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平行线分线段成比例定理一、把学生认知结构中原有的知识作为数学教学的出发点数学学习过程，实质上是数学认知结构的发展变化过程。
在任何情况下，已有的认知结构总是学习新知识的基础。
数学学习的重要策略就在于建立新知识与原有认知结构之间的联系。
我们知道,平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广，而这两节课研究问题的思路基本相同。
因而在本课的教学中笔者采用“以旧导新"的方法进行，即通过复习旧知识，探索完善旧知识结构，类比推广导出新知.1．学生1用如下的课件通过广播教学的形式主持复习：l 23生1：前面我们学过平行线等分线段定理，哪位同学能叙述定理的内容？生2：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
生1：很好，请坐（点击“定理”按纽，屏幕呈现平行线等分线段定理内容）。
我们连结线段AC 、CG 、GE 、EA 、和BF ，得到一个什么图形？（边问边在计算机上将上述线段用红线连结） 生众:梯形。
生1:好，根据平行线等分线段定理，我们可以得出有关梯形的推论，哪位同学能叙述呢？生3：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
生1：对。
这就是推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
我们再移动直线l 5，使E 点与A 点重合，现在又是什么图形呢？(边问边操作) 生众：三角形.生1：根据平行线等分线段定理,我们可以得出有关三角形的推论2，哪位同学能叙述呢？生4:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
生1：很好.推论2是：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
复习完毕,谢谢！ 2．教师引导学生类比推广导入新课：师：我们知道(屏幕显示），如图1，如果l 1∥l 2∥l 3，且AB=BC,那么DE=EF ，哪位同学能将这个命题改写成比例的形式？ 生5：如果l 1∥l 2∥l 3,且1=BCAB ，那么,1=EFDE 即1==EFDE BCAB2如图2BC EFDE 是否还与错误!相等呢?生众：相等师：是否相等，我们通过实验来验证。
数学教案－平行线分线段成比例定理一、教学目标通过本课的学习，学生应能够： 1. 了解平行线的性质和判断方法； 2. 掌握平行线分线段成比例定理的概念； 3. 能够运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。
二、教学重点平行线分线段成比例定理的理解和应用。
三、教学内容1.平行线的概念和特点；2.平行线分线段成比例定理的表述和证明；3.平行线分线段成比例定理的应用。
四、教学过程1. 导入和复习（5分钟）教师通过提问和回顾上节课的内容，对平行线的定义和性质进行复习。
2. 引入新知（10分钟）教师通过示意图引入平行线分线段成比例定理的问题情境，并提出问题，引发学生思考。
例如：在平行线AB和CD上，点E、F、G分别是线段AC、BD的中点，这时能否得到AB和CD的比例关系？学生可以用自己的方式来解决这个问题。
3. 学习新知（25分钟）教师给出平行线分线段成比例定理的定义和表述，并通过示意图进行说明。
让学生观察图形，理解其中的关系。
然后，教师引导学生进行推理和证明，理解定理的实质和原因。
4. 练习（30分钟）让学生在课堂上进行练习，巩固对平行线分线段成比例定理的理解和应用。
教师可以出几道练习题，让学生自主解答，然后让学生互相交流答案和解题思路。
在解答过程中，教师应及时给予指导和反馈。
5. 拓展应用（15分钟）教师设计几个拓展问题，让学生运用平行线分线段成比例定理解决实际问题，并进行讨论。
例如：已知AB//CD，AD=5，AC=8，求BD的长度。
学生可以自由选择解题方法，然后与同学讨论和比较不同的解法。
6. 总结归纳（5分钟）教师对本课学习的重点进行总结归纳，并强调平行线分线段成比例定理的重要性和应用范围。
五、课堂小结通过本堂课的学习，我们了解了平行线的性质和判断方法，并掌握了平行线分线段成比例定理的概念和应用方法。
这些知识在解决几何问题时非常有用。
六、课后作业1.完成课堂练习中的习题；2.思考并总结平行线分线段成比例定理的应用场景，写一篇小短文。
第9关 平行线分线段成比例常见辅助线作法（讲义部分）知识点1 平行线分线段成比例定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边．推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例．题型1 构造平行线【例1】如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ． （1）如果6AB =，8BC =，21DF =，求DE 的长；（2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长．【解答】解：（1）////AD BE CF ，∴DE AB DF AC=， 6AB =，8BC =，21DF =， ∴62168DE =+， 9DE ∴=．（2）过点D 作//DG AC ，交BE 于点H ，交CF 于点G ， 则9CG BH AD ===， 1495GF ∴=-=， //HE GF ， ∴HE DE GF DF=， :2:5DE DF =，5GF =， ∴255HE =，2HE ∴=，9211BE ∴=+=．【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线， 所得的对应线段成比例．【例2】如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，若:2:1AD BD =，点G 在DE 上，:1:2DG GE =，连接BG 并延长交AC 于点F ，则:AF EF 等于( )A ．1:1B ．4:3C ．3:2D ．2:3【解答】解：如图，作//DH BF 交AC 于H ．//DH BF ，::2:1AH HF AD DB ∴==，∴可以假设HF a =，则2AH a =， //FG DH ，::1:2FH EF DG EG ∴==， 2EF a ∴=， 3AF a ∴=，:3:23:2AF EF a a ∴==， 故选：C ．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解 决问题，属于中考常考题型．【例3】如图，已知点F 在AB 上，且:1:2AF BF =，点D 是BC 延长线上一点，:2:1BC CD =，连接FD 与AC 交于点N ，求:FN ND 的值．【解答】解：过点F 作//FE BD ，交AC 于点E ，∴EF AFBC AB=， :1:2AF BF =， ∴13AF AB =， ∴13FE BC =， 即13FE BC =，:2:1BC CD =，12CD BC ∴=， //FE BD ，∴123132BCFN FE ND CD BC ===． 即:2:3FN ND =．证法二、连接CF 、AD ，:1:2AF BF =，:2:1BC CD =，∴23BF BC AB BD ==， B B ∠=∠，BCF BDA ∴∆∆∽， ∴23FC BC AD BD ==，BCF BDA ∠=∠， //FC AD ∴，CNF AND ∴∆∆∽， ∴23FN CF ND AD ==． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题 具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．【例4】如图，点D 是等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上的一点，3AB BD =，AF CD ⊥于点F 交BC 于点E ．（1）求证：E 是BC 的中点； （2）求:AF CF 的值； （3）求:DF CF 的值．【解答】（1）证明：作BP BC ⊥交CD 的延长线于P ，如图1，90ACB ∠=︒， //AC BP ∴，∴BP ADAC BD =， 3AB BD =， 2AD BD ∴=， 2AC BP ∴=， 而AC BC =， 2BC BP ∴=，AF CD ⊥，90CAF ACF ∴∠+∠=︒， 而90ACF ECF ∠+∠=︒， CAF ECF ∴∠=∠， 在ACE ∆和CBP ∆中， ACE CBP AC CBCAE BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ACE CBP ∴∆≅∆， CE BP ∴=， 2BC CE ∴=，E ∴是BC 的中点；（2）解：CAF ECF ∠=∠， Rt ACF CEF ∴∆∆∽， ∴AF AC CF CE=， 而2BC AC CE ==， ∴2AF CF=； （3）解：作//DH AE 交BC 于H ，如图2， ∴13BH BD BE BA ==， 23EH BE ∴=，//EF DH ，∴2233BEDF EH CF CE CE ===．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例．也考查了三角形全等的判定与性质．【例5】如图，在ABC ∆中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF ，AC 于P ，Q ，D ，求::BP PQ QD ．【解答】解：过D 作//DG BC ，交AE 于G ，AH 于H ，D为AC中点，DH∴是AFC∆的中位线，12DH CF∴=，2CF DH=，BE EF CF==，24BF CF DH∴==，//DG BC，∴14DQ DHQB BF==，4QB DQ∴=，DG是AEC∆的中位线，12DG CE EF BE∴===，//DG BC，BP PD∴=，1.5PQ DQ∴=， 2.5BP DQ=，::5:3:2BP PQ QD∴=．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【例6】如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（）A.3:2:1B. 5:3:1C.25;12:5D.51:24:10【解答】ABC∆,D E BC::3:2:1BD DE EC=P AC :2:1AP PC=BP,AD AE,M N::BM MN NP【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应 关系是解题的关键．【例7】如图，矩形ABCD 的边长3AD =，2AB =，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且2BF FC =，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为( )A．BCD【解答】解：过F 作FH AD ⊥于H ，交ED 于O ，则2FH AB ==2BF FC =，3BC AD ==， 2BF AH ∴==，1FC HD ==，AF FH ∴===， //OH AE ， ∴13HO DH AE AD ==， 1133OH AE ∴==，15233OF FH OH ∴=-=-=，//AE FO ，AME FMO ∴∆∽，∴13553AM AE FM FO ==，38AM AF ∴==， //AD BF ，AND FNB ∴∆∆∽， ∴32AN AD FN BF ==，35AN AF ∴==MN AN AM ∴=-==故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出 辅助线，求出AN 与AM 的长是解题的关键．题型2 构造平行四边形【例8】如图，//AB CD 、//AD CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ， 求证：2MN PQ PN +=．【解答】证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形，F 是AC 的中点，DF ∴的延长线必过O 点，且13DG OG =． //AB CD ， ∴MN AN PN DN =． //AD CE ， ∴PQ CQ PN DN=． ∴MN PQ AN CQ AN CQ PN PN DN DN DN ++=+=． 又13DN DG OQ OG ==， 3OQ DN ∴=．33CQ OQ OC DN OC DN AD ∴=-=-=-，AN AD DN =-．2AN CQ DN ∴+=． ∴2MN PQ AN CQ PN PN DN ++==． 即2MN PQ PN +=．【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．【例9】已知如图，点D 是ABC ∆边BC 上一点，且:2:3BD DC =，过点C 任作一条直线与AB 、AD 分别交于点F 和E ，求证：53AE AFED BF=．【解答】证明：过D 点分别作//DG AB ，//DH FC ，得到四边形DGFH 是平行四边形， DG HF ∴=， //DG BF ，∴DG DCBF BC =，（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例） 23BD CD =， ∴35CD BC =， ∴35DG BF =， 设3DG a =，则3FH DG a ==，5BF a =，2BH a =，35FH BF ∴=，//DG AF ， ∴AE AF ED DG =（如果一条直线截三角形的两边的延长线，所得的对应线段成比例）， DG FH =， ∴AE AF ED FH=， 35FH BF =，∴5335AE AF AFED BFBF ==， 即53AE AF ED BF=．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平 行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果 一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行于三角形的第三边．题型3 其它辅助线作法【例10】如图， 在ABC ∆中，2AF BF =，3CE AE =，4CD BD =． 连接CF 交DE 于P 点， 求:EP DP 的值 ．【解答】解： 如图， 连接EF 、DF ，则CPE FPECPD FPDS S EP DP S S ∆∆∆∆==， 2AF BF =，3CE AE =，4CD BD =， ∴34CE AC =，45CD BC =，23AF AB =，13BF AB =，∴323154344418553ABC ACF CPE FPE CEF CPD FPD CDFBCF ABC S SS S S EP DP S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆⨯+=====+⨯．【点评】本题主要考查比例线段的基本性质， 根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键 ．【例11】已知：如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ，我们可以证明111AB CD EF+=成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，//AB CD ，AD ，BC 相交于点E ，过点E 作//EF AB 交BD于点F ，则：（1）111AB CD EF+=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出ABD S ∆，BED S ∆和BDC S ∆间的关系式，并给出证明．【解答】（1）成立．证明：//AB EF∴EF DFAB DB =//CD EF ∴EF BF CD DB= ∴1EF EF DF BF DB AB CD DB DB DB +=+== ∴111AB CD EF+=； （2）关系式为：111ABD BDC BEDS S S ∆∆∆+=证明如下：分别过A 作AM BD ⊥于M ，过E 作EN BD ⊥于N ，过C 作CK BD ⊥交BD 的延长线于K由题设可得：111AM CK EN+=∴222BD AM BD CK BD EN+=即111111222BD AM BD CK BD EN +=又12ABD BD AM S ∆=，12BCD BD CK S ∆=∴12BED BD EN S ∆= ∴111ABD BDC BEDS S S ∆∆∆+=．【点评】此题考查平行线分线段成比例定理的运用．第9关 平行线分线段成比例常见辅助线作法（题册部分）【课后练1】如图，D 是ABC ∆的边BC 的中点，且13AE BE =． （1）过点A 作DE 的平行线交BC 于G ，分别求出DG BD 和AFFC的值；（2）若CDF ∆的面积为3，求出四边形ABDF 的面积．【解答】解：（1）过点A 作//AG ED 交BC 于点G ，如图1所示．//AG ED ，∴13DG AE BD BE ==． D 是ABC ∆的边BC 的中点， ∴13DG DG DC BD ==， ∴13AF DG FC DC ==． （2）连接BF ，如图2所示． BD CD =，3BDF CDF S S ∆∆∴==．又13AF FC =，123ABF BCF S S ∆∆∴==，235ABF BDF ABDF S S S ∆∆∴=+=+=四边形．【课后练2】在ABC ∆中，BD 是ABC ∆的中线，点P 为BD 上一点，且2BP PD =，过点P 作//MN BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图一，若BA BC =，写出图中所有与PM 相等的线段，并分别给出证明；（2）如图二，过BA BC ≠，在（1）中与PM 相等的线段中找出一条仍然与PM 相等的线段，并给出证明．【解答】解：（1）PM PN BM ==．证明：过点M 作//ME AC ，BA BC =，BD 是ABC ∆的中线， BD AB ∴⊥，ABD CBD ∠=∠， BD ME ∴⊥， //MN BC ，CBD MPB ∴∠=∠， ABD MPB ∴∠=∠， PM BM ∴=；12BE PE PB ∴==， 2BP PD =，即12PD PB =，PD PE ∴=，在PME ∆和PND ∆中， 90PEM PDN MPE NPDPE PD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PME PND AAS ∴∆≅∆， PM PN ∴=．PM PN BM ∴==． （2）PM PN =．证明：过点M 作//ME AC ， ∴ME BM AD BA =， //MN BC ， ∴DN PD DC DB =， 2PB PD =， ∴13PD DB =， :1:3DN DC ∴=， 即3CD DN =，BD 是ABC ∆的中线， AD CD ∴=， :1:3CN AC ∴=， ∴13BM CN BA CA ==， ∴13EM BM AD BA ==， 即3AD EM =， 3CD EM ∴=，EM DN ∴=， //ME AC ，PME PND ∴∠=∠， 在PEM ∆和PDN ∆中， PME PND MPE NPD ME ND ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()PEM PDN AAS ∴∆≅∆， PM PN ∴=．【课后练3】如图，在ABC ∆中，::3:2:1CF EF BE =，:2:3BD AD =．求::CH HG DG 的比．【解答】解：作//DM AE 于M ，//DN AF 于N ，如图，//DM AE ，∴23BM BD ME DA ==， 设2BM x =，则3ME x =，5BE x =， ::3:2:1CF EF BE =， 15CF x ∴=，10EF x =， //GE DM ， ∴333101528DG ME x DC MC x x x ===++， 设3DG t =，则28DC t =， //DN AF ， ∴23BN BD NF DA ==， 而15BN NF BF x +==， 9NF x ∴=， //HF DN ， ∴DH NF DC NC =，即93289158DH x t x x ==+，212DH t ∴=，2115322GH DH DG t t t ∴=-=-=，21352822CH CD DH t t t =-=-=，3515::::335:15:622CH HG DG t t t ∴==．【课后练4】如图，M 、N 分别为ABC ∆中AB 、BC 边上的点，32AM BM =，45CN BN =，MN 与中线BD 相交于点O ，求DOBO的值．【解答】解：如图，作//AE NM ，交BD 的延长线于E ，作//CF NM 交BD 于F ，设OB a =， OD b =．//AE MN ，//CF MN ，//AE CF ∴，DAE DCF ∴∠=∠， BD 是中线， AD DC ∴=，在ADE ∆和CDF ∆中， DAE DCF AD DCADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ADE CDF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，设DE DF m ==， //OM AE ， ∴BM BO AM OE =， ∴23a b m =+， 322a b m ∴=+① //ON CF ， ∴OB BN OF NC=，∴54a b m =-， 455a b m ∴=-②①5⨯+②2⨯得，2320a b =， ∴2023a b =， ∴2320DO OB =．【课后练5】如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的点，BE 交AD 于点O ，完成下列解答：（1）当1AEEC=时，此时O 为 ，则AO OD 的值为 ； （2）当12AE EC =时，求证：AO OD =；（3）当13AE EC =时，求AO OD 值； （4）当E 是AC 上任意一点（点E 不与端点A 、C 重合）时，猜想AE EC 与AOOD之间的关系，并证明你的猜想．【解答】（1）解：1AEEC=， AE EC ∴=，BE ∴是ABC ∆的中线， 又D 为BC 边的中点， AD ∴是ABC ∆的中线， O ∴为ABC ∆的重心， 2AOOD=； 故答案为：重心；2；（2）证明：如图，过点D 作//DF AC 交BE 于F ， D 为BC 边的中点，DF ∴是ABC ∆的中位线，12DF EC ∴=， 12AE EC =， 12AE EC ∴=，∴1AE DF=， //DF AC ， ∴AO AE OD DF =， AO OD ∴=；（3）解：过点D 作//DF AC 交BE 于F ，D 为BC 边的中点，DF ∴是ABC ∆的中位线，12DF EC ∴=，13AE EC =， 13AE EC ∴=，∴23AE DF =， //DF AC ， ∴23AO AE OD DF ==； （4）解：过点D 作//DF AC 交BE 于F ， D 为BC 边的中点，DF ∴是ABC ∆的中位线，12DF EC ∴=，∴2AE AE DF EC =， //DF AC ， ∴2AO AE OD EC=．。
平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。
本文将通过证明该定理，来展示其严谨的数学推导过程。
我们先来描述一下该定理的内容：设有两条平行线l和m，它们被一条横切线n相交于A、B、C三点。
如果在l上任取一点D，并且连接BD和AC，那么我们有以下结论：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)接下来，我们将通过严格的证明来验证这一结论。
证明过程如下：假设在平行线l上任取一点D，并连接BD和AC。
根据平行线的性质，我们可以得到以下两个对应角相等的等角关系：∠ACB = ∠DBC （对应角相等）∠ADC = ∠BCD （对应角相等）由于三角形ABC和三角形DBC中有两个角相等，根据三角形的基本性质，我们可以得到这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们可以得到下面的比例关系：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)从上述推导过程可以看出，平行线分线段成比例定理是由两个等角关系推导得到的，而等角关系是由平行线的性质所决定的。
因此，该定理的证明是严谨而准确的。
值得注意的是，平行线分线段成比例定理的证明过程中没有使用到具体的数值，而仅仅是通过等角关系和相似三角形的性质进行了推导。
因此，该定理具有普适性，适用于任意情况下的平行线。
通过平行线分线段成比例定理，我们可以解决很多实际问题。
例如，在建筑工程中，我们可以利用该定理来计算建筑物的高度。
通过测量建筑物的影子长度和测量仪的高度，我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算建筑物的实际高度。
在几何学的研究中，平行线分线段成比例定理也是解决一些复杂问题的重要工具。
通过应用该定理，我们可以得到一些关于平行线和三角形的性质，进而推导出更多的几何定理。
总结起来，平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。
初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析一、引言平行线分线段成比例是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到平行线、线段比例等多个概念。
掌握这一知识点，不仅有助于学生理解几何图形的性质，还能提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将详细解析平行线分线段成比例的概念、性质、定理以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、平行线分线段成比例的概念1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.线段比例：如果两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段是成比例的。
3.平行线分线段成比例：如果一条直线与另外两条平行线相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线将这两条平行线分成的线段是成比例的。
三、平行线分线段成比例的性质1.基本性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线截得的两条线段之比是恒定的，与直线的位置无关。
2.等比性质：如果两条平行线被一条横线截得的线段之比等于另外两条平行线被同一条横线截得的线段之比，那么这四条线段是成比例的。
3.交叉相乘性质：如果两条平行线被一条横线截得的两组线段是成比例的，那么这两组线段的交叉相乘结果相等。
四、平行线分线段成比例的定理1.梅内劳斯定理：如果一条直线与一个三角形的两边相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线也必将与三角形的第三边相交，并截得相应的成比例线段。
2.塞瓦定理：如果三条直线交于一点，且分别截得三条线段的比是相同的，那么这三条直线所在的平面内的任何一条经过该点的直线都将这三条线段分成成比例的两组。
五、平行线分线段成比例的应用1.几何证明：在几何证明中，平行线分线段成比例的性质和定理可以作为证明的依据，帮助学生理解和解决复杂的几何问题。
2.实际问题解决：在实际生活中，许多问题可以通过建立数学模型并运用平行线分线段成比例的知识进行解决。
例如，在建筑设计中，可以利用这一知识点计算建筑物的各部分尺寸和比例。
3.数学竞赛：在数学竞赛中，平行线分线段成比例的知识点经常作为难题的考点出现。
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
初中20 -20 学年度第一学期教学设计主备教师审核教师授课周次授课时间课题27.2.1平行线分线段成比例定理课型新授课教学目标了解相似比的定义，理解掌握平行线分线段成比例定理及推论.教学重点理解掌握平行线分线段成比例定理及推论.教学难点探索图形相识的基本性质。
教学方法与手段平行线分线段成比例定理及推论的应用。
教学准备第一课时课时数1课时课堂教学实施设计（教师活动、学生活动）复备内容或集体备课讨论记录(标、增、改、删、调)一．复习旧知:师：相似多边形的主要特征是什么？生：相似多边形的对应角相等，对应边相等.二.明确学习目标:师：那今天我们在了解相似比的基础上学习平行线分线段成比例定理及推论。
三．自学指导：认真阅读课本本节的内容，完成练习并体验知识点的形成过程。
1.什么是相似比？2.阅读探究：什么是平行线分线段成比例定理？平行线分线段成比例定理：三条______截两条直线，所得的_____线段的比_____.3.几何语言表示：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述比例可使用一些简单的形象化的语言“上对上，下对下,全对全”。
另外，根据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同一直线上，也就是“”，这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.4.推论：5.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
几何语言:_________________________________________.四．自学检测：（自学检测1）1.判断题:如图:DE∥BC, 下列各式是否正确（）A. AD/AB=AE/ACB.AD/BD=AE/CEC.AD/AC=AE/ABD. AD/AE=AB/AC2.如图所示，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：(1)△OAC和△OBD的相似比；(2)BD的长．五．巩固练习：如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长六.小结：本节课你学了什么知识?[七.课堂练习1.△ABC与△A′B′C′相似，记作_______________，△ABC与△A′B′C′相似比是k，△A′B′C′与△ABC的相似比是_____.2、三条______截两条直线，所得的____线段的比____.3.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）,所得的_______线段的比______.九.作业教学反思（教学内容、过程、策略）：板书设计：平行线分线段成比例定理定理：推论：。
平行线分线段成比例定理证明简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。
也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。
说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF 可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则四边形AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
