7.1.2 复数的几何意义-高一数学新教材配套学案(人教A版2019必修第二册)

第七章复数7.1 复数的概念7.1.2 复数的几何意义教学设计一、教学目标1.了解复数的几何意义。

2.了解共轭复数的概念。

二、教学重难点1.教学重点复数的向量表示。

2.教学难点复数的几何意义。

三、教学过程1.新课导入我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。

复数有什么几何意义呢？根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对。

由此你能想到复数的几何表示方法吗？2.探索新知因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对(a,b)是一一对应的。

而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z (a,b)表示。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系，这是复数的一种几何意义。

由图可知，显然向量由点Z唯一确定；反之，点Z也可以由向量唯一确定。

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z=a+bi与平面向量一一对应，这是复数的另一种几何意义。

我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数。

图中向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。

即==，其中a,b∈R。

如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于（a的绝对值）。

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数的虚部
+ 与 + 相等当且仅当 = 且 =
= −
第七章 复数
7.1复数的概念
7.1.2复数的几何意义
教学目标
教学
目标
难点
重点
一
理解可以用复平面内的点或以原点为起点
= ∙ .
新知讲解
把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实
数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结
合律，以及乘法对加法满足分配律.
问题2 实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
依照以上设想，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果
记作 + .
注意到所有实数以及都可以写成 + (, ∈ )的形式，从而这些数都
在扩充后的新数集中.
概念生成
我们把形如 + (, ∈ )的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复
数所构成的集合 = { + |, ∈ }叫做复数集.
这样，方程 + = 在复数集中就有解 = 了.
新知讲解
问题1 我们知道，方程 + = 在实数集中无解.
联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩
充实数集，使这个方程有解吗？
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与
实际需求密切相关.
追问 我们学过的数集有哪些？
自然数、整数、有理数、实数
新知讲解
计数的需要
表示相反意义的量
的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会
“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
第七章 复数
7.1复数的概念

【人教A版】高中数学必修第二册第七章7．1.2 复数的几何意义教学设计(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [跟踪训练1] 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线y＝－x上．题型二复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数． [跟踪训练2] (1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．题型三复数的模例3 设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(多选)若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点Z在虚轴上，则a的值可以是( )A．0 B．1C．2 D．33．若复数z1＝2＋b i与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝____，b＝____.4．已知复数z＝3＋a i，且|z|<5，则实数a的取值范围是____.5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．一、选择题1．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于( )A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称2．当23<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( ) A．－1<a<1 B．a>1C．a>0 D．a<－1或a>04．(多选)若|4＋25i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则( )A．x＝3 B．y＝4C．x＋y i＝－3＋4i D．|x＋y i|＝55．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z－2＝____.7．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是____.8．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的值是____.三、解答题9．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．(1)若m＝1，且|z－|＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；(2)当m为何值时，|z－|最小？并求|z－|的最小值．1．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C，求平行四边形的ABCD的点D对应的复数．2．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.(1)当x为何值对，复数z的模最小？(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．7．1.2 复数的几何意义(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.答案(1)－3i (2)四(3) 3 (4)5－6i题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．[跟踪训练1] 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线y ＝－x 上． 解 (1)由题意得m 2－2m －15>0， 解得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由题意，得m 2－2m －15＝－(m 2＋5m ＋6)，整理，得2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或m ＝－3.所以当m ＝32或m ＝－3时，复数z 对应的点在直线y ＝－x 上.题型二 复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)点B 对应的复数．[解] 由题意得O 为原点，OA →＝(3,2)，OC →＝(－2,4)． (1)∵AO →＝－OA →＝－(3,2)＝(－3，－2)∴AO →表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)， ∴CA →表示的复数为5－2i.(3)∵OB →＝OA →＋OC →＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)， ∴OB →表示的复数为1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．[跟踪训练2] (1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数．答案 (1)－6－8i (2)见解析解析 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.(2)记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3)． 设OD →＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5)． 由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎨⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i. 题型三 复数的模例3 设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是什么图形？[解] 由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．巧用复数的模的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O 间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离．也就是向量OZ→的模，|z|＝|OZ→|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括圆环的边界．(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.∴满足|z－i|＜1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．故选D.2．(多选)若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点Z 在虚轴上，则a 的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 AC解析 由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.故选AC.3．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝____，b ＝____. 答案 2 4解析 因为z 1与z 2互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝4.4．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<5，则实数a 的取值范围是____. 答案 －4<a <4解析 |z |＝32＋a 2<5，解得－4<a <4.5．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 因为复数z 对应的点在第一象限， 所以⎩⎨⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3>0，解得m <－1－52或m >32.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.一、选择题1．复数z 1＝1＋3i 和z 2＝1－3i 在复平面内的对应点关于( ) A ．实轴对称B ．一、三象限的角平分线对称C ．虚轴对称D ．二、四象限的角平分线对称 答案 A解析 复数z 1＝1＋3i 在复平面内的对应点为Z 1(1，3)，复数z 2＝1－3i 在复平面内的对应点为Z 2(1，－3)，点Z 1与Z 2关于实轴对称．2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 ∵23<m <1，∴2<3m <3，∴0<3m －2<1且－13<m －1<0，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．∵一对共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．a >1 C ．a >0 D ．a <－1或a >0答案 A解析 依题意有a 2＋22<－22＋12，解得－1<a <1.4．(多选)若|4＋25i|＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则( )A ．x ＝3B ．y ＝4C ．x ＋y i ＝－3＋4iD ．|x ＋y i|＝5答案 BCD解析 由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ， 所以⎩⎨⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选BCD.5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆答案 A解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆．二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z －2＝____.答案 －2－3i解析 复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2，3)．所以z 2＝－2＋3i ，z －2＝－2－3i.7．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是____.答案 －12<k <0或1<k <2解析 根据题意，有⎩⎨⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k >0，即⎩⎨⎧－12<k <2，k <0或k >1，所以实数k 的取值范围是－12<k <0或1<k <2.8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA→＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是____.答案 5解析 由已知，得OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，OC →＝(3，－2)，∴xOA →＋yOB →＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )．由OC →＝xOA→＋yOB →， 可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴x ＋y ＝5.三、解答题9．已知复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )．(1)若m ＝1，且|z －|＝|x ＋(x －1)i|，求实数x 的值；(2)当m 为何值时，|z －|最小？并求|z －|的最小值． 解 (1)由m ＝1，得z ＝3＋4i ，z －＝3－4i ， 则由|z －|＝|x ＋(x －1)i|， 得32＋－42＝x 2＋x －12，整理得x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3. (2)|z －|＝1＋2m2＋[－3＋m]2＝5m 2＋10m ＋10＝5m ＋12＋5≥ 5，当且仅当m ＝－1时，|z －|取得最小值，最小值为 5.1．在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形的ABCD 的点D 对应的复数．解 解法一：由已知条件得点A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知点E 也是边BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即D (3,3)，∴点D 对应的复数为3＋3i.解法二：由已知得向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)，其中O 为坐标原点．∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)， ∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)，即点D 对应的复数为3＋3i. 2．已知x 为实数，复数z ＝x －2＋(x ＋2)i. (1)当x 为何值对，复数z 的模最小？(2)当复数z 的模最小时，复数z 在复平面内对应的点Z 位于函数y ＝－mx ＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．解(1)|z|＝x－22＋x＋22＝2x2＋8≥22，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2 2.(2)当复数z的模最小时，Z(－2,2)．又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.又mn＞0，所以1m＋1n＝⎝⎛⎭⎪⎫1m＋1n⎝⎛⎭⎪⎫m＋n2＝32＋mn＋n2m≥32＋2，当且仅当n2＝2m2,2m＋n＝2时等号成立．所以m＝2－2，n＝22－2.所以1m＋1n的最小值为32＋2，此时m＝2－2，n＝22－2.。

7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义学习目标1.知识目标1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2.核心素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.重点难点重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：加、减运算及其几何意义.学习过程一、预习导入阅读课本75-76页，填写。

1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，则①z1＋z2＝__________________________；②z1－z2＝__________________________.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝___________； ②(z 1＋z 2)＋z 3＝___________． 2．复数加减法的几何意义图3­2­1如图3­2­1所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数___________对应，向量Z 2Z 1→与复数___________对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？ 提示 |z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．小试牛刀1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小． ( ) 2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8i3．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA ―→和OB ―→，其中O 为坐标原点，则|AB ―→|等于( ) A ． 2 B ．2 C ．10 D ．4 4．(5－i)－(3－i)－5i ＝________.自主探究题型一 复数的加减运算 例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)； (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)； (3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i(a ，b ∈R)． 跟踪训练一1．计算：(1)2i －[3＋2i ＋3(－1＋3i)]；(2)(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)． 题型二 复数加减运算的几何意义 例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)间的距离. 跟踪训练二1、已知四边形ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应于复数－5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长． 题型三 复数加、减运算几何意义的应用例3 已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值． 跟踪训练三1．设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.当堂检测1. a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.4．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.5．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．答案小试牛刀 1. (1) × (2) × (3) × 2．B. 3．B. 4. 2－5i. 自主探究例1 【答案】(1)－7＋7i. (2)－10i. (3)3a ＋(4－2b )i. 【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i ＝－10i. (3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i ＝(a ＋2a )＋(b －3b ＋4)i ＝3a ＋(4－2b )i. 跟踪训练一1．【答案】(1)－9i. (2)－2a ＋(6b －5)i.【解析】(1)原式＝2i －(3＋2i －3＋9i)＝2i －11i ＝－9i.(2)原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i. 例2【答案】|Z 1Z 2|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2．【解析】 因为复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i . 所以Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|Z 1−Z 2|=|(x 1−x 2)+(y 1−y 2)|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2跟踪训练二1、【答案】D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.【解析】如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C 2＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B＝1－7i ，因为AC ―→：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC ―→|＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ―→：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD ―→|＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13. 例3 【答案】 |z |max ＝6，|z |min ＝4.【解析】由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5， 所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4. 即|z |max ＝6，|z |min ＝4. 跟踪训练三1．【答案】|z 1－z 2|＝ 2.【解析】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2， 又(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2， 可得2ac ＋2bd ＝0.∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2. 当堂检测1-2.DB 3. 5 4. -15. 【答案】向量OA →＋OB →对应的复数为2.向量BA →对应的复数为－8－2i. A ，B 两点间的距离为217. 【解析】向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝217.。