上海市九年级上期末考试数学试卷及答案

沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案） 1．抛物线()2y 2x 31=-+的顶点坐标是( ) A ．（3，1） B ．（3，﹣1） C ．（﹣3，1） D ．（﹣3，﹣1）2．若sin(15)A ∠+︒tan A ∠的值为（ ）A ．.12B C ．1 D 3．反比例函数y ＝1kx-图象的每条曲线上y 都随x 增大而增大，则k 的取值范围是 A ．k ＞1B ．k ＞0C ．k ＜1D ．k ＜04．将抛物线2(21)y x =-向左平移12个单位，再向上平移1个单位后得到的抛物线解析式为A ．21(2)12y x =--B ．21(2)12y x =-+C ．241y xD ．241y x =+5．已知点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC <，若4AB =，则AC 的长是（ ）A ．6-B ．2C 1D ．36．如图，O 是ABC ∆的外接圆，20ABO ∠=︒,40OAC ∠=︒，则OBC ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．60︒D ．120︒7．如图，直线1l //2l //3l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于、、A B C ，直线DF 交1l ，2l ，3l 于点D E F 、、,AC 与DF 相交于点G ,且2AG =,1GB =,5BC =则ADFC的值为( )A ．12B ．13C ．25D ．358．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．9．若锐角α满足cosα且tanαα的范围是()A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°10．已知二次函数2y ax bx c=++中y与x的部分对应值如下表，下列说法正确的是（）A．抛物线开口向上B．其图象的对称轴为直线1x=C．当1x<时，y随x的增大而增大D．方程20ax bx c++=必有一个根大于4二、填空题11．坡角为45o的坡面的坡度为_______12．已知二次函数22y x x m=-++的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220x x m--=的解为______.13．如图，以原点O为端点的两条射线与反比例函数6yx=交于,A B两点，且123∠=∠=∠，则ABO∆的面积是________.14．ABC ∆中，7,8,9AB AC BC ===,现在把边,,AB AC BC 分别截去长为a b c 、、的一段，截得的长为a b c 、、的三条线段组成的三角形和ABC ∆三边剩下的线段组成的三角形相似且面积比为1:9，则a b c 、、的长分别为_______.15．如图，O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB 的中点，若30ABC ∠=︒，则弦AB 的长为________．三、解答题16．计算：01sin30+tan30(3)2π-︒︒--+17．如图，ABC ∆中，D 为AC 上的一点，若AB AD BC a ===，1BD CD ==，求a 的值．18．如图，一次函数1y x m =+的图像与反比例函数2(x 0)ky x=<的图像交于(6,1)A -和B . （1）求点B 的坐标；（2）直接写出当12y y ≥时x 的取值范围.19．如图所示，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，=30B ∠︒，斜坡BC 的长是40米，在山坡的坡顶C 处测得铁架顶端A 的仰角为60︒，30AC =米，求铁架顶端A 到地平面的高度AD 1.732≈，精确到0.1米）20．如图，二次函数与一次函数交于顶点(4,1)A --和点(2,3)B -两点，一次函数与y 轴交于点C .（1）求二次函数1y 和一次函数2y 的解析式；（2）y 轴上存在点P 使PAB ∆的面积为9，求点P 的坐标.21．如图I ，直线l 是足球场的底线，AB 是球门，P 点是射门点，连接PA PB 、，APB ∠叫做射门角.（1）如图II ，点P 是射门点，另一射门点Q 在过A B P 、、三点的圆外（未超过底线l ）.证明：APB AQB ∠>∠（2）如图III ，O 经过球门端点A B 、，直线m l ⊥，垂足为C 且与O 相切与点Q ，OE AB⊥于点E ，连接OQ OB 、，若2,AB a BC a ==，求此时一球员带球沿直线m 向底线方向运球时最大射门角的度数．22．某公司2017年初刚成立时投资1000万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本40元.按规定，该产品售价不得低于60元/件且不超过160元/件，且每年售价确定以后不再变化，该产品的年销售量y （万件）与产品售价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求2017年该公司的最大利润？（3）在2017年取得最大利润的前提下，2018年公司将重新确定产品售价，能否使两年共盈利达980万元.若能，求出2018年产品的售价；若不能，请说明理由．23．如图，ABCD 中，过点A 作AE CD ⊥于点E ，连接BE ，F 是BE 上的一点，AFE D ∠=∠ （1）求证： ABF BEC ∽； （2）若5,8AD AB == 3cos 5D ∠=．求AF 的长度．24．如图I ，AD 为等腰三角形ABC 中线，延长DA 至F ，使AF AD =，点E 为AC 边上的点且AE AD =，延长EA 至G 使AG AE =，连接DE EF FG GD 、、、，GD 交AB 于点H . （1）证明：GDB ADE ∠=∠；（2）连接GB ，①当90BGC ∠=︒时（如图II ），求：ADGC ，AH HB； ②当B G F 、、三点共线时（如图III ），求：AD GC ，AH HB； （3）如图I ，若3,4AD DC ==，求AH 的值.参考答案1．A 【解析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.抛物线()2y 2x 31=-+的顶点坐标是（3，1）. 故选A. 2．C 【解析】由于sin(α+15°)=，α是锐角，而sin60°α+15°=60°，从而可求α，再把α的值代入tan （α-15°）中，即可求值． 【详解】解：∵sin(α+15°)=，α是锐角，∴α+15°=60° α=45°； ∴tan A ∠=1 故选：C. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值. 3．A 【解析】 对于函数y=kx来说，当k ＜0时，每一条曲线上，y 随x 的增大而增大；当k ＞0时，每一条曲线上，y 随x 的增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数y ＝1kx-的图象上的每一条曲线上，y 随x 的增大而增大， ∴1－k ＜0， ∴k ＞1. 故选A. 【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式y=kx中k 的意义不理解，直接认为k ＜0，造成错误． 4．D【详解】解：∵()221y x =-=244x 1x -+∴y=4(x-12)2即原抛物线的顶点为（12，0），向左平移12个单位后，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（0，1）．∴新抛物线的解析式为y=4（x-h ）2+k ，代入得：y=241x +. 故选：D 【点睛】本题考查抛物线的顶点式，解题关键是把原抛物线化成顶点式，顶点坐标，再得到新抛物线的顶点坐标． 5．A 【分析】进行计算即可得解． 【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC <∴BC AB =∴42BC AB =∴()426AC AB BC =-=-=-故选：A 【点睛】，即分得的较长线段等于总线段的6．A 【分析】由OA=OB ，20ABO ∠=︒，易求BAO 20ABO ∠=∠=︒，又由圆周角定理,即可求得∠BOC 的度数，再求等腰三角形的底角OBC ∠的度数. 【详解】解：∵OA=OB ，20ABO ∠=︒, ∴BAO 20ABO ∠=∠=︒ 又∵40OAC ∠=︒∴∠BAC=BAO ∠+20OAC ∠=︒+40︒=60︒ ∴∠BOC=2∠BAC=2×60︒=120° ∴OBC ∠=12（180°-120°）=30︒故选A. 【点睛】此题考查圆周角定理与等腰三角形的性质.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用. 7．B 【解析】 【分析】平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得AD FC =AGGC. 【详解】解：∵∵AG=2，GB=1，BC=5， ∴GC=BC+GB=5+1=6， ∴AG GC =26=13又∵l 1∥l 3 ∴△GAD ∽△GCF ∴AD FC =AG GC =13【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8．B 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：在三角形纸片ABC 中，AB=6，BC=8，AC=4．A、∵4BC=48=12，对应边ABBC=68=34，12≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、∵2AC=12，对应边ACBC=12，即：2AC=ACBC，∠C=∠C，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；C、∵3AC=34，对应边ACAB=46=23，34≠23，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、∵36=3AB=12，AB BC =34，12≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误.故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．9．B【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵∴又∵cos90°=0,cos45°∴45°<α<90°；∵α是锐角，∴tanα>0，∵∴又∵tan0°=0,tan60°故45°<α<60°.故选B.【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键10．C【分析】把()1,3--，()0,1，()1,3代入2y ax bx c =++，用待定系数法求出函数解析式，然后根据二次函数的图像与性质逐项分析即可.【详解】把()1,3--，()0,1，()1,3代入2y ax bx c =++得313a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得131a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为231y x x =-++，231324y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∴抛物线开口向下，对称轴为直线32x =，当32x <时，y 随x 的增大而增大，函数的最大值为134， ∴当1x <时，y 随x 的增大而增大，方程20ax bx c ++=没有一个根大于4．故选C ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a ，b ，c 为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h ，k)，对称轴为x=h.11．1【解析】坡度=坡角的正切值．【详解】解：∵tan 45o =1∴坡角为45o 的坡面的坡度为1故答案为：1【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题关键是熟记坡度=坡角的正切值． 12．123,1x x ==-【解析】【分析】首先把（3，0）代入二次函数y=-x 2+2x+m 可得m 的值，然后再解220x x m --=可得解.【详解】解：根据图象可知，二次函数y=-x 2+2x+m 的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x 2+2x+m ，代入，得-32+2×3+m=0，解得m=3，把m=-3代入一元二次方程220x x m --=，得2230x x --=，解得x 1=3，x 2=-1；【点睛】本题考查关于二次函数与一元二次方程，利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答．13．【解析】【分析】由∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=90°可得∠1=∠2=∠3=30°，再由特殊角的三角函数值、反比例函数比例系数|k| 可得S △AOD = S △EOB =3 ，S 矩形ADOF =6，而S △AOD + S △AOB + S △EOB =S 矩形ADOF +S 梯形AFEB ，A 、B 在双曲线6y x=上，所以S △AOD = S △EOB =3 ，S 矩形ADOF =6所以S △AOB = S 梯形AFEB 而S 梯形AFEB =2AF BE +·FE=1222OA + ·12OA ）解得 S 梯形AFEB =24OA所以 ABO ∆的面积是【详解】解：如图所示，作AD ⊥y 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，AF ⊥x 轴于F ，∵∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=90°∴∠1=∠2=∠3=30°∴A （12OA），，12OB)∵A 、B 在6y x =上 ∴12OB·12OB =6∴OA 2= OB 2∵S △AOD + S △AOB + S △EOB =S 矩形ADOF +S 梯形AFEB ，A 、B 在双曲线6y x =上∴S △AOD = S △EOB =3 ，S 矩形ADOF =6∴S △AOB = S 梯形AFEB而S 梯形AFEB =2AF BE +·FE=1222OA + ·12OA ）∴ S 梯形AFEB =24OAABO ∆的面积是故答案为：【点睛】本题考查特殊角的三角函数值和反比例函数系数|k|的意义.14．①79,2,44a b c ===，②71915,,488a b c ===,③17139,,884a b c ===，④131712,,777a b c ===，⑤53,2,22a b c ===，⑥161115,,777a b c === 【解析】【分析】由三角形相似且面积比为1:9，可得相似比为1:3，而相似三角形对应边的比等于相似比，再由两三角形相似，一共有六种对于情况可得解.【详解】解：①由相似比7a a -=8b b -=9c c -=13，得79,2,44a b c === ； ②同理由7a a -=8c b -=b 9c -=13，得71915,,488a b c ===； ③由7b a -=a 8b -=c 9c -=13，得17139,,884a b c ===； ④由7c a -=a 8b -=9b c -=13，得131712,,777a b c ===； ⑤由7c a -=8b b -=9a c -=13，得53,2,22a b c ===； ⑥由7b a -=8c b -=9a c -=13，得161115,,777a b c ===. 经检验，都是符合条件的.【点睛】本题考查相似三角形的对应边的比相等，解题关键是分类讨论.15．．【分析】连接OC 、OA ，由圆周角定理可得AOC 60∠=︒，在Rt OAE 中，由AE sin AOC?OA ∠=求出AE 的值，再由垂径定理即可求出AB 的值.【详解】连接OC 、OA ，30ABC ∠=︒，60AOC ∴∠=︒， AB 为弦，点C 为弧AB 的中点，OC AB ∴⊥，在Rt OAE 中，·AE sin AOC OA =∠=AB ∴=故答案为【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理及锐角三角函数的概念，由圆周角定理可得AOC 60∠=︒是解答本题的关键.16【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值求解.【详解】解：原式=1212【点睛】本题考查零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值.17．a =【解析】【分析】由边相等得到角相等，再由两角相等得到△BCD ∽△ACB ，然后利用相似三角形对应边成比例得到BC ：CD=AC ：BC ， a ：1=（a+1）：a 即a 2-a-1=0就可以解得a 的值.【详解】解：∵AB BC BD CD ==，∴∠A=∠C ，∠1=∠C∴∠A=∠1∴△BCD ∽△ACB∴BC ：CD=AC ：BC∵ 1BC a CD == AC=AD+DC= a+1∴a ：1=（a+1）：a 即a 2-a-1=0解得： a =∴a =【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题关键是证明三角形相似和相似三角形对应边成比例.18．（1）(1,6)B -；（2）61x -≤≤-.【解析】【分析】（1）把交点A 的坐标代入解析式，利用待定系数法求出解析式，联立组成方程组，即可得点B 坐标；（2）观察图像可得12y y ≥时x 的取值范围.【详解】解：（1）∵一次函数1y x m =+的图像与反比例函数2(0)k y x x =<的图像交于()6,1A - ∴把()6,1A -代入解析式，得：1=-6+m ，m=7；1=6k -，解得k=-6 ∴一次函数1y x =+7，反比例函数26(0)y x x -=< 解方程组76y x y x =+⎧⎪-⎨=⎪⎩得1116x y =-⎧⎨=⎩ ，2261x y =-⎧⎨=⎩ ∴()1,6B -点的坐标为：（2）当61x -≤≤-时，12y y ≥【点睛】本题考查待定系数法和根据图像求不等式组解集.19．2046.0AD =≈米.【解析】【分析】过C 作CF 垂直于坡底的水平线BD 于点F ，再由=30B ∠︒，BC=40米；解Rt △CFB 可得CF 即DE 的高；在Rt △ACE 中，解可得AE 的长，再由AD=AE+ED ，求出答案．【详解】解：如图，过C 作CF 垂直于坡底的水平线BD 于点F ，Rt △BCF 中∵=30B ∠︒，BC=40∴CF=12BC=12×40=20， 在Rt △ACE 中，∵∠ACE=60°，30AC =∴AE=AC×sin ∠∴2046.0AD =≈米.【点睛】本题考查仰角的定义，解题关键是能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（1）()22127,41y x y x =+=+-；（2）()0,2P -或()0,16P . 【解析】【分析】（1）先把点()2,3B -代入抛物线的顶点式，用待定系数法求解析式，再由A 、B 坐标求出一次函数的解析式；（2）根据PAB ∆的面积=S △PCA -S △PBC =12PC×（4-2）=9即可解答. 【详解】（1）解：设y 1=a （x+4）2-1，把点()2,3B -代入解析式得,3= a （-2+4）2-1，解得：a=1∴()2141y x =+-；设y 2=kx+b ，把()4,1A --和点()2,3B -代入得 -4-1-23k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ 解得：27k b ⎧⎨⎩＝＝ 所以，一次函数解析式为y=2x+7；（2）∵()4,1A --、()2,3B -，点P 在y 轴上.∴点A 、B 到x 轴的距离分别是4、2，∴PAB ∆的面积=S △PCA -S △PBC =12PC×（4-2）=9 解得PC=9，∵一次函数解析式为y=2x+7与x 轴交于点C∴C(0，7)，OC=7，又∵PC=9∴OP=7+9=16或OP=9-7=2∴()0,2P -或P （0,16）【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合运用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式.21．（1）证明见解析；（2）30【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可得：∠ACB=∠APB ，再根据三角形外角大于不相邻的内角即可解答；（2）由垂径定理可得AE=EB=12AB ，∠EOB=12∠AOB ；在Rt △OBE 中，再由OB =2a ，EB= a ，可得∠EOB=30°，∠AOB=2∠EOB=60°，根据圆周角定理可得结果.【详解】解：（1）证明：连接BC ，∵∠ACB=∠APB （同弧所对的圆周角相等）∠ACB AQB >∠（三角形外角大于不相邻的内角）∴APB AQB ∠>∠（2）当球员运动到点Q 时，射门角最大．∵OE ⊥AB,∴AE=EB=12AB=12×2a=a，EC=EB+BC=2a，∠EOB=12∠AOB连接AQ、BQ，由题意得四边形OQCE是矩形，OQ=EC=2a=OB，Rt△OBE中，∵OB =2a，EB= a∴∠EOB=30°，∠AOB=2∠EOB=60°∴∠AQB=12∠AOB=30°.【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理等，解题关键是熟练掌握定理.22．（1）118(60160)20y x x=-+≤≤；（2）max160,200x W==万元；（3）能，售价为100元/件.【解析】【分析】（1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围60≤x≤160；（2）设公司第一年获利W万元，则可表示出W=-120-（x-160）2+200，则2017年该公司的最大利润200万元；（3）980-200=780万元，（x-40）（11820x-+）=780，解得x1=100，x2=300，即2018年利润为780万元. 【详解】解：（1）设y=kx+b，则由图象知：6015 16010k bk b+⎧⎨+⎩＝＝解得k=120-，b=18，即1186016020y x x=-+≤≤（）.（2）设公司1017年获利W万元，则W=（x-40）y-1000=（x-40）（11820x-+）-100= W=-120-（x-160）2+200（3）980-200=780万元，即2018年利润为780万元.（x-40）（11820x-+）=780，解得x1=100，x2=300（不符合题意，舍去）即能，售价为100元/件. 【点睛】本题是一道一次函数、二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，还考查了用待定系数法求一次函数的解析式．23．（1）见解析；（2）AF 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，可得180D BCD ∠+∠=︒，ABF BEC ∠=∠，再由补角的性质可得BCD AFB ∠=∠，即可证△ABF ∽△BEC ；（2）由锐角三角函数可求DE=3，由勾股定理可求AE ，BE 的长，由相似三角形的性质可求∠BAF=∠CBE=∠FBA=∠BEC ，即可得AF=BF=EF=12 【详解】（1）四边形ABCD 是平行四边形AD BC ∴，AB CD ， 180D BCD ∴∠+∠=︒，ABF BEC ∠=∠，AFE D ∠=∠，180AFE AFB ∠+∠=︒BCD AFB ∴∠=∠，且ABF BEC ∠=∠，ABF ∴∽BEC（2）四边形ABCD 是平行四边形8AB CD ∴==，5AD BC ==，cos D ∠=35DE AD =， 3DE ∴=， 5EC CD DE ∴=-=，4AE ==，BE ∴5EC BC ==，BEC CBE ∴∠=∠， ABF ∽BEC ，BAF CBE FBA BEC ∴∠=∠=∠=∠，AF BF ∴=，FAE FEA ∠=∠，AF EF ∴=，12AF BF EF BE ∴====. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的概念，熟练运用相似三角形的判定与性质是本题的关键．24．（1）证明见解析；（2）①11,,33ADAH GC HB ==；②11,,44AD AH GC HB ==（3）1511AH =.【解析】【分析】（1）证明四边形DEFG 是矩形即可证出问题；（2）//AP BD ,易证AHP BHD ∽∆∆,设GF x =，易知,2DE x GB x ==；由射影定理可知,,GD FD BD =；故PAADx GD =,得PA =；然后求结果.（3）可设为HM 为3x ，易得34412655x x-=，解得811x =，则81555551111AH x =-=-⨯=【详解】（1）证明：易证四边形DEFG 是矩形，∴90GDE ADB ∠=∠=︒，∴ADE GDB ∠=∠；（2）①11,,33ADAHGC HB ==；②11,,44AD AH GC HB ==证明：作//AP BD ,∴AHP BHD ∽∆∆,设GF x =，则,2DE x GB x ==由射影定理可知,,GD FD BD = ∴PAAD x GD =,即PA x = ∴14APBD =,则14AH HB =,14ADGC =（3）设HM 为=x 由题意得34412655x x-=， 解得811x =，81555551111AH x ∴=-=-⨯=【点睛】本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握它们的综合运用，本题难度大..。

2023-2024学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.把抛物线y=2x2向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是( )A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2(x−1)2D. y=2(x+1)22.已知点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，联结CE和BD相交于点F，如果AE：ED=1：2，那么DF：FB为( )A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 2：53.在直角坐标平面的第一象限内有一点A(a,b)，如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是( )A. b=a⋅tanαB. b=a⋅cotαC. b=a⋅sinαD. b=a⋅cosα4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列判断中不正确的是( )A. a<0B. b<0C. c>0D. a+b+c<05.将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是( )A. 2：1B. 2：1C. 3：1D. 3：16.如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC相似的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.如果a5=b3(b≠0)，那么a−bb=______ ．8.化简：2(−a+3b)−6b=______ ．9.已知两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的周长比为______ ．10.点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，AB=2，那么线段AP的长是______ ．11.抛物线y=2x2−3的顶点坐标是______ ．312.如果点A(2,a)、B(3,b)在二次函数y=x2−3x的图象上，那么a______ b(填“>”“<”或“=”)．13.如果α是直角三角形的一个锐角，sinα=4，那么tanα=______ ．514.如图，已知D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，△ADE、△EFC的面积分别为1、4，四边形BFED的面积为______ ．15.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是4米，斜坡的坡度i=1：2，那么相邻两树间的坡面距离为______ 米.16.如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60°的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东45°方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处______ 海里．17.把矩形ABCD绕点C按顺时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，其中点A的对应点A′在BD的延长线上，如果AB=1，那么BC=______ ．18.在△ABC中，AC=6，P是AB边上的一点，Q为AC边上一点，直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分，且△APQ和△ABC相似，如果这样的直线PQ有两条，那么边AB长度的取值范围是______ ．三、解答题：本题共7小题，共78分。

2023-2024学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝2x+1B．C．y＝x2+2D．2．（4分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2 3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝α，那么BC的长是（）A．5tanαB．5cotαC．5sinαD．5cosα4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知AB＝2AD，下列条件中能判定DE∥BC的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，联结CE．下列两个三角形不一定相似的是（）A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECFC．△DCF与△BEF D．△DBF与△DEB二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果，那么＝．8．（4分）计算：3（2+）﹣4＝．9．（4分）已知抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上，那么a的取值范围是．10．（4分）已知抛物线y＝﹣2x2+1在对称轴左侧部分是的．（填“上升”或“下降”）11．（4分）如果P是线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，那么较长线段AP的长是cm．12．（4分）某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了______米．13．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1于点A、B、C，交直线l2于点D、E、F，已知AB：AC＝3：5，DF＝10，那么EF的长为．14．（4分）如图，已知△ABC的周长为15，点E、F是边BC的三等分点，DE∥AB，DF ∥AC，那么△DEF的周长是．15．（4分）如图，已知△ABC在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．16．（4分）在△ABC中，∠A＝45°，（∠B是锐角），，那么AB的长为．17．（4分）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米（即AB＝4米），遮阳篷的宽度AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地面上的阴影宽度BD为米．18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E是AB中点，如果点F在DC上，线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，那么＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|cot30°﹣1|．20．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，﹣3）．（1）求抛物线表达式并写出顶点坐标；（2）联结AB，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标．21．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．（1）如果，，那么＝（用向量、表示）；（2）已知AD＝6，AC＝8，点E在边AC上，且∠AGE＝∠C，求AE的长．22．（10分）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．（1）求像A′B′的长度．（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，已知∠AFD＝∠B，边DF交AC于点E．（1）求证：AF•CE＝CD•FE；（2）联结AD，如果，求证：AD2＝AE•AC．24．（12分）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x＝m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线．（1）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x顶点为A．①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线的顶点为B，如果tan∠OBA＝（∠OBA是锐角），求m的值．（2）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为E（2，1）．如果△CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式．25．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，AB＝4，BC＞AD，∠ADC的平分线交边BC于点E，点F在线段DE上，射线CF与梯形ABCD的边相交于点G．（1）如图1，如果点G与A重合，当时，求BE的长；（2）如图2，如果点G在边AD上，联结BG，当DG＝4，且△CGB∽△BAG时，求sin ∠BCD的值；（3）当F是DE中点，且AG＝1时，求CD的长．2023-2024学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝2x+1B．C．y＝x2+2D．【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可．【解答】解：A．y＝2x+1是一次函数，故不符合题意；B．y＝是反比例函数，故不符合题意；C．y＝x2+2是二次函数，故符合题意；D．y＝不是二次函数，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．2．（4分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2【分析】根据函数图象左加右减，可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线的平移原则：上加下减左加右减是解题的关键．3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝α，那么BC的长是（）A．5tanαB．5cotαC．5sinαD．5cosα【分析】根据题意，画出图形，借助三角函数即可解决问题．【解答】解：由题知，在Rt△ABC中，tanα＝，又因为AC＝5，所以BC＝5tanα．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知AB＝2AD，下列条件中能判定DE∥BC的是（）A．B．C．D．【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行判断．【解答】解：∵AB＝2AD，∴＝2，当＝时，DE∥BC，∴＝＝2，即＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5．（4分）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出两个向量的模的关系，再根据方向相反可得答案．【解答】解：∵，，∴，∵与的方向相反，∴．故选：B．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握相反向量的概念．6．（4分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，联结CE．下列两个三角形不一定相似的是（）A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECFC．△DCF与△BEF D．△DBF与△DEB【分析】根据旋转的性质得到AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∠A＝∠BDD，∠ACB＝∠DEB，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．【解答】解：如图，根据旋转的性质得，△ABC≌△DBE，∴AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∠A＝∠BDD，∠ACB＝∠DEB，∴∠ABD＝∠CBE，＝，∴△BAD∽△BCE，故A不符合题意；∵∠ABD＝∠CBE，AB＝AD，BC＝BE，∴∠A＝∠BDA＝∠BCE＝∠BEC，∴∠BDF＝∠ECF，又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF，故B不符合题意；∵∠DCF＝∠BEF，∠DFC＝∠BFE，∴△DCF∽△BEF，故C不符合题意；根据题意，无法求解△DBF与△DEB相似，故D符合题意；故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果，那么＝．【分析】先把化成﹣1，再代值计算即可．【解答】解：∵x：y＝5：3，∴＝﹣1＝﹣1＝；故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，是一道基础题．8．（4分）计算：3（2+）﹣4＝2+3．【分析】利用平面向量的定义与运算性质解答即可．【解答】解：原式＝3（2+）﹣4＝6+3﹣4＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算性质是解题的关键．9．（4分）已知抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上，那么a的取值范围是a＞2．【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的性质：a＞0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上，∴a﹣2＞0，∴a＞2．∴a的取值范围是：a＞2．故答案为：a＞2．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（4分）已知抛物线y＝﹣2x2+1在对称轴左侧部分是上升的．（填“上升”或“下降”）【分析】利用二次函数的图象与性质解答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+1中，∵﹣2＜0，∴抛物线y＝﹣2x2+1的开口方向向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2+1在对称轴左侧部分是上升的．故答案为：上升．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11．（4分）如果P是线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，那么较长线段AP的长是（﹣1+）cm．【分析】根据黄金分割的定义解答．【解答】解：设AP＝x cm，根据题意列方程得，x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（负值舍去）．故答案为：（﹣1+）．【点评】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．12．（4分）某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了60米．【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵坡度i＝1：，∴设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2＝1202．解得x＝60（负值舍去），即它距离地面的垂直高度下降了60米．故答案为：60．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．13．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1于点A、B、C，交直线l2于点D、E、F，已知AB：AC＝3：5，DF＝10，那么EF的长为4．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，AB：AC＝3：5，∴＝＝，∵DF＝10，∴＝，∴DE＝6，∴EF＝10﹣6＝4．故答案为：4．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．14．（4分）如图，已知△ABC的周长为15，点E、F是边BC的三等分点，DE∥AB，DF ∥AC，那么△DEF的周长是5．【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵点E、F是边BC的三等分点，∴EF＝BC．∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠C，∴△DEF∽△ABC，∴△DEF的周长：△ABC的周长＝，∴△DEF的周长＝×15＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．（4分）如图，已知△ABC在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．【分析】构建合适的直角三角形即可解决问题．【解答】解：连接CD，如图所示，易得△BCD是直角三角形，由勾股定理得，CD＝，BD＝，在Rt△BCD中，tan∠ABC＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．16．（4分）在△ABC中，∠A＝45°，（∠B是锐角），，那么AB的长为3．【分析】根据题意，画出图形即可解决问题．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示，过点C作AB的垂线，垂足为D，在Rt△BCD中，cos∠B＝，又因为BC＝，所以BD＝1．由勾股定理得，CD＝．在Rt△ACD中，tan∠A＝，则，解得AD＝2，所以AB＝AD+BD＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查解直角三角形，根据题意作出图形是解题的关键．17．（4分）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米（即AB＝4米），遮阳篷的宽度AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地面上的阴影宽度BD为（2.4﹣）米．【分析】先作CF⊥AB于点F，作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得BE和DE的值，从而可以求得BD的值．【解答】解：作CF⊥AB于点F，作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，如图，由已知可得，AC＝2.6米，cosα＝，∠AFC＝90°，AB＝4米，∴AF＝AC•cosα＝2.6×＝1（米），∴CF＝＝＝2.4（米），BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3（米），∴CE＝BF＝3米，CF＝BE＝2.4米，∵∠CDE＝60°，∠CED＝90°，∴DE＝＝＝（米），∴BD＝BE﹣DE＝（2.4﹣）米，故答案为：（2.4﹣）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E是AB中点，如果点F在DC上，线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，那么＝．【分析】连接AF，BF，过F作MN⊥BC交BC于N，交AD延长线于M，由AD∥BC，得到MN⊥AD，由点E是AB中点，得到△FAE的面积＝△FBE的面积，由线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，得到△ADF的面积＝△BCF的面积，由三角形面积公式得到FM＝3FN，由△FDM∽△FCN，得到＝＝3，即可求出＝．【解答】解：连接AF，BF，过F作MN⊥BC交BC于N，交AD延长线于M，∵AD∥BC，∴MN⊥AD，∵点E是AB中点，∴△FAE的面积＝△FBE的面积，∵线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，∴△ADF的面积＝△BCF的面积，∴AD•FM＝BC•FN，∵BC＝3AD，∴FM＝3FN，∵DM∥CN，∴△FDM∽△FCN，∴＝＝3，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查梯形，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到FM＝3FN，证明△FDM∽△FCN，即可求解．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|cot30°﹣1|．【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣|﹣1|＝﹣+1＝﹣+1＝+﹣+1＝﹣+．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．20．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，﹣3）．（1）求抛物线表达式并写出顶点坐标；（2）联结AB，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，令x＝1，求得y值，则结论可得．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，﹣3），∴，∴，∴抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3．∵AB与该抛物线的对称轴交于点P，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2．∴P（1，﹣2）．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．（1）如果，，那么＝（用向量、表示）；（2）已知AD＝6，AC＝8，点E在边AC上，且∠AGE＝∠C，求AE的长．【分析】（1）利用平面向量的定义解答即可；（2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：（1）∵，，∴＝﹣，∵G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，∴AD为△ABC的BC边上的中线，即点D为BC的中点，∴．∴＝＝＝．故答案为：．（2）∵G是△ABC的重心，∴AG＝AD＝×6＝4．∵∠AGE＝∠C，∠GAE＝∠CAD，∴△GAE∽△CAD，∴，∴，∴AE＝3．【点评】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．22．（10分）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．（1）求像A′B′的长度．（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可；（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm，∵AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴．∵AB∥A′B′，∴△OAC∽△OA′D，∴，∴，∴，∴A′B′＝3.2．答：像A′B′的长度3.2厘米．（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图，∵A′E∥OD，MN∥A′B′，∴四边形A′EOD为平行四边形，∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D．同理：四边形ACOP为平行四边形，∴AP＝OC＝32cm，∵AP∥CD，A′E∥OD，∴AP∥A′E，∴△APO∽△A′EO，∴，∴．∵MN∥A′B′，∴△POF∽△A′DF，∴＝，∴OF＝OD＝（厘米）．答：凸透镜焦距OF的长为厘米．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，已知∠AFD＝∠B，边DF交AC于点E．（1）求证：AF•CE＝CD•FE；（2）联结AD，如果，求证：AD2＝AE•AC．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠AFD＝∠B，∴∠AFD＝∠ACB．∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴，∴AF•CE＝CD•FE；（2）∵，∠AFD＝∠B，∴△ABC∽△AFD，∴∠ACB＝∠ADF，∵∠DAC＝∠EAD，∴△ADC∽△AED，∴，∴AD2＝AE•AC．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x＝m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线．（1）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x顶点为A．①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线的顶点为B，如果tan∠OBA＝（∠OBA是锐角），求m的值．（2）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为E（2，1）．如果△CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式．【分析】（1）①由镜像抛物线的定义即可求解；②当x＝m在点A的左侧时，通过画图求出点B（﹣4，﹣1），即可求解；当x＝m在点A的右侧时，同理可解；（2）如果△CDE是直角三角形，则△CDE为等腰直角三角形，得到点C（2﹣t，1﹣t），即可求解．【解答】解：（1）①∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴A（1，﹣1）．∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为y＝（x+1）2﹣1，即y＝x2+2x；②当x＝m在点A的左侧时，∵该抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线的顶点为B，该抛物线的顶点A（1，﹣1），∴点B的纵坐标为﹣1，连接AB交y轴于点E，如图，则OE＝1，∵tan∠OBA＝，则BE＝4，则点B（﹣4，﹣1）；在x＝m＝（﹣4+1）＝﹣；当x＝m在点A的右侧时，同理可得：m＝；综上，m＝﹣或；（2）如下图，如果△CDE是直角三角形，则△CDE为等腰直角三角形，则EH＝CH＝DH，设EH＝CH＝DH＝t，则点C（2﹣t，1﹣t），则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2+t）2+1﹣t，将点E的坐标代入上式得：1＝（2﹣2+t）2+1﹣t，解得：t＝4或0（舍去），则抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、新定义、图象的对称等，理解新定义和分类求解是解题的关键．25．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，AB＝4，BC＞AD，∠ADC的平分线交边BC于点E，点F在线段DE上，射线CF与梯形ABCD的边相交于点G．（1）如图1，如果点G与A重合，当时，求BE的长；（2）如图2，如果点G在边AD上，联结BG，当DG＝4，且△CGB∽△BAG时，求sin ∠BCD的值；（3）当F是DE中点，且AG＝1时，求CD的长．【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得DH，利用直角三角形的边角关系定理求得CH，利用勾股定理求得CD，利用角平分线的定义和平行线的性质得到CD＝CE，则BE＝BC﹣CE；（2）过点D作DM⊥BC于点M，利用（1）的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得BC，CM，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可；（3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点G在AD上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点G在AB上时，连接DG，GE，延长DG，CG交于点N，利用勾股定理求得BE，利用相似三角形的判定与性质求得AN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC于点H，如图，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BAD＝90°，∵DH⊥BC，∴四边形ABHD为矩形，∴DH＝AB＝4，BH＝AD＝6．∵，∴，∴CH＝3，∴CD＝＝5．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝5．∴BC＝BH+CH＝9，∴BE＝BC﹣CE＝9﹣5＝4．（2）过点D作DM⊥BC于点M，如图，由（1）知：AD＝BM＝6，DM＝AB＝4，CD＝CE．∵DG＝4，AD＝6，∴AG＝2．∴BG＝＝2．∵△CGB∽△BAG，∴∠BAG＝∠CGB＝90°，，∴，∴BC＝10，∴CM＝BC﹣BM＝4，∴DM＝CM＝4，∴△DMC为等腰直角三角形，∴∠BCD＝∠CDM＝45°，∴sin∠BCD＝sin45°＝；（3）①当点G在AD上时，如图，由（1）知：CD＝CE，∵F是DE中点，∴CF⊥DE，在△DGF和△DCF中，，∴△DGF≌△DCF（ASA），∴DG＝DC．∵AG＝1，AD＝6，∴DG＝5，∴CD＝DG＝5；②当点G在AB上时，连接DG，GE，延长DG，CG交于点N，如图，由（1）知：CD＝CE，∵F是DE中点，∴CF⊥DE，∴CG为DE的垂直平分线，∴GD＝GE．∴GD2＝GE2，∴AG2+AD2＝BG2+BE2，∴12+62＝32+BE2，∴BE＝2．∵AD∥BC，∴△ANG∽△BCG，∴，∴，在△DNF和△DCF中，，∴△DNF≌△DCF（AAS），∴CD＝ND．设CD＝x，则BC＝CE+BE＝x+2，AN＝DN﹣DA＝CD﹣DA＝x﹣6，∴，∴x＝9+，∴CD＝9+综上，CD的长为5或9+．【点评】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线.。

一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕 1．，求作x ，那么以下作图正确是………………………………………………〔 〕.(A) (B) (C) (D)2．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，由以下比例式不能得到 DE ∥BC 是〔 〕．〔A 〕〔B 〕〔C 〕 〔D 〕．3．以下图形肯定相像是--------------------------------------------------------------------------〔 〕 〔A 〕有一个锐角相等两个直角三角形 〔B 〕有一个角相等两个等腰三角形 〔C 〕有两边成比例两个直角三角形 〔D 〕有两边成比例两个等腰三角形．4．在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，EF ∥CD 交AB 于F ，那么以下比例式中正确是〔 〕 〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕5．平行四边形ABCD 对角线交于点O ，，，那么等于〔A 〕； 〔B 〕； 〔C 〕； 〔D 〕．．6．〔其中为常数，且〕，小明在用描点法画图像时，列出如下表格.依据该表格，以下推断中，不．正确是〔 〕 〔A 〕抛物线开口向下； 〔B 〕 抛物线对称轴是直线；〔C 〕； 〔D 〕．二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕 7．假设2m = 3n ，那么n ︰m= ．8．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、BC 边上，DE ∥AC ．假如AD ＝6cm ，AB ＝9cm ，DE ＝4cm ，那么AC ＝ cm ．9．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB = 2，AC = 5，DF = 10，那么DE = ．10．假设直角三角形重心到直角顶点间隔 为3厘米，那么这个直角三角形斜边上中线长为__ __． 11． 抛物线顶点坐标为 ．12． 把抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，这时抛物线解析式为： ．13． 一条抛物线具有以下性质：〔1〕经过点；〔2〕在轴左侧部分是上升，在轴右侧部分是下降. 试写出一个满意这两条性质抛物线表达式. ． 14．矩形对角线与交于点，假如，．x… 0 1 2 … y …4…A Bl 3l 1 l 2F EDCab x cab cx a bcx a b cx15．假如，，那么与是 向量〔填“平行〞或“不平行〞 〕 16．中，点、分别在边、上，且∥. 假设面积与四边形面积相等，那么值为 .17．如图，，D 是BC 中点，E 是AD 中点，那么 AF ∶FC = ．18. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,将矩形折叠,使点C 与点A 重合,那么折痕EF= .三、〔本大题共6题，第19--22题,每题8分；第23、24题,每题10分．总分值52分〕19．有一个抛物线形拱形桥洞，桥洞离水面最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如下图，把它图形放在直角坐标系中。

沪科版数学九年级上册期末测试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．二次函数y=（x﹣1）2﹣3的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣32．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2=0，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形D．等腰直角三角形3．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＞14．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（）A．a•sinαB．a•cosαC．a•tanαD．5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．6．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣27．将二次函数y=x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（）A．y=B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x+2）2﹣2 D．y=（x﹣2）2+28．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（）A．b1＞b2B．b1=b2C．b1＜b2D．大小不确定9．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．120m C．50m D．100m10．如图，边长为的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数的图象上，已知点B的坐标是，则k的值为（）A．B．C．4 D．6二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）如图，若点A的坐标为，则sin∠1= ．12．（5分）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．13．（5分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是．14．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．三、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°16．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标．四、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）18．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．五、简答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t （分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：（1）二次函数和反比例函数的关系式．（2）弹珠在轨道上行驶的最大速度．20．（10分）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．六、简答题（本题满分12分）21．（12分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m 的Q处时，乙扣球成功，求a的值．七、（本题满分12分）22．（12分）已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．（1）求AB长；（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；（3）t为何值时，△APM为直角三角形？参考答案1．D；2．B；3．D；4．D；5．B；6．D；7．C；8．A；9．A；10．C；11．；12．y=﹣；13．x＜﹣1或x＞5；14．①②③⑤；沪科版数学九年级上册期末测试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．二次函数y=（x﹣1）2﹣3的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣32．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2=0，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形D．等腰直角三角形3．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＞14．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（）A．a•sinαB．a•cosαC．a•tanαD．5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．6．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣27．将二次函数y=x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（）A．y=B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x+2）2﹣2 D．y=（x﹣2）2+28．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（）A．b1＞b2B．b1=b2C．b1＜b2D．大小不确定9．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．120m C．50m D．100m10．如图，边长为的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数的图象上，已知点B的坐标是，则k的值为（）A．B．C．4 D．6二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）如图，若点A的坐标为，则sin∠1= ．12．（5分）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．13．（5分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是．14．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．三、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°16．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标．四、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）18．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．五、简答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t （分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：（1）二次函数和反比例函数的关系式．（2）弹珠在轨道上行驶的最大速度．20．（10分）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．六、简答题（本题满分12分）21．（12分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m 的Q处时，乙扣球成功，求a的值．七、（本题满分12分）22．（12分）已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．（1）求AB长；（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；（3）t为何值时，△APM为直角三角形？题目要精选精做对于深陷“题海战术”而不能自拔的同学来说，要记住一句话：题贵在精而不在多，没有质量做再多的题也没用。

2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列命题中，真命题是( )A. 两个直角三角形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似C. 两个钝角三角形一定相似D. 两个等边三角形一定相似2.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =3，AC =2，那么cosA 的值是( )A. 13B. 23C. 53 D. 523.下列说法错误的是( )A. 如果a 与b 都是单位向量，那么|a |=|b |B. 如果ka =0，那么k =0或a =0C. 如果a =−3b (b 为非零向量)，那么a +3b =0D. 如果a +b =2c ，a−b =3c (c 为非零向量)，那么a 与b 平行4.如图，已知l 1//l 2//l 3，直线l 1，l 2，l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，那么下列比例式正确的是( )A. AC BC =DF EFB. AB DE =BE ADC. ABBC=DF EF D. DFEF =CFBE 5.已知二次函数的解析式为y =−x 2+2x ，下列关于函数图象的说法正确的是( )A. 对称轴是直线x =−1B. 图象经过原点C. 开口向上D. 图象有最低点6.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(1,0)，(−3,0)，如果实数P表示9a−3b+c的值，实数Q表示−a−b的值，那么P、Q的大小关系为( )A. P>QB. P=QC. P<QD. 无法确定二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.计算：10×2−1=______ ．8.已知ab =13，那么a+bb=______ ．9.计算：(a+b)−(72a−2b)=______ ．10.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2，BC=2，那么AC=______ ．11.如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E在边BC上，DE//AB，AD：AC=2：3，那么S△DECS梯形ABED的值为______ ．12.将抛物线y=x2+4x向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是______ ．13.抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=−4，如果点A(0,y1)、B(1,y2)在此抛物线上，那么y1______ y2.(填“>”、“=”或“<”)14.小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是______ ．15.已知反比例函数y=kx(k≠0)，如果x1<x2<0，0<y1<y2，那么k______ 0.(填“>”或“<”) 16.“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步.两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达.喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离.”如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM=DM，在C处测得点M的俯角为60°，AC=30，BD=20，那么AB=______ ．17.新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数(黄金数)，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”.如图，△ABC是“精准三角形”，AB=AC=2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为______ ．18.如图，在△ABC中，AB=AC，tanC=3，点D为边BC上的点，4联结AD，将△ABD沿AD翻折，点B落在平面内点E处，边AE交边BC于点F，联结CE，如果AF=3FE，那么tan∠BCE的值为______ ．三、解答题：本题共7小题，共78分。

沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．关于二次函数22y x =--下列说法正确的是（）A ．有最大值-2B ．有最小值-2C ．对称轴是1x =D ．对称轴是1x =-2．对抛物线y=-x 2+4x-3而言，下列结论正确的是（）A ．开口向上B ．与y 轴的交点坐标是(0，3)C ．与两坐标轴有两个交点D ．顶点坐标是（2，1）3．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>4．如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O(0，0)，A(-6，4)，B(-3，0)．以点O 为位似中心，在第四象限内作与△OAB 的位似比为12的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（）A ．(2，-1)B ．(3，-2)C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭5．如图，点A ，B 分别是反比例函数12y x=-（x ＜0）和4y x =-（x ＜0）图象上的点，且AB ∥x 轴，点C 在x 轴上，则△ABC 的面积是（）A ．4B ．5C ．6D ．86．若ad=bc ，则下列不成立的是()A ．a cb d=B ．a c ab d b-=-C ．a b c db d++=D ．1 111a cb d ++=++7．如图，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是边长为3的正方形，点A ，D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在边AB 上，点B 、E 在双曲线(0)ky x x=>上，且5BF =，则k 值为（）．A ．15B ．714C ．725D ．178．正方形ABCD 中，AB=4，P 为对角线BD 上一动点，F 为射线AD 上一点，若AP=PF ，则△APF 的面积最大值为()A ．8B ．6C ．4D ．9．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =-，下列结论不正确的是A ．0abc >B ．0a b c -+<C ．24b ac >D ．0a c -<10．如图，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，连接,AG DF ，则DF AG的值为（）A ．1B ．12C 2D ．22二、填空题11．抛物线2(2)y x =-+的顶点坐标是_________．12．如图，若芭蕾舞者拍起的脚尖点C 分线段AB 近似于黄金分割(AC <BC)，已知AB=160cm ，BC 的长约为_________cm ．(结果精确到0.1cm)13．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 均在格点上，则tan ∠B 的值为_________．14．如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点P 是AB 边上一动点，把△ADP 沿DP 折叠得△A DP '，射线DA '交直线AB 于点Q 点．（1）当Q 点和B 点重合时，PQ 长为___________；（2）当△A DC '为等腰三角形时，DQ 长为____________．15．如图，在直角坐标系中，点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以O 为位似中心，将△EFO 缩小为△E 'F 'O ，且△E 'F 'O 与△EFO 的相似比为12，则点E 的对应点E '的坐标为_________．16．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，双曲线ky x（k ≠0，x ＞0）经过AB 、BC 的中点N 、F ，连接ON 、OF 、NF ．若S △BFN ＝3，则k ＝__．三、解答题17．计算：2sin 245°-6cos30°+3tan45°+4sin60°18．如图，二次函数y=-212x +bx+c 的图象经过A(2，0)、B(0，-4)两点，（1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．19．一次函数y1=kx+b的图象与反比性函数y2=mx的图象交于A(2，1)、B（-1，n）两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使y1 y2的自变量x取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C （1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并求出线段AA2的长度．21．2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行，某中学从A 地出发．组织学生利用导航到C 地区进行研学活动，出发时发现C 地恰好在A 地正北方向，且距离A 地24千米，由于A 、C 两地间是一块湿地．所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B 地，再沿北编西37°方向走一段距离才能到达C 地，求A 、B 两地的距离(精确到1千米)．(参考数据sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.722．已知：如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，射线ED 交AB 的延长线于点F ．（1）若6AB =，8AC =，求BD 长；（2）求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．23．如图，在四边形ABCD 中，90,45,3ABC C CD BD︒︒∠=∠===.（1）求sin CBD ∠的值；（2）若3AB =，求AD 的长．24．如图，在ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，12DE CD =．（1）求证：ABF CEB V V ∽；（2）若DEF 的面积为2，求四边形BCDF 的面积．25．如图，已知抛物线1(1)(5)y a x x =--和直线2y ax a =--（其中0a >）相交于A ，B 两点，抛物线1y 与x 轴交于C ，D 两点，与y 轴交于点G ，直线2y 与坐标轴交点于E ，F 两点．（1）若G 的坐标为(0,5)，求抛物线1y 的解析式和直线2y 的解析式；（2）求证：直线2y ax a =--始终经过该抛物线1y 的顶点；（3）求AB EFAF+的值．参考答案1．A 【分析】利用二次函数的性质即可判断各个选项中的结论是否正确．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2﹣2，∴a ＝﹣1，开口向下，有最大值y ＝﹣2，∴选项A 正确，选项B 错误；∵二次函数y ＝﹣x 2﹣2的对称轴为直线x ＝0，∴选项C 、D 错误，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．D 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误即可得出结论．【详解】A 、因为a=-1＜0，故抛物线开口向下，故本选项不符合题意；B 、当x=0时，y=-3，抛物线与y 轴的交点坐标是(0，-3)，故本选项不符合题意；C 、()()24413161240=-⨯-⨯-=-= ＞，抛物线与x 轴有两个交点，所以与两坐标轴有三个交点，故本选项不符合题意；D 、对抛物线()224321y x x x =-+-=--+，顶点坐标是（2，1），故本选项符合题意；故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题的关键．3．D 【详解】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．4．B 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把点A 的横纵坐标乘以12-即可得到答案．【详解】∵△OAB 与 OCD 关于原点O 位似，位似比为12，设点C 坐标为(),a b ，点A 坐标为()6,4-，点A 与点C 是对应点，∴()1632a =-⨯-=，1422b =-⨯=-，∴C 点坐标为：（3，-2）故选：B ．【点睛】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．5．A 【分析】先将△ABC 的面积转化成△ABO 的面积，再通过辅助线得S △ABO ＝S △ADO −S △BDO ．【详解】解：连接AO ，BO ，延长AB 交y 轴于点D ，∵AB //x 轴，∴S △ABO ＝S △ABC ，∴S △ABO ＝S △ADO −S △BDO ＝124422-=∴S △ABC ＝4．故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键是熟练掌握添加辅助线方法．6．D 【分析】根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．【详解】A 由a cb d=可以得到ad=bc ，故本选项正确，不符合题意；B 、由a c ab d b-=-可得：（a-c ）b=（b-d ）a ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意；C 、由a b c db d ++=可得（a+b ）d=（c+d ）b ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意；D 、由1 111a cb d ++=++，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c ，不能得到ad=bc ，故本选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．7．C【分析】设AO ＝a ，即可得出B （a ，8），E （a ＋3，3），依据点B 、E 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，即可得到a 的值，进而得出k 的值．【详解】解：设AO ＝a ，∵四边形ADEF 是边长为3的正方形，BF ＝5，∴AB ＝8，OD ＝a ＋3，∴B （a ，8），E （a ＋3，3），又∵点B 、E 在反比例函数(0)k y x x =>的图象上，∴8a ＝3（a ＋3），解得a ＝95，∴B （95，8），∴k ＝95×8＝725，故选：C ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点以及正方形和矩形的性质，反比例函数图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．8．C【分析】根据AP=PF 得到点P 在AF 的垂直平分线上，过P 作PG ⊥AF ，G 为垂足，则AG=GF ，DG=PG ，设DF=x ，得到AG=42x +，GD=PG=42x -，利用三角形面积公式计算得到S △APF =2144x -+，根据函数性质即可得到答案．【详解】∵AP=PF ，∴点P 在AF 的垂直平分线上，过P 作PG ⊥AF ，G 为垂足，则AG=GF ，DG=PG ，设DF=x ，则AG=42x +，∴GD=PG=42x -，∴S △APF =2141(4)4224x x x -⨯+⨯=-+≤4，所以△APF 面积最大值为4；故选：C ．．【点睛】此题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，二次函数的最值问题，正确引出辅助线并设定未知数解决问题是解题的关键．9．D【分析】根据二次函数的图象与性质得到a b c 、、的符号，再逐一进行判断．【详解】解：由图知，二次函数的图象开口向上，即0a >，与y 轴交于正半轴，即0c >，对称轴12b x a=-=-2b a∴=a b 、同号，即0b >0abc ∴>，故A 正确；由图知，当1x =-时，0y <，0a b c ∴-+<，故B 正确；由图知，二次函数图象与轴有两个不同的交点，即240b ac ->，故C 正确；无法判断0a c -<，故D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．C【分析】连接BD ，BF ，先证明ABG DBF ∽，进而即可求解．【详解】解：连接BD ，BF ，∵在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，∴BD AB =BF BG =，∠ABD =∠GBF =45°，∴BD AB =BF BG，∠ABG =∠DBF ，∴ABG DBF ∽，∴DFAG =BF BG =，故选C ．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造旋转相似模型，是解题的关键．11．()2,0-【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．【详解】2(2)y x =-+是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()2,0-，故答案为：()2,0-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标是()h k ，．12．98.9【分析】由点C 是线段AB 的黄金分割点，可得AC BC BC AB ==可得,BC AB =计算后可得答案．【详解】解：∵C 分线段AB 近似于黄金分割，且AC <BC ，AC BC BC AB ∴==∴)11160801801.23698.9.22BC AB cm -==⨯=≈⨯≈故答案为：98.9．【点睛】本题考查的是黄金分割的含义，掌握“点C 是线段AB 的黄金分割点，可得12AC BC BC AB -==”是解题的关键．13．12【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．【详解】解：如图所示，2222222222420,125,3425BD DC BC =+==+==+= ，222BD DC BC ∴+=，90D ∠=︒，BD DC ===,1tan 2DC B BD ==故答案：12【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．103645555或2455【分析】（1）画出点Q 与B 重合时的图象，根据折叠的性质得到相等的边，设PQ x =，则6PA PA x '==-，在Rt PQA ' 中利用勾股定理列式求出结果；（2）分情况讨论，利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合相似三角形的性质和判定，列式求出DQ 的长．【详解】解：（1）如图，当点Q 与B 重合时，∵6AB =，8AD =，90A ∠=︒，∴10QD =，∵折叠，∴8AD A D '==，∴1082A Q QD A D ''=-=-=，设PQ x =，∴6PA PA x '==-，∵222PA A Q PQ ''+=，∴()2264x x -+=，解得103x =，故答案是：103；（2）①如图，当A´D=A´C=8时，过点A '作A M DC '⊥于点M ，由等腰三角形“三线合一”的性质得DM=12DC=3，∴A M '=∵//AD A M '，∴ADQ MA D '∠=∠，∵90DAQ A MD '∠=∠=︒，∴AQD MDA ' ，∴QDADDA MA =''，则8QD=55QD =；②如图，当A´C=DC=6时，过点C 作CN DQ ⊥于点N ，由等腰三角形“三线合一”的性质得DN=12DA´=4，∴CN =∵90CDN ADQ ∠+∠=︒，90DQA ADQ ∠+∠=︒，∴DQA CDN ∠=∠，∵90DAQ CND ∠=∠=︒，∴AQD NDC ，∴QD ADDC NC =，则6QD =QD =；③∵8A D AD '==，6DC =，∴A D DC '≠，故答案是：55【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，以及相似三角形的性质和判定．15．（﹣2，1）或（2，﹣1）【分析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵以O 为位似中心，将△EFO 缩小为△E 'F 'O ，△E 'F 'O 与△EFO 的相似比为12，∵E （﹣4，2），∴点E '的坐标为:（﹣2，1）或（2，﹣1）；故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．16．12【分析】先求出点N 坐标，利用待定系数法即可解决问题；【详解】解：∵N 、F 是AB 、BC 的中点，∴BF ＝12BC ，BN ＝12AB ，S △BFN ＝3，∴12BF •BN ＝12•12BC •12AB ＝3，∴BC •AB ＝24，∵四边形ABCO 是正方形，∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ＝，∵N 是AB 中点，∴AN ＝BN ，∴N （），把N （）代入k y x=，得到k ＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，正方形的性质，求出点N 坐标是解题的关键．17．4【分析】直接代入特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：原式=22()63142⨯-⨯⨯+⨯13=-+4=-，故答案为：4．【点睛】本题考查了特殊角三角函数的计算，属于基础题，计算过程中细心即可求解．18．（1）21342y x x =-+-；（2）2【分析】（1）由待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）由（1）中求出的抛物线的解析式求出该抛物线的对称轴，得到点C 的坐标，通过A 、B 、C 三个点的坐标即可求得ABC 的面积．【详解】（1）分别把点A(2，0)、B(0，-4)代入212y x bx c =-++得，2122024x c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=-⎩，解得：34b c =⎧⎨=-⎩，∴这个二次函数的解析式为：21342y x x =-+-（2）由（1）中抛物线对称轴为直线，331222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，∴点C 的坐标为：(30)，，∴321AC =-=，∴ABC 的面积为：1141222OB AC ⋅⋅=⨯⨯=，【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数、二次函数图像的性质、三角形面积，解题的关键是理解题意，利用二次函数图像的性质求解三角形的面积．19．（1）2,1y y x x==-；（2）1x <-或02x <<【分析】（1）由A 的坐标易求反比例函数解析式，从而求B 点坐标，进而运用待定系数法求一次函数的解析式；（2）观察图象，找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，x 的取值即可．【详解】（1）由题意得：212m =⨯=，()12n -⨯=，2n =-，∴反比例函数解析式为：2y x=，()1,2B --，再由题意得：212k b k b +=⎧⎨-+=-⎩；解得：11k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为：1y x =-；（2）由图像可知：当12y y <时，自变量x 取值范围是：1x <-或02x <<．【点睛】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合题，掌握利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式和根据图象求自变量的取值范围是解决此题的关键．20．（1）见解析；（2）见解析；AA2【分析】（1）分别将点A 、B 、C 向上平移5个单位得到对应点，再顺次连接可得；（2）分别将点A 、B 、C 绕点O 顺时针旋转90°得到对应点，再顺次连接可得，再利用勾股定理求得AA 2的长度即可．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求：（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求：连接OA 2，OA 1，由旋转性质得，OA 1＝OA 2，∵OA 122(40)(10)--+--17∴AA 22212OA OA +1717+34【点睛】本题主要考查作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握平移作图和旋转90°作图．21．14千米【分析】过B 作BD ⊥AC ，由题意得到三角形ABD 为直角三角形，设AD=x 千米，表示出CD 和BD ，在直角三角形BCD 中，利用锐角三角函数定义求出x 的值，即可确定出AB 的长．【详解】解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设AD=x ，∵∠A=60°，∴3x ，CD=24-x ，AB=2x ；∵∠BCD=37°，∴tan ∠BCD=BD CD ，即324x解得x=7，即AB=2x=14（千米）【点睛】此题属于解直角三角形题型，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22．（1） 3.6BD =；（2）见解析【分析】（1）由勾股定理得10BC =，C ABD BA ∽△△，得 3.6BD =；（2）首先由直角三角形的性质可得：DE CE AE ==，可得FDB FAD ∽△△，得出DF BD AF AD=，再利用等角的正切相等可得出结论．【详解】解：（1）在Rt ABC △中，∵6AB =，8AC =，∴10BC ===，∵90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∴90BAC ADB ∠==︒∠，∵∠B=∠B ，∴C ABD BA ∽△△，∴BD AB BA CB =，∴236 3.610AB BD CB ===，∴ 3.6BD =；（2）∵DE 是Rt ADC 斜边AC 边上的中线，∴DE CE AE ==，∴∠EAD=∠EDA ，∠C=∠CDE ，∵∠CDA=∠CAF=90°，∴∠CDE=∠FAD=∠C ，∴∠FDB=∠FAD ，∵∠F=∠F ，∴FDB FAD ∽△△，∴DF BD AF AD=，又∵tan tan BD AB DAB C AD AC=∠=∠=，∴DF AB AF AC =，即AB AF AC DF ⋅=⋅．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质以及锐角三角函数的性质等知识，合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．23．（1）1sin3CBD ∠=；（2）AD =【分析】（1）过点D 作DE BC ⊥于点E ，由三角函数求出1CE DE ==，再根据三角函数即可求出答案；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，则四边形BEDF 是矩形，根据矩形的性质和勾股定理，即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，在Rt CED ∆中，∵45,C CD ∠=︒=∴1CE DE ==，在Rt BDE ∆中，1sin 3DE CBD BD ∠==；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒，∴四边形BEDF 是矩形，∴1DE BF ==，∵3BD =，∴DF =∵3AB =，∴2AF =，∴AD =【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理，以及矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用解直角三角形和锐角三角函数进行解题.24．（1）见解析；（2）16【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明两角对应相等，两三角形相似即可．（2）首先证明ABF DEF ∆≅，再证明EFD EBC ∆∆∽，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，即可求出EBC ∆的面积，由此即可解决问题．【详解】解：（1） 四边形ABCD 是平行四边形A C ∴∠=∠，//AB CDABF CEB∴∠=∠ABF CEB∴∆∆∽（2）解： 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AB 平行且等于CD ，DEF CEB ∴∆∆∽，DEF ABF ∆∆∽，12DE CD = ，∴21()9DEF CEB S DE S CE ∆∆==，2DEF S ∆= ，18CEB S ∆∴=，16BCE DEF BCDF S S S ∆∆∴=-=四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．25．（1）1(1)(5)y x x =--，21y x =--；（2）见解析；（3）1【分析】（1）根据题意将点(0,5)G 代入抛物线解得1a =由此即可得出答案；（2）根据题意，求出顶点坐标为(3,4)a -．根据顶点和直线解析式2y ax a =--的关系即可证明；（3）过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N 两点，根据题意可求出(1,0)E -，(2,0)M ，(3,0)N ，由////OF AM BN ，可得::::EF FA AB EO OM MN =，即可得出结论；【详解】解：（1）∵点(0,5)G 在该抛物线上，∴5(1)(5)a =-⨯-，∴1a =，所以抛物线解析式为：1(1)(5)y x x =--直线解析式为21y x =--（2）证明：令1(1)(5)y a x x =--=0解得：x 1=1，x 2=5所以与x 轴交点为(1,0)和(5,0)，所以其对称轴为直线3x =，顶点坐标为(3,4)a -．当x=3时，234y a a a =--=-，∴2y 经过点(3,4)a -，所以直线2y ax a =--始终经过该抛物线的顶点．（3）过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N 两点，令2y ax a =--＝0，解得1x =-，即(1,0)E -，联立两个解析式12(1)(5)y a x x y ax a=--⎧⎨=--⎩得(1)(5)a x x ax a --=--，解得12x =，23x =，所以(2,0)M ，(3,0)N ，∵////OF AM BN∴::::1:2:1EF FA AB EO OM MN ==，∴1EF AB AF+=【点睛】本题主要考查了抛物线与一次函数及平行线分线段成比例的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.。

2022-2023学年沪教版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．在比例尺为1：1000000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为（）A．3km B．30km C．300km D．3000km2．如果将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，那么原抛物线的表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 3．已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．4．已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，则PQ长为（）A．5（﹣1）B．5（+1）C．10（﹣2）D．5（3﹣）5．如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.4米，则铁塔的高BC为（）米．A．1.4+B．1.4+100tanαC．1.4+D．1.4+100sinα6．如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．如果向量、、满足（+）＝﹣，那么＝（用向量、表示）．8．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan ∠CPN为．9．如图，正方形ABCD的边长是10cm，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE＝DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y（cm2）与BE的长xcm（0＜x≤10）的函数关系是．10．请任写一个二次函数解析式，使这个函数的图象具备以下两个特点：①开口向上；②对称轴为y轴．这个函数可以是．11．已知锐角α的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r＝，则sinα＝，cosα＝．12．如图，平行四边形ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是．13．关于二次函数y＝3x²+1和y＝3（x﹣1）²，以下说法：①它们的开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是（0，1）；③当x＞2时，它们的函数值都是y随x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点，其中正确的有．（填序号）14．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝．15．如图，在平行四边形ABCD中，＝，＝，则向量为．（结果用和表示16．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝3EC，点F在边DC上，CF＝2DF，EF与AC交于点G．如果△GEC的面积等于2cm2，那么矩形ABCD的面积等于cm2．17．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是．18．如图，点D是等边△ABC边BC上一点，将等边△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF（点E在边AB上）．（1）当点D为BC的中点时，AE：EB＝；（2）当点D为BC的三等分点时，AE：EB＝．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）2sin30°﹣3cos60°；（2）cos245°+tan245°﹣tan260°．20．（10分）如图所示，在▱ABCD中，点M是AB的中点，CM与BD相交于点N，设，（1）试用向量、表示；（2）试用向量、表示．21．（10分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度，他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝21°，然后往塔的方向前进60米到达B处，此时测得仰角∠CGE＝37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin21°≈，tan21°≈）22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cos A＝，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．求：（1）线段CD的长；（2）cos∠ABE的值．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，求证：AD2＝AF•AC．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝a（x+6）（x﹣4）（a＞0）交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，∠BAC＝2∠BCO．（1）求a的值；（2）如图2，点P在第二象限的抛物线上，横坐标为t，连接BP交y于点D，连接AD，△ABD的面积为s，求s与t之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在第三象限的抛物线上，横坐标为m，点R在第一象限的抛物线上，横坐标为4﹣m，连接QR，交x轴于点E（2，0），过Q点作QG ⊥PB于点G．过点R作RH⊥PB于点H，且QG＝GH+RH．求点D的坐标．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），DP交AC于点E．（1）求证：△APE∽△CDE．（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度．（3）当点P在线段AC的垂直平分线上时，求的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．解：3÷＝3000000（cm），3000000cm＝30km．故选：B．2．解：∵将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，∴抛物线y＝x2向左移2个单位得原函数解析式y＝（x+2）2，故选：C．3．解：A、，不符合题意；B、不一定成立，因为非零向量和单位向量的方向不一定相同，不符合题意；C、，符合题意；D、不一定成立，因为非零向量和单位向量的方向不一定相同，不符合题意．故选：C．4．解：如图根据黄金分割点的概念，可知＝＝，∵AB＝10，∴AQ＝PB＝×10＝﹣5．又∵PQ＝AQ+PB﹣AB，∴PQ＝﹣10＝＝10（﹣2）．故选：C．5．解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝100米，∴CE＝AD＝1.4米，在△ABE中，∵tanα＝＝，∴BE＝100tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.4+100tanα）（米），故选：B．6．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴选项A，C，D成立，故选：B．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．解：∵（+）＝﹣，∴，∴，故答案为：．8．解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故答案为2．9．解：∵AB＝AD＝10cm，BE＝DF＝xcm，∴AE＝AB﹣BE＝（10﹣x）cm，AF＝AD+DF＝（10+x）cm，∴矩形AEGF的面积y＝（10﹣x）（10+x）＝100﹣x2，故答案为：y＝100﹣x2．10．解：∵抛物线的对称轴为y轴，∴该抛武线的解析式为y＝ax2+c，又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，故答案为：y＝2x2﹣1（答案不唯一）．11．解：∵点P（x，2）到坐标原点的距离r＝，∴x2+22＝（）2，解得x＝3，∴sinα＝＝，cosα＝＝．故答案为：；．12．解：如图，连接BG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠E＝∠CFG，∵F为BC中点，∴FC＝BC＝AD，∵DE ：AD ＝1：3，∴DE ：BC ＝1：3，∴DE ：CF ＝2：3，∵∠E ＝∠CFG ，∠DGE ＝∠CGF ，∴△DGE ∽CGF ，∴DG ：CG ＝DE ：CF ＝2：3，∴S △DEG ：S △CFG ＝4：9＝1：S △CFG ，∴S △CFG ＝，取AD 的中点Q ，连接FQ ，∴FQ ∥DG ，∴△EDG ∽△EQF ，∴DE ：EQ ＝1：2.5＝2：5，∴S △DEG ：S △QEF ＝4：25＝1：S △EQF ，∴S △EQF ＝，∴S 四边形DQFG ＝﹣1＝，∴S 四边形ABFQ ＝S 四边形DQFG +S △CFG ＝+＝， ∴S 五边形DABFG ＝+＝． 故答案为：． 13．解：∵二次函数y ＝3x ²+1和y ＝3（x ﹣1）²，a ＝3，∴它们的开口方向、大小相同，故①正确；二次函数y ＝3x ²+1的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为（0，1），y ＝3（x ﹣1）²的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标为（1，0），故②错误；当x ＞2时，它们的函数值都是y 随x 的增大而增大，故③正确；二次函数y ＝3x ²+1与坐标轴有一个交点（0，1），y ＝3（x ﹣1）²与坐标轴有两个交点，坐标为（0，3），（1，0），故④错误；故答案为：①③．14．解：延长CG交AB于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG＝CG＝1，AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝2+1＝3，∴AB＝6，∠DCB＝∠B，在Rt△ACB中，cos B＝＝＝，∴cos∠GCB＝．故答案为．15．解：在平行四边形ABCD中，AO＝AC．∵＝，＝，∴＝+＝+，∴＝＝．故答案是：．16．解：如图，过点F作FH∥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴FH ∥BC ∥AD ，∴△CHF ∽△CAD ，△FHG ∽△ECG ．∵BE ＝3EC ，∴设EC ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝AD ＝4x ，∵△CHF ∽△CAD ，CF ＝2DF ， ∴＝＝， ∴＝，∴HF ＝， ∵△FHG ∽△ECG ， ∴＝， ∴＝＝， ∴＝＝，＝＝，∵△GEC 的面积等于2cm 2，∴S △FHG ＝×2＝（cm 2），S △FGC ＝×2＝（cm 2）， ∴S △CFH ＝+＝（cm 2）， ∵△CHF ∽△CAD ，＝＝， ∴＝，∴S △CAD ＝×＝44（cm 2），∴矩形ABCD 的面积为：2S △CAD ＝2×44＝88（cm 2）．故答案为：88．17．解：当x ≤﹣2时，S ＝ax 2+bx +c ，S 最小值为4，当﹣2＜x ＜8时，S ＝kx +m ，2＜S ＜4，当x ≥8时，S ＝ax 2+bx +c ，S 最小值为2，∴S的最小值为2，故答案为：2．18．解：（1）如图，连接AD，∵D为BC的中点，△ABC为等边三角形，折叠，∴AD⊥BC，∠DAB＝∠DAC＝，∠B＝60°，∴∠EDB＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△BED为等边三角形，∴AE＝ED＝BE，即AE：EB＝1：1，故答案为：1：1；（2）当DC：BD＝1：2时，设CD＝k，BD＝2k，∴AB＝AC＝3k，∵△ABC为等边三角形，∴∠EDF＝∠A＝60°，∴∠EDB+∠FDC＝∠BED+∠EDB＝120°，∴∠BED＝∠FDC，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BED∽△CDF，∴，∴，∴BE＝，AE＝3k﹣＝，∴AE：BE＝7：5，当DC：BD＝2：1时，设CD＝2k，BD＝k，同上一种情况得：，∴，∴BE＝，AE＝3k﹣＝，∴AE：BE＝7：8，故答案为：7：5或7：8．三．解答题（共7小题，满分78分）19．解：（1）2sin30°﹣3cos60°＝2×﹣3×＝1﹣＝﹣；（2）cos245°+tan245°﹣tan260°＝（）2+12﹣（）2＝+1﹣3＝﹣．20．解：（1）∵，，∴＝﹣＝﹣．∵在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∴＝．又点M是AB的中点，∴MB＝AB＝．∴＝＝．∴＝+＝+．（2）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，BM＝AB＝CD，∴＝＝．∴DN＝2BN．∴DN＝BD．∴＝﹣＝（﹣）．同理，＝．∵＝+＝+，∴＝（+）＝+．21．解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD，∴∠CEF＝90°．设CE＝x米，在Rt△CEF中，tan∠CFE＝，∴EF＝＝≈x（米），在Rt△CEG中，tan∠CGE＝，∴GE＝＝≈x（米），∵EF＝FG+EG，∴x＝60+x，解得：x＝45，∴CD＝CE+ED＝45+1.5＝46.5（米）．答：古塔的高度约是46.5米．22．解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴cos A ＝＝，∴可以假设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，而BC ＝12，∴k ＝3，∴AB ＝15∵D 是AB 中点，∴CD ＝AB ＝．（2）在Rt △ABC 中，∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∵D 是AB 中点，∴BD ＝，S △BDC ＝S △ADC ， ∴S △BDC ＝S △ABC ，即CD •BE ＝•AC •BC ，∴BE ＝＝，在Rt △BDE 中，cos ∠ABE ＝＝＝，即cos ∠ABE 的值为．23．证明：∵ED ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴， ∵EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ， ∴， ∴，∴AD2＝AF•AC．24．解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣4）（a＞0），当y＝0时，解得：x1＝﹣6，x2＝4，∴A（﹣6，0），B（4，0），∴OA＝6，OB＝4，∴AB＝OA+OB＝6+4＝10，∵∠BAC＝2∠BCO，设：∠BAC＝2∠BCO＝2α，∴∠OCA＝90°﹣∠OAC＝90°﹣2α，∠OBC＝90°﹣∠OCB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠OBC，∴AC＝AB＝10，∴由勾股定理得：，∴C（0，﹣8），∵将C（0，﹣8）代入y＝a（x+6）（x﹣4）（a＞0），∴﹣8＝a（0+6）（0﹣4），解得．（2）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠PEB＝∠DOB＝90°，∠PBE＝∠DBO，∴△PBE∽△DBO，∴，∵点P在第二象限的抛物线上，横坐标为t，∴点P的纵坐标，∴OE＝|t|＝﹣t，，∴BE＝4﹣t，∴，解得，∴，∴；（3）解：抛物线解析式，作QS⊥x轴于S，横坐标为m，则，作RL⊥x轴于L，横坐标为4﹣m，E（2，0），则OL＝4﹣m，OE＝2，∴EL＝OL﹣OE＝2﹣m，ES＝2﹣m，∴EL＝ES，又∵∠QSE＝∠RLE＝90°，∠SEQ＝∠REL（对顶角），∴△ERL≌△EQS（ASA），∴RL＝QS，∴，解得m1＝6（舍），m2＝﹣2，∴Q（﹣2，﹣8），R（6，8），在GP上截取GK，使得GK＝RH，又∵QG＝GH+RH＝GH+GK∴KH＝QG，连接KR、KQ，∵QG⊥PB，RH⊥PB，∴∠KGQ＝∠RHK＝90°，∴△KGQ≌△RHK，∴QK＝RK，∠QKG＝∠KRH，又∵∠RKH+∠KRH＝90°，∴∠QKR＝∠QKG+∠RKG＝90°，∴△KQR是等腰直角三角形，过点K作KN⊥QS于N，交RL于M，∴∠QNK＝∠KMR＝90°，∵∠RKM+∠KRM＝90°，∠QKR＝∠QKM+∠RKM＝90°，∴∠QKM＝∠KRM，∴△QKN≌△KRM（AAS），设：ML＝q，则RM＝8﹣q＝KN，NM＝SL＝8，∴KM＝KN+NM＝16﹣q，QN＝8+q，∵KM＝QN，∴16﹣q＝8+q，解得q＝4，∴K（﹣6，4），∵K（﹣6，4），B（4，0）在直线BP上，设直线BP的解析式：y＝kx+b∴，解得，∴直线BP的解析式为：，令x＝0，得，∴．25．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠PAE＝∠DCE，∠APE＝∠CDE，∴△APE∽△CDE；（2）解：如图1，∵PD⊥AC，∴∠ACD+∠EDC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠PAD＝90°，DA＝BC，BA＝DC，∴∠EDA+∠EDC＝90°，∴∠ACD＝∠EDA，∴△ADC∽△PAD，∴＝，即＝，∴PA＝2；（3）如图2，当点P在线段AC的垂直平分线上时，连接PC，则PA＝PC，设PA为x，∵∠B＝90°，∴PB2+BC2＝PC2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5，∴＝＝．。

沪教版九年级上册数学期末测试卷及含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，点在反比例函数上，连接分别交轴于点D、点E，且，将沿翻折，点D刚好落在y轴上的点F处，与x轴交于点G，已知，则k的值为（）A.3B.4C.5D.62、如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE =S△AOF，上述结论中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数x 的图象上任意一点，PA x轴于点A，PD y轴于点D，分别交反比例函数x ，k 的图象于点B，C 下列结论：①当k 时，BC是PAD的中位线；②不论k为何值，都有PDA∽PCB；③当四边形ABCD的面积等于2时，k ④若点P ，将PCB沿CB对折，使得P点恰好落在OA上时，则；其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A. B.C.D.5、如图所示，已知和均为等边三角形，在上，与相交于点，，，则等于（）A. B. C.4 D.6、如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（）A.2 ＋2B.2 ＋4C.2D.2 ＋27、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE ：S△CDE＝1：3，则S△DOE ：S△AOC的值为（）A. B. C. D.8、在中，，，，则（）A. B. C. D.9、若=，则为（）A. B. C. D.-10、如图所示的是两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点B.点C.点D.点11、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB＝30°，则FC为（）A. B. C.2 D.312、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，则tanA的值为（）A. B. C. D.13、已知，则的值为（）A. B. C. D.14、如图，从图甲到图乙的变换是（）A.轴对称变换B.平移变换C.旋转变换D.相似变换15、如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则sinα等于( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点E．另一组对边AB、DC的延长线相交于点F，若cos∠ABC=cos∠ADC= ，CD=5，CF=ED=n，则AD的长为________（用含n的式子表示）．17、计算：________.18、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________.19、如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在y轴上，点C在x轴上，BC⊥x轴，tan∠ACO＝．延长AC到点D，过点D作DE⊥x轴于点G，且DG＝GE，连接CE，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，和CE交于点F，且CF：FE＝2：1．若△ABE面积为6，则点D的坐标为________．20、如图，梯形中，，，且交于点，．如果，，那么的长是________．21、如图，有－块形状为的斜板余料．已知，，，要把它加工成一个形状为的工件，使在上，，两点分别在，上，且，则的面积为________ ．22、如图，CD＝4，∠C＝90°，点B在线段CD上，，沿AB所在的直线折叠△ACB得到△AC′B，若△DC′B是以BC'为腰的等腰三角形，则线段CB 的长为________．23、如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为________．24、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝________．25、如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B=45°，∠CAD=∠CDA，CA：CB=5：7，则∠BAD的余弦值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：（﹣）﹣1+ tan30°﹣sin245°+（2016﹣cos60°）0．27、如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．28、如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）29、如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸树BC的高度，他们在斜坡上D处测得树顶端B的仰角是30°，从D处朝树方向下坡走2米到达坡底A处，在A处测得树顶端B的仰角是48°，若坡AF的坡度i＝1：，求树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1， 1.7）30、已知，且2b﹣3d+f=4，求2a﹣3c+e的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、C5、B6、A7、D8、D9、A10、D11、B12、D13、A14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、。

沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．对于抛物线2-1y x =+，下列判断正确的是（）A ．顶点坐标为（-1，1）B ．开口向下C ．与x 轴无交点D ．有最小值12．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（）A ．2cos55o 海里B ．2sin 55︒海里C ．2sin55∘海里D ．2cos55︒海里3．如图，二次函数2-3y ax bx =+图象的对称轴为直线x=1，与x 轴交于A 、B 两点，且点B 坐标为（3，0），则方程2-3ax bx =的根是（）A ．123x x ==B ．1213x x ==，C ．121-3x x ==，D ．12-13x x ==，4．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水面AB 的宽度是（）cm.A ．6B ．C ．D ．5．如图，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 与CE 相交于O ，则图中线段的比不能表示sinA 的式子为（）A ．BD ABB ．CD OCC ．AE ADD ．BE OB6．如图，在 ABCD 中，AB=3，AD=5，AE 平分∠BAD ，交BC 于F ，交DC 延长线于E ，则AEEF的值为（）A ．53B ．52C ．32D ．27．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，自变量x 与函数y 之间的部分对应值如表：x …0123…y…﹣1232…在该函数的图象上有A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点，且﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4，y 1与y 2的大小关系正确的是（）A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1＜y 28．在平面直角坐标系中，A (-30)，，B (30)，，C (34)，，点P 为任意一点，已知PA ⊥PB ，则线段PC 的最大值为（）A ．3B ．5C ．8D ．109．在△ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°，则sinA+cosB 的值等于（）A ．1B ．132C ．132D ．1410．如图，在Rt ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（）A ．8B ．12C ．D ．二、填空题11．锐角α满足cosα=0.5，则α=__________；12．双曲线(0)k y k x=≠经过点（m ，2）、（5，n ），则m n =__________；13．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，tan A =3，tanB=________14．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则tanA=__．15．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AH ⊥BC ，垂足为点H ，如果AH=BC ，那么tan ∠BAH 的值是_____．三、解答题16．已知抛物线2-2y ax x c =+与x 轴的一个交点为30A （，），与y 轴的交点为0-3B（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）求顶点C 的坐标．17．如图，在方格网中已知格点△ABC 和点O ．(1)以点O 为位似中心，在△ABC 同侧画出放大的位似△A 1B 1C 1，△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为1∶2；(2)以O 为旋转中心，将△ABC 逆时针旋转90°得到△A 2B 2C 2．18．已知关于x 的二次函数2-(-2)y x k x k =++．（1）试判断该函数的图象与x 轴的交点的个数；（2）当3k =时，求该函数图象与x 轴的两个交点之间的距离．19．从一幢建筑大楼的两个观察点A ，B 观察地面的花坛（点C ），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB 与地面垂直，AB ＝50米，试求出点B 到点C 的距离．（结果保留根号）20．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，已知AD 平分∠BAC ，AD=DC ．（1）求证：△ABC ∽△DBA ；（2）S △ABD =6，S △ADC =10，求CDAC．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数-5y x =+的图象与函数(0)ky k x=<的图象相交于点A ，并与x 轴交于点C ，S △AOC =15．点D 是线段AC 上一点，CD ：AC=2：3．（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标；（3）根据图象，直接写出当0x <时不等式5kx x+>的x 的解集．22．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于C 点，弦CF ⊥AB 于E 点，连结AC．（1）求证：∠ACD=∠ACF ；（2）当AD ⊥CD ，BE=2cm ，CF=8cm ，求AD 的长．23．小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第x 天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）：销售量m （千克）40-m x=销售单价n （元/千克）当115x ≤≤时，1202n x =+当1630x ≤≤时，30010n x=+设第x 天的利润w 元．（1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？（2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量24．如图，设D 为锐角△ABC 内一点，∠ADB=∠ACB+90°，过点B 作BE ⊥BD ，BE=BD ，连接EC ．（1）求∠CAD+∠CBD 的度数；（2）若••AC BD AD BC ，①求证：△ACD ∽△BCE ；②求••AB CDAC BD的值．参考答案1．B 【详解】根据二次函数图像的特点进行解答即可.解：A.顶点坐标为(0,1)，故不正确；B.∵-1<0，∴开口向下，故正确；C.∵∆=4>0，∴与x 轴有两个交点，故不正确；D.有最大值1，故不正确；故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数图像的特点，即对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 的正负决定了开口方向；b 2-4ac 决定了是否与x 轴有交点；函数的顶点决定了函数的最值.2．A 【分析】由题意得∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB//NP ，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°.然后解Rt △ABP ，得出AB=APcos ∠A=2cos55°海里.【详解】解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB ∥NP ，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt △ABP 中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=APcos ∠A=2cos55°海里．故选A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，掌握平行线的性质、三角函数的定义、方向角的定义是解答本题的关键.3．D 【分析】由二次函数2-3y ax bx =+图像的对称轴为直线x=1且函数图像与x 轴的一个交点为B(3,0)，可求另一交点坐标为（-1，0），则可求方程23ax bx =-的解.【详解】解：二次函数2-3y ax bx =+图象的对称轴为直线x=1，与轴交于A 、B 两点，且点B 坐标为(3,0)，则点A 的坐标为（-1，0），∴方程23ax bx =-的根是x 1=-1,x 2=3.故答案为D.【点睛】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的联系，即理解二次函数图像与x 轴的交点的横坐标为对应一元二次方程的解.4．C 【分析】作OD ⊥AB 于C ，交小圆于D ，可得CD=2，AC=BC ，由AO 、BO 为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC 的长，即可求得AB 的长.【详解】解：作OD ⊥AB 于C ，交小圆于D ，则CD=2，AC=BC ，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴=∴AB=2AC=故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.5．C 【分析】先根据正弦的概念进行判断，然后根据余角的定义找与∠A 相等的角再结合正弦定义解答即可.【详解】解：∵BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴sinA=BD ECAB AC=,故A正确；∵∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠COD=90°，∴∠A=∠COD，∴sinA=sin∠COD=CDOC,故B正确；∵∠BOE=∠COD，∴∠A=∠BOE，∴sinA=sin∠BOE=BEBO.故D正确故答案为C.【点睛】本题考查了正弦的定义以及根据直角三角形的性质寻找相等的角，其中根据直角三角形的性质寻找与∠A相等的角是解答本题的关键.6．B【分析】由平行四边形的性质可得AB//DE，AD//BC，进而得到∠BAE=∠E，再结合∠EAD=∠BAE 得到∠E=∠EAD，即AD=DE=5;再由线段的和差可得CE=2;然后根据BC//AD得到△AED∽△FEC，最后运用相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DE，AD//BC，∴∠BAE=∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠BAE，∴∠E=∠EAD，∴AD=DE=5，∴CE=DE-CD=5-3=2，∵BC//AD，∴△AED∽△FEC∴25 EF EC AE DE==∴52AEEF .故答案为B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，其中掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.7．D【解析】试题分析：抛物线的对称轴为直线x=2，∵﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，∴点A（x1，y1）到直线x=2的距离比点B（x2，y2）到直线x=2的距离要大，而抛物线的开口向下，∴y1＜y2．故选D．考点：二次函数图象上点的坐标特征．8．C【分析】连接OC、OP、PC由PA⊥PB可得点P在以O为圆心，AB长为直径的圆上；再根据三角形的三边关系可得CP≤OP+OC，则当当点P，O，C在同一直线上，CP的最大值为OP+OC 的长，然后进行计算即可.【详解】解：如图所示，连接OC、OP、PC∵PA⊥PB，∴点P在以O为圆心，AB长为直径的圆上，∵△COP∴CP≤OP+OC，∴当点P，O，C在同一直线上，且点P在CO延长线上时，CP的最大值为OP+OC的长，又∵A（-3，0），B（3，0），C（3，4），∴AB=6，OC=5，OP=12AB=3，∴线段PC的最大值为OP+OC=3+5=8，故答案为C．【点睛】本题考查了90°所对的弦为圆的直径、三角形的三边关系以及最短路径问题，其中确定最短路径是解答本题的关键.9．A【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】在△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，得∠B=90°﹣30°=60°．sinA+cosB=sin30°+cos60°=12+12=1，故选：A．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．10．C【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.【详解】解：∵sinB=ACAB=0.5，∴AB=2AC，∵AC=6，∴AB=12，∴=故选C.本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB 的长.11．60【分析】根据特殊角的三角函数值即可完成解答.【详解】解：∵cosA=0.5=12，∠A 为锐角，∴∠A=60°，故答案为60；【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键.12．52【分析】将（m ，2）、（5，n ）代入k y x =得到一个方程组，然后解方程组即可.【详解】解：∵曲线(0)k y k x=≠经过点(m,2)、(5,n)，∴25k m n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得m=2k ,n=5k ,∴5225k m k n ==;故答案为52；【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点的性质，即理解函数图像上的点满足函数解析式是解答本题的关键.13．13根据解直角三角形，由tan 3a A b==，即可得到tanB.【详解】解：在Rt ABC ∆中，∠C=90°，∴tan 3a A b ==，∴1tan 3b B a ==.故答案为13.【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正切值等于对边比邻边.14【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．15．12【分析】设AH=BC=2x ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=12BC=x ，然后得出tan ∠BAH 的值．【详解】解：设AH=BC=2x ，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=x ，∴tan ∠BAH=BH x 1AH 2x 2==，故答案为：12【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=12BC=x 是解题的关键．16．(1)223y x x =--;(2)(1,-4)【分析】（1）根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可；（2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答。

上海市闵行区2022年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案一、选择题本大题共6题，每题4分，满分24分。

1.在Rt 中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B 的正切值（ ）A.扩大4倍B.扩大2倍C.保持不变D.缩小4倍答案：C答案解析：如图，在中，，则，，在中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角的正切值保持不变，故选：C ．2.在Rt 中，，那么的三角比值为的是（ ）A. B. C. D.答案：B答案解析：在中，，，，，，故选：B ．ABC V Rt ABC V 90C ∠=︒tan ACB BC = 44AC ACBC BC =∴Rt ABC V B ABC V 90,4,3C BC AC ∠=== A ∠35sin A cos A tan A cot ARt ABC V 90C ∠=︒4BC =3AC =5AB ∴===3cos 5ACA AB ∴==3.下列二次函数与抛物线的对称轴相同的函数是（ ）A. B.C. D.答案：D答案解析：抛物线的对称轴为直线，选项中抛物线对称轴为直线，不符合题意．选项中抛物线对称轴为直线，不符合题意．选项中抛物线对称轴为直线，不符合题意．选项中抛物线对称轴为直线，符合题意．故选：D ．4.如图，已知在中，点在边上，那么下列条件中不能判定的是（ ）A. B.C.D.答案：A223y x x =-+-243y x x =-+-223y x x=--2367y x x =+-2152y x x =-+223y x x =-+-212x =-=-A 422x =-=-B 3344x -=-=--C 616x =-=-D 111x -=-=ABC V D AB ABC ACD V :V AC AB CD BC =2AC AD AB=⋅B ACD ∠=∠ADC ACB ∠=∠答案解析：而不一定相等，不能判断，故A 符合题意；，而故B 不符合题意；，故C 不符合题意；，故D 不符合题意；故选A5.如果，，且，下列结论正确的是A.B.C.与方向相同D.与方向相反答案：D答案解析：将代入，计算得：（方向相反）.故选：D6.二次函数的图像如图所示，现有以下结论：（1）：（2）AC AB CD BC=,ACD B ÐÐABC ACD V :V 2AC AD AB =⋅,ACABAD AC \=,A A ∠=∠,ABC ACD ∴V :VB ACD ∠=∠,A A ∠=∠,ABC ACD ∴V :V ADC ACB ∠=∠,A A ∠=∠,ABC ACD ∴V :V a b c += 3a b c -= 0c ≠ =a b20a b += a b a b a b c += 3a b c -= -2a b = ()2`0y a x bx c a =++≠0b >；（3），（4）；（5）；其中正确的结论有（ ）A 2个 B.3个 C.4个 D.5个．答案：C答案解析：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y 轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；（2）∵a＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc＜0，故命题正确；（3）∵当x=-1时，y ＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；（5）∵抛物线与x 轴于两个交点，∴b 2-4ac ＞0，故命题正确；故选C ．二、填空題本大题共12题，每题4分，满分48分。

九年级上册上海数学期末试卷测试卷（解析版）一、选择题1．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ）A ．5B ．8C ．3D ．102．下列是一元二次方程的是（ ）A ．2x +1＝0B ．x 2+2x +3＝0C ．y 2+x ＝1D ．1x ＝1 3．如图，已知O 的内接正方形边长为2，则O 的半径是（ ）A ．1B ．2C 2D ．224．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a ,a +2)、C(b ,0)（a >0,b >0），若AB=2且∠ACB 最大时，b 的值为（ ）A ．226+B ．226-+C ．242+D ．242 5．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)3y x =+-D ．23(2)3y x =--6．已知52x y =，则x y y -的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．32 D ．237．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1808．已知关于x 的一元二次方程 (x - a )(x - b ) -12= 0 (a < b ) 的两个根为 x 1、x 2，(x 1< x 2)则实数 a 、b 、x 1、x 2的大小关系为（ ）A ．a < x 1< b <x 2B ．a < x 1< x 2 < bC ．x 1< a < x 2 < bD ．x 1< a < b < x 29．一元二次方程x 2﹣3x ＝0的两个根是（ ）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 10．已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠E=40°，则∠F的度数为（）A．40 B．60 C．80 D．10011．如图所示的网格是正方形网格，则sin A的值为（）A．12B．22C．35D．4512．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（）A．35B．38C．58D．34二、填空题13．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为_____．14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为____．15．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝________．16．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为_________．17．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．18．在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 交对角线AC 于点E ，交AD 于点F ．若AB BC ＝35，则EF BF的值为_____．19．二次函数2y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取值范围是_______.20．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为______．21．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，则x 1 + x 2＝_____．22．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__． 23．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．24．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．三、解答题25．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：表中数据a＝，b＝，c＝．（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．26．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？27．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．(结果精确到1 cm．参考数据： sin75°="0.966," cos75°=0.259，tan75°=3.732)28．某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元。

2023-2024学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）下列命题中，真命题是（）A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似2．（4分）已知：△A1B1C1～△A2B2C2～△A3B3C3，如果△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2，△A2B2C2与△A3B3C3相似比为4，那么△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为（）A．2B．4C．6D．83．（4分）如图，△ABC三边上点D、E、F，满足DE∥BC，EF∥AB，那么下列等式中，成立的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知G是△ABC的重心，记，，那么下列等式中，成立的是（）A．B．C．D．5．（4分）将二次函数y＝x2+2x+3和y＝﹣x2+2x﹣3的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤﹣1C．﹣1≤x≤1D．x≥1或x≤﹣16．（4分）如图，过矩形ABCD的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F、G、H，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH．设对角线AC与BD的夹角为α（0＜α＜90°），那么矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值为（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．cot2α二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么＝．8．（4分）已知向量与是互不平行的非零向量，如果＝2+3，，那么向量与是否平行？答：．9．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式．10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，且经过点（3，4）和（﹣2，4），如果点（1，y1）与（2，y2）在此抛物线上，那么y1y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）11．（4分）已知点A（1，4）、B（﹣2，0），那么直线AB与x轴夹角的正弦值是．12．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G 为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是．13．（4分）已知等腰三角形的腰与底边之比为3：2，那么这个等腰三角形底角的余弦值为．14．（4分）如图，N是线段AB上一点，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，联结CM并延长交AB于点P，联结DM并延长交AB于点Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN ＝1.2，那么QN＝．15．（4分）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形DEMN的边MN在AB上，顶点D、E分别在边AC、BC上，设DE的长为x厘米，矩形DEMN的面积为y平方厘米，那么y 关于x的函数解析式是．（不必写定义域）16．（4分）如图，点D、E分别位于△ABC边BC、AB上，AD与CE交于点F．已知AF：FD＝1：1，EF：FC＝1：4，则BD：CD＝．17．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么∠CBE的正切值是．18．（4分）为了研究抛物线L1：y＝ax2+bx+c与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数a、b、c的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现L1与L2的位置特征，你的发现是：；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知抛物线y＝x2+2x+3的顶点为A，它与y轴的交点为B．（1）求线段AB的长；（2）平移该抛物线，使其顶点在y轴上，且与x轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，对角线AC、BD交于点E．（1）设，，试用、的线性组合表示向量．（2）如果∠ABC＝90°，AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．22．（10分）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN，树根部为B、树顶端为A，其中MN＝1.5m，视线MB的仰角为α（已知tanα＝），视线MA的仰角为β（已知tanβ＝）．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH的长度，就可以了．”设NH＝a，请你用含有a的代数式表示松树（AB）的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树（AB）的高度．23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，再过点C作CF⊥CD交直线AE于点F．（1）求证：CA•CD＝CB•CF；（2）联结CE，求证：∠ACE＝∠F．24．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B，其与x轴的另一交点为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB上点P处，得到新抛物线L，其与直线y＝﹣x+3的另一个交点为Q．①如果抛物线L经过点A，且与x轴的另一交点为D，求线段CD的长；②试问：△CPQ的面积是否随点P在线段AB上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出△CPQ面积．25．（14分）如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，BH⊥CO交AC于D，垂足为H，连接OD．（1）求证：BC2＝AC•CD；（2）如果△ODH与△ABC相似，求其相似比；（3）如果BH：DH＝4：1，求∠ADO的大小．2023-2024学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）下列命题中，真命题是（）A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似【分析】根据相似三角形和相似多边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，由于两个直角三角形的两个直角相等，那么这两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意；B、如果一个等腰三角形的一个底角等于另一个等腰三角形的顶角，那么这两个三角形不一定相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的直角梯形的四个角分别相等，但四条边不一定成比例，则这两个那么这两个梯形不一定相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，但其它三个角不一定对应相等，则这两个那么这两个梯形不一定相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：A．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形和相似多边形的判定方法．2．（4分）已知：△A1B1C1～△A2B2C2～△A3B3C3，如果△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2，△A2B2C2与△A3B3C3相似比为4，那么△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A3B3的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：∵△A1B1C1～△A2B2C2～△A3B3C3，如果△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2，△A2B2C2与△A3B3C3相似比为4∴A1B1：A2B2＝2：1，A2B2：A3B3＝4：1，设A3B3＝x，则A2B2＝4xA1B1＝8x，∴A1B1：A3B3＝8：1，∴△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为8．故选：D．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A3B3的比值，也就是两三角形的相似比．3．（4分）如图，△ABC三边上点D、E、F，满足DE∥BC，EF∥AB，那么下列等式中，成立的是（）A．B．C．D．【分析】由题意可证四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，DE＝BF，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：∵DE∥BC、EF∥AB，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC，∴，故A错误；，∵DE∥BC、EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，DE＝BF，∴，故B正确；∴，故C错误；，故C错误，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．4．（4分）已知G是△ABC的重心，记，，那么下列等式中，成立的是（）A．B．C．D．【分析】连接AG并延长交BC于点D，利用平面向量的公式和三角形的重心的性质解答即可．【解答】解：连接AG并延长交BC于点D，如图，∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，∴＝3，∵，，∴，∵，，∴，∴＝3．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，熟练掌握平面向量的公式是解题的关键．5．（4分）将二次函数y＝x2+2x+3和y＝﹣x2+2x﹣3的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤﹣1C．﹣1≤x≤1D．x≥1或x≤﹣1【分析】根据题意画出函数的图象，然后根据函数的图象即可得到结论．【解答】解：列表：…﹣2﹣10123……3236718……﹣11﹣6﹣3﹣2﹣36…描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图：由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量x的取值范围是﹣1≤x≤1，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解函数的图象的意义是关键．6．（4分）如图，过矩形ABCD的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F、G、H，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH．设对角线AC与BD的夹角为α（0＜α＜90°），那么矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值为（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．cot2α【分析】利用矩形的性质得到矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值＝，再利用相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．【解答】解：设矩形ABCD的对角线交于点O，如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，OE＝OF＝OG＝OH，＝4S△OAB，S矩形EFGH＝4S△OEF，∴S矩形ABCD∴矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值＝，∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴．∵BF⊥OA，OE＝OF，∴cosα＝，∴矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值＝cos2α．故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质和矩形的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么＝．【分析】根据题意将a，b用含有一个未知数的式子表示出来，化简即可．【解答】解：设a＝2x，则b＝5x，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查分式的化简，掌握分式的化简方法是关键．8．（4分）已知向量与是互不平行的非零向量，如果＝2+3，，那么向量与是否平行？答：不平行．【分析】根据向量平行的条件判断即可．【解答】解：假设向量与平行，则（λ≠0），∴＝＝，∴，无解，∴向量与不平行．故答案为：不平行．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握向量平行的条件是解答本题的关键．9．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式y＝2（x+1）2﹣2（答案不唯一）．【分析】由开口向下可知二次项系数大于0，由顶点位于第三象限内可设其为顶点式，可求得答案．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，且其图象顶点位于第三象限内，∴满足上述条件的二次函数解析式为y＝2（x+1）2﹣2等．故答案为：y＝2（x+1）2﹣2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，且经过点（3，4）和（﹣2，4），如果点（1，y1）与（2，y2）在此抛物线上，那么y1＜y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，然后利用二次函数的性质即可判断．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c图象经过点（3，4）和（﹣2，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，点（1，y1）与（2，y2）在此抛物线上，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．11．（4分）已知点A（1，4）、B（﹣2，0），那么直线AB与x轴夹角的正弦值是．【分析】在直角坐标系中，过A作AC⊥x轴，构造直角三角形，可得直线AB与x轴夹角的正弦值．【解答】解：，过A作AC⊥x轴，交x轴于点C，则C（1，0），在Rt△ABC中，AB＝＝5，直线AB与x轴夹角的正弦值＝sin∠ABC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了正弦，关键是掌握正弦的定义．12．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G 为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是0.5．【分析】先证△ABC∽△OBE，由CO是边AB上的中线，可得OE的长，再证△ONG∽△OBC，根据G为△ABC的重心，可得△ONG与△OBC的面积比，可得△OGN的面积．【解答】解：过O作OE⊥BC，交BC于E，∴∠ACB＝∠OEB＝90°，∵∠ABC＝∠OBE，∴△ABC∽△OBE，∴＝＝，∵CO是边AB上的中线，∴＝，∵AC＝3，BC＝6，∴OE＝1.5，BE＝3，＝4.5，∵GN∥BC，∴∠ONG＝∠OBC，∠OGN＝∠OCB，∴△ONG∽△OBC，∴（）2＝，∵G为△ABC的重心，∴＝，∴＝，＝0.5，∴S△ONG故答案为：0.5．【点评】本题考查了三角形的中线、重心，关键是掌握三角形中线、重心的性质．13．（4分）已知等腰三角形的腰与底边之比为3：2，那么这个等腰三角形底角的余弦值为．【分析】从顶点向底边作高，构造直角三角形，可得底角的余弦值．【解答】解：设等腰三角形的腰为3a，底边为2a，如图，即AB＝AC＝3a，BC＝2a，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD（HL），∴BD＝CD＝a，∠B＝∠C，在Rt△ABD中，cos∠B＝cos∠C＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形、余弦，关键是掌握余弦的定义．14．（4分）如图，N是线段AB上一点，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，联结CM并延长交AB于点P，联结DM并延长交AB于点Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN ＝1.2，那么QN＝ 1.6．【分析】先证△MNP∽△CAP，求得PN、NB，再证△MNQ∽△DBQ，可得QN．【解答】解：∵AC⊥AB，NM⊥AB，∴∠CAP＝∠MNP＝90°，∵∠MPN＝∠CPA，∴△MNP∽△CAP，∴＝，∵AC＝3，MN＝1，PN＝1.2，∴PA＝3.6，PB＝AB﹣PA＝0.4，NB＝NP+PB＝1.6，设QN＝x，则QB＝x+1.6，∵BD⊥AB，NM⊥AB，∴∠MNQ＝∠DBQ＝90°，∵∠DQB＝∠MQN，∴△MNQ∽△DBQ，∴＝，∵BD＝2，MN＝1，∴，解得：x＝1.6，即QN＝1.6，故答案为：1.6．【点评】本题考查了相似三角形，关键是掌握相似三角形的性质．15．（4分）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形DEMN的边MN在AB上，顶点D、E分别在边AC、BC上，设DE的长为x厘米，矩形DEMN的面积为y平方厘米，那么y 关于x的函数解析式是y＝﹣x2+10x．（不必写定义域）【分析】根据图中的几何关系先把EM表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形是DEMN矩形，∴△BME、△AND是等腰直角三角形，∴MN＝DE＝x厘米，BM＝EM＝DN＝AN＝（20﹣x），∴y＝x•（20﹣x）＝﹣x2+10x．故答案为：y＝﹣x2+10x．【点评】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质．16．（4分）如图，点D、E分别位于△ABC边BC、AB上，AD与CE交于点F．已知AF：FD＝1：1，EF：FC＝1：4，则BD：CD＝．【分析】过点D作DH∥EF，交AB于点H，利用相似三角形的判定与性质，设EF＝k，则DH＝2k，由已知条件求得FC＝4k，EC＝5k，再利用相似三角形的判定与性质和比例的性质解答即可得出结论．【解答】解：过点D作DH∥EF，交AB于点H，如图，∴AF：FD＝1：1，∴AF：AD＝1：2．∵DH∥EF，∴△AEF∽△AHD，∴，设EF＝k，则DH＝2k．∵EF：FC＝1：4，∴FC＝4k．∴EC＝EF+FC＝5k．∵DH∥EF，∴△BDH∽△BCE，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，过点D作DH∥EF构造相似三角形是解题的关键．17．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么∠CBE的正切值是．【分析】设AB 与CD 的交点为M ，作MN ⊥BD 于N ，根据旋转的性质BD ＝AB ，∠CBE ＝∠MBN ，利用勾股定理求得AB ，由图中阴影部分的面积为4.5求得MN ，然后通过证得△BED ∽△MND ，求得DN ，进一步求得BN ，从而求得tan ∠MBN ＝，得到tan ∠CBE ＝．【解答】解：设AB 与CD 的交点为M ，作MN ⊥BD 于N ，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝＝5，S △ABC ＝＝6，∵图中阴影部分的面积为4.5，∴S △BMD ＝4.5，∵BD ＝AB ＝5，∴S △BMD ＝＝4.5，即，∴MN ＝，∵∠BED ＝∠MND ＝90°，∠BDE ＝∠MDN ，∴△BED ∽△MND ，∴，即，∴DN ＝，∴BN ＝5﹣＝，∴tan ∠MBN ＝＝＝，∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC ﹣∠ABE ＝∠DBE ﹣∠ABE ，即∠CBE ＝∠MBN ，∴tan ∠CBE ＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和旋转，解直角三角形等，熟知旋转的性质是解题的关键．18．（4分）为了研究抛物线L1：y＝ax2+bx+c与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数a、b、c的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现L1与L2的位置特征，你的发现是：关于原点对称；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：设任意一点坐标为（x，y），其关于原点的对称点（﹣x，﹣y）在抛物线L1：y＝ax2+bx+c上，∴﹣y＝ax2﹣bx+c．∴y＝﹣ax2+bx﹣c．∴点（x，y）在抛物线L2：y＝﹣ax2+bx﹣c上．∵点（x，y）的任意性，∴L1与L2的位置特征是关于原点对称．【分析】依据题意，令a＝1，b＝2，c＝1，从而L1：y＝x2+2x+1，L2：y＝﹣x2+2x﹣1画出图象即可判断得解；设任意一点坐标为（x，y），其关于原点的对称点（﹣x，﹣y）在抛物线L1：y＝ax2+bx+c上，代入可得y＝﹣ax2+bx﹣c，结合点（x，y）的任意性进行计算可以得解．【解答】解：由题意，令a＝1，b＝2，c＝1，∴L1：y＝x2+2x+1，L2：y＝﹣x2+2x﹣1．作图如下．通过观察可以发现L1与L2的位置特征是关于原点对称．设任意一点坐标为（x，y），其关于原点的对称点（﹣x，﹣y）在抛物线L1：y＝ax2+bx+c 上，∴﹣y＝ax2﹣bx+c．∴y＝﹣ax2+bx﹣c．∴点（x，y）在抛物线L2：y＝﹣ax2+bx﹣c上．∵点（x，y）的任意性，∴L1与L2的位置特征是关于原点对称．故答案为：关于原点对称；答案见解析．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×+﹣（）2＝﹣﹣1﹣＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）已知抛物线y＝x2+2x+3的顶点为A，它与y轴的交点为B．（1）求线段AB的长；（2）平移该抛物线，使其顶点在y轴上，且与x轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．【分析】（1）根据抛物线的解析式求得A点的坐标为（1，2），B点的坐标为（0，3），根据勾股定理即可得到结论；（2）设平移后的抛物线为y＝x2+k，待定系数法即可得到结论．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，当x＝0时，y＝x2+2x+3＝3，∴A点的坐标为（1，2），B点的坐标为（0，3），∴AB＝＝；（2）设平移后的抛物线为y＝x2+k．∵抛物线的对称轴是直线x＝0，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，∴平移后的抛物线与x轴的交点交点为（﹣2，0），（2，0），∴22+k＝0，即k＝﹣4，∴平移后抛物线的解析式为：y＝x2﹣4．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，对角线AC、BD交于点E．（1）设，，试用、的线性组合表示向量．（2）如果∠ABC＝90°，AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据已知条件得到AD＝BC，推出与同向，求得＝，于是得到＝﹣＝﹣；（2）根据相似三角形的性质得到＝，设DE＝x，BE＝3x，求得BD＝4x，根据相似三角形的性质得到BD＝2，根据勾股定理得到AB＝＝，根据梯形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵AD＝1，BC＝3，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴与同向，∵，∴＝，∴＝﹣＝﹣；（2）∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝，∴设DE＝x，BE＝3x，∴BD＝4x，∵∠ABC＝90°，∴∠DAB＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝∠ADE+∠ABD＝90°，∴∠DAE＝∠ABD，∴△ADE∽△BDA，∴，∴，∴x＝（负值舍去），∴DE＝，BD＝2，∴AB＝＝，∴四边形ABCD的面积＝（AD+BC）•AB＝（1+3）×＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，梯形的面积，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．22．（10分）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN，树根部为B、树顶端为A，其中MN＝1.5m，视线MB的仰角为α（已知tanα＝），视线MA的仰角为β（已知tanβ＝）．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH的长度，就可以了．”设NH＝a，请你用含有a的代数式表示松树（AB）的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树（AB）的高度．【分析】（1）过点M作MC⊥AH，垂足为C，根据题意可得：∠AMC＝β，∠BMC＝α，MN＝CH＝1.5米，NH＝MC＝a米，然后分别在Rt△AMC和Rt△BMC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）利用现有的工具制定测量方案，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：（1）过点M作MC⊥AH，垂足为C，由题意得：∠AMC＝β，∠BMC＝α，MN＝CH＝1.5米，NH＝MC＝a米，在Rt△AMC中，MC＝a，∠AMC＝β，∵tanβ＝＝，∴AC＝tanβ•MC＝a（米），在Rt△BMC中，MC＝a，∠BMC＝α，∵tanα＝＝，∴BC＝tanα•MC＝a（米），∴AB＝AC﹣BC＝a﹣a＝a（米），答：松树AB的高度为a米；（2）我想的测量办法是：在水平地面上的点C处测得小树顶端A的仰角为α，再从C点向前走a米到达点D处，在点D处测得小树顶端A的仰角为γ，测得小树底端B的仰角为β，即可通过计算求得松树（AB）的高度．如图：连接EF并延长交AH于点G，由题意得：EC＝DF＝GH＝1.5米，EF＝CD＝a米，FG＝DH，∠AEG＝α，∠AFG＝γ，∠BFG＝β，设FG＝DH＝x米，∴EG＝EF+FG＝（x+a）米，在Rt△AEG中，∠AEG＝α，∴AG＝EG•tanα＝tanα（x+a）米，在Rt△AFG中，∠AFG＝γ，∴AG＝FG•tanγ＝tanγx（米），∴tanα（x+a）＝tanγx，解得：x＝，∴FG＝米，∴AG＝tanγx＝（米），在Rt△BFG中，∠BFG＝β，∴BG＝FG•tanβ＝（米），∴AB＝AG﹣BG＝﹣＝（米），∴松树AB的高度为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，再过点C作CF⊥CD交直线AE于点F．（1）求证：CA•CD＝CB•CF；（2）联结CE，求证：∠ACE＝∠F．【分析】（1）利用平行四边形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用（1）的结论，相似三角形的判定与性质得到AG2＝EG•DG，利用平行四边形的对角线互相平分得到AG＝GC，则CG2＝EG•DG，利用相似三角形的判定与性质得到∠ACE＝∠CDB，利用等量代换即可得出结论．【解答】证明：（1）设AC与BD交于点G，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠CBD＝∠ADB．∵AC⊥AD，∴∠CAE+∠DAE＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠CBD．∵BC∥AD，AC⊥AD，∴AC⊥BC，∵CF⊥CD，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCF+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACF，∴△BCD∽△ACF，∴，∴CA•CD＝CB•CF；（2）由（1）知：∠CAE＝∠ADE，∵∠AGE＝∠DGA，∴△AGE∽△DGA，∴，∴AG2＝EG•DG．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AG＝GC，∴CG2＝EG•DG．∴，∵∠EGC＝∠CGD，∴△EGC∽△CGD，∴∠ACE＝∠CDB．由（1）知：△BCD∽△ACF，∴∠CDB＝∠F，∴∠ACE＝∠F．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B，其与x轴的另一交点为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB上点P处，得到新抛物线L，其与直线y＝﹣x+3的另一个交点为Q．①如果抛物线L经过点A，且与x轴的另一交点为D，求线段CD的长；②试问：△CPQ的面积是否随点P在线段AB上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出△CPQ面积．【分析】（1）先由直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，求出A（3，0），B（0，3），再根据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，求出与x轴的另一交点A 的坐标为（﹣1，0），然后将A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出该抛物线的函数表达式；（2）①先利用配方法将二次函数写成顶点式y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，设新抛物线L的函数表达式为y＝﹣（x﹣1﹣m）2+4﹣n，则P（m+1，4﹣n），由顶点在线段AB 上点P处可得﹣（m+1）+3＝4﹣n，n＝m+2，根据抛物线L经过点A，可得m＝1，可得新抛物线L的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1，则D（1，0），即可求解；②设抛物线y＝﹣x2+2x+3顶点为P′，P′（1，4），过P′作直线y＝﹣x+3的平行线交抛物线于点Q′，由平移得当点P′平移到P点时Q′平移到Q点，则PQ＝P′Q′，PQ为定值，所以△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化，根据①的结果得点P（2，1）、Q（3，0），即可求出△CPQ的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A、B，∴A（3，0），B（0，3），又∵对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B，其与x轴的另一交点为C．∴点C的坐标为（﹣1，0）．将A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，设新抛物线L的函数表达式为y＝﹣（x﹣1﹣m）2+4﹣n，∴P（m+1，4﹣n），∵新抛物线L的顶点在线段AB：y＝﹣x+3上点P处，∴﹣（m+1）+3＝4﹣n，∴n＝m+2，∵抛物线L经过点A（3，0），∴﹣（3﹣1﹣m）2+4﹣（m+2）＝0，解得m＝1或m＝2（此时，点P与点A重合，抛物线L与x轴只有一个交点，舍去），∴n＝m+2＝3，∴新抛物线L的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1，对称轴为直线x＝2，∵A（3，0），∴D（1，0），∵点C的坐标为（﹣1，0）．∴CD＝2；②△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，设抛物线y＝﹣x2+2x+3顶点为P′，∴P′（1，4），过P′作直线y＝﹣x+3的平行线交抛物线于点Q′，由平移得当点P′平移到P点时Q′平移到Q点，则PQ＝P′Q′，PQ为定值，∴△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化，根据①得点P（2，1）、Q（3，0），＝×（3+1）×1＝2．∴S△CPQ。

沪教版初三数学九年级上册期末试题及答案一、选择题1．如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8，则EF ＝（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.42．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ） A ．45B ．34C ．43D ．354．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．的是( )A ．12DE BC = B ．AD AEAB AC= C ．△ADE ∽△ABCD ．:1:2ADEABCS S=5．把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）A ．22(3)2y x =-+B ．22(3)2y x =++C ．22(3)?2y x =-D ．22(3)?2y x =+6．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=α，则∠OBC 等于（ ）A ．180°﹣2αB ．2αC ．90°+αD ．90°﹣α7．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，02六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．568．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄(单位：岁)14 15 16 17 18 人数15321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A ．15，16B ．15，15C ．15，15.5D ．16，159．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ） A ．14B ．34C ．15D ．3510．若关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =，则方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=的解为（ ）A ．120,2x x ==B ．122,4x x =-=C ．120,4x x ==D ．122,2x x =-= 11．方程2x x =的解是（ ） A ．x=0B ．x=1C ．x=0或x=1D ．x=0或x=-112．关于二次函数y ＝x 2+2x +3的图象有以下说法：其中正确的个数是（ ） ①它开口向下；②它的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y 轴的直线；③它与x 轴没有公共点；④它与y 轴的交点坐标为（3，0）． A ．1B ．2C ．3D ．413．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．2x ﹣3＝xB ．2x +3y ＝5C ．2x ﹣x 2＝1D ．17x x+= 14．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．1915．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）A ．2B ．3C ．32D ．2二、填空题16．二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________．17．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．19．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．20．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝________．21．某一时刻身高160cm 的小王在太阳光下的影长为80cm ，此时他身旁的旗杆影长10m ，则旗杆高为______．22．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为35，则袋中共有小球_____只． 23．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．24．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB ＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．25．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝1213，BC ＝12，则AD 的长_____．26．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．27．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，6BC =，D 是BC 上一点，2CD =，过点D 的直线l 将ABC ∆分成两部分，使其所分成的三角形与ABC ∆相似，若直线l 与ABC ∆另一边的交点为点P ，则DP =__________．28．若⊙O 的直径是4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是_________．29．如图，在⊙O 中，分别将弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O 的半径为4，则四边形ABCD 的面积是__________________．30．若关于x 的一元二次方程22(1)0k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为__________.三、解答题31．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像经过()0,3M ，()2,5N --两点.（1）求该函数的解析式；（2）若该二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点，求ABM ∆的面积；（3）若点P 在二次函数图像的对称轴上，当MNP ∆周长最短时，求点P 的坐标. 32．（1）解方程：2670x x +-= （2）计算：)4sin 45831tan 30︒--︒33．已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系． 34．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x （元）和游客居住房间数y （间）的信息，乐乐绘制出y 与x 的函数图象如图所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？35．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于210cm ？ (2)在(1)中，PQB ∆的面积能否等于27cm ？请说明理由.四、压轴题36．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由． 37．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．38．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．39．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．40．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AB DE BC EF,∵AB＝1.5，BC＝2，DE＝1.8,∴1.5 1.82EF= , ∴EF=2.4故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是关键．2．C解析：C【解析】【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．3．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长，在求出∠ACD的等角∠B，即可得到答案.【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB5==,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠C=90°,∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,∴∠B=∠ACD=α,∴4cos5BCcos BABα===.故选：A.【点睛】此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.4．D解析：D【解析】∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，AD AEAB AC=，∴21()4ADEABCS DES BC==.由此可知：A、B、C三个选项中的结论正确，D选项中结论错误.故选D.5．A解析：A【解析】将二次函数22y x=的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：22(3)2y x=-+.故选A.6．D解析：D【解析】连接OC，则有∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴2∠OBC+2α=180°，∴∠OBC=90°-α，故选D.7．B解析：B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π共2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21 =63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.8．C解析：C【解析】【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，∴众数为15岁，中位数是第6、7个数据的平均数，∴中位数为(1516)2+÷=15.5岁，故选：C．【点睛】本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．9．D解析：D【解析】【分析】根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为3 5 .【详解】摸到红球的概率=33 235=+，【点睛】此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键.10．C解析：C【解析】【分析】设方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=中，1t x =-，根据已知方程的解，即可求出关于t 的方程的解，然后根据1t x =-即可求出结论．【详解】解：设方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=中，1t x =-则方程变为20at bt c ++=∵关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =，∴关于t 的方程20at bt c ++=的解为11t =-，23t =， ∴对于方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=，11x -=-或3解得：10x =，24x =，故选C ．【点睛】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．11．C解析：C【解析】【分析】根据因式分解法，可得答案．【详解】解：2x x =，方程整理，得，x 2-x=0因式分解得，x （x-1）=0，于是，得，x=0或x-1=0，解得x 1=0，x 2=1，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．12．B解析：B【解析】直接利用二次函数的性质分析判断即可．【详解】①y＝x2+2x+3，a＝1＞0，函数的图象的开口向上，故①错误；②y＝x2+2x+3的对称轴是直线x＝221-⨯＝﹣1，即函数的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线，故②正确；③y＝x2+2x+3，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即函数的图象与x轴没有交点，故③正确；④y＝x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，即函数的图象与y轴的交点是（0，3），故④错误；即正确的个数是2个，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的特征，解题的关键是熟练掌握根据二次函数解析式求二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点坐标．13．C解析：C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；D、方程x+1x＝7是分式方程，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．14．B解析：B【解析】【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．【详解】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，设OB ＝a ，则OA ＝2a ，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()22142a a ππ=． 故选：B ．【点睛】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．15．D解析：D【解析】【分析】先证明△ABD 为等腰直角三角形得到∠ABD ＝45°，BD 2AB ，再证明△CBD 为等边三角形得到BC ＝BD 2AB ，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，从而得到下面圆锥的侧面积．【详解】∵∠A ＝90°，AB ＝AD ，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，BD 2AB ，∵∠ABC ＝105°，∴∠CBD ＝60°，而CB ＝CD ，∴△CBD 为等边三角形，∴BC ＝BD 2AB ，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，2×12．故选D ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．二、填空题16．【解析】【分析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性解析：()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义． 17．y ＝2(x －2)2＋3【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为解析：y ＝2(x －2)2＋3【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：将抛物线y=2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，故答案为：y ＝2(x －2)2＋3.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．18．－1＜x＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，故答案为：－1＜x＜3.【点睛解析：－1＜x＜3【解析】【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，故答案为：－1＜x＜3.【点睛】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．19．【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【详解】∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为=π．故答案为：π．【点睛】此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．解析：π【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【详解】∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为603 180π⨯=π．故答案为：π．【点睛】此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．20．-3【解析】【分析】观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线. 【详解】解：∵ A（3，﹣解析：-3【解析】【分析】观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.【详解】解：∵ A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，∴A,B两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，∴抛物线的对称轴是直线x= -3.【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.21．20m【解析】【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．【详解】解：设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：：10，解得．故答案是：20m．解析：20m【解析】【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．【详解】解：设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：80x=：10，解得x20=．故答案是：20m．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．22．【解析】【分析】直接利用概率公式计算．【详解】解：设袋中共有小球只，根据题意得，解得x＝10，经检验，x=10是原方程的解，所以袋中共有小球10只．故答案为10．【点睛】此题主解析：【解析】【分析】直接利用概率公式计算．【详解】解：设袋中共有小球只，根据题意得635x=，解得x＝10，经检验，x=10是原方程的解，所以袋中共有小球10只．故答案为10．【点睛】此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知概率公式的运用.23．60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．∴BC＝＝10（cm），∴圆锥的侧面积是：（解析：60π【分析】先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．∴BC=＝10（cm），∴圆锥的侧面积是：12610602r l rlππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm2）．故答案为：60π．【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键．24．【解析】【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的解析：60π【解析】【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝12lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝12lr＝12×12π×10＝60π米2，故答案为60π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝12lr是解题的关键．25．8 【解析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△A解析：8【解析】【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝ADAC＝1213，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝1213，接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝23，然后利用AD＝12x进行计算．【详解】在Rt△ADC中，sin C＝ADAC＝1213，设AD＝12x，则AC＝13x，∴DC＝5x，∵cos∠DAC＝sin C＝12 13，∴tan B＝12 13，在Rt△ABD中，∵tan B＝ADBD＝1213，而AD＝12x，∴BD＝13x，∴13x+5x＝12，解得x＝23，∴AD＝12x＝8．故答案为8．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．26．【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴，∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，解析：5【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出AB AE AD AC =，由此即可解决问题． 【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC=90°，∴AC ==∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠ADC ，∵∠E=∠C ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE AD AC =， ∴3AB =∴5AB =【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．27．1，，【解析】【分析】根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．【详解】解：如图：当DP∥AB 时∴△DCP∽△BCA∴即，解得DP=1 如图：当P 在AB 上，即DP∥AC ∴△DC解析：1，83，32【解析】【分析】 根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．【详解】解：如图：当DP ∥AB 时∴△DCP ∽△BCA∴DC DP BC AB =即263DP =，解得DP=1 如图：当P 在AB 上，即DP ∥AC∴△DCP ∽△BCA∴BD DP BC AC =即6264DP -=，解得DP=83 如图，当∠CPD=∠B ，且∠C=∠C 时,∴△DCP ∽△ACB∴PD CD AB AC =即243DP =，解得DP=32故答案为1，83，32．本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P点是解答本题的关键．28．相离【解析】r=2,d=3, 则直线l与⊙O的位置关系是相离解析：相离【解析】r=2,d=3,则直线l与⊙O的位置关系是相离29．【解析】【分析】作OH⊥AB，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行解析：163【解析】【分析】作OH⊥AB，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．【详解】如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH=HE=1×4=22，OG=GF=1×4=22，即OH=OG，又∵OB=OD，∴Rt△OHB≌Rt△OGD，∴HB=GD，同理，可得AH=CG= HB=GD ∴AB=CD∴四边形ABCD 是平行四边形，在Rt △OHA 中，由勾股定理得：==∴AB=∴四边形ABCD 的面积=AB ×GH=故答案为：．【点睛】本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD 是矩形．30．0【解析】把x ＝1代入方程得，，即，解得.此方程为一元二次方程，，即，故答案为0.解析：0【解析】把x ＝1代入方程得，2110k k -+-=，即20k k -=，解得120,1k k ==.此方程为一元二次方程，10k ∴-≠，即1k ≠，0.k ∴=故答案为0.三、解答题31．（1）2y x 2x 3=-++；（2）6；（3）()1,1P【解析】【分析】（1）将M,N 两点代入2y x bx c =-++求出b,c 值，即可确定表达式；（2）令y=0求x 的值，即可确定A 、B 两点的坐标，求线段AB 长，由三角形面积公式求解.（3）求出抛物线的对称轴，确定M 关于对称轴的对称点G 的坐标，直线NG 与对称轴的交点即为所求P 点，利用一次函数求出P 点坐标.【详解】解：将点()0,3M ，()2,5N --代入2y x bx c =-++中得， 3425c b c =⎧⎨--+=-⎩ ， 解得，23b c =⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为2y x 2x 3=-++；（2）如图，当y=0时，2230x x -++=，∴x 1=3,x 2= -1,∴A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,∴S △ABM =14362⨯⨯= . 即ABM ∆的面积是6.（3）如图，抛物线的对称轴为直线2122bx a ， 点()0,3M 关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),∴PM=PG,连MG 交抛物线对称轴于点P ，此时NP+PM=NP+PG 最小，即MNP ∆周长最短.设直线NG 的表达式为y=mx+n,将N(-2,-5),G(2,3)代入得，2523m n m n -+=-⎧⎨+=⎩ ，解得，21m n =⎧⎨=-⎩， ∴y=2m-1,∴P 点坐标为(1,1).【点睛】本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.如图，二次函数y=-x ²+bx+c 的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.32．（1）17x =-，21x =；（2）31 【解析】【分析】(1)利用求根公式法解方程即可(2)第一、四项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，【详解】 解：(1)()2641764=-⨯⨯-= ∴66468x 342-±-±===-± ∴17x =-，21x = (2)原式23342211233=⨯--=- 【点睛】本题考查的知识点有解一元二次方程和实数的运算，熟记求根公式和特殊角的三角函数值是解此题的关键.33．（1）见解析；（2） ①当n ＝－3时，a ＝b ；②当－3＜n ＜－1时，a ＞b ；③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b【解析】【分析】（1）方法一：当y=0时，（x-m ）（x-m-4）=0，解得x 1=m ，x 2=-m-4，即可得到结论；方法二：化简得y ＝x 2＋4x －m 2－4m ，令y ＝0，可得b 2－4ac ≥0，即可证明；（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a 与b 的大小.【详解】（1）方法一：令y ＝0，(x －m )(x ＋m ＋4)=0，解得x 1＝m ；x 2＝－m －4．当m ＝－m －4，即m ＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x 轴有一个公共点；当m ≠－m －4，即m ≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x 轴有两个公共点．综上不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．方法二：化简得y ＝x 2＋4x －m 2－4m ．令y ＝0，b 2－4ac ＝4m 2＋16m ＋16＝4(m ＋2)2≥0，方程有两个实数根．∴不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x ＝－2①当n ＝－3时，a ＝b ；②当－3＜n ＜－1时，a ＞b③当n ＜－3或n ＞－1时，a ＜b【点睛】本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，并且注意分情况讨论.34．（1）y=﹣0.5x+110；（2）房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；（2）根据题意可以得到利润与x 之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，70758070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：0.5110k b =-⎧⎨=⎩， 即y 与x 之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110；（2）设合作社每天获得的利润为w 元，w=x （﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=﹣0.5x 2+120x ﹣2200=﹣0.5（x ﹣120）2+5000， ∵60≤x≤150，∴当x=120时，w 取得最大值，此时w=5000，答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．35．(1)3秒后，PQ 的长度等于(2)PQB ∆的面积不能等于27cm .【解析】【分析】（1）由题意根据PQ=BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；【详解】解：(1)设x 秒后，PQ =5BP x =-，2BQ x =，∵222BP BQ PQ +=∴()()(22252x x -+= 解得：13x =，21x =-(舍去)∴3秒后，PQ 的长度等于；(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =，又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，∴方程没有实数根，∴PQB ∆的面积不能等于27cm .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键．四、压轴题36．(1)作图见解析；（2）49π. 【解析】试题分析：（1）作出∠B 的角平分线BD ，再过X 作OX ⊥AB ，交BD 于点O ，则O 点即为⊙O 的圆心；（2）由于⊙P 与△ABC 哪两条边相切不能确定，故应分⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和BC 相切；⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时；⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时三种情况进行讨论．试题解析：（1）如图所示：①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆心，以大于23GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC 的顶点）∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，时⊙P的面积就是S的最大值，∵AC=1，BC=2，∴AB=5，设PC=x，则PA=AC-PC=1-x在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，∴（1-x）2=x2+（5-2）2，∴x=25-4；②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）2=y2+5）2，∴51 ；。

2023-2024学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列抛物线中，对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣2x 2．（4分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A．B．C．D．3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）A．B．＝﹣C．﹣D．5．（4分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．米B．米C．200米D．米6．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）A．CE∥AD B．BD＝ADC．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：2sin60°﹣cot30°＝．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP ＝．9．（4分）已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：，那么△ABC和△DEF的面积比是．10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：AB＝2：3，AE＝4，CE ＝2，DE＝3，那么BC的长是．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，那么BE的长是．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么AB的长是．13．（4分）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是米（结果保留根号）．14．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是．15．（4分）如图，在△ABC中，AD和BE是△ABC的高，且交于点F，已知AB＝13，BC ＝14，AC＝15，那么∠AFE的正切值是．16．（4分）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是里．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是．18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，如果点P在△ABC的内部，且满足∠APC＝∠BPC＝135°，那么CP的长是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）已知：．（1）求代数式的值；（2）当2a+3b﹣3＝35时，求a、b的值．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点为D．（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）联结CD、BD，求∠CDB的余弦值．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，CD＝BD＝8，AB＝5．（1）求BC的长；（2）设，，求向量（用向量，表示）．22．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73）23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD．（1）求证：AD•CD＝CE•DE；（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y＝ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知m＜n，且mn＝﹣4，与y 轴负半轴交于点C．①求k的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD、CP，如果，求点P的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．（1）当点D是边AB的中点时，求sin∠DCB的值；（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，∠EAC的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC的大小；（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且∠CPD＝∠CGD，如果点P 到直线CD的距离等于线段GE的长度，求△CDE的面积．2023-2024学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列抛物线中，对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣2x【分析】分别求出题目中四个选项中所给出的抛物线的对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+1的对称轴为y轴；∴选项A不符合题意；∵抛物线y＝x2﹣1的对称轴为y轴；、∴选项A不符合题意；∵抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣1；∴选项C不符合题意；∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为x＝1，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法与技巧是解决问题的关键．2．（4分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，由点A的坐标为（4，3）可知，OB＝4，AB＝3，所以AO＝．在Rt△AOB中，sinα＝．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，能构造出直角三角形是解题的关键．3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：A、B、D中的两个三角形不一定相似，故A、B、D不符合题意；C、两个等边三角形相似，故C符合题意．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）A．B．＝﹣C．﹣D．【分析】根据平行四边形对角线互相平分结合平面向量的运算法则逐一判断即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，，，∴，，＝，＝，故选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的运算法则，平行四边形的性质，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．5．（4分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．米B．米C．200米D．米【分析】根据正切的定义求出AB，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝200米，∠ABC＝60°，∵sin B＝，∴AB＝＝＝（米），故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）A．CE∥AD B．BD＝ADC．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC．【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵，∴△ADE∽△ABC，∴∠ACB＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴，∴BO•AE＝AO•BC．∴D选项的结论正确．∵，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABE＝∠ACE，显然OE与OC不一定相等，∴∠ACE与∠BEC不一定相等，∴CE与BD不一定平行，∴A，C不一定正确，∵BD与AD不一定相等，∴B不一定正确．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：2sin60°﹣cot30°＝0．【分析】把sin60＝，cot30°＝代入原式得到2×﹣，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：原式＝2×﹣＝﹣＝0．故答案为0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°＝，cot30°＝．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP＝3﹣．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度，进而得出BP．【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝a＝＝﹣1．BP＝2﹣（﹣1）＝；故答案为：3﹣【点评】此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．9．（4分）已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：，那么△ABC和△DEF的面积比是2：9．【分析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们对应高的比是AM：，∴△ABC和△DEF的相似比是：3，∴△ABC和△DEF的面积比是：32＝2：9．故答案为：2：9．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：AB＝2：3，AE＝4，CE＝2，DE＝3，那么BC的长是．【分析】根据题意推出＝，结合∠A＝∠A，即可推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝AE+EC＝6，∴＝＝，∵AD：AB＝2：3，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝3，∴BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，那么BE的长是 4.2．【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，∴＝，解得BE＝4.2．故答案为：4.2．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么AB的长是．【分析】先证明△ABD∽△BCD，根据相似三角形的性质求出AD和BD，进而求出AB 即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠A，∴△ABD∽△BCD，∴，∵△BCD和△ABD的面积比为9：16，∴＝，∵CD＝12，∴BD＝16，AD＝，∴AB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．13．（4分）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是（250﹣250）米（结果保留根号）．【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，证△PAN是等腰直角三角形，得NA＝PA＝x米，再由锐角三角函数定义得MA＝x米，然后由MA+NA＝MN，求出x＝250﹣250，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，由题意可知，∠MPA＝60°，∠NPA＝45°，∴△PAN是等腰直角三角形，∴NA＝PA＝x米，∵tan∠MPA＝＝tan60°＝，∴MA＝PA＝x（米），∵MA+NA＝MN＝500，∴x+x＝500，解得：x＝250﹣250，即监测点P到限速公路MN的距离是（250﹣250）米，故答案为：（250﹣250）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是（2，0）．【分析】由题意设A点的坐标为（m，﹣m2），然后根据等边三角形的性质得到B（2m，0），m＝m2，解得m＝，从而求得B（2，0）．【解答】解：∵点A抛物线y＝﹣x2上，∴设A点的坐标为（m，﹣m2），∵△AOB是等边三角形，∴B（2m，0），m＝m2，∴m＝或m＝0（舍去），∴B（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，AD和BE是△ABC的高，且交于点F，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，那么∠AFE的正切值是．【分析】利用勾股定理求出BE的长，再将∠AFE转化成∠C即可解决问题．【解答】解：令AE＝x，在Rt△ABE中，BE2＝132﹣x2．在Rt△BCE中，BE2＝152﹣（14﹣x）2．则132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，所以BE＝，CE＝14﹣5＝9．又因为∠AFE+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，所以∠AFE＝∠C．在Rt△BCE中，tan C＝，所以tan∠AFE＝tan C＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．16．（4分）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是8里．【分析】先根据正方形的性质得出OB∥CE，再根据相似三角形的性质列方程求解．【解答】解：设正方形是灭一面城墙的长度为2x里，∵正方形的中心为O，∴OD＝CD＝OE＝CE＝x里，OB∥CE，∴△ACE∽△ABO，∴，即：，解得：x＝4，或x＝﹣4（不合题意，舍去），∴2x＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是4．【分析】作出图形，可以利用SAS证明△BA'A≌△ABC，从而得到AA'＝BC，进而得到AA'的长．【解答】解：作出符合题意的图形如下：由题意，知△A'BC'≌△ABC，∴∠A'BC'＝∠ABC，∴∠A'BC'﹣∠ABC'＝∠ABC﹣∠ABC′，即∠A'BA＝∠C'BC，∵AB＝AC，BC＝BC'，∴∠ABC＝∠C＝∠BC'C，∴∠C'BC＝∠BAC，∴∠A'BA＝∠BAC，∵A'B＝AB＝AC，∴△BA'A≌△ABC（SAS），∴AA'＝BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，准确画出图形是解题的关键．18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，如果点P在△ABC的内部，且满足∠APC＝∠BPC＝135°，那么CP的长是．【分析】通过证明△ACP∽△CBP，可得CP＝AP，BP＝CP，由勾股定理可求解．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝AC＝，∠ACB＝45°，∵∠APC＝∠BPC＝135°，∴∠ACP+∠CAP＝45°＝∠ACP+∠BCP，∠APB＝90°，∴∠BCP＝∠CAP，∴△ACP∽△CBP，∴，∴CP＝AP，BP＝CP，∴BP＝2AP，∵BP2+AP2＝AB2，∴5AP2＝5，∴AP＝1，∴CP＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACP∽△CBP是解题的关键．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）已知：．（1）求代数式的值；（2）当2a+3b﹣3＝35时，求a、b的值．【分析】令a＝2k，b＝5k，（1）把a＝2k，b＝5k，代入即可求值；（2）把a＝2k，b＝5k，代入2a+3b﹣3＝35，求出k＝2，即可得到a＝4，b＝10．【解答】解：∵，∴令a＝2k，b＝5k，（1）＝＝＝﹣2；（2）∵2a+3b﹣3＝35时，∴2×2k+3×5k﹣3＝35，∴k＝2，∴a＝2k＝4，b＝5k＝10．【点评】本题考查比例的性质，关键是令a＝2k，b＝5k，即可求解．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）联结CD、BD，求∠CDB的余弦值．【分析】（1）依据题意，将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3求出b进而的表达式，再化成顶点式可得D的坐标；（2）依据题意，令y＝0，可求得B的坐标，令x＝0，求得C的坐标，再分别求出BC，BD，CD的长，由勾股定理逆定理可得∠DCB＝90°，进而求出cos∠CDB的值．【解答】解：（1）由题意，将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3得，﹣1﹣b+3＝0，∴b＝2．∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．又y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）．（2）如图，由题意，令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0．∴x＝3或x＝﹣1．∴B（3，0）．又令x＝0，∴y＝3．∴CD＝＝，DB＝＝2，BC＝＝3．∴BC2+CD2＝BD2．∴∠BCD＝90°．∴cos∠CDB＝＝＝．【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，CD＝BD＝8，AB＝5．（1）求BC的长；（2）设，，求向量（用向量，表示）．【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，得出比例式求出BC的长即可；（2）过点D作DE∥AB，求出，再根据平行四边形法则求出即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD＝5，∵CD＝BD＝8，∴∠DBC＝∠C，∴∠ABD＝∠DBC，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△DBC，∴，∴，∴BC＝；（2）如图，过点D作DE∥AB，则四边形ABED是菱形，∴BE＝AD＝5，∴BE＝BC，∴，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△DBC，是解（1）的关键．22．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73）【分析】（1）根据正切的定义求出AB；（2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，设DG＝x米，根据坡度的概念用x 表示出DH，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝20米，∠ACB＝60°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan∠ACB＝20×＝60（米），答：高楼AB的高度为60米；（2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，则四边形HBGD为矩形，∴BH＝DG，DH＝BG，设DG＝x米，∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米，∵斜坡CD的坡比是i＝1：6，∴CG＝6x米，∴BG＝（20+6x）米，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝，∴≈0.75，解得：x＝≈6.2，经检验，x是原方程的解，答：点D离地面的距离约为6.2米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD．（1）求证：AD•CD＝CE•DE；（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可；（2）结合平行四边形的性质利用AAS证明△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质得出DE＝EF，等量代换即可得解．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE，∵DE2＝AE•CD，∴＝，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴AD•CD＝CE•DE；（2）如图，在▱ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∴∠A＝∠FBE，∠ADE＝∠F，∵点E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴DE＝EF，∵DE2＝AE•CD，∴EF2＝AB•AB，∴AB2＝2EF2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y＝ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知m＜n，且mn＝﹣4，与y 轴负半轴交于点C．①求k的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD 、CP ，如果，求点P 的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①令y ＝（x ﹣）2﹣k ＝0，解得：x ＝±，即可求解；②由直线OD 的表达式知，tan ∠CPH ＝，则tan ∠POH ＝，在Rt △OPH 中，tan ∠POH＝＝＝，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，点M （﹣2，2），将点M 的坐标代入抛物线表达式得：2＝4a ，解得：a ＝，则抛物线的表达式为：y ＝x 2；（2）①平移后的抛物线表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣k ，令y ＝（x ﹣）2﹣k ＝0，解得：x ＝±，∵mn ＝﹣4，则（+）（﹣）＝﹣4，解得：k ＝；②由①抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣k ＝x 2﹣x ﹣2，其对称轴为直线x ＝，则点C （0，﹣2），当x ＝时，＝﹣2，即点D （，﹣2），∵点C 、D 的纵坐标相同，则CD∥x轴，由直线OD的表达式知，tan∠CPH＝，则tan∠POH＝，∵＝tan∠CPH，设CH＝3x，则PH＝4x，在Rt△OPH中，tan∠POH＝＝＝，解得：x＝，则点P的坐标为：（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．（1）当点D是边AB的中点时，求sin∠DCB的值；（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，∠EAC的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC的大小；（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且∠CPD＝∠CGD，如果点P 到直线CD的距离等于线段GE的长度，求△CDE的面积．【分析】（1）作DH⊥CB于点H，由勾股定理求出CD的长，则可得出答案；（2）连接AE，证出A，D，C，E四点共圆，得出∠EAC＝∠EDC，由等腰直角三角形的性质可得出答案；（3）过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，证明△CEG≌△CMP（AAS），由全等三角形的性质得出CP＝CG，证明△CGD≌△CPD（SSS），由全等三角形的性质得出∠DCG＝∠PCD，DA＝DN＝BN，设DA＝a，则BD＝a，求出a的值，则可得出答案．【解答】解：（1）作DH⊥CB于点H，∵∠BAC＝90°，，∴BC＝AB＝4，∵点D是边AB的中点，∴BD＝，∴DH＝BH＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，∴CD＝＝＝，∴sin∠DCB＝；（2）∠EAC的大小不变化．连接AE，∵∠DAC＝∠DEC＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠EAC＝∠EDC，∵△DEC为等腰直角三角形，∴∠EDC＝45°，∴∠EAC＝45°．（3）过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，∵点P到直线CD的距离等于线段GE的长度，∴PM＝EG，∵∠DCE＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠E＝∠PMC＝90°，∴△CEG≌△CMP（AAS），∴CP＝CG，∴∠CGP＝∠CPG，又∵∠CGD＝∠CPD，∴∠DGP＝∠DPG，∴DG＝DP，∴△CGD≌△CPD（SSS），∴∠DCG＝∠PCD，∵DN⊥BC，DA⊥AC，∴DA＝DN＝BN，设DA＝a，则BD＝a，∴a+a＝2，∴CD2＝AD2+AC2＝＝32﹣16，＝＝＝8﹣4．∴S△CDE【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。

沪教版数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．二次函数y ＝x 2﹣6x 图象的顶点坐标为（ ） A ．（3，0） B ．（﹣3，﹣9）C ．（3，﹣9）D ．（0，﹣6）2．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）A ．BDC β∠=∠B ．2sin aAO β=C ．tan BC a β=D ．cos aBD β=3．函数y=mx 2+2x+1的图像 与x 轴只有1个公共点，则常数m 的值是（ ） A ．1B ．2C ．0,1D ．1,24．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．2sin 3B =； B ．2cos 3B =； C ．2tan 3B =； D ．以上都不对；5．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a ,a +2)、C(b ,0)（a >0,b >0），若AB=2且∠ACB 最大时，b 的值为（ ） A ．226+B ．226-+C ．242+D ．2426．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( ) A ．方差B ．平均数C ．众数D ．中位数7．一元二次方程x 2－x ＝0的根是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝0 C ．x 1＝0，x 2＝1 D ．x 1＝0，x 2＝－1 8．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断9．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s 2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A ．平均分不变，方差变大 B ．平均分不变，方差变小 C ．平均分和方差都不变D ．平均分和方差都改变10．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．16k ≤B ．116k ≤C ．1,16k ≤且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 11．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）A ．25°B ．40°C ．45°D ．50°12．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．中位数是3，众数是2 B ．中位数是2，众数是3 C ．中位数是4，众数是2 D ．中位数是3，众数是413．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．1914．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x ，则下列方程中，正确的是（ ） A ．600（1+x ）＝950 B ．600（1+2x ）＝950 C ．600（1+x ）2＝950D ．950（1﹣x ）2＝60015．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．110°二、填空题16．将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．17．已知矩形ABCD ，AB=3,AD=5,以点A 为圆心，4为半径作圆，则点C 与圆A 的位置关系为 __________.18．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ．19．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，CD CB =.若100C ∠=︒，则ABC ∠的度数为______.20．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为__________ ．21．抛物线y ＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．22．如图，在Rt △ABC 中，BC AC ⊥，CD 是AB 边上的高，已知AB ＝25，BC ＝15，则BD ＝__________．23．某一时刻身高160cm 的小王在太阳光下的影长为80cm ，此时他身旁的旗杆影长10m ，则旗杆高为______．24．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF 的长为_____．25．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则线段A′C 长度的最小值是______．26．把抛物线22(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是__________．27．抛物线()2322y x =+-的顶点坐标是______.28．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径=，扇形的圆心角1202r cmθ=，则该圆锥的母线长l为___cm．29．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为_____．30．如图，圆形纸片⊙O半径为 52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．三、解答题31．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2 的图象与x 轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时y﹤0 ?（2）点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点，取EF 中点G ，连接DG 并延长交AB 于点M ，延长EF 交AC 于点N 。

2021-2022学年上海市青浦区九年级上学期数学期末试题及答案1. 下列图形，一定相似的是（ ）A. 两个直角三角形B. 两个等腰三角形C. 两个等边三角形D. 两个菱形【答案】C【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似； 故选C ．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．2. 如图，已知AB CD EF ，它们依次交直线、于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ．如果AC ：∥∥1l 2l CE =2：3，BD=4，那么BF 等于（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵AB CD EF ，∥∥∴，::AC CE BD DF =∵AC：CE =2：3，BD=4，∴，2:34:DF =∴DF=6，∴BF=BD+DF=4+6=10，故选：C ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、比例性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及其应用是解答的关键．3. 在Rt△ABC 中，∠C=90º，那么等于（ ）cot A A. B. C. D. AC BC AC AB BC AC BC AB【答案】A【解析】【分析】根据锐角A 的邻边a 与对边b 的比叫做∠A 的余切，记作cotA ．【详解】解：∵∠C=90°，∴=， cot A AC BC故选：A ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．4. 如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、BC 上，下列条件中一定能判定DE AC 的是∥（ ）A. B. C.ADBEDB CE =BD BE AD EC = D. ADCEAB BE =BD DE BA AC=【答案】B 【解析】 【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】A ．由，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意； ADBEDB CE =B ．由，能得到DE∥BC，故本选项符合题意； BD BE AD EC=C ．由，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意； AD CE AB BE =D ．由，不能得到DE∥BC，故本选项不符合题意； BD DE BA AC=故选B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5. 如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）2a b =- a b A.B. C. D. 与||2||a b = a ∥b 20a b += a b方向相同【答案】D【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】解：A 、正确，不符合题意．因为所以；2a b =- ||2||a b = B 、正确，不符合题意．因为（均为非零向量），所以与是方向相反的向量，2a b =- ,a b a b 即∥； a bC 、正确，不符合题意．由可得2a b =- 20a b += D 、错误，符合题意．因为（均为非零向量），所以与是方向相反的向量， 2a b =- ,a b a b 故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．6. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BA 的延长线上，联结EC ，交边AD 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. EA AF AB BC =EA FD AB AF =AF EA BC CD = EA AF EB AD=【答案】D【解析】【分析】由ABCD 是平行四边形，可得AD//BC ，且AD=BC ，根据相似三角形对应边成比例，可以得出正确答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC ，∴△FAE∽△CBE， ∴ (相似三角形对应边成比例)， EA AF EB BC= 即EA AF EB AD =故选：D.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质．根据平行找出相似三角形，是解决本题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7. 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a = 1，b = 3，那么c =______．【答案】9【解析】【分析】根据线段比例中项的概念可得b 2＝ac ，然后求出b 的值即可．【详解】解：∵线段b 是线段a 、c 的比例中项，即a ：b ＝b ：c ，b = 3∴b 2＝ac ，即ac=9，∵a = 1∴c=9故答案为：9．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b ＝c ：d （即ad ＝bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．8. 计算：=______．32(2)-- a a b 【答案】##4a b + 4b a +【解析】【分析】先去括号，然后计算加减法． 【详解】解：原式=，324a a b -+ ，4a b =+ 故答案是：．4rr a b +【点睛】本题主要考查了平面向量，平面向量的运算法则与实数的运算法则相同．9. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______．【答案】2:3【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．【详解】∵两个相似三角形的周长比为，2:3∴两个相似三角形的相似比为，2:3∴对应高线的比为，2:3故答案为：．2:3【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．10. 二次函数的图像有最______点．（填“高”或“低”）21y x x =---【答案】高【解析】【分析】根据二次函数图象的开口即可解答．【详解】解：∵二次函数21y x x =---∴二次函数的图象开口向下21y x x =---∴二次函数的图像有最高点．21y x x =---故答案是高．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于y=ax 2+bx+c （a≠0），当a ＞0，函数图象开口方向向上，函数图象开口方向向下．11. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是______．2y x =【答案】22y x =-【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝x 2向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2-2． 故答案是：y ＝x 2-2．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答本题的关键．12. 如果抛物线（其中a 、b 、c 是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是2y ax bx c =++下降的，那么a______0．（填“＜”或“＞”）【答案】>【解析】【分析】根据抛物线y=ax 2+bx+c 在对称轴左侧的部分是下降的，即可得到答案．【详解】解：∵y=ax 2+bx+c 在对称轴左侧的部分是下降的，∴函数图象的开口向上，∴a＞0，故答案为：＞．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13. 在△ABC 中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．【答案】6【解析】【分析】利用正切的定义求解．【详解】解：∵∠C=90°， ∴tan∠A==2， BC AC∴BC=2AC=2×3=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC 中，∠C=90°．锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．14. 如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．【解析】【分析】延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=BC=，根据勾股定理1232求出AD ，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG 交BC 于D ，∵G 是三角形的重心，∴AD⊥BC，BD=DC=BC=， 1232由勾股定理得，， =∴GA= 23【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．15. 如图，如果小华沿坡度为的坡面由A 到B 行走了8米，那么他实际上升的高度为______米．【答案】4【解析】【分析】根据坡度的概念（把坡面的垂直高度h 和水平方向的距离l 的比叫做坡度）求出∠A，根据直角三角形的性质解答．， ∴∠A=30°，∴上升的高度=AB=4（米）.12故答案为4．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．16. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB 的值为______．【分析】如图，过点B 向AO 作垂线交点为C ，勾股定理求出，的值，OB OA求出的长，求出值即可． 1122AOB S AB h AO BC =⨯=⨯ BC sin BC AOB OB∠=【详解】解：如图，过点B 向AO 作垂线交点为C ，O 到AB 的距离为h∵，，2AB =2h =OA ==OB ==∴1122AOB S AB h AO BC =⨯=⨯ BC ∴=sin BC AOB OB ∠===【点睛】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理．解题的关键是表示出所需线段长．17. 如图，在矩形ABCD 中，∠BCD 的角平分线CE 与边AD 交于点E ，∠AEC 的角平分线与边CB 的延长线交于点G ，与边AB 交于点F ，如果AB=AF=2BF ，那么GB=______．【答案】22+【解析】【分析】先说明三角形CDE 为等腰直角三角形，并求得其斜边CE 的长，然后再说明三角形CEG 为等腰三角形，最后根据△EFA∽△BGF 得出比例式，结合DF AF=2BF 得出CG 与DE 的倍数关系，最后根据BG=BC+CG 进行计算即可.【详解】解：.∵矩形ABCD 中，∠BCD 的角平分线CE 与AD 交于E ；∴CD=AB=∴CD=DE=∵直角三角形CDE ，，6=又∵∠AEC 的角平分线EG 与AB 交于点F ，∴∠AEG=∠CEG∵AD//BC∴∠G=∠AEG∴∠CEG=∠G ∴CG=CE=6， ∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG， ∴△AEF∽△BGF∴ 122GB FG FB BF AF F A F E E B ====设BG=x ，AE=2x ，则BC=AD=.∵CG=BC+BG∴6=，解得x=2故答案为：2【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，证得三角形CEG 为等腰三角形成为解答本题的关键.18. 如图，一次函数的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将(00)，=+<>y ax b a b 它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图像过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是(0)y kx k k =-+>（），那么这个一次函数的解析式为22y mx mx c =++0m ≠______．【答案】3+3y x =-【解析】【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k ），（1，0），（-k ，0），将其代入抛物线（）即可得m 、k 的二元一次方程组22y mx mx c =++0m ≠，即可解出，故这个一次函数的解析式为． 30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩13m k =-⎧⎨=⎩3+3y x =-【详解】一次函数与y 轴的交点为（0，k ），与x 轴的交点为（1，0） (0)y kx k k =-+>绕O 点逆时针旋转90°后，与x 轴的交点为（-k ，0）即（0，k ），（1，0），（-k ，0）过抛物线（）22y mx mx c =++0m ≠即22020k c m m c k m km c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩得 30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩将代入有 3k m -=210km m -+=整理得 (2)103k k --⋅+=2230k k --=解得k=3或k=-1（舍）将k=3代入得 3k m -=1m =-故方程组的解为 13m k =-⎧⎨=⎩则一次函数的解析式为3+3y x =-故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元3+3y x =-一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[请将解题过程填入答题纸的相应位置]19. 计算：． ()()01sin 451+2cos30tan 60cot 60-︒-︒-︒-︒【答案】【解析】【分析】先进行绝对值的化简，代入特殊角的三角函数值运算，然后合并．，101+2----=，11--= 【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上， CE 、BD 相交于点F ，BF=3DF ．（1）求AE ：ED 的值；（2）如果，，试用、表示向量．DC a = EA b = a b CF 【答案】（1）2 （2） 3384b a - 【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AD//BC ，AD=BC ，再利用平行线分线段成比例定理解答即可；（2）利用平面向量的三角形法则进行计算即可.【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC ． ∴． =BC BF ED DF∵BF=3DF， ∴． 3=BF DF∴． 3=BC ED∴，即AE ：ED=2． 3=AD ED 【小问2详解】解：∵AE：ED=2：1，∴． 12= DE EA ∵， EA b =∴． 12DE b = ∵，=- CE DE DC ∴． 12=- CE b a ∵AD//BC， ∴． =CF BF CE BD∵BF=3DF， ∴． 34BF BD =∴． 34=CF CE ∴． 34= CF CE ∴． 31334284⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ CF b a b a 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．21. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，联结AD ，AB=AD ，BD=4，． 1tan 4=C （1）求AB 的长；（2）求点C 到直线AB 的距离．【答案】(1)；(2) 52245【解析】【分析】(1) 过点A 作AH⊥BD，垂足为点H ．根据等腰三角形的性质求出DH,再根据,求出AH,利用勾股定理即可求出AB ； 1tan 4=C(2) 过点C 作CG⊥BA，交BA 的延长线于点G ，根据即可求出答案． sin ==AH CG B AB BC 【详解】解：（1）∵过点A 作AH⊥BD，垂足为点H ．∵AB=AD， ∴BH=HD=BD=2 ．12∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD．∵BD=4，∴CD=4．∴HC=HD+ CD=6．∵，∴，∴． 1tan 4=C 14=AH HC 32AH =∵=AB ∴．52AB ==（2）过点C 作CG⊥BA，交BA 的延长线于点G ．∵， sin ==AH CG B AB BC∴． 32582=CG ∴．∴点C 到直线AB 的距离为 245CG =245【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理以及锐角的三角比,熟练掌握锐角的三角比是解题的关键．22. 如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C （AC BD ）处测得教学∥楼顶部D 的仰角为27°，教学楼底部B 的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD （BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【答案】教学楼BD 的高度约为14.8米．【解析】【分析】由题意过点C 作CH⊥BD，垂足为点H ，进而依据和tan DH DCH CH∠=以及BD =HD+HB 进行分析计算即可得出答案. tan ∠=HB HCB CH【详解】解： 过点C 作CH⊥BD，垂足为点H ，由题意，得∠DCH=27°，∠HCB=13°，AB=CH=20（米），在Rt△DHC 中，∵， tan DH DCH CH ∠=∴，tan 272010.2=︒⨯≈DH 在Rt△HCB 中，∵，∴， tan ∠=HB HCB CHtan1320 4.6=︒⨯≈BH ∴BD =HD+HB 10.2 +4.6=14.8（米）．≈答：教学楼BD 的高度约为14.8米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．23. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点E ，∠ABD=∠CBD，．2DC DE DB =⋅（1）求证：△AEB∽△DEC；（2）求证：．BC AD CE BD ⋅=⋅【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）先证明△DCB∽△DEC，推出∠DCE=∠DBC，再推出∠DCE=∠ABD，即可证明△AEB∽△DEC；（2）先证明△AED ∽△BEC，推出∠ADE=∠BCE，再证明△BDA ∽△BCE，即可得到结论．【小问1详解】证明：∵，2DC DE DB =⋅∴， =DC DB DE DC又∵∠CDE=∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴∠DCE=∠DBC，∵∠ABD=∠DBC，∴∠DCE=∠ABD，又∵∠AEB=∠DEC，∴△AEB ∽△DEC；【小问2详解】∵△AEB ∽△DEC，∴， AE DE EB EC=又∵∠AED=∠BEC，∴△AED ∽△BEC，∴∠ADE=∠BCE，又∵∠ABD=∠DBC，∴△BDA ∽△BCE，∴， =BD DA BC CE∴．BC AD CE BD ⋅=⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于点A （-1，0）和点2y x bx c =++B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）联结BC 、BD ，求∠CBD 的正切值；（3）若点P 为x 轴上一点，当△BDP 与△ABC 相似时，求点P 的坐标．【答案】（1），点C 的坐标为（0，-3）223y x x =--（2） 13（3）（-3，0）或（-，0） 13【解析】【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入函数求出b ，c 的值即可求函数表达式；再令x=0，求出y 从而求出C 点坐标；（2）先求B 、C 、D 三点坐标，再求证△BCD 为直角三角形，再根据正切的定义即可求出；（3）分两种情况分别进行讨论即可．【小问1详解】解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入，得 2++=y x bx c 解得： 10930.b c b c -+=⎧⎨++=⎩，23.b c =-⎧⎨=-⎩，所以，．223y x x =--当x=0时，．∴点C 的坐标为（0，-3）．3y =-【小问2详解】解：连接CD ，过点D 作DE⊥y 轴于点E ，∵，()2223=14=----y x x x ∴点D 的坐标为（1，-4）．∵B（3，0）、C （0，-3）、D （1，-4），E （0，-4），∴OB=OC=3，CE=DE=1，∴BC=，，BD=∴． 222+18220=+==BC DC DB ∴∠BCD=90°．∴tan∠CBD=． 13DC BC ==【小问3详解】解：∵tan∠ACO=， 13AO OC =∴∠ACO=∠CBD．∵OC =OB ，∴∠OCB=∠OBC=45°．∴∠ACO+∠OCB =∠CBD+∠OBC．即：∠ACB =∠DBO． ∴当△BDP 与△ABC 相似时，点P 在点B 左侧．（i ）当时， =AC DB CB BP． ∴BP=6．∴P（-3，0）．（ii ）当时， =AC BP CB DB． ∴BP=． 103∴P（-，0）． 13综上，点P 的坐标为（-3，0）或（-，0）． 13【点睛】本题是二次函数的综合题，掌握相关知识是解题的关键．25. 在四边形ABCD 中，AD BC ，AD=2，DC=．点E 是射∥线AD 上一点，点F 是边BC 上一点，联结BE 、EF ，且∠BEF=∠DCB．（1）求线段BC 的长；（2）当FB=FE 时，求线段BF 的长；（3）当点E 在线段AD 的延长线上时，设DE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．【答案】（1）7 （2） 52（3）【解析】 26137x x y x ++=+0x ⎛<≤ ⎝【分析】（1）根据题意过点A 、D 分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H 、点G ，进而依据正切值和勾股定理进行分析计算即可；（2）由题意过点E 作EM⊥BC，垂足为点M ，由（1）得，tan∠C=，进而得出12DG GC =，最后利用勾股定理得出进行计算即可； 12EM BM =222FM EM FE +=（3）根据题意过点E 作EN//DC ，交BC 的延长线于点N,证明四边形DCNE 是平行四边形以及△BEF ∽△BNE，进而过点E 作EQ⊥BC，垂足为点Q 利用进行计算求解.222BE QE BQ =+【小问1详解】解：过点A 、D 分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H 、点G ．可得：AD=HG=2，AH=DG ，∵tan∠ABC=2，，∴AH=2，BH=1，∴DG=2，∵DC=，4=∴BC=BH+HG+GC=1+2+4=7．【小问2详解】解：过点E 作EM⊥BC，垂足为点M ．可得EM=2， 由（1）得，tan∠C=， 12DG GC =∵FB=FE，∴∠FEB=∠FBE， ∵∠FEB=∠C，∴∠FBE=∠C，∴tan∠FBE=，12∴，12EM BM =∴BM=4，∵，222FM EM FE +=∴， ()22242FB FB -+=∴BF=． 52【小问3详解】解：过点E 作，交BC 的延长线于点N ． EN DC ∥∵，DE CN ∥∴四边形DCNE 是平行四边形，∴DE=CN，∠DCB=∠ENB，∵∠FEB=∠DCB，∴∠FEB=∠ENB，又∵∠EBF=∠NBE，∴△BEF ∽△BNE, ∴, BF BE BE BN=∴，2BE BF BN =⋅过点E 作EM⊥BC，垂足为点M ．可得EM=2，BM=x+3．∴， ()22222232=613BE ME BM x x x =+=++++∴，∴ ()27613y x x x +=++26137x x y x ++=+当时，7y =2360,x x --=解得： （负根舍去） x． ∴26137x x y x++=+0x ⎛<≤ ⎝【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理以及相似三角形的判定与性质利用数形结合思维分析是解题的关键.。