专题二 四种命题的关系、充分条件与必要条件
基础知识要夯实
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
四种命题间的相互关系 四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
3．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p⇒q A⊆B
p是q的必要条件 q⇒p A⊇B
p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB
p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB
p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A⊉B
4.熟记常用结论
1．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即
《1.命题的四种形式》学历案
《1、命题的四种形式》学历案
在数学的世界里，命题是一个重要的概念，而命题的四种形式更是理解逻辑关系的关键。让我们一起来深入探讨一下命题的四种形式吧。
一、什么是命题
首先，我们得明白什么是命题。简单来说，命题就是能够判断真假的陈述句。比如说，“今天是晴天”，如果今天确实是晴天，那这个句子就是真命题；如果今天不是晴天，那它就是假命题。但像“你吃饭了吗？”这样的疑问句，或者“快走吧！”这样的祈使句，就不是命题，因为它们不能判断真假。
二、命题的四种形式
命题有四种形式，分别是原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
原命题就是我们最初给出的那个命题。例如，原命题是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
逆命题是把原命题的条件和结论互换得到的命题。对于上面的原命题，其逆命题就是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”。
否命题是把原命题的条件和结论都加以否定得到的命题。上述原命题的否命题就是“如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等”。 逆否命题则是先把原命题的条件和结论互换，然后再加以否定得到的命题。所以原命题的逆否命题是“如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角”。
三、四种命题之间的关系
这四种命题之间存在着有趣的逻辑关系。原命题和逆否命题是同真同假的，逆命题和否命题也是同真同假的。
比如说，如果原命题是真的，那么它的逆否命题一定也是真的；如果逆命题是假的，那么否命题也一定是假的。
为什么会有这样的关系呢？我们可以通过一些具体的例子来理解。
假设原命题是“如果一个数是偶数，那么它能被 2 整除”，这是真命题。它的逆否命题是“如果一个数不能被 2 整除，那么它不是偶数”，显然也是真的。
再看逆命题“如果一个数能被 2 整除，那么它是偶数”，这也是真命题。否命题“如果一个数不是偶数，那么它不能被 2 整除”，同样是真的。
四、命题四种形式的应用
了解命题的四种形式在数学解题和逻辑推理中有着重要的应用。
大括号形式归纳数学知识
１、四种命题：
（）原命题：若ｐ则ｇ；（２逆命题：若ｑ则ｐ；否命题：若Ｄ则ｑ
（逆否命题：若 ｑ则ｐ注：１、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化
２、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是；否命题是．命题”或”的否定是“月”；”月”的否定是”或“
３、谬辑鲜结词
（）且（ａｎｄ）：命题形式 ｐｑ；ｐｑｐｑＰｑＰ
（２）或（ｏｒ）：命题形式ｐｑ；真真真真假
（３非（ｎｏｔ）：命题形式ｐ真假假真假
“或命题”的真假特点是“一直即直，要假全假”
“月命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的真假特点是“一直一假”
４、充要条件
由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
５、全称命题与特称命题
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个休或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题． 集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明某些确定的目不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。
二集合的抽象表示形式
用大写字母Ａ，Ｂ，Ｃ？？表示集合：用小写字母ａ，ｂ，ｃ表示元素
四种命题的形式
四种命题的形式
1、命题
什么叫命题？
能够明确判断真假的陈述性语句，叫做命题。
其中，判断为真的语句，叫真命题，判断为假的语句，叫假命题。
命题的结构？（条件+结论）
如果…，那么…。
问题1：我是你的数学老师。 真
X＞15 不是命题
全等三角形的面积相等。 真
3是10的约数吗？ 不是命题
两直线平行，同位角相等。 真
上课请不要讲话 不是命题
注：（1）疑问句，祈使句，感叹句不是命题。
（2）要判断一个语句是不是命题，关键是能不能判断真假。
（3）判断命题真假的方法有：逻辑推理法、要证明命题是假命题，只需要举出满足条件，不满足结论的例子即可；要证明命题为真，就需要证明满足命题的条件，就一定能推出命题的结论。
2、推出关系
如果α成立可以推出β成立，那么就说由α可以推出β，记作：α＝＞β，换言之，α＝＞β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。
如果α成立不能推出β成立，记作：α≠＞β，换言之，α≠＞β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。
3、四种命题形式
问题2:判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？
①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； （如果α，那么β）
②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； （如果β，那么α）
③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等； （如果，那么）
④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； （如果，那么）
注： 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系
两个命题为互为逆否命题,它们的真假性相同
例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
例2．写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
4、否命题及命题的否定
