M—PM空间中反交换映像的公共不动点定理

第１３卷第３期　２０１１年９月　应用泛函分析学报　ＡＣＴＡ　ＡＮＡＬＹＳＩＳ　ＦＵＮＣＴ１０ＮＡＬＩＳ　ＡＰＰＬＩＣＡＴＡ　Ｖｏ１．１３，Ｎｏ．３　Ｓｅｐｔ．，２０１１　

ＤＯＩ：ｔ０．３７２４／ＳＰ．Ｊ．１１６０．２０１１．００３３２　文章编号：１００９—１３２７（２０１　１）０３－０３３２—０５　

Ｍ—ＰＭ空间中反交换映像的公共不动点定理　

王培培，朱传喜　

南昌大学数学系，南昌３３００３１　

摘要：　在Ｍ—ＰＭ空间中引入了反交换映像的概念，并讨论了映像在反交换条件下的公共不动点的存在　性及唯一性问题，同时将此结果推广到Ｆｕｚｚｙ度量空间中，改进和推广了若干重要结论．　关键词：公共不动点；反交换映像；Ｍ—ＰＭ空间　

中图分类号：Ｏ２１１．３；０１７７．９１　文献标识码：Ａ　

１前言及预备知识　

自从１９４２年Ｍｅｎｇｅｒ￣Ｉ入Ｍｅｎｇｅｒ－ＰＭ空间以后，许多学者研究了Ｍ．ＰＭ空间中映像的公共不动点　的各种问题，诸如从交换映像、弱交换映像、相容映像到弱相容映像以及集值形式的公共不动点的　

存在性及唯一性．在文献［１］中，吕中学在度量空间中引入了反交换映像的新概念，并且举例说明了反　交换映像与以上各种映像的区别与联系，本文则在概率度量空间中引入反交换映像的概念，建立了　

一类新的（　）压缩映像，并得到了几个新的公共不动点定理，同时将此结果推广￣ｌＪＦｕｚｚｙ度量空间中，　

改进和推广了文献［１】及文献［２］中的一些重要结论．　

本文处处假定Ｒ表示一切实数的集合，Ｒ十表示一切非负实数的集合．为了方便起见，首先回顾　

一些概念．　

映射ｆ：Ｒ—Ｒ＋称为分布函数，如果它是非减的，左连续的，又满足下面的条件：　

．　廷ｎ　ｆｆ（　）：０，　ｕＲｐｆ（　）＝　

记Ｄ为一切分布函数组成的集合．Ｈ（ｔ）表示一特殊的分布函数，定义如下：当ｔ＞０时，Ｈ（ｔ）＝　

１；当ｔ≤０时，Ｈ（ｔ）＝０．　

定义１．１［。】概率度量空间（￣ｇｌ；ＰＭ空间）是一有序对（　，Ｆ），其中　是一抽象集，Ｆ是　×　到Ｄ　映像（记分布函数Ｆ（ｘ，Ｙ）为　，　，又Ｆ　（ｔ）表示Ｆ　在ｔＥＲ的值）并且假定Ｆ　，　，ｙＥＸ满足下面的　

条件：　

（ＰＭ一１）Ｆ　（０）＝０；　

（ＰＭ一２）Ｆ　，　（ｔ）＝日（ｔ），ＶｔＥＲ，当且仅当ｘ＝ｙ；　

（ＰＭ一３）Ｆ删＝Ｆ　；　

（ＰＭ一４）对任意的ｘ，ｙ，ｚＥＸ及ｔｌ，ｔ２ＥＲ，若Ｆ　（ｔ１）＝１，Ｆ　（　２）＝１，则有Ｆ　（ｔｌ＋ｔ２）＝１．　

定义１．２（。】Ｍｅｎｇｅｒ概率度量空间（简称Ｍ—ＰＭ空间）是一三元组（　，Ｆ，△），其中（　，Ｆ）是一ＰＭ空　

间，△是ｔ　范数，而且满足下面的Ｍｅｎｇｅｒ广义不等式：　

（ＰＭ一５）对任意的ｘ，ｙ，ｚＥＸ及ｔｌ，ｔ２ＥＲ，有：Ｆ　（　ｌ＋　２）≥△（Ｆ删（　１），Ｆ　（　２））．　

收稿日期：２００９—１２—０７　资助项目：国家自然科学基金（１０７６１００７）；江西省自然科学基金（０４１１０４３，２００７ＧＺＳ２０５１）　作者简介：王培培（１９８６一），女，硕士，Ｅ－ｍａｉｈ　ｗａｎｇｐｅｉｐｅｉ２１５￣１６３．ｃｏｒｎ

；朱传喜，男，教授，博士生导师　第３期　王培培，等：Ｍ—ＰＭ空间中反交换映像的公共不动点定理　３３３　

定义１．３　Ｍｅｎｇｅｒ概率度量空间（　，Ｆ，△）上的自映像ｓ，　称为是反交换的，如果存在ｐＥＸ使　

得ＳＴｐ＝ＴＳｐ＝￣Ｓｐ＝Ｔｐ．　．　

称ｐＣＸ为Ｍｅｎｇｅｒ概率度量空间（　，Ｆ，△）上的自映像　，　的交换点，如果ｓ　：　．　

称ｐ６Ｘ为Ｍｅｎｇｅｒ概率度量空间（　，Ｆ，△）上的自映像Ｓ，　的公共不动点，如果Ｓｐ＝Ｔｐ＝ｐ．　

定义１．４［　］　Ｍｅｎｇｅｒ概率度量空间（　，Ｆ，△）上的自映像　，　称为弱相容的，如果Ｓ，　在重合　

点处可交换，即若　＝　，对某ｐ６Ｘ，则有ＳＴｐ＝ＴＳｐ．　

注１　由以上定义可知反交换与弱相容是不同的，弱相容映像是在重合点处可交换，而反交换　

是在交换点处重合．　

注２由Ｓｐ＝Ｔｐ＝ｐ￣ＳＴｐ＝ＴＳｐ知若映像　，　没有交换点，则Ｓ，Ｔ没有公共不动点．　定义１．４［　】　称函数　：Ｒ＋一Ｒ＋满足条件（　），如果　（￡）是严格增的，　（０）＝０，对Ｖｔ＞Ｏ，　

ｌｉｍ　（￡）＝＋∞，其中　（￡）表示　（ｔ）的几次迭代．易见若函数　满足条件（　），则对Ｖｔ＞Ｏ有　”　）＞　”一　（亡）＞…＞　（亡）＞ｔ，ｎＥＮ＋．　

２　主要结果　

定理２．１　设（　，Ｆ，△）是Ｍ—ＰＭ空间，其中△（　，　）≥　，ｖｔｅ［ｏ，１］．　，Ｂ：　—　是反交换自映像，且　存在交换点．如果对任意的Ｘ，ｙＥＸ，满足下列条件：　

（Ｇ１）　ＦＢ　，Ｂ　（ｔ）＞／ｍｉｎ｛ＦＡ　，Ａ　（　（　）），ＦＡ。，Ｂ　（　＠）），ＦＡ　，Ｂ　（　（　））），Ｖｔ＞Ｏ　

其中　满足条件（　）．　

那么Ａ，Ｂ有唯一公共不动点．　

证明　设　是　，Ｂ的交换点，即ＡＢ＃＝ＢＡ＃，因　，Ｂ是反交换的，故有Ａ　＝Ｂ　，从而可　

得ＡＡ＃＝ＡＢ＃：Ｂ　＝ＪＥ｝Ｂ　．　下面证明Ｂ　是Ｂ的不动点．事实上，若ＢＢ　≠Ｂ　，则存在ｔｏ＞０，使得ＥＢＢ　，Ｂ　（　ｏ）＜１．　

在（Ｇ１）式中取　＝　，　＝Ｂ　得　

ＦＢ　，ＢＢ　（ｔｏ）＞．ｍｉｎ｛ＦＡ　，ＡＢ　（　（　０）），ＦＡ　，ＢＢ　（　（ｔ０）），ＦＡＢ　，ＢＢ　（　（ｔ０）））　

ＦＢ　，ＢＢ　（　（　０））　

反复运用上式有　

ＦＢ　，ＢＢ　（　０）≥ＦＢ　，ＢＢ　（　（ｔ０））≥…≥ＦＢ　，ＢＢ，上（　（￡０））　

在不等式两边令ｎ一。。，得ＦＢ　，ＢＢ　（ｔ０）≥１．矛盾．　

因此ＢＢ　＝ＪＥ｝　，即Ｂ　是Ｂ的不动点．　

又因　Ｂ　＝ＪＥ｝Ｂ　＝Ｂ　，故Ｂｉｔ也是　的不动点，从而Ｂ　是　，Ｂ的公共不动点．　

下证唯一性．若　，Ｂ存在两个公共不动点，设为　及　，且　≠　，则存在ｔｔ＞Ｏ使得Ｆ　（　１）＜１．　设　＝　，ｙ＝ｖ由（Ｇ１）式得　

Ｆ　，　（ｔ１）＝ＦＢ　，Ｂ　（　１）　

￣ｍｉｎ｛ＦＡ　，Ａ　（　（ｔ１）），Ｆ　，Ｂ　（　（　１）），ＦＡ　，Ｂ　（　（ｔ１）））　

＝Ｆ　，　（　（　１））　

反复上述过程有　

Ｆ　，　（ｔ１）≥Ｆ　，　（　（ｔ１））≥…≥Ｆ　，　（　（ｔ１））　

令ｎ一∞得Ｆ　（　１）≥１，矛盾．故　＝　，即唯一性得证．

　３３４　应用泛函分析学报　第ｌ３卷　

推论２．２　设（　，Ｆ，△）是Ｍ—ＰＭ空间，其中ａ（ｔ，ｔ）≥￡，ｖｔｅ［ｏ，１】．Ａ，Ｂ：　—　是反交换自映像　且　存在交换点．如果对任意的　，ｙｃＸ，满足下列条件：　

（Ｇ２）　ＦＡｚ，Ａ　（　）≥ｍｉｎ｛Ｆ日　，Ｂ　（　），ＦＢ　，Ａ　（｛），ＦＢ　，Ａ　（　）），Ｖｋｅ（Ｏ，１），ｔ＞Ｏ　那么Ａ，Ｂ有唯一公共不动点．　证明只需令　（￡）＝　，ｖｋｅ（ｏ，１）即可．　

推论２．３　设（　，Ｆ，△）是Ｍ—ＰＭ空间，其中ａ（ｔ，￡）≥ｔ，ｖｔｅ［ｏ，１】．Ａ，Ｂ：　—　是反交换自映像，且　存在交换点．如果对任意的Ｘ，ｙＥＸ，满足下列条件：　

（Ｇ３）　ＦＡ　，Ａ　（ｔ）＞．ｍｉｎ｛ＦＢ　，Ｂ　（　（￡）），ＦＢ　，Ａ　（　（￡）），ＦＢ　，Ａ　（　（￡））），Ｖｔ＞Ｏ　

其中　满足条件（　），那么　，Ｂ有唯一公共不动点．　

证明只需将　，Ｂ交换位置即可．　定理２．４设（　，Ｆ，△）是Ｍ—ＰＭ空间，其中ａ（ｔ，　）≥ｔ，ｖｔｅ［ｏ，１】．设Ａ１，　２，Ｂ１，Ｂ２是　上的四个自映　

像，且　１，Ａ２）与（Ｂ１，Ｂ２）分别为反交换自映像，并且存在交换点．如果对任意的　，ｙｃＸ，满足下列条　

件　（Ｇ４）：ＦＡ。　，Ｂ　（￡）≥ｍｉｎ＜ＦＡ　，Ｂ　（　（ｔ）），ＦＡ　，Ｂ　（　（ｔ）），ＦＢ　，Ｂ　（　（　）），ＦＡ　，Ａ。　（　＠）），　

ＦＡ。　，Ｂ。　（　（ｔ））｝，　Ｙｔ＞Ｏ，　其中　满足条件（　）．　

那么　１，Ａ２，Ｂ１，Ｂ２有唯一公共不动点．　证明设　，Ｖ分别为（　ｌ，　２）与（Ｂｌ，　）的交换点，即Ａ１Ａ２　＝　２Ａｌ　，ＢｌＢ２ｖ＝Ｂ２ＢｌＶ．　

由于（　１，　２）与（Ｂ１，Ｂ２）分别为反交换自映像，故有Ａ１ｔｔ＝Ａ２　及Ｂ１ｖ＝Ｂ２　．从而有　

１　２　＝Ａ２Ａ１　＝Ａ１　１，上＝　２　２　及Ｂ１Ｂ２ｖ＝Ｂ２Ｂｌｖ＝ＢｌＢ１ｖ＝Ｂ２Ｂ２ｖ成立．　下面证明Ａ２＃＝Ｂ２ｖ．事实上，若Ａ２１￣Ｂ２ｖ，则存在ｔｏ＞Ｏ使得Ｆ　。　，Ｂ。　（　０）＜１．在（Ｇ４）中令　＝　，　

ｙ＝ｖ有　

ＦＡ。　，Ｂ。　（ｔｏ）＞￣ｍｉｎ｛ＦＡ　，Ｂ　（　（￡０）），ＦＡ　，Ｂ　（　（ｔ０）），ＦＢ　，Ｂ。　（　（　０）），ＦＡ　，Ａ。　（　（ｔｏ）），ＦＡ。　，Ｂ　（　（ｔ０）））　

＝ＦＡ。　，Ｂ。　（　（　ｏ））　

反复运用上式有　

ＦＡ　，Ｂ　”（ｔｏ）≥ＦＡ。　，Ｂ　（　（ｔ０））≥－・－ＦＡ。　，Ｂ：　（　（ｔ０））　

令佗一。。得ＦＡ。　，Ｂ。　（ｔ０）≥１，矛盾．故有Ａ２ｔｔ＝Ｂ２ｖ．　

下￣Ａ２Ｉｔ是　２的不动点，￣Ａ２Ａ２＃＝Ａ＃２．若Ａ２＃￣Ａ＃２，则存在Ｑ＞０使得ＦＡ。Ａ　，Ａ。　（ｔ１）＜１．　在（Ｇ４）式中令ｘ＝Ａ２ｐ，ｙ＝ｖ有　

ＦＡ２Ａ２　，　２　（ｔ１）＝ＦＡ２Ａ２　，Ｂ２　（ｔ１）　

＞￣ｍｉｎ｛ＦＡ　Ａ。　，Ｂ　（　＠１）），ＦＡ　Ａ。　，Ｂ　（　（　１）），ＦＢ　，Ｂ。　（　（　１）），　

ＦＡ　Ａ。　，Ａ。Ａ　（　＠１）），ＦＡ。Ａ。』上，Ｂ　（　（　１））｝　

＝ＦＡ。Ａ２　，Ａ２　（　（　１））　

反复运用上式有　

ＦＡ２Ａ。　，Ａ。　（ｔ１）≥ＦＡ２Ａ２　，Ａ２　（　（￡１））≥…≥ＦＡ。Ａ。　，Ａ２　（　（ｔ１））　

令咒一。。有ＦＡ。Ａ。　，Ａ。　（　１）≥１，矛盾．从而有Ａ２Ａ２　＝　２即Ａ２　是　２的不动点．　

同理可证Ｂ２Ｂ２ｖ＝Ｂ２ｖ，即Ｂ２ｖ是Ｂ２的不动点．又因Ｂ１　２ｖ＝Ｂ２Ｂ２ｖ＝Ｂ２ｖ，从而Ｂ２ｕ也为日１的　

不动点．　同理可证Ａ２＃也为　１的不动点．由Ａ２ｔｔ＝Ｂ２Ｖ知ｚ＝Ａ２　＝Ｂ２Ｖ为　１，Ａ２，Ｂ１，Ｂ２的公共不动点．

　第３期　王培培，等：Ｍ—ＰＭ空间中反交换映像的公共不动点定理　３３５　

下证唯一性．若Ｗ也为Ａ１，　２，Ｂ１，Ｂ２的公共不动点，且ｗＣｚ．则存在ｔ２＞０使得Ｆ　，　（ｔ２）＜１成立．　

在（Ｇ４）中令　＝叫，ｙ＝ｚ得　

Ｆ　，　（ｔ２）＝ＦＡ。　，Ｂ。　（ｔ２）　

／＞ｍｉｎ｛ＦＡ　，Ｂｌｚ（　（￡２）），ＦＡ　，Ｂ　（　（　２）），Ｆ日　，Ｂ。　（　（￡２）），ＦＡ　，Ａ。　（　（　２）），ＦＡ　，Ｂ　（　（　２）））　

＝Ｆ　，　（　（ｔ２））　

反复上述过程得　

Ｆ　，　（　２）≥Ｆ　，　（　（　２））≥…≥Ｆ　，　（　（ｔ２））　

令ｎ一。ｏ有Ｆ　，　（ｔ２）≥１，矛盾．从而唯一性得证．　

推论２．５设（　，Ｆ，△）是Ｍ—ＰＭ空间，其中Ａ（ｔ，￡）≥ｔ，ｖｔｃ［ｏ，１１．设Ａ１，４２，Ｂ１，Ｂ２是ｘ上的四个自　映像，且（　１，　２）与（Ｂ　，Ｂ２）分别为反交换自映像，并且存在交换点．如果对任意的　，ｙＥＸ，满足下列　条件：　（Ｇ５　‰呦㈤　ｎ｛ＦＡｌｘ，Ｂｌｙ（　）￣ＦＡｌｘ，Ｂ２ｙ（老）￣ＦＢｌｙ，Ｂ２ｙ（　）￣ＦＡｌｘ，Ａ２ｘ（丢），ＦＡ２ｘ，Ｂｌｙ（丢））　

Ｖｔ＞０，　∈（Ｏ，１）　

那么Ａ１，』４２，Ｂ１，Ｂ２有唯一公共不动点．　

３　应用　

仿照定理２．１，我们可将其推广￣ｌＪＦｕｚｚｙ度量空间中，证明方法类似．