高中数学+条件概率与全概率公式+课件
条件概率与全概率公式在高中数学中是一个非常重要的概念，理解它可以帮助学生更好地解决概率问题。在介绍条件概率与全概率公式前，先了解一下什么是概率。
概率是指在一定条件下，某件事情发生的可能性大小。事件的概率是以0到1之间的数值表示的，如果一个事件的概率为0，则表示这个事件不可能发生，而如果一个事件的概率为1，则表示这个事件一定会发生。
条件概率是指在已知某个条件下，发生某个事件的概率。条件概率可用下式表示：
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
其中，P(B|A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。P(A)表示事件A发生的概率。
举个例子来说明条件概率的概念。某班有60名学生，其中男生40名，女生20名。学生中有10名拥有iPhone手机，其中男生6名，女生4名。现在想知道一个随机选中的拥有iPhone手机的学生是女生的概率。
解答：
在已知某个学生拥有iPhone的情况下，这个学生是女生的概率可以用条件概率来表示。其中，事件A是指拥有iPhone手机的学生，事件B是指选中的学生是女生。则事件A与事件B的交集为选中的学生既拥有iPhone手机又是女生的概率，即4/60。事件A的概率为拥有iPhone手机的学生总数10/60。则根据条件概率公式可得：
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 4/60 / 10/60 = 0.4
因此，选中的拥有iPhone手机的学生是女生的概率为0.4。
了解了条件概率，我们再来介绍一下全概率公式。全概率公式是指对于一个事件A，如果可以将它分解成几个互不相交的事件B1、B2、B3......Bn，那么可以利用这些子事件的性质来计算事件A的概率。全概率公式可用下式表示：
P(A) = ∑(i=1 to n) P(Bi) * P(A|Bi)
其中，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。P(A|Bi)表示在事件Bi发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率
示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。
若只有两个事件A，B，那么，P(A|B) = P(AB)/P(B)。
条件概率 示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。
联合概率：表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为 P(AB) 或者P(A,B),或者P（A∩B）。
边缘概率：是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。
需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。条件概率公式例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。
定理1 设A，B 是两个事件，且A不是不可能事件，则称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般地，
，且它满足以下三条件：
（1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。
定理2
设E 为随机试验，Ω 为样本空间，A，B 为任意两个事件，设P(A)>0，称
为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。
上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。
设A1，A2，…An为任意n 个事件（n≥2）且P（A1A2…An-1）>0，则P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）…P（An|A1A2…An-1）
定理3(全概率公式1)
设B1，B2，…Bn是一组事件,若（1）BiBj≠j，i≠j，i，j=1，2，…，n;（2）B1∪B2∪…∪Bn=Ω 则称B1，B2，…Bn样本空间Ω的一个部分，或称为样本空间Ω 的一个完备事件组。
1/7 第五节 事件的独立性、条件概率与全概率公式
一、教材概念·结论·性质重现
1．条件概率
条件概率的定义 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率
条件概率的性质 (1)P(Ω|A)＝1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
(3)设B与B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)
2.事件的相互独立性
事件A与事件B相互独立 对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质 若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)
(1)易混淆“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
(2)易混淆P(B|A)与P(A|B)
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，
2/7 且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝i＝1nP(Ai)P(B|Ai)．称上面的公式为全概率公式．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)相互独立事件就是互斥事件． (×)
(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (×)
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率． (√)
(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (√)
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
1 §1.4 条件概率
本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。
一、条件概率的定义
条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已经发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。
例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：
B：无缺陷 B：有缺陷 合计
A：生产厂1 10 5
15
A：生产厂2 8 2
10
合计 18 7
25
为作试验，随机地从25个阀门中选出一个，考察如下两个事件：
A：“选出的阀门来自厂1”，
B：“选出的阀门有缺陷”
则P(A)=15/25，P(B)=7/25，P(AB)=5/25。那么
P(A|B)=5/7=57/2525=()()PABPB；
P(B|A)=5/15=1/3=515/2525=()()PABPA。
解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P(B|A)和P(A|B)。
例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bbbggbgg，其中b代表男孩，g代表女孩，bg代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。
讨论：A“家中至少有一个女孩”， B“家中至少有一个男孩”
计算：(),()PAPB
(|),(|)PABPBA
定义1.4.1 设A，B是样本空间中的两事件，若()0PB，则称
()(|)()PABPABPB
为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。
例1.4.2 设某样本空间含有25个等可能的样本点，事件A含有15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点
计算：(),()PAPB，()PAB
(|),(|)PABPBA 2 概率的有关性质对条件概率是否成立？
