高中数学北师大版选修11第一章解读四种命题的相互关系拓展资料素材

高中数学第一章常用逻辑用语1.1 命题四种命题间的相互关系素材北师大版选修2－１编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学第一章常用逻辑用语１.1 命题四种命题间的相互关系素材北师大版选修2－1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互四种命题间的相互关系一、知识要点：1、四种命题的形式:原命题:若P 则ｑ; 逆命题：若q 则p;否命题:若┑P 则┑ｑ;逆否命题:若┑q 则┑p(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题;（3）交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.2、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题）①、原命题为真,它的逆命题不一定为真 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真③、原命题为真，它的逆否命题一定为真3、反证法：从命题结论的反面出发（假设）,引出(与已知、公理、定理…）矛盾，从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法4、反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2）从这个假设出发,通过推理论证，得出矛盾(3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾；②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论5、两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题）,其余情况则不一定同真或同假(如原命题和逆命题,否命题和逆否命题等）,这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题 逆否命题二、典型例题讲解:类型一：已知一个命题写出另外三种命题例1.把下列命题改写成“若ｐ则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1)负数的平方是正数；(2）写出命题“若ｘｙ＝ 0 则 x = 0或ｙ = 0”的逆命题、否命题、逆否命题（1)解法一：原命题可以写成:若一个数是负数,则它的平方是正数;逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数;否命题：若一个数不是负数,则它的平方不是正数；逆否命题:若一个数的平方不是正数，则它不是负数。

1.1.2 四种命题1．1.3 四种命题间的相互关系(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．●重点、难点重点：四种命题之间相互的关系．难点：正确区分命题的否定形式及否命题．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．(教师用书独具)●教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．●教学流程创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第4页)给出以下四个命题：(1)对顶角相等；(2)相等的两个角是对顶角；(3)不是对顶角的两个角不相等；(4)不相等的两个角不是对顶角；1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了．2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？【提示】命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p.2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否．四种命题的相互关系1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？【提示】(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.(对应学生用书第5页)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【思路探究】(1)原命题的条件与结论分别是什么？(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)若a＞b，则ac2＞bc2.【解】(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【思路探究】确定条件与结论→写出三种命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．下列命题中正确的是( )①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．A．①②③B．①③C ．②③D ．①【解析】 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．真命题． ②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程x 2＋x －m ＝0无实根， ∴判别式Δ＝1＋4m ＜0，m ＜－14.故m ≤0，为真命题． 故正确的命题是①，③选B. 【答案】 B若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．【思路探究】 (1)a ，b ，c 不可能都是奇数包含几种情况？ (2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】 若a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数，所以a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a 2＋b 2＝c 2，则a 、b 、c 不可能都是奇数．1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a ＜2”，判断其逆否命题的真假．【解】∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，则4a －7＜0，解得a ＜74.因此a ＜2，原命题是真命题．又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.(对应学生用书第6页)因否定错误致误写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．【错解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．【错因分析】本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．【防范措施】要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．【正解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．1．写出四种命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．2．四种命题的真假关系：若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.(对应学生用书第7页)1．(福州检测)已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2＜12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2＜12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1【解析】 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2＜12”，故否命题为：“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12”．【答案】 C2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题【解析】从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．【答案】 A3．命题“当x＝2时，x2＋x－6＝0”的逆否命题是____．【解析】原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．【答案】当x2＋x－6≠0时，x≠2.4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.【解】(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．一、选择题1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )A．若p，则綈q B．若q，则綈pC．若綈q，则p D．若綈q，则綈p 【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．∴“若綈q，则p”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(台州检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(大庆检测)下列判断中不正确的是( )A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为( )A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C 中命题的否命题为“若x 2≠9，则x ≠3”为真命题；D 中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D 二、填空题6．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________． 【答案】 若A ∪B ≠B ，则A ⃘B .7．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.【答案】 [1,2]8．(菏泽检测)给定下列命题： ①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解． ②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题． 其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ① 三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题． 否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题． 逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a ＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.(教师用书独具)判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m ＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又∵原命题与它的逆否命题等价，∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真．已知ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【证明】设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2bc＋2cd－2ad －2bc＋2ad＝2，即(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋2ad－2bc＝2，若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0，则a＝b＝c＝d＝0，于是ad－bc＜1；若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2≠0，则(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2为正数，所以必有ad－bc＜1.综上，命题“若a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则ad－bc≠1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证.21。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假 思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。

【学案导学备课精选】2015年高中数学第一章常用逻辑用语章末总结（含解析）北师大版选修1-1知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4判断下列命题的真假．(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题 全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a ·b ＝0⇒a⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)易知，綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6，显然綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q ⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2.q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12，∴t <1＋a ·t 2－12，∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。

细说“命题及其关系“有关命题及其关系，已经在近来几年好多省市的试卷中出现，经常和其他知识结合起来进行综合观察，多以选择题和填空题形式出现，偶而也有解答题。

学习命题及其关系，应注意理解一个命题和其他三个命题之间的关系，注意正确区分否命题与命题的否认，理解互为逆否命题之间的等价性及其在证明中的应用。

一、知识点精讲1．命题一般地，，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。

说明：〔 1〕其实不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。

一般来说，疑问句、祈使句、感想句都不是命题；〔 2〕一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、 q 、r等。

2．命题的结构在数学中，拥有“假设 p 那么 q 〞这种形式的命题是常有的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

数学中有一些命题诚然表面上不是“假设p 那么 q 〞的形式，但是把它的表述作合适改变，也可以写成“假设p 那么 q 〞的形式。

3．四种命题交换原命题的条件和结论，所得的命题是抗命题；同时否认原命题的条件和结论，所得的命题可否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否认，所得的命题是逆否命题。

这些结论用于写一个命题的抗命题、否命题与逆否命题十分方便。

4．四种命题的形式用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p 、q 分别表示p 和 q 的否认，四种形式就是：原命题：假设p ，那么 q ，即 p q ；抗命题：假设 q ，那么 p ，即 q p ；否命题：假设p 那么q ，即 p q ；逆否命题：假设 q 那么 p ，即 qp 。

5．四种命题之间的关系6 ．四种命题间真假命题的判断一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题 抗命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假说明：〔 1〕两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；〔 2〕两个命题互为抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

1.1 命题学习目标1. 理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2. 理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的概念思考 1给出下列语句：①若直线 a∥ b，则直线 a 和直线 b 无公共点；②3＋ 6＝ 7；③偶函数的图像关于 y 轴对称；④5能被 4 整除 .请你找出上述语句的特点.答案上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.梳理(1) 定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类①真命题：判断为真的语句叫作真命题；②假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二命题的形式思考 1你能把“内错角相等”写成“若, ，则 , ”的形式吗？答案若两个角为内错角，则这两个角相等.思考 2“内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题的形式：“若p，则 q”，其中命题的条件是p，结论是 q.由 p 能推出 q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当 x＝2时， x2－3x＋2＝0；(2)若 x2－3x＋2＝0，则 x＝2；(3)若 x≠2，则 x2－3x＋2≠0；(4)若 x2－3x＋2≠0，则 x≠2.你能说出命题(1) 与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题 (1) 的条件和结论与命题(2) 的条件和结论恰好互换了. 命题 (1) 的条件与结论恰好是命题 (3) 条件的否定和结论的否定. 命题 (1) 的条件和结论恰好是命题(4) 结论的否定和条件1的否定 .梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题的关系及其真假判断思考 1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否 .思考 2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题 .梳理(1) 四种命题的相互关系(2) 在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(3) 两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.类型一命题的概念例 1下列语句：(1)2是无限循环小数； (2) x2－ 3x＋ 2＝ 0；(3) 当x＝ 4 时， 2x>0； (4) 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5) 一个数不是合数就是素数；(6) 作△ABC≌△A′B′C′；(7) 二次函数的图像太美了！(8)4 是集合 {1 ，2， 3} 中的元素 .其中是命题的是 ________.( 填序号 )答案(1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假 .(1) 是命题，能判断真假； (2) 不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量 x 赋值前，我们无法判断语句的真假； (3) 是命题； (4) 不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断； (5) 是命题； (6) 不是命题； (7) 不是命题； (8) 是命题 . 故答案为 (1)(3)(5)(8).反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.2其流程图如图：跟踪训练1下列语句中，是命题的为________.①红豆生南国；②作射线 AB；③中国领土不可侵犯！④当 x≤1时， x2－3x＋2≤0.答案①④解析②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例 2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1) 若· <0，则方程2－＋＝ 0 有实数根；m n mx x n(2) 弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3) 若 m≤0或 n≤0，则 m＋ n≤0；(4) 在△ ABC中，若 a>b，则∠ A>∠B.解(1) 逆命题：若方程mx2－ x＋ n＝0有实数根，则m· n<0，假命题.2否命题：若 m·n≥0，则方程 mx－ x＋ n＝0没有实数根，假命题.2m· n≥0，真命题.逆否命题：若方程 mx－ x＋ n＝0没有实数根，则(2) 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题 .否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题 .逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题 .(3)逆命题：若 m＋ n≤0，则 m≤0或 n≤0，真命题.否命题：若m>0且 n>0，则 m＋ n>0，真命题.逆否命题：若m＋ n>0，则 m>0且 n>0，假命题.(4)逆命题：在△ ABC中，若∠ A>∠ B，则 a>b，真命题.否命题：在△ ABC中，若 a≤ b，则∠ A≤∠ B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠ A≤∠ B，则 a≤b，真命题.反思与感悟四种命题的转换方法(1) 交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.3(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题 .跟踪训练 2 命题“若函数 f ( x ) ＝log a x ( a >0，a ≠1) 在其定义域内是减函数， 则 log a 2<0”的逆否命题是 ()A. 若 log a 2<0，则函数 f ( x ) ＝ log a x ( a >0， a ≠1) 在其定义域内不是减函数B. 若 log a 2≥0，则函数f ( x ) ＝ log a ( >0， ≠1) 在其定义域内不是减函数x a aC. 若 log a 2<0，则函数f ( x )＝log a x ( a >0， a ≠1)在其定义域内是减函数D. 若 log a 2≥0，则函数f ( x )＝log a x ( a >0， a ≠1)在其定义域内是减函数答案B解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减 函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数. 命题角度 2四种命题的相互关系例 3若命题 p ：“若 x ＋ y ＝ 0，则 x ， y 互为相反数”的否命题为q ，命题 q 的逆命题为r ， 则 r 与 p 的逆命题的关系是() A. 互为逆命题 B. 互为否命题 C. 互为逆否命题 D. 同一命题 答案 B解析 已知命题 p ：若 ＋ ＝ 0，则 x ， y 互为相反数 .x y命题 p 的否命题 q 为：若 x ＋ y ≠0，则 x ，y 不互为相反数， 命题 q 的逆命题 r 为：若 x ， y 不互为相反数，则x ＋ y ≠0， ∴ r 是 p 的逆否命题，∴ r 是 p 的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟(1) 判断四种命题之间四种关系的两种方法 ①利用四种命题的定义判断；②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是 互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系. (2) 要判断四种命题的真假：首先， 要熟悉四种命题的相互关系， 注意它们之间的相互性； 其 次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握. 跟踪训练 3有下列四个命题：①“若 x ＋ y ＝0，则 x ，y 互为相反数”的否命题； ②一个实数不是正数就是负数；③“若 x ≤－3，则 x 2－ x －6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题.4其中真命题的个数是________.答案1解析①“若 x＋ y≠0，则 x， y 不是相反数”，是真命题.②实数 0 既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.③“若 x>－3，则 x2－ x－6≤0”，解不等式 x2－ x－6≤0可得－2≤ x≤3，而 x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题 .④“相等的角是同位角”，是假命题.类型三等价命题的应用例 4判断命题“已知a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0的解集非空，则 a≥1”的逆否命题的真假.解方法一原命题的逆否命题：已知a， x 为实数，若a<1，则关于x 的不等式 x2＋(2 a＋1)x＋ a2＋2≤0的解集为?，判断如下：抛物线 y＝ x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2的开口向上，令 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2＝0，则＝ (2 a＋ 1) 2－ 4( a2＋ 2) ＝4a－ 7.因为 a<1，所以4a－7<0，即关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题.方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0的解集非空，所以 (2 a＋ 1) 2－4( a2＋2) ≥0，即 4 －7≥0，解得≥7≥1，a a 4所以原命题为真，故其逆否命题为真.引申探究2 2 7判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x ＋(2 a＋ 1) x＋a＋2>0的解集为 R，则a<4”的逆否命题的真假 .解先判断原命题的真假如下：因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线 y＝ x2＋(2 a ＋ 1) x＋a2＋ 2 的开口向上，所以＝ (2 a＋1) 2－ 4( a2＋ 2) ＝ 4a－ 7<0，7所以 a<4.5所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.证明“若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则 a2－4b2－2a ＋ 1＝0”.∵ a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2 b＋1)2－4b2－2(2 b＋1)＋1＝4b2＋1＋ 4b－4b2－ 4b－ 2＋ 1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.1. 下列语句是命题的是()A.2 014 是一个大数B.若两条直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗D.a≤15答案B解析A、D 不能判断真假，不是命题； B 能够判断真假而且是陈述句，是命题；C 是疑问句，不是命题 .2. 命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线答案 D解析只要分清命题中的条件和结论即可.3. 命题“若f ( x)是奇函数，则 f (－ x)是奇函数”的否命题是()A. 若f ( x) 是偶函数，则f (－ x)是偶函数6B. 若f ( x ) 不是奇函数，则f (－ x )不是奇函数C. 若f ( －x ) 是奇函数，则f ( x )是奇函数D. 若f ( －x ) 不是奇函数，则f ( x )不是奇函数 答案B解析否命题是既否定条件又否定结论.因此否命题应为“若f ( x )不是奇函数，则 f (－ x )不是奇函数”.4. 命题“若 a >b ，则 ac 2>bc 2( a ， b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的 个数为() A.0B.2 C.3D.4 答案B解析命题“若 a >b ，则 ac 2>bc 2( a ， b ， c ∈R)”是假命题， 则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则 a >b ( a ， b ， c ∈R)”是真命题，则其否命题是真命题. 故 选 B.5. 给出以下命题：①“若 x 2＋ y 2≠0，则 x 、 y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若 >0，则 x2＋ － ＝ 0 有实根”的逆否命题 .m x m其中为真命题的是 ________. 答案 ①③解析 ①否命题是“若 x 2＋ y 2＝ 0，则 x ， y 全为零”，真命题 .②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题 .③∵ ＝ 1＋ 4m ，当 m >0 时， >0，∴ x 2＋ x － m ＝ 0 有实根，即原命题为真 . ∴逆否命题为真 .1. 可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可 .2. 任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则 q ”的形式.含有大前提的命题写 成“若 p ，则 q ”的形式时，大前提应保持不变.3. 写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1) 找出命题的条件 p 和结论 q ；(2) 写出条件 p 的否定和结论 q 的否定； (3) 按照四种命题的结构写出所有命题.4. 判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.740 分钟课时作业一、选择题1. 下列语句中，不能成为命题的是() A.5>12 B. x >0C. 已知 a 、 b 是平面向量，若 a ⊥ b ，则 a · b ＝0D. 三角形的三条中线交于一点 答案B解析 A 是假命题， C 、D 是真命题， B 中含变量x ，未指定x 的取值范围，无法判断真假，故不是命题 .2. 下列说法正确的是 ()A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B. 语句“最高气温 30℃时我就开空调”不是命题C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D. 语句“当 a >4时，方程 x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D解析 对于 A ，改写成“若，则 ”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；pqB 所给语句是命题；C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为3，腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明 .故选 D.3. 已知命题“若ab ≤0，则 ≤0或 ≤0”，则下列结论正确的是 ()a b A. 真命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 或 b >0”B. 真命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 且 b >0”C. 假命题，否命题：“若>0，则 >0 或 b >0”ab aD. 假命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 且 b >0”答案 B解析 “若 a >0 且 >0，则 >0”是真命题，又“若 >0 且 b >0，则>0”是“若≤0，babaab ab 则 a ≤0 或 b ≤0”的逆否命题，故原命题为真命题. 已知命题的否命题是“若ab >0，则 a >0且 b >0”.4. 下列命题中为真命题的是 ()A. 命题“若x >2 016，则 x >0”的逆命题B. 命题“若xy ＝0，则 x ＝0或 y ＝0”的逆否命题C. 命题“若x 2＋x －2＝0，则 x ＝1”D. 命题“若x 2≥1，则 x ≥1”的逆否命题8答案B解析A 选项，“若x >2 016，则x >0”的逆命题为“若x >0，则 x >2 016”是假命题；B 选项， “若 xy ＝0，则 x ＝0或 y ＝0”的逆否命题为“若 x ≠0且 y ≠0，则 xy ≠0”是真命题；C 选 项，由 x 2＋x －2＝0，得 x ＝1或 x ＝－2，故C 是假命题；D 选项，“若 x 2≥1，则 x ≥1”是 假命题，故其逆否命题是假命题.5. 若命题p 的否命题为q ，命题 p 的逆否命题为 r ，则 q 与 r 的关系是() A. 互逆命题B. 互否命题C. 互为逆否命题D. 以上都不正确 答案A6. 已知命题“若 a ， b ， c 成等比数列，则 b 2＝ac ”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是 ( ) A.0B.1C.2D.3 答案B解析命题“若 a ， b ， c 成等比数列，则 b 2＝ac ”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若b 2＝ ac ，则 a ，b ，c 成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题， 故选 B.7. 下列命题： (1) 若“a 2<b 2，则a <b ”的逆命题； (2) “全等三角形面积相等”的否命题；(3) “若 a ≥0，则 2－ 2 ax ＋ ＋ 3>0 的解集为 R ”的逆否命题； (4) “若 3 ( x ≠0) 为有理数，axax则 x 为无理数” . 其中正确的命题是 ( ) A.(3)(4) B.(1)(3) C.(1)(2) D.(2)(4)答案 A解析 对于 (1) ，逆命题是“若 a <b ，则 a 2<b 2”，易知是假命题；对于 (2) ，否命题是“若两个三角形不全等， 则这两个三角形的面积不相等”， 易知是假命题； 对于 (3) ，结论成立的条件是a ＝ 0 或 a >0，2 2－4a ＋ 3aa故 a ≥0，原命题与其逆否命题真假性相同，所以 (3) 正确；对于 (4) ，若 x 为有理数，则3 x 必为无理数，因为3 为有理数，故 x 为无理数，则 (4) 正x确，故选A. 二、填空题8. 已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 若把上述命题改为 “若 p ，则 q ”的形式，则p 是________________________________________________，9q 是 ________________________________________________________________________.答案 一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段的两个端点的距离相等9. 已知命题 p 的逆命题是“若实数 a ，b 满足 a ＝1且 b ＝2，则 a ＋ b <4”，则命题 p 的否命题 是 __________________________________.答案 若实数 ， b 满足 a ＋ ≥4，则 a ≠1或 b ≠2a b解析由命题 p 的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.10. 在命题“若抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的开口向下，则{ x | ax 2＋ bx ＋ c <0}≠?”的逆命题、否 命题、逆否命题中结论成立的个数是________. 答案1解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也 是假命题，故答案为1. 11. 给定下列命题：①若 k >0，则方程 x 2－2x － k ＝0有实数根； ②若 x ＋ y ≠8，则 x ≠2或 y ≠6； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若 xy ＝0，则 x ， y 中至少有一个为零”的否命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ①②④解析①∵＝4－ 4( － k ) ＝ 4＋ 4k >0， ∴①是真命题.②其逆否命题为真，故②是真命题.③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题：“若xy ≠0，则 x ， y 都不为零”是真命题. 三、解答题12. 判断命题：“若b ≤－ 1，则关于x 的方程x 2－ 2bx ＋b 2＋b ＝ 0 有实根”的逆否命题的真假. 解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致， 所以只需判断原命题的真假即可. 方程判别式为＝ 4b 2－ 4( b 2＋ b ) ＝－ 4b ，因为 b ≤－ 1，所以≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真 .方法二( 利用逆否命题 ) 原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x 2－ 2bx ＋ b 2＋ b ＝ 0 无实根，则 b >－1”.方程判别式为＝ 4 2－4(b 2＋ )＝－4 ，b b b因为方程无实根，所以 <0，即－ 4b <0，所以 b >0，10高中数学第一章常用逻辑用语11命题北师大版1-1!所以 b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知奇函数 f ( x)是定义域为R的增函数， a， b∈R，若 f ( a)＋ f ( b)≥0，求证： a＋ b≥0.证明假设 a＋b<0，则 a<－ b.∵ f ( x)在R上是增函数，∴f ( a)< f (－ b)，又∵ f ( x)为奇函数，∴f (－b)＝－ f ( b)，∴ f ( a)<－ f ( b).即 f ( a)＋ f ( b)<0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.11。