矢量运算及其在中学物理中的应用

2020年7月Vol .38 No . 13 中学物理•解题指南•巧用矣量三角形分析汐学问题杨军林1杨彬2(1.新疆教育科学研究院新疆乌鲁木齐830092 ; 2.新疆乌鲁木齐市第一中学新疆乌鲁木齐830026)摘要：高中物理中矢量概念的引入无疑给高中物理增加了很大的难度.平行四边形定则由矢量的存在而产生，而 矢量三角形定则又是平行四边形定则的简化.利用矢量三角形可以解决很多动力学问题，使得问题简单化，如力学中的 动态平衡问题、极值问题，这样处理可以将繁琐的数学问题简化，达到事半功倍的效果.关键词：矢量三角形；动态平衡;极值文章编号：1〇〇8 -4134(2020)13 -0058中图分类号..G 633.7文献标识码：B进人高中，物理的难度明显增大，而矢量概念的 引人无疑给物理增加了很大的难度.为了解决矢量问 题,人们引入了平行四边形定则，以此解决矢量的运 算问题.而矢量三角形定则将复杂的平行四边形简化 为简单的三角形，将问题进一步简化，如图1.图1科学思维是物理学科核心素养的一个重要方面. 矢量三角形模型的引人，可以增强学生的科学思维， 体会科学本质.矢量三角形可以解决很多动力学问题，使得问题 简单化，能直观地反映出矢量的变化过程，本文就矢量三角形在动力学中的应用做一归类分析.1物体动态平衡问题物体动态平衡是指通过控制某一物理量,使物体 的状态发生缓慢变化的平衡问题.从宏观上看，物体 是运动变化的，但从微观上理解是平衡的，即任一时 刻物体均处于平衡状态.这类问题有一个共同特征： 物体受三个力作用，其中一个力为恒力.下面,我们分 三类来分析.1.1矢量三角形法例题1如图2所示，一根轻绳的上端固定在0点，下端系一质量为m 的小球（可视为质点）.现对小 球施加一水平向左的外力F ，使小球缓慢上升.则在 小球上升过程中，下列说法正确的是A . F 逐渐增大B .绳的拉力7先增大后减小c •绳0/1的拉力r 逐渐增大 1〕•绳的拉力r 先减小后增大本题特征:物体受三个力，其中一个力为恒力，另 一个力方向不变.求解策略:将分解到水平方向和竖直方向，列 方程求解，但这种方法较复杂，不直观.改用矢量三角形求解，由图3很容易得到F T 都 在增大，答案A C 正确.图31.2 矢量圆法例题2如图4所示，两根不可伸长轻绳一端系于结点〇,另一端分 别系于固定竖直环上的4两点，4、f i 两点可自由移动，〇点下面悬挂一物体M ，绳与水平方向夹角30。

向量在物理中的关键应用作文向量在物理中的关键应用在物理学中，向量是一种重要的数学工具，它被广泛地应用于各个领域，从机械力学到电磁学，从热力学到光学。

向量的运算和表示方法可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。

本文将探讨向量在物理中的关键应用。

一、力学在力学中，向量的应用尤为突出。

我们可以使用向量来描述物体的运动和作用力。

例如，当我们想要描述一个物体受到的作用力以及它的运动状态时，我们可以使用位移向量、力向量和加速度向量。

位移向量表示物体从一个位置到另一个位置的移动，力向量表示作用在物体上的力，而加速度向量则表示物体在单位时间内的速度变化。

通过对这些向量的运算和研究，我们可以得出关于物体运动和力的有关性质和规律。

例如，根据牛顿第二定律，我们可以得出力等于物体质量乘以加速度的公式，即F = m*a。

这个公式便是基于向量的概念和运算得出的。

二、电磁学向量在电磁学中也扮演着重要的角色。

对于电磁力和电场、磁场的研究和描述，向量起到了至关重要的作用。

在电磁学中，我们可以使用电场强度向量和磁感应强度向量来描述电场和磁场的性质。

电场强度向量表示电场的强度和方向，磁感应强度向量则表示磁场的强度和方向。

通过对电场和磁场的向量运算，我们可以计算出电荷之间的作用力，以及电流在导线上产生的磁场等。

同时，远距离电磁相互作用的描述和计算也离不开向量的运算。

例如，在电磁波的传播过程中，我们可以通过电场和磁场的向量叠加得到电磁波的传播方向和强度。

这些都是基于向量的运算和分析得出的。

三、热力学在热力学中，向量也有着广泛的应用。

温度梯度、热流等热学量的计算和描述都需要运用向量的概念和方法。

例如，当我们想要计算物体内的温度分布时，我们可以使用温度梯度向量来表示温度在空间的变化率。

这样，我们就可以通过对温度梯度向量的运算和分析来得出物体内部的温度分布规律。

另外，热流的描述和计算也依赖于向量的应用。

热流向量表示单位时间内单位面积内热量的流动方向和强度。

运动的合成与分解遵循如下原理：
♠ 独立性原理 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、
互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会 因有其它分运动的存在而发生改变．
♠ 等时性原理 合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个
分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．
♠ 矢量性原理 描述运动状态的位移、速度、加速度等
v02 2gh
v0
矢量△“面积”
θ
S
1 2
gt
v0
cos
h
1 2
g
x
1 2v0vt
sin
当 xv09v0g02o即 vt2stiann1 v02v0 vt2
时 xmax
v0
x
v02 vt2 g
θ
vt
△v
专题4-例5 网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射回．为
使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度vP运 动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是α，速度vP 和此法线的夹
v3 2 tv23 v22 v3 vco s
v2t
C
7
v3t
v 4
v3t
D
专题4-例4 从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，
讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大．
物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的 时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;
矢量关落地系时:速 u度uvvv的大vvt小为vvv0t
物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行 四边形定则作上述物理量的运算．
雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度向 东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向

§1.8 两矢量的矢性积一、概念1. 矢性积的例子物理学中的力矩是一个矢量，它是两个矢量的矢性积，如图1-23，如果力的作用点是A, ，则力矩＝.2. 两矢量与的矢性积（也称矢积，外积，叉积）是一个矢量，记做⨯或[]，它的模是|⨯|＝||||sin∠(,),它的方向与,都垂直，并且按,,⨯这个顺序构成右手标架{O;,,⨯}.二、性质定理1. 两不共线矢量与的矢性积的模，在数值上等于以与为邻边所构成的平行四边形的面积.证明：如图1-24，平行四边形的面积S=|| h=||||sin∠(,)=|⨯| .定理2. 两矢量与共线的充要条件是⨯＝.证明：当与共线时，sin∠(,)=0，从而|⨯|=0，即⨯＝；反过来，当⨯＝时＝或＝或∥，而可以看成与任何矢量共线，所以总有∥.定理3. 矢量的矢性积满足下面的运算规律：(1) 反交换律⨯＝－(⨯).(2) 关于数因子的结合律λ(⨯)＝(λ)⨯＝⨯(λ).(3) 分配律 (+)⨯＝⨯＋⨯.证明：只给出反交换律⨯＝－(⨯)的证明，其余类似可证：如果与共线，那么（⨯）与(⨯)都是，显然成立. 如果与不共线，那么|⨯|＝||||sin∠(,)=||||sin∠(，)=|⨯|，而根据矢性积的定义（⨯）与(⨯)共线且方向相反，从而⨯＝－(⨯).推论. 设λ, μ为任意实数，有(λ)⨯(μ)＝(λμ)(⨯),⨯(+)＝⨯+⨯.三、坐标运算1. 如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么⨯＝++.或⨯＝.2. 与中学代数里的方程一样，我们将含有未知矢量的等式叫做矢量方程. 例如⋅＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常数，这就是一个矢量方程. 解矢量方程常用两种方法：其一是对方程实行各种向量运算来求出未知向量；其二是利用坐标化成代数方程再去求解.例1.证明(⨯)2≤2⋅2，并说明在什么情形下等号成立.证明：(⨯)2＝|⨯|2＝||2||2sin2∠(,)≤||2||2＝2⋅2.要使等号成立, 必须sin2∠(,)＝1, 从而sin∠(,)＝1, 故∠(,)＝，即当⊥时，等号成立.例2. 证明如果++＝，那么⨯＝⨯＝⨯，并说明它的几何意义.证明：由++＝, 有 (++)⨯＝⨯＝, 但⨯＝，于是⨯+⨯＝,所以⨯＝⨯.同理由 (++)⨯＝, 有⨯＝⨯,从而⨯＝⨯＝⨯.其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.例 3. 如果非零矢量(i＝1,2,3)满足，＝⨯，＝⨯，那么,,是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.证明：由矢性积的定义易知,,彼此垂直，且构成右手系. 下证它们均为单位矢量.因为＝⨯，＝⨯,所以 ||＝||||, ||＝||||,所以 ||＝||2||.由于 ||≠0，从而 ||2＝1，||＝1.同理可证 ||＝1，||＝1.从而,,都是单位矢量.例4. 用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理＝＝.（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：∆2＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝(a+b+c)是三角形的半周长，∆为三角形的面积.证明 (1) 如图1-25，在△ABC中，设＝，＝，＝，且||＝a，||＝b, ||＝c, 则++＝,从而有⨯＝⨯＝⨯,所以 |⨯|＝|⨯|＝|⨯|,bc sin A＝ca sin B＝ab sin C,于是＝＝.(2) 同上题图，△ABC的面积为∆＝|⨯|,所以∆2＝(⨯)2.因为 (⨯)2+(⋅)2＝22,所以∆2＝[22－(⋅)2].由于++＝,从而+＝－，(＋)2＝2,所以＝(2－2－2)＝(c2－a2－b2),故有∆2＝[a2b2－(c2－a2－b2)2]＝[2ab－(c2－a2－b2)][2ab+(c2－a2－b2)]＝[(a+b)2－c2][2－(a－b)2]＝(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b)＝⋅2p⋅(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a).所以∆2=p(p-a)(p-b)(p-c),或∆=.例5. 试解方程组, //,其中≠，l是已知数.解法一：化成坐标式得a1x1+a2x2+a3x3=l, ,其中, ，k≠0, 解得x1=, x2=, x3=,再化成矢量式得.解法二：由得，代入得，于是k＝, 从而有.作业题：1. 设, , 为三个两两不共线的矢量，且⨯=⨯= ⨯，则++=.2. 设两非零矢量，求k值，使两个向量k和＋k共线.3. 已知两非零矢量，求与共线的充要条件.4. 已知, , 其中＝5, , ∠, 求平行四边形ABCD的面积.。