利用相似三角形的对应边对应成比例列式求解即可．【详解】（1）证明：∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ，∴△ADC ∽△ACB ．（2）解：∵△ADC ∽△ACB ，∴AC AB＝AD AC ，AB=AD+DB=2+6=8 ∴AC 2＝AD•AB ＝2×8＝16，∵AC ＞0，∴AC ＝4．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．34．（1）②；（2）±1；（3）23-＜B x ＜33或733-＜B x ＜23-- 【解析】【分析】（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围．【详解】（1）如下图所示：∵PM 是⊙O 的切线，。