复变函数练习题（一）
一、 判断题：
1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )
2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )
3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )
4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )
5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )
7.若)(lim 0
z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )
8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( )
9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰C dz z f . ( )
10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（
） 二.填空题
1、=-⎰=-1||00)
(z z n
z z dz
__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________.
3.函数z sin 的周期为___________.
4.设11
)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数0
n n nz ∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n
n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n z
z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z
sin 的孤立奇点为________ .
10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z . 三.计算题：
1. 设)2)(1(1
)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2. .cos 11||⎰=z dz z
3. 设⎰-++=C d z
z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数1
1+-=
z z w 的实部与虚部. 四. 证明题. 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.
2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求
出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
复变函数练习题（二）
一. 判断题.
1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )
2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )
3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )
4. 有界整函数必为常数. ( )
5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0
z f z z →一定不存在. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )
7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰C
dz z f . ( ) 8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )
9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )
10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n n
n f . ( ) 二. 填空题.
1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z
2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i
z ________. 3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）
4. 幂级数0
n n nz ∞
=∑的收敛半径为__________ .
5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.
6. 函数e z 的周期为__________.
7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.
8. 设2
11)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10. ____)1,1(
Res 4
=-z z . 三. 计算题. 1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个
解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.
3. 计算积分：⎰-=i
i z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆. 4. 求dz z z ⎰=-22)2(sinz
π
.
四. 证明题.
1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
复变函数练习题（三）
一. 判断题.
1. cos z 与sin z 的周期均为πk
2. ( )
2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )
3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )
4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )
5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数.
( )
6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )
7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）
8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )
10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )
二. 填空题.
1. 设1
1)(2+=
z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.
