下载文档原格式
离散数学有限自动机模型应用举例离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散关系。
而有限自动机是离散数学中的重要概念之一，用于描述具有有限数量的状态和状态之间的转换关系。
有限自动机模型在计算机科学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将从几个具体的应用案例来探讨离散数学有限自动机模型的应用。
案例一：自动售货机自动售货机是我们日常生活中常见的一种自动化设备。
它通过有限自动机模型来实现对商品的管理和售卖。
假设自动售货机有3个状态，分别为“待机”、“选择商品”和“完成交易”。
当用户投入硬币后，自动售货机会从“待机”状态转换为“选择商品”状态，用户可以通过按下相应按钮来选择商品。
一旦用户选定商品，自动售货机将通过有限自动机模型转换到“完成交易”状态，并同时释放商品和找零。
这个案例清晰地展示了有限自动机模型如何应用于自动售货机的控制。
案例二：电话拨号电话拨号也是离散数学有限自动机模型的一个应用。
在传统电话中，数字键盘上有10个数字按钮和几个特殊按钮（如*和#）。
每次按下一个按钮时，电话系统都会根据当前状态和按下的按钮进行状态转换。
例如，当你拨号时，初始状态为“待命”状态，按下数字按钮后，系统将从“待命”状态转移到“拨号中”状态，并显示所拨的号码。
这个过程中，电话系统一直在根据当前状态和按下的按钮进行状态转换，直到通话结束。
这种电话系统的设计正是基于离散数学有限自动机模型，它能够准确地响应用户的操作。
案例三：词法分析器在计算机科学中，词法分析器是编译器的一个基本组成部分，用于将源代码分解为有意义的元素（如标识符、关键字和运算符）。
离散数学有限自动机模型可以用来构建词法分析器。
通过使用有限自动机，可以将源代码作为输入，并根据代码的语法规则将其分解为不同的词法单元。
例如，当遇到空格时，词法分析器将从初始状态转换到“空格”状态，并且继续分析后续字符。
同样地，当遇到标识符或关键字时，词法分析器将进行相应的状态转换并识别它们。
计算机组成原理与结构期末论文有限自动机的原理及示例学院：专业：姓名：学号：有限自动机的原理及示例本文将介绍几种重要有限自动机的基本原理，并通过例子说明它们的运行过程。
一． 语言的基本概念一张字母表是一个非空有限集合∑，字母表∑中的每个元素x 称为∑中的一个字母，也称符号、终止符或者字符。
∑中有限个字符1,,n a a 有序地排列起来12n x a a a =就称为∑上的一个字符串，n 称为它的长度。
其中有一个特殊的串ε，它的长度为零。
若1∑和2∑都是字母表，则它们的乘积12∑∑定义为{}12121122,a a a ∑∑=∈∑∈∑：a ，特别地， 0121{}n n ε-∑=∑=∑∑=∑∑∑=∑∑令*01kk k k ∞=∞+=∑=∑∑=∑若*,,x y z ∈∑，且z xy =则称,x y 是z 的子串。
字母表∑上的一种语言是*∑的一个子集L 。
二． 有限状态自动机的原理和运算实例1.基本原理一个有限状态自动机的物理模型通常包括两部分：（1）一个输入存储带，带被分解为多个单元，每个单元存放一个输入符号（字母表上的符号），整个输入串从带的左端点开始存放，而带的右端可以无限扩充。
（2）一个有限状态控制器（FSC ）,该控制器的状态只能是有限个；FSC 通过一个读头和带上单元发生耦合，可以读出当前带上单元的字符。
初始时，读头对应带的最左单元，每读出一个字符，读头向右移动一个单元。
有限状态自动机的一个动作为：读头读出带上当前单元的字符；FSC 根据当前FSC 的状态和读出的字符，改变FSC 的状态；并将读头右移一个单元。
接着给出有限状态自动机的数学模型。
字母表∑上的一个有限状态自动机(FSAM)是一个五元组()0,,,,,FSAM Q q F δ=∑ 其中，i)Q 是一个有限状态的集合；ii)∑是字母表，它是输入带上的字符的集合；iii)0q Q ∈是开始状态；iv)F Q ⊂是接收状态（终止状态）集合；v):Q Q δ⨯∑→是状态转换函数，(,)q x q δ'=表示自动机在状态q 时，扫描字符x 后到达状态q '。
形式语言自动机——有限自动机有限自动机是形式语言自动机中最简单的一种类型，它具有有限个状态和一定的转移规则。
一个有限自动机包含以下几个要素：1.状态集合：有限自动机通过状态集合来描述它的内部状态。
每个状态代表了自动机所处的一些特定状态，例如开始状态、结束状态等。
2.输入字母表：输入字母表是指自动机能够接受的输入符号的集合。
每个输入符号在自动机的状态转移中起着关键的作用，它触发了状态的变化。
3.转移函数：转移函数定义了自动机状态之间的转移规则。
它接受来自输入字母表的输入符号和当前状态作为输入，返回下一个状态作为输出。
4.初始状态和接受状态：初始状态是自动机的起始状态，它是自动机开始处理输入时的初始状态。
接受状态是自动机达到的一种终止状态，它表示自动机已经接受了整个输入。
有限自动机的工作原理可以简述为以下几个步骤：1.从初始状态开始，根据输入符号进行状态转移。
2.在每次状态转移后，根据转移函数返回的下一个状态继续进行状态转移，直到达到接受状态或输入用尽。
3.如果最终达到了接受状态，则自动机接受了整个输入；否则，自动机拒绝该输入。
有限自动机可以描述和识别各种不同的形式语言。
它能够处理的语言包括正则语言、上下文无关语言和上下文相关语言等。
通过对有限自动机的状态和转移规则的定义和设计，可以将输入串按照预期的形式语言规则进行解析和处理，是编程语言编译器、字符串模式匹配等领域的基本技术。
有限自动机具有简单、易于实现和高效的特点。
它的状态转移规则可以通过转移表或状态转移图直观地表示出来，便于对自动机进行设计和分析。
虽然有限自动机的能力有限，无法处理具有复杂语法和上下文依赖的语言，但它在很多实际应用中能够提供有效的解决方案。
总而言之，有限自动机作为形式语言自动机的一种基本形式，具有较简单的结构和规则，广泛应用于形式语言的表示、识别和处理中。
通过对有限自动机的理论和实践研究，可以深入理解形式语言的本质和特性，为计算机科学中的语言处理和编程技术提供基础支持。
计算机组成原理与结构期末论文有限自动机的原理及示例学院：专业：姓名：学号：有限自动机的原理及示例本文将介绍几种重要有限自动机的基本原理，并通过例子说明它们的运行过程。
一． 语言的基本概念一张字母表是一个非空有限集合∑，字母表∑中的每个元素x 称为∑中的一个字母，也称符号、终止符或者字符。
∑中有限个字符1,,n a a 有序地排列起来12n x a a a =就称为∑上的一个字符串，n 称为它的长度。
其中有一个特殊的串ε，它的长度为零。
若1∑和2∑都是字母表，则它们的乘积12∑∑定义为{}12121122,a a a ∑∑=∈∑∈∑：a ，特别地， 0121{}n n ε-∑=∑=∑∑=∑∑∑=∑∑令*01kk k k ∞=∞+=∑=∑∑=∑若*,,x y z ∈∑，且z xy =则称,x y 是z 的子串。
字母表∑上的一种语言是*∑的一个子集L 。
二． 有限状态自动机的原理和运算实例1.基本原理一个有限状态自动机的物理模型通常包括两部分：（1）一个输入存储带，带被分解为多个单元，每个单元存放一个输入符号（字母表上的符号），整个输入串从带的左端点开始存放，而带的右端可以无限扩充。
（2）一个有限状态控制器（FSC ）,该控制器的状态只能是有限个；FSC 通过一个读头和带上单元发生耦合，可以读出当前带上单元的字符。
初始时，读头对应带的最左单元，每读出一个字符，读头向右移动一个单元。
有限状态自动机的一个动作为：读头读出带上当前单元的字符；FSC 根据当前FSC 的状态和读出的字符，改变FSC 的状态；并将读头右移一个单元。
接着给出有限状态自动机的数学模型。
字母表∑上的一个有限状态自动机(FSAM)是一个五元组()0,,,,,FSAM Q q F δ=∑ 其中，i)Q 是一个有限状态的集合；ii)∑是字母表，它是输入带上的字符的集合；iii)0q Q ∈是开始状态；iv)F Q ⊂是接收状态（终止状态）集合；v):Q Q δ⨯∑→是状态转换函数，(,)q x q δ'=表示自动机在状态q 时，扫描字符x 后到达状态q '。
对于有限状态自动机M ，给定字母表上的串12n w w w w = ；初始时，自动机M处于开始状态0q ；从左到右逐个字符地扫描串12n w w w w = ；在011(,)q w q δ=的作用下，自动机M 处于状态1q ，在122(,)q w q δ=的作用下，自动机M 处于状态2q ，……当将串w 扫描结束后，若自动机处于某一个接收状态，则称有限状态自动机能够接收（识别）串w 。
对于自动机而言，从开始状态开始，在扫描串的过程中，状态逐个地变化，直到某个接收状态，把状态的变化过程称为自动机的一条路径，而这条路径上所标记的字符的连接，就是自动机所识别的串。
有时为了表述方便，也采用如下定义的扩展的状态转换函数**:Q Q δ⨯∑→ *(,)q w q δ'=即自动机在一个状态q 时，扫描串w 后到达唯一确定的状态q '；换句话说，如果x 是一个字母，α是一个字符串，那么*(,)q q δε=*(,)(,)q x q w δδ= 并且对串w x α=，***(,)(,)((,),)q w q x q x δδαδδα==.用()L M 表示被()0,,,,FSAM Q q F δ=∑接收的语言，它在字母表∑上，即*()L M ⊂∑，则{}**0():(,)L M w q w F δ=∈∑∈.若语言*L ⊂∑对某个自动机M 有()L L M =，则称语言L 为一个有限状态语言。
有限状态自动机的瞬时描述是一个二元组qy ，*y ∈∑，其中y 是输入带上还没有被扫描到的字符串，FSC 的当前状态为q ，读头将马上扫描y 串的左边第一个符号。
有限状态自动机的初始格局为0q w ，接收格局为q αε，其中0q 是初始状态，q α是某个接收状态。
有限状态自动机在下面两种情形下停机：（1） 输入串扫描结束时；（2） 有限状态自动机的当前格局为qar ，而自动机没有对应的δ函数的定义，即(,)q a δ没有定义。
在这种情形，可以补充定义一个特殊的状态：陷阱状态t q ，即(,)t q a q δ=。
对于陷阱状态t q ，对任何字母x ，定义(,)t t q x q δ=.2.两个例子例 2.1 我们将构造一个有限状态自动机M ，它能识别{0,1}上的语言{}*000:,{0,1}L x y x y =∈.分析：语言L 的特点是语言中的每个串都包含连续的3个0，故FSC 的状态及其意义如下：（1）0q ：有限状态自动机的开始状态，也是重新寻找子串000时的状态；（2）1q ：有限状态自动机读到第一个0，有可能是子串000的第一个0；（3）2q ：有限状态自动机在1q 后又读到一个0；（4）3q ：有限状态自动机在2q 后又读到一个0，这是唯一的接收状态。
因此，状态转移函数为010*******203333(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)q q q q q q q q q q q q q q q q δδδδδδδδ======== 接收状态为3{}F q =.例2.2 构造有限状态自动机M ，识别{0,1}上的语言，该语言的每个字符串看成二进制数时，代表的数字能整除3.分析：使用3个状态分别代表已经读入的数除以3的得到不同余数的等价类：（1）0q ：已经读入的数除以3，余数为0的输入串的等价类；（2）1q ：已经读入的数除以3，余数为1的输入串的等价类；（3）2q ：已经读入的数除以3，余数为2的输入串的等价类；因为不能接收空串，所以还需要一个开始状态S q 。
设w 是当前读入的输入串，则（1）S q ：在开始状态读入0时，有0w =，进入状态0q ；读入1时，有1w =，进入状态1q 。
（2）0q ：能引导自动机到达此状态的w 是3的倍数，因此3w n =。
a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则02(3)03(2)w n n =⨯+=⨯，这表明0w 也属于0q 对应的等价类。
所以自动机在0q 状态读入0应该继续保持0q 状态。
b)在此状态读入1，引导自动机，到达下一状态的输入串为1w ，则12(3)13(2)1w n n =⨯+=⨯+，这表明1w 属于1q 对应的等价类。
所以自动机在0q 状态读入1应该进入1q 状态。
(3)1q : 能引导自动机到达此状态的w 满足31w n =+。
a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则02(31)03(2)2w n n =⨯++=⨯+，这表明0w 属于2q 对应的等价类。
所以自动机在1q 状态读入0进入2q 状态。
b)在此状态读入1，引导自动机到达下一状态的输入串为1w ，则12(31)13(21)w n n =⨯++=⨯+，这表明1w 属于0q 对应的等价类。
所以自动机在1q 状态读入1进入0q 状态。
（4）2q ：能引导自动机到达此状态的w 满足32w n =+。
a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则02(32)03(21)1w n n =⨯++=⨯++，这表明0w 属于1q 对应的等价类。
所以自动机在2q 状态读入0进入1q 状态。
b)在此状态读入1，引导自动机到达下一状态的输入串为1w ，则12(32)13(21)+2w n n =⨯++=⨯+，这表明1w 属于2q 对应的等价类。
所以自动机在1q 状态读入1继续保持2q 状态。
因此状态转换函数为01000112102122(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)S S q q q q q q q q q q q q q q q q δδδδδδδδ======== 接收状态为0{}F q =。
三． 带输出的有限状态自动机1. Moore 机的原理Moore 机的数学模型是一个六元组0(,,,,,)MooreM Q q δλ=∑∆ 其中1）0,,,Q q δ∑的含义同有限状态自动机。
2）∆是输出字母表。
3）:Q λ→∆是输出函数。
对于,q Q a ∈∈∆，()q a λ= 表示Moore 机在状态q 时输出a 。
Moore 机在读入输入串的过程中，状态不断发生改变，并且在每个状态上都有输出。
对于输入串序列*1231n n a a a a a -∈∑ ，Moore 机的输出序列为012()()()()n q q q q λλλλ这里 0111222111(,)(,)(,)(,)n n n n n nq a q q a q q a q q a q δδδδ----====因此，如果输入串的长度为n ，那么Moore 机的输出串的长度为1n +。
2. Moore 机的运算示例例3.1 构造一个Moore 机，{0,1}∑=，若将输入串当作一个二进制数，则在读入串的过程中，希望输出已经读过的子串模3的余数。
分析：因为模3的余数只有0、1和2，所以输出字母表{0,1,2}∆=，并设3个状态（1）0q ：已经读入的数除以3，余数为0的输入串的等价类；（2）1q ：已经读入的数除以3，余数为1的输入串的等价类；（3）2q ：已经读入的数除以3，余数为2的输入串的等价类；像例2.2那样，状态转换函数为000112102122(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)q q q q q q q q q q q q δδδδδδ====== 根据状态转换函数的结果，输出函数为012()0()1()2q q q λλλ===例如当输入空串ε时，输出余数为0；当输入1010时，状态变换的序列为0q 01122221(,1)(,0)(,1)(,0)q q q q q q q q δδδδ==== 对应的输出序列为01221。
3. Mealy 机的原理Mealy 机的数学模型是一个六元组0(,,,,,)MealyM Q q δλ=∑∆ 其中1）0,,,Q q δ∑的含义同有限状态自动机。
2）∆是输出字母表。
3）:Q λ⨯∑→∆是输出函数。
对于,,q Q x a ∈∈∑∈∆，(,)q x a λ=表示Moore 机在状态q ，读入字母x 时，输出a 。
Mealy 机在读入串的过程中，状态不断发生改变，并且在每个状态上，读入某个字母时，Mealy 机都有输出。
对于输入串序列*1231n n a a a a a -∈∑ ，Mealy 机的输出序列为0112231(,)(,)(,)(,)n n q a q a q a q a λλλλ-这里 0111222111(,)(,)(,)(,)n n n n n nq a q q a q q a q q a q δδδδ----====因此，如果输入串的长度为n ，那么Moore 机的输出串的长度也为n 。
