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不动点原理不动点原理不动点原理是现代数学中的一个基本概念，也是函数式编程语言中的重要概念。
它的核心思想是找到一个函数，使得对于某个输入值，该函数的输出值等于输入值本身。
这个输入值就被称为该函数的不动点。
一、定义在数学中，给定一个函数f，如果存在一个实数x使得f(x)=x，则称x 为f的不动点。
二、举例说明以求平方根为例，假设我们要求一个数的平方根，可以使用牛顿迭代法来实现。
具体过程如下：1. 选取初始值x0；2. 计算f(x0)=x1=x0/2+a/(2*x0)，其中a为要求平方根的数；3. 如果|f(x1)-x1|<ε，则停止计算，并将结果输出；否则返回第二步。
通过牛顿迭代法可以求出一个数a的平方根sqrt(a)。
但是我们发现，在计算过程中出现了不动点：当x=sqrt(a)时，有f(x)=sqrt(a)。
因此，sqrt(a)就是函数f(x)=x/2+a/(2*x)的不动点。
三、应用领域1. 函数式编程语言在函数式编程语言中，不动点常用于定义递归函数或实现高阶函数。
例如，在Haskell语言中，可以使用不动点来定义递归函数，如下所示：fix :: (a -> a) -> afix f = let x = f x in x这个函数的作用是寻找一个不动点，使得f(x)=x。
通过这个不动点，可以实现递归。
2. 计算机科学在计算机科学中，不动点理论被广泛应用于程序分析、程序验证和编译器优化等领域。
例如，在静态分析中，可以使用不动点来求解程序的不变量；在编译器优化中，可以使用不动点来实现常量传播、死代码删除等优化技术。
3. 经济学在经济学中，不动点理论被应用于博弈论和均衡分析等领域。
例如，在博弈论中，可以使用不动点来求解纳什均衡；在均衡分析中，可以使用不动点来求解市场均衡等问题。
四、总结总之，不动点原理是一种基本的数学概念，在函数式编程语言、计算机科学和经济学等领域都有广泛的应用。
通过寻找函数的不动点，我们可以实现递归、求解程序的不变量、实现编译器优化、求解均衡分析等问题。
不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。
该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。
不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。
假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。
对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。
这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。
我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。
我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。
很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。
现在我们将问题扩展到更一般的函数。
假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。
通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。
这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。
不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。
这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。
不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。
例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。
这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。
总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。
通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。
不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。
在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。
几个不动点定理及其应用
1. 香农不动点定理：若一个函数在一个闭区间上是连续的，那么这个函数在这个闭区间上至少有一个不动点。
应用：此定理可以用来证明某些函数的最小值或最大值存在。
2. 黎曼不动点定理：若一个函数在一个闭区间上是连续的，又在这个闭区间上的两个端点处有有限的导数，那么这个函数在这个闭区间上至少有一个不动点。
应用：此定理可以用来证明某些函数的最小值或最大值存在，也可以用来证明某些不可导函数的最小值或最大值存在。
3. 卡尔曼不动点定理：若一个函数在一个闭区间上是连续的，又在这个闭区间上的两个端点处有有限的导数，且在这个闭区间上的每一点处都有有限的导数，那么这个函数在这个闭区间上至少有一个不动点。
应用：此定理可以用来证明某些函数的最小值或最大值存在，也可以用来证明某些不可导函数的最小值或最大值存在，还可以用来判断某些函数的最小值或最大值是否存在。
2023-11-08CATALOGUE 目录•不动点理论概述•不动点理论的核心概念•不动点理论的应用场景•不动点理论的挑战与解决方案•不动点理论的未来发展趋势及展望01不动点理论概述不动点理论是指函数在某一点上达到平衡状态，即函数在该点上的值不再发生改变。
这个概念被广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域。
不动点理论在数学中通常是指对于某个映射或函数，存在一个点使得该映射或函数在该点上的作用结果等于该点的原始值。
这个概念可以用于研究函数的单调性、收敛性等性质。
不动点理论定义不动点理论的重要性不动点理论在数学、物理学、经济学等领域中具有重要的应用价值。
例如，在数学中，不动点理论可以用于证明某些函数的收敛性；在物理学中，不动点理论可以用于研究系统的平衡状态；在经济学中，不动点理论可以用于研究市场的稳定性和均衡价格。
不动点理论的发展历程中涌现出了许多重要的数学家和物理学家，他们对不动点理论的形成和发展做出了重要的贡献。
不动点理论的发展可以追溯到19世纪末期，当时一些数学家开始关注函数的不动点性质。
其中最为著名的是法国数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦尔辛斯基，他在1890年左右证明了连续函数的不动点的存在性和唯一性定理。
不动点理论的历史与发展随后，不动点理论得到了广泛的应用和发展。
在20世纪初期，一些数学家开始研究拓扑学中的不动点理论，并取得了重要的成果。
同时，不动点理论也被应用于物理学、经济学等领域中，成为研究系统平衡状态的重要工具之一。
近年来，不动点理论仍然是一个活跃的研究领域。
随着计算机科学和人工智能的发展，不动点理论在机器学习、神经网络等领域中也得到了广泛的应用和发展。
02不动点理论的核心概念压缩映射原理是指对于两个非空集合A和B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素x，f(x)都在B中，并且对于B中的任意元素y，都存在一个x属于A，使得f(x)=y。
那么我们就称f是一个压缩映射，A和B是满足压缩映射原理的。
泛函分析中的不动点迭代法在泛函分析领域，不动点迭代法是一种重要的数学工具。
它被广泛应用于各个数学领域，如函数逼近、优化问题、微分方程等。
本文将介绍不动点迭代法的基本原理和应用场景。
一、不动点迭代法的基本原理不动点迭代法的核心思想是通过反复迭代逼近一个函数的不动点。
一个函数的不动点是指对于函数f(x)，若存在一个点x0使得f(x0)=x0，则x0称为函数f的不动点。
不动点迭代法的基本步骤如下：1. 选择一个初始点x0；2. 迭代计算：根据迭代公式x_{n+1}=f(x_n)，进行反复迭代直到满足收敛条件；3. 迭代终止：达到满足收敛条件时，得到函数的近似不动点。
不动点迭代法的收敛性条件通常包括收敛性判别定理、收敛速度等，具体条件取决于问题的特性以及所选择的迭代函数。
二、不动点迭代法的应用场景不动点迭代法在泛函分析中有广泛的应用场景。
以下将介绍其中几个常见的应用：1. 函数逼近：通过不动点迭代法，可以逼近一个函数的零点。
选择一个合适的迭代函数，利用迭代过程逐步逼近函数的零点。
2. 优化问题：在优化领域中，不动点迭代法可以用来求解某些特殊类的优化问题。
通过将优化问题转化为求不动点的问题，利用不动点迭代法求解最优解。
3. 微分方程：不动点迭代法可以用于求解一些微分方程的初值问题。
通过将微分方程转化为一个不动点迭代问题，然后利用不动点迭代法进行求解。
不动点迭代法的应用并不仅限于以上几个场景，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
三、不动点迭代法的实例为了更好地理解和应用不动点迭代法，以求解方程f(x)=0为例进行说明。
假设我们需要求解方程x^2-3x+2=0的根。
我们可以将其转化为不动点迭代问题，即求解不动点方程x=f(x)，其中f(x)=(x^2+2)/3。
初始点x0可以选择为2，然后根据迭代公式进行迭代计算。
通过多次迭代，我们可以得到近似的不动点为1，即方程的解为x=1。
四、总结不动点迭代法是一种在泛函分析中常用的数学工具。
不动点原理及应用院－系：数学学院专业：数学与应用数学年级：学生姓名：学号：导师及职称：200 年5月The Principle and Application of Immovable point Department:Mathematics and Applied MathematicsGrade:Student’s Name:Student No.:Tutor:摘要：介绍了banach不动点原理即压缩影射原理，及其在求一些数列极限、方程近似解中的应用；然后讲述了不动点原理在微分方程、积分方程解的存在性、和唯一性方面的重要应用即逐次逼近法；再讲述不动点原理在线性方程组方面的应用；简述不动点原理在积分中值定理、隐函数存在定理方面的应用。
关键词：Banach不动点原理；压缩影射；应用。
The Principle and Application of Immovable pointAbstract: The banach fixed point compression insinuate that the principle of principle, and for some of the series limit, equations approximate solution of and then on a fixed point in the principle of differential equations, integral equations of the existence of, and uniqueness of The important applications that successive approximation method; again on the fixed point of principle-the application of equations; briefly fixed point principle in the integral value theorem, the implicit function theorem the application.Key words: Banach fixed point principle; compression insinuate; application.目录第一章引入……………………………………1 前言……………………2 预备知识…………………………第二章不动点的应用1“不动点原理”在数列极限中的应用……………………2“不动点原理”在求方程近似解中的应用………………………………3“不动点原理”在积分方程的应用………………………………4不动点定理在常微分方程中的应用………………………………5不动点在解线性方程组方面的应用………………………………6“不动点原理”在积分第一中值定理的应用………………………………7“不动点原理”在隐函数存在定理的应用………………………………第三章结论…………………………参考文献……………………致谢……………………第一章 引入1 前言我在这篇文章主要是归纳不动点原理的应用，别人做的只是用不动点原理在某一方面的应用，而我是在他们的基础上归纳综述。
不动点法原理不动点法是一种数值计算方法，用于寻找方程$f(x)=x$ 的解，其中 $f(x)$ 是一个给定的函数。
它的原理是通过迭代的方式逼近不动点，即在每一次迭代中，将上一次迭代得到的结果作为输入，通过函数计算得到新的结果，直到满足某个终止条件为止。
具体来说，假设我们要解方程 $f(x)=x$，首先选择一个初始值$x_0$，然后迭代地计算 $x_1=f(x_0), x_2=f(x_1), x_3=f(x_2),\ldots$，直到达到满足终止条件的解。
终止条件可以是两次迭代之间的解的差值小于某个给定的阈值，或者设定一个最大迭代次数。
不动点法的关键是选择一个合适的函数 $f(x)$，使得方程$f(x)=x$ 的解也是 $f(x)$ 的不动点。
这通常可以通过对原方程进行变换得到。
一般来说，选择一个合适的初始值也对迭代的结果产生影响，过大或过小的初始值都可能导致迭代发散或者无法收敛到正确的解。
举个例子来说明不动点法的应用。
假设我们要解方程 $x^2-3x+2=0$，可以将这个方程变形为 $x=g(x)$ 的形式，其中$g(x)$ 是一个适当的函数。
我们可以令 $g(x)=x^2-3x+2$，这样原方程的解也就成了 $g(x)$ 的不动点。
选择一个初始值$x_0=0$，经过迭代计算，我们可以得到 $x_1=g(x_0)=-2,x_2=g(x_1)=0, x_3=g(x_2)=0, \ldots$，当迭代到 $x_2$ 时，解已经收敛，并且满足 $g(x_2)=x_2$，因此 $x_2$ 就是原方程的一个解。
总结来说，不动点法通过迭代计算来逼近方程$f(x)=x$ 的解，关键是选择适当的函数 $f(x)$ 和初始值 $x_0$，从而找到方程的不动点作为解。
数列的不动点法原理宝子，今天咱们来唠唠数列里超有趣的不动点法原理呀。
你想啊，数列就像是一列小火车，按照一定的规则在数字的轨道上跑。
那不动点呢，就像是这个小火车跑到了一个特殊的站台，到了这个站台之后呢，下一次它还在这个站台，或者说有一种特殊的关系。
比如说有这么一个数列的递推公式，像a_n + 1 = f(a_n)。
不动点就是满足x = f(x)的那个x的值哦。
这就好比是小火车跑到了一个站台x，按照规则f，下一次它还是在这个站台。
咱举个简单的例子哈。
假如有数列a_n + 1=(1)/(2)a_n+1。
我们来找找它的不动点。
设这个不动点是x，那按照定义就有x=(1)/(2)x + 1。
你看，就像解一个小方程一样，把x移到一边，得到(1)/(2)x=1，解得x = 2。
这个2就是这个数列递推关系的一个不动点啦。
那这个不动点有啥用呢？它可神奇了呢。
当我们知道了不动点之后，我们可以对数列进行一些变形。
就拿刚才那个数列来说，我们可以把递推公式a_n +1=(1)/(2)a_n+1变形为a_n + 1-2=(1)/(2)(a_n-2)。
你看，这时候就出现了一个新的数列b_n=a_n-2，这个新数列的递推公式就变得更有规律啦，是b_n + 1=(1)/(2)b_n，这就是等比数列的形式了呀。
再比如说更复杂一点的数列。
有些数列看起来乱乱的，但是一旦找到了不动点，就像在黑暗中找到了一盏明灯。
比如说有数列a_n + 1=frac{a_n^2+1}{2a_n}。
设不动点为x，那就是x=frac{x^2+1}{2x}，整理一下得到2x^2=x^2+1，也就是x^2=1，解得x = 1或者x=-1。
然后我们就可以根据这两个不动点对原数列进行变形啦。
从本质上来说，不动点法就是利用数列递推关系中的这个特殊的“稳定点”，把数列转化成我们熟悉的形式。
就像是把一个调皮捣蛋、不好管理的小怪兽，变成了一个乖乖听话、有规律的小动物。
而且啊，不动点法在很多类型的数列问题中都能派上用场。
不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点121、- 二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有 例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(2242422=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121=-=x x⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x ⇒另外两解4514,3±-=x ， 故函数12)(2-=x x g 的稳定点是1、21-、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）ο1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即00)(x x f =000)())((x x f x f f ==⇒，故也是函数)(x f y =的稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况； 综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．（2）ο1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.121例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。
零点定理与不动点定理的应用数学是自然科学中一门极具理论性的学科，也是运用极广泛的一门学科。
在数学中，有两个非常重要的定理，它们分别是零点定理和不动点定理。
这两个定理在数学中的应用十分广泛，本文将主要从实际问题的角度出发，介绍它们的应用。
一、零点定理零点定理，顾名思义，就是寻找函数的零点。
一个函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。
在应用中，我们通常会遇到这样一种情况：已知函数f(x)，求它的零点。
这时，我们通常会通过函数图像来找到函数的零点。
在工程应用领域中，经常会需要求解复杂的方程组。
这时，我们可以将方程组转化为非线性方程f(x)=0的形式，然后利用零点定理来求解。
例如，在石化行业中，我们经常需要求解化学反应动力学方程，以预测反应过程中的各种参数。
而这些方程通常是非线性的，无法通过简单的代数方法来求解。
这时，我们可以通过建立反应动力学模型，然后通过计算机仿真来求解方程的零点，在工业上广泛应用。
另外一个实际应用是在机器人控制领域中。
在机器人的运动学分析中，往往需要解一些复杂的非线性方程，例如机械臂运动的角度计算问题。
这时，我们同样可以使用零点定理来寻找方程的零点，从而得到机器臂的所需运动角度。
二、不动点定理不动点定理是另一种重要的定理，它在数学中的应用远比零点定理广泛。
不动点定理的意思是寻找一个函数的不动点。
一个函数f(x)的不动点就是满足方程f(x)=x的点x。
在应用中，不动点定理通常用于解决优化问题。
例如，在经济学和金融学中，经常需要求解各类优化问题，例如成本最小化、利润最大化等。
而这些问题通常可以描述为一个函数的最优解，该函数的不动点就是最优解。
这时，我们可以利用不动点定理来找到函数的不动点，从而得到最优解。
再例如，在人工智能领域中，深度学习模型通常也可以被视为一个函数，模型的训练过程就是寻找这个函数的不动点。
在深度学习中，不动点定理被广泛应用于优化算法的设计和改进。
此外，不动点定理在随机过程中的应用也非常广泛。
题目：不动点原理及其应用摘要本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。
在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。
关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用AbstractIn this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too.Keywords:contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.目录引言 (1)1.压缩映射原理 (1)1.1压缩映射原理（距离空间） (1)1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (6)2.Schauder不动点定理 (8)不动点定理的应用 (10)总结 (12)参考文献 (13)引言在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder 不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。
1压缩映射原理1.1压缩映射原理（距离空间）定义1.1.1：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，若存在数01θ≤≤，使得对所有01θ≤≤，有()(),,Tx Ty x y ρθρ≤，则称T 是压缩映射。
【1】定理1.1.1：设X 是完备的距离空间，距离为ρ，T 是由X 到其自身的映射，且对任意的,x y X ∈，不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤， （1.1.1）成立，其中θ是满足不等式01θ≤≤的常数，那么T 在X 中存在唯一的不动点，既存在唯一的x X ∈使得T x -=x -，x -可用迭代法求得. 证明：在X 中任意取定一点0x ，并令10,21x Tx x Tx ==，......1,n n x Tx +=......，由()()()()12010100,,,,;x x Tx Tx x x x Tx ρρθρθρ=≤= ()()()()223121200,,,,;x x Tx Tx x x x Tx ρρθρθρ=≤=...............可证明()()100,,n n n x x x Tx ρθρ+≤ ()1,2,3.....n =()()()()1121,,,...,n n p n n n n n p n p x x x x x x x x ρρρρ+++++-+≤+++()()1100...,n n n p x Tx θθθρ++-≤+++()()()000,01,.11n n nx Tx x Tx θθθρρθθ-=≤--由于 01θ≤≤，所以0nθ→，则{}n x 是X 中的基本点列，由X 的完备性可知{}n x 收敛于X 中某一点x -，由（1.1.1）式可知，T 是连续映射，在1,n n x Tx +=中，令n →∞，可得T x -=x -，因此x -是T 的一个不动点。
下证唯一性：设另有y -使得y T y --=，则,,,,x y T x T y x y ρρθρ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为01θ≤≤，所以,0x y ρ--⎛⎫= ⎪⎝⎭，即x y --=，唯一性成立。
定理1.1.2：设T ：X X →是X 上的映射，若对于某个自然数k ，k T 有唯一不动点，则T 以同一点作为唯一不动点。
【2】证明：设0x X ∈是k T 的唯一不动点，00k T x x =，则()()000k k Tx T T x T Tx ==，因此0Tx 是k T 的不动点，由唯一性可知00Tx x =，又因为T 的每一个不动点肯定是k T 的不动点，因此T 的不动点是唯一的。
例1.1.1设(),K s t 是矩形,a s t b ≤≤上的连续函数，(),,sup a s t bK s t M ≤≤=<∞，对于每个μ∈Φ有()()(),,ta x t K t dt t μτϕ=+⎰ （1.1.2）()[],t C a b ϕ∈，求证这个方程在[],C a b 中存在唯一解。
证明：考虑映射[][]:,,T C a b C a b →，()()()()[],,,taTx t K t dt t x C a b μτϕ=+∀∈⎰，则有()()()()()()(),ta Tx t Ty t K t x y d μττττ-=-⎰()()sup a t bM x t y t t a μ≤≤≤--()()=,M t a x y μρ- （1.1.3）对此进行归纳，()()()()()(),!nnn n n t aT x t T y t M x y n μρ--≤()()()()11n n T x t T y t ++-()()()()()=,tnnaK t T x T y d μττττ-⎰()()111,!ntn n aMa d x y n μττρ++≤-⎰ ()()()111=,1!n n n t a M x y n μρ+++-+ （1.1.4）因此对任意的自然数n,()()()()(),sup n n n n a t bT x T y T x t T y t ρ≤≤=-()(),!n nn M b a x y n μρ-≤（1.1.5）当n 足够大时，使()1!n nn M b a n μ-<，则n T 是[],C a b 上的压缩映射，由于[],C a b 完备，因此nT 有唯一的不动点，根据定理1.1.2，T 有同一不动点，是方程的解。
例1.1.2设T 是压缩映射，求证n T 也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.证明：（1）因为T 是压缩映射，因此存在存在()0,1γ∈，使得()(),,Tx Ty x y ργρ≤，则()()222,,T x T y Tx Ty ργργ≤≤，并且假设()(),,n n n T x T y x y ργρ≤成立，那么有：()()()()111,,,,n n n n n n T x T y T x T y x y x y ργργγργρ+++≤≤=，由数学归纳法可知 ()(),,n n n T x T y x y ργρ≤对任意自然数n 成立，由于()0,1γ∈，则()0,1n γ∈，所以n T 是压缩映射。
（2）该命题的逆命题不一定成立，如：()2xf x =：[][]0,10,1→； ()22x f x =：[][]0,10,1→是压缩映射,()2x f x = ：[][]0,10,1→；不是压缩映射。
若()2xf x =：[][]0,10,1→；是压缩映射，则有，存在()0,1γ∈使得 ()()2121f x x x x γ-≤-，有()()2121f x f x x x γ-≤-，则差商是有界的。
但若取1212,x x n n ==，有()()()2121112f x f x n x x -⎛⎫=-→∞ ⎪-⎝⎭，与差商有界矛盾，故证。
例1.1.3 设[](),,,:D a b f D R=⨯-∞∞→满足：（1）f 在 D 上连续；（2）(),y f x y 在 D 上存在，()0,y m f x y M <≤≤，对于任意的(),x y D ∈，方程(),0f x y = 存在唯一的解 ()y x ϕ=.证明：[],C a b 是完备的距离空间，T 是C[a,b]到C[a,b]上的连续映射，()()(),max d x y x t y t =-，T 不是压缩映射，添加一个参数M 进行修正，()()()()()1,T x x f x x M ϕϕϕ=-，[][]1,2,,,C a b x a b ϕϕ∈∈，根据条件，结合中值定理可得：()()()()()()()()()()12112211,,T x T x x f x x x f x x M M ϕϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤-=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()12121,,x x f x x f x x M ϕϕϕϕ⎡⎤=---⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()12212121,.y x x f x x x x x x M ϕϕϕθϕϕϕϕ=--+--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()1212121max 1m m x x x x d x x M M ϕϕϕϕαϕϕ⎛⎫⎛⎫≤--≤--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，T是压缩映射，存在唯一()[],x a b ϕ∈，使得()[],x a b ϕ∈()()()(),,0T x x f x x ϕϕϕ==即.例1.1.4微分方程解的存在性和唯一性(,)dyf x y dx=， 00|x y y = (1.1.6)(),f x y 关于y 满足利普希兹条件：()()'',,f x y f x y K y y -≤-， x ,y ,'y R ∈.(1.1.7)其中K>0为常数，过定点()00,x y 的积分曲线只有一条 与方程（ 1.1.6）等价的积分方程为：()()()00,xx y x y f t y t dt =+⎰， (1.1.8)取δ>0满足1K δ<.在C []00,x x δδ-+中定义映射T ：()()()()00,xx Ty x y f t y t dt =+⎰ []()00,x x x δδ∈-+则有，()()()()()001,212max,,xx x x Ty Ty f t y t f t y t dt δρ-≤⎡⎤=-⎣⎦⎰()()0012maxxx x x K y t y t dt δ-≤≤-⎰()()()0121,2max t x K y t y t K y y δδδρ-≤≤-=. （1.1.9）根据压缩映射原理，存在唯一的连续函数()0y x []()00,x x x δδ∈-+使得：()()()0000,xx y x y f t y t dt =+⎰，由此，()0y y x =就是微分方程过()00,x y 的积分曲线。
