人教版九年级数学--平行线分线段成比例定理

A
B
C
D
E
例题2：如图，已知FG∥BC ， AE∥GH ∥ CD
求证： AB = ED
BF DH
E
A
F
H
G
B
D
C
1、过平行四边形ABCD的一个顶点A作一 直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延
长线于点E、F、G。求证：EA2=EF•EG
A
D
E
B
FC
G
2、如图，AC ∥EF ∥ BD （1）求证： AE BE = 1
B
F
∴△ADE∽△ABC
C
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线和其它两边（或延长 线）相交，所得的三角形与原三角形相似
A
E
D
D
A
C
B
C
由平行线得“A”型或“X”型相似
例1：如图，已知BC∥DE ，AB=15， AC=9，BD=4.求AE的长。
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
AD
A
E ？F
？
B
C
E ？F
？
B
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言： ∵在四边形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
A D
E
D
A
C
B
C
填空题：
1、已知AD∥EF∥BC，
且AE=BE， 那么DF= CF .
A
D
EF
CB
2、已知AB∥CD∥EF，
AF交BE于O，且AO=OD=DF，
若BE=60厘米，那么BO= 20 厘米.
A
E C
O
B D
F
3、已知：如图，l1//l2//l3，AB = 3,DE = 2,EF = 4.
L1
L2
做一做：
（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ， 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 （2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成 的线段有何关系？
结 论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
D F = DIFI= 2 AD AIDI 3 D F = DIFI= 2 AF AIFI 5
怎样用文字把以上发现表述出来？
平行线分线段成比例定理：
两条线段被一组平行线所截，所得的 对应 线段成比例.
A B
D
l1
E l2
综上所述：若l1//l2 //l3 ,则：
AB DE BC = EF
上上 下=下
AD BC
（2）求证： 1 1 = 1
AC BD EF
（3）若AC=3，EF=2，求BD的值.
D
C E
A
F
B
A1 ？B1 ？C1
推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平 分另一腰。
AD
E ？F
？
B
C
符号语言： ∵在四边形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
推论2: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线， 必平分第三边。
A
E
F
B
C
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
B
E
C
5.已知：四边形ABCD中，AD∥BC，
E是AB边的中点，
A
D
EF∥DC，交BC于F， 求证：DC=2EF.
E.
M
证明：作EM∥BC交DC于M， B F
C
∵E是四边形ABCD的腰AB的中点，
∴M是DC的中点，即DC=2MC；
∵EF∥DC，∴EF=MC，
∴DC=2EF.
思考. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
问题 直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且 AB=BC则图中还有哪些线段相等？
A B C
l4
D N
O l5
M
l1
E l2
F l3
l6
问题
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F
∴A1B1=B1C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得
的线段 相等 ，那么在其他直线上截得
l1
的线段也 相等
l2
符号语言
l3
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
A B C
BC EF 下 下
C
F
l3
AB = DE AB DE AC = DF
上=上 上上 全 =全
形象记忆
BC EF AC = DF
下下 全 =全
AB BC DE = EF
左左 右=右
....
....
平行线分线段成比例定理的推论：平行于 三角形一边的直线截其它两边（或两边的 延长线），所得对应线段成比例。
相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD = AE A
AB AC
过E作EF//AB交BC于F 则 AE = BF
AC BC
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
∵四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF
\ AE = DE AC BC
\ AD = AE = DE AB AC BC
求：BC.
AD
l1
解：Q l1//l2 //l3 \ AB = DE BC EF
（平行线分线段成比例定理）
即 3 =2 BC 4
3
B
?
C
2
E l2
4
F l3
\ BC = 6
[例一]
4、已知△ABC中，CD平分∠ACB，
AE⊥CD交BC于E，
A
DF∥CB交AB于F，
AF=4厘米，
FD
则AB= 8 厘米.
那么在其他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3， AB=BC
求证： A1B1=B1C1
A
l1
证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l2 B l3 C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1
A1
E
3
B1 1
2 4
F C1
∴EB1 =AB ，B1F=BC
则 ACI = 2 CIFI 3
A
B
BI
C
CI
D
DI
E
EI
F
FI
A
B
BI
C
CI
D
DI
E
EI
F
FI
A C = ACI = 2 CF CIFI 3
A
B
BI
C
CI
D
DI
E
EI
F
FI
B C = BICI= 1 CF CIFI 3 B C = BICI= 1 BF BIFI 4
A B C D E F
AI BI CI DI EI FI