2017_2018学年高中数学第二章函数2.2.3待定系数法学案新人教B版必修1(含答案)
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2.2.3 待定系数法
[学习目标] 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.
[预习导引]
1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.
2.正比例函数的一般形式为y＝kx(k≠0)，反比例函数的一般形式为y＝kx(k≠0)，一次函数的一般形式为y＝kx＋b(k≠0)，二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
要点一 求一次函数的解析式
例1 设一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋9，求f(x)的解析式.
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝a·f(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b.
由f[f(x)]＝4x＋9，得a2x＋ab＋b＝4x＋9，
∴ a2＝4，ab＋b＝9，解得 a＝2，b＝3，或 a＝－2，b＝－9.
∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.
跟踪演练1 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x).
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则有3f(x＋1)－2f(x－1)
＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋5a＋b＝2x＋17，
则 a＝2，b＋5a＝17， ∴a＝2，b＝7，即f(x)＝2x＋7.
要点二 求二次函数的解析式
例2 已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式.
解 方法一 设二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得 －5＝c，0＝25a＋5b＋c，－b2a＝2，
解得 a＝1，b＝－4，c＝－5.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2－4x－5.
方法二 设二次函数f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，
将(0，－5)，(5,0)，
代入上式得 －5＝4a＋k，0＝9a＋k，
解得 a＝1，k＝－9，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－2)2－9，
即f(x)＝x2－4x－5.
方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x＝2，
∴二次函数与x轴另一交点为(－1,0)，
设二次函数为f(x)＝a(x－5)(x＋1)(a≠0)，
将(0，－5)代入得a＝1，
∴f(x)＝x2－4x－5.
规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.
跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.
(1)已知二次函数的图象经过A(3,0)，B(0，－3)，C(－2,5)三点；
(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上；
(3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上.
解 (1)设所求函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定. 根据已知条件得 9a＋3b＋c＝0，c＝－3，4a－2b＋c＝5，
解得 a＝1，b＝－2，c＝－3.
因此所求函数为y＝x2－2x－3.
(2)设所求函数y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定.
根据已知条件得a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－12，
因此所求函数为y＝－12(x－4)2＋2＝－12x2＋4x－6.
(3)∵y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，
∴顶点A(2，h－4)，
由已知得(－4)×2－1＝h－4，h＝－5，
∴所求函数为y＝x2－4x－5.
要点三 待定系数法的综合应用
例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.
解 设左侧的射线对应的解析式为
y＝kx＋b(k≠0，x≤1)，
因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故 k＋b＝1，b＝2，
解得k＝－1，b＝2，
所以左侧射线对应的函数的解析式为
y＝－x＋2(x<1)，
同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3).
当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数.
设其方程为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)，
由点(1,1)在抛物线上可知a＋2＝1，所以a＝－1，
所以抛物线对应的函数解析式为 y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3).
综上，函数的解析式为
y＝ －x＋2 x＜1，－x2＋4x－2 1≤x≤3，x－2 x>3，
由图象可知函数的最小值为1，无最大值，
所以，值域为[1，＋∞).
规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.
跟踪演练3 已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f(6)＝2，又当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，
求f(x)的解析式.
解 因为f(x)在[3,6]上是二次函数，f(x)≤f(5)＝3，
则(5,3)为抛物线的顶点，
所以设f(x)＝a(x－5)2＋3(a≠0)，
又因为f(6)＝2，代入f(x)得a＝－1，
所以x∈[3,6]时，f(x)＝－(x－5)2＋3.
当x＝3时，f(3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上.
又因为f(x)为奇函数，且x∈[－6,6]，
所以f(0)＝0，故可设一次函数式为f(x)＝kx(k≠0)，
将(3，－1)代入f(x)得k＝－13.
所以一次函数式为f(x)＝－13x.
当x∈[－6，－3]时，－x∈[3,6]，
所以f(x)＝－f(－x)＝(x＋5)2－3.
所以f(x)＝ x＋52－3，x∈[－6，－3，－13x，x∈[－3，3]，－x－52＋3，x∈3，6].
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为( )
A.y＝x2＋2x－3
