第四章第一节微分方程的基本概念
基本内容
1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数)(xyy称为微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。
习题选解
1.试指出下列各微分方程的阶数
（1）220xdyydx
解：一阶
（2）43()0yyyy
解：二阶
（3）220dQdQQLRdtCdt
解：二阶。
（4）(76)()0xydxxydy
解：一阶
（5）2sindd
解：一阶
（6）(5)20yyyy
解：5阶
2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解 （1）30dyxydx， 3Cyx
解：因为343()dyCCdxxx，代入微分方程，得：
左边=333330dyCCxydxxx右边，所以3Cyx是微分方程的解。
（2）222220dydyxxydxdx， 223yxx
解：因为2(23)26dyxxxdx，22(26)6dyxdx代入微分方程，得：
左边222222262(26)2(23)0dydyxxyxxxxxdxdx右边，所以
223yxx是微分方程的解。
（3）0222dtdSdtSd，tCtCSsincos21
解：因为1212(cossin)sincosdSCtCtCtCtdt，
22212122(sincos)cossindSCtCtCtCtdt，代入微分方程，得：
第四章 微分方程与差分方程方法
第一节 微分方程模型
我们在数学分析中所研究的函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到的大量实际问题往往不能直接写出量与量之间的关系,却能比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分)的关系式称为微分方程.
§4.1.1 微分方程简介
这一节,我们将介绍关于微分方程的一些基本概念.
一、微分方程的阶数
首先我们具体的来看一个微分方程的例子.
例4-1 物体冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中,在时刻0t,测量得它的温度为Cu00150,10分钟后测量得温度为Cu01100.我们要求决定此物体的温度u和时间t的关系,并计算20分钟后物体的温度.这里我们假定空气的温度保持为Cu024.
解:根据物理学中的牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在介质温度的差值成正比.设物体在时刻t的温度为)(tuu,则温度的变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化的微分方程
)(uukdtdu (4.1.1)
其中0k是比例常数.
方程(4.1.1)中含有未知函数u及它的一阶导数dtdu,这样的方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.
方程
)(33tfcydtdybdtyd (4.1.2)
中未知函数最高阶导数的阶数是三阶,则方程(4.1.2)称为三阶微分方程.
二、常微分方程与偏微分方程
如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程;自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程.
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1 / 12 第五章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
一、基本概念
微分方程的定义：
①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.
②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程.
微分方程的阶、解与通解：
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数)(xfy代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.
初始条件与特解：
用未知函数与其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。
例1 课本294页 例1
二、独立的任意常数
线性相关与线性无关：
设)(),(21xyxy是定义在区间),(ba的函数，若存在两个不全为零的数21,kk，使得对于区间),(ba的任一x，恒有
0)()(2211xykxyk
成立，则称函数)(),(21xyxy在区间),(ba线性相关，否则称为线性无关.
显然，函数)(),(21xyxy线性相关的充分必要条件是)()(21xyxy在区间),(ba恒为常数.
如果)()(21xyxy不恒为常数，则)(),(21xyxy在区间),(ba线性无关. .
2 / 12 独立的任意常数：
在表达式)()(2211xyCxyCy (1C,2C为任意常数) 中,1C,2C为独立的任意常数的充分必要条件为)(1xy,)(2xy线性无关.
例2 课本297页 例4
第二节 可分离变量的微分方程
一、定义
形如
)()(ddygxfxy
的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x的函数，另一个仅是y的函数，即)(),(ygxf分别是变量yx,的已知连续函数.
第一章 一阶微分方程
1.1学习目标：
1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.
2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.
3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质;
理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.
4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.
5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.
6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.
7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.
1.2基本知识：
(一) 基本概念
1. 什么是微分方程:
联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是
指等式），称之为微分方程.
2. 常微分方程和偏微分方程:
(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 )(22tfcydtdybdtyd, 0)(2ydtdytdtdy.
(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 0222222zTyTxT, tTxT422.
