2020高考数学 专题练习 九 三角函数的图象与性质 文

第12课时 正切函数的性质与图象1错误! A ．xx ≠k π＋错误!，k ∈ZB ．xx ≠k π2－错误!，k ∈ZC ．xx ≠错误!＋错误!,k ∈ZD ．xx ≠k π2，k ∈Z答案 C解析由2x＋错误!≠kπ＋错误!，得x≠错误!＋错误!（k∈Z）．2．函数y＝tan x错误!≤x≤错误!，且x≠错误!的值域是________．答案(－∞，－1]∪[1,＋∞）解析∵y＝tan x在错误!，错误!，错误!，错误!上都是增函数，∴y≥tan 错误!＝1或y≤tan错误!＝－1．3．函数y＝sin x＋tan x，x∈－错误!，错误!的值域为________．答案－错误!，错误!解析∵y＝sin x和y＝tan x两函数在－错误!,错误!上都是增函数,∴x ＝－错误!时，y min＝－错误!－1，当x＝错误!时，y max＝错误!＋1．4）A．y＝tan2x B．y＝|sin x|C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!答案D解析∵y＝tan2x的最小正周期是错误!，∴排除A；又∵y＝|sin x|及y＝sin错误!＝cos2x是偶函数，∴排除B，C．故选D．5．函数y＝3tan错误!的图象的一个对称中心是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．（0，0)答案C解析因为y＝tan x的图象的对称中心为错误!，k∈Z．由错误!x＋错误!＝错误!，k∈Z，得x＝kπ－错误!,k∈Z,所以函数y＝3tan错误!的图象的对称中心是kπ－错误!，0，k∈Z．令k＝0，得－错误!，0．故选C．6错误!错误!错误!)A．a〈b〈c B．b<c<aC．c〈b<a D．a<c〈b答案D解析∵tan70°>tan45°＝1，∴a＝log错误!tan70°<0．又0<sin25°〈sin30°＝错误!，∴b＝log错误!sin25°>log错误!错误!＝1,而c＝错误!cos25°∈(0，1)，∴b〉c〉a．7．(1)求函数y＝tan2x－错误!的单调区间；(2)比较tan错误!与tan错误!的大小．解(1）由于正切函数y＝tan x的单调递增区间是－错误!＋kπ，错误!＋kπ，k∈Z，故令－错误!＋kπ<2x－错误!〈错误!＋kπ，k∈Z,得－错误!＋kπ<2x<错误!＋kπ，k∈Z，即－错误!＋错误!〈x<错误!＋错误!，k∈Z．故y＝tan2x－错误!的单调递增区间是－错误!＋错误!，错误!＋错误!，k∈Z,无单调递减区间．（2）tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!，tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!,因为y＝tan x在0，错误!内单调递增,所以tan错误!〈tan错误!,即tan错误!〈tan错误!．8；④y ＝tan｜x|在x∈－错误!,错误!内的大致图象，那么由(a)到(d）对应的函数关系式应是( ）A．①②③④ B．①③④②C．③②④① D．①②④③答案D解析y＝tan（－x)＝－tan x在－错误!,错误!上是减函数，只有图象（d)符合，即(d)对应③．9．观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围．(1)tan x>1；（2）－错误!<tan x〈错误!．解（1）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝1．在区间错误!内，满足tan x〉1的区间是π4，错误!．又由正切函数的最小正周期为π，可知满足tan x〉1的x的取值范围是错误!（k∈Z）．（2）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝－错误!，tan错误!＝错误!．在区间错误!内，满足－错误!<tan x〈错误!的区间是－错误!，π3．又由正切函数的最小正周期为π,可知满足－33<tan x〈错误!的x的取值范围是错误!（k∈Z)．一、选择题1．当x∈－错误!,错误!时，函数y＝tan｜x｜的图象（)A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．没有对称轴答案B解析函数y＝tan|x｜是偶函数，其图象关于y轴对称．2．函数f（x）＝tanωx－错误!与函数g（x)＝sin错误!－2x的最小正周期相同，则ω＝( ）A．±1 B．1 C．±2 D．2答案A解析由题意可得π｜ω|＝2π|－2|,解得｜ω|＝1，即ω＝±1．3．下列各式中正确的是( )A．tan735°〉tan800° B．tan1〈tan2C．tan错误!〈tan错误!D．tan错误!〈tan错误!答案D解析tan错误!＝tan错误!＝tan错误!〈tan错误!，故选D．4．y＝cos x－错误!＋tan（π＋x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析y＝cos x－错误!＋tan(π＋x）＝sin x＋tan x．∵y＝sin x，y＝tan x均为奇函数，∴原函数为奇函数．5．若直线x＝错误!(－1≤k≤1）与函数y＝tan2x＋错误!的图象不相交，则k＝（)A．14B．－错误!C．错误!或－错误!D．－错误!或错误!答案C解析由题意得2×错误!＋错误!＝错误!＋mπ,m∈Z，解得k＝错误!＋m，m∈Z．由于－1≤k≤1，所以k＝14或－错误!．二、填空题6．关于函数f(x）＝tan错误!，有以下命题:①函数f（x）的周期是错误!；②函数f（x)的定义域是xx∈R且x≠错误!＋错误!，k∈Z;③y＝f(x)是奇函数;④y＝f（x)的一个单调递增区间为错误!．其中，正确的命题是________．答案①解析f(x）＝tan错误!的周期T＝错误!，故①正确；定义域为错误!，故②不正确；f（x）是非奇非偶函数，故③不正确；f(x)的单调递增区间为错误!，k∈Z，故④不正确．7．函数y＝tan（cos x)的值域是________．答案[－tan1，tan1]解析由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的性质求解．∵－π2<－1≤cos x≤1<错误!，∴－tan1≤tan（cos x)≤tan1．8．不等式tan错误!≥－1的解集是________．答案错误!解析由正切函数的图象,可知－错误!＋kπ≤2x＋错误!〈错误!＋kπ，k ∈Z，所以原不等式的解集为x－错误!＋错误!≤x〈错误!＋错误!，k∈Z．三、解答题9．函数f（x）＝tan（3x＋φ)图象的一个对称中心是错误!，0，其中0<φ〈错误!，试求函数f(x)的单调区间．解由于函数y＝tan x的对称中心为错误!,0，其中k∈Z．故令3x＋φ＝错误!，其中x＝错误!，即φ＝错误!－错误!．由于0〈φ<错误!,所以当k＝2时,φ＝错误!．故函数解析式为f（x）＝tan3x＋错误!．由于正切函数y＝tan x在区间kπ－错误!,kπ＋错误!(k∈Z）上为增函数．则令kπ－错误!<3x＋错误!<kπ＋错误!，解得kπ3－π4<x<错误!＋错误!，k∈Z，故函数f(x)的单调增区间为错误!－错误!，错误!＋错误!，k∈Z．10．设函数f(x）＝tan（ωx＋φ)错误!，已知函数y＝f(x)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为错误!，且图象关于点M错误!对称．（1)求f(x）的解析式;（2)求f（x）的单调区间;（3)求不等式－1≤f(x）≤错误!的解集．解(1）由题意，知函数f（x）的最小正周期T＝错误!，即错误!＝错误!．因为ω>0，所以ω＝2．从而f（x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x）的图象关于点M错误!对称，所以2×错误!＋φ＝错误!，k∈Z，即φ＝k π2＋错误!,k ∈Z ．因为0〈φ〈错误!,所以φ＝错误!． 故f (x ）＝tan 错误!．（2）令－π2＋k π〈2x ＋错误!<错误!＋k π，k ∈Z ,得－错误!＋k π<2x 〈k π＋错误!，k ∈Z ， 即－错误!＋错误!〈x <错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以函数f （x )的单调递增区间为－错误!＋错误!，错误!＋错误!,k ∈Z ,无单调递减区间．（3）由(1)，知f (x ）＝tan 错误!． 由－1≤tan 错误!≤ 错误!，得－错误!＋k π≤2x ＋错误!≤错误!＋k π,k ∈Z ， 即－错误!＋错误!≤x ≤错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以不等式－1≤f （x ）≤错误!的解集为错误!．。

专题4.2 三角函数的图像与性质【647】．（2022·全国·高考真题·★★★）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【648】．（2020·全国·高考真题·★★★）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【649】．（2019·全国·高考真题·★★★）函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【650】．（2019·全国·高考真题·★★★★） 关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【651】．（2007·海南·高考真题·★★）函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A ．B ．C ．D ．【652】．（2015·全国·高考真题·★★）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【653】．（2012·浙江·高考真题·★★★）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【654】．（2011·全国·高考真题·★★） 设函数，则（）A ．函数()f x 在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线对称； B ．函数()f x 在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线对称； C ．函数()f x 在(0,)2π上单调递减,其图象关于直线对称； D ．函数()f x 在(0,)2π上单调递减,其图象关于直线对称；【655】．（2018·全国·高考真题·★★★）若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【656】．（2018·天津·高考真题·★★★）将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【657】．（2016·全国·高考真题·★★★） 函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=【658】．（2013·全国·高考真题·★★）若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图，则=ω（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【659】．（2020·海南·高考真题·★★）（多选题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【660】．（2022·全国·高考真题·★★★★）（多选题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ） A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线 【661】．（2021·全国·高考真题·★★）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.【662】．（2021·全国·高考真题·★★★）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【663】．（2020·全国·高考真题·★★★★）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【664】．（2011·江苏·高考真题·★★★）函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则_____________【665】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）（多选题）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f xC ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数 【666】．（2022·全国·模拟预测·★★★）（多选题）已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()3cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在()3,4ππ上单调递增C ．()32f x >的解集为()4,43k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．D ．()f x 的图象的对称轴方程为()3x k k ππ=-∈Z【667】．（2022·全国·模拟预测·★★★）（多选题）函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（ ）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 【668】．（2022·山东师范大学附中模拟预测·★★★★）（多选题）已知函数()()sin 0,R f x x x x ωωω=>∈的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的结论正确的是（ ） A ．函数()g x 是偶函数 B ．()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()g x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[1，2]【669】．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测·★★★）（多选题） 已知函数()cos 2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线2x π=为函数f (x )图像的一条对称轴B ．函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π后得到()cos22sin 2g x x x =+ C ．函数f (x )在[－2π，2π]上单调递增D ．函数()f x 的值域为[－2 【670】．（2022·内蒙古包头·二模·★★★）已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足条件()54f x f π⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()703f x f π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝的最小正偶数x 为___________.【671】．（2022·天津河西·一模·★★★）函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0>ω，0A >，π2ϕ<）的图象如图所示，则()f x 在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为______． 【672】．（2022·四川·成都七中三模·★★★★）已知函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则函数()ln(1)y f x x =--的零点个数是______个．【673】．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测·★★★★）已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【674】．（2022·上海青浦·二模·★★★）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为⎡-⎣，则b a -的取值范围是（ ） A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【675】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）将函数()πsin(2)6f x x =+的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．π()sin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调C ．()g x 的图象关于直线π2x =对称D ．当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【676】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★） 函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【677】．（2022·广东茂名·二模·★★★）已知函数π())(||)2f x x ϕϕ+< 的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移 π12个单位得到()g x 的图象，则（ ）A ． ()3sin(2)6g x x π=+） B ．()3sin(2)12g x x 5π=+C ．()2g x x =D ．()2g x x =【678】．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测·★★★）若函数()f x 过点，其导函数()cos(2)0,02f x A x A πϕϕ⎛⎫'=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．0B ．12C ．22D ．2 【679】．（2022·黑龙江·哈九中三模·★★★★）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x ，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【680】．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★）函数sin 22cos x x y x=-的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【681】．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测·★★）如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数()2cos2g x x x =-的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 【682】．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测·★★★）函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．【683】．（2022·山东潍坊·模拟预测·★★★）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，现将()f x 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的表达式可以为（ ）A ．2sin 2g x xB ．()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【684】．（2022·全国·模拟预测·★★★）已知函数()|sin()|0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ B ．()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．()3sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．()3sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【685】．（2022·上海金山·二模·★★）已知向量()()sin2,2cos ,3,cos a x x b x ==，则函数()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为__________. 【686】．（2022·上海闵行·二模·★★）若函数cos y x x +的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；【687】．（2022·山东日照·三模·★★）已知函数()()(2sin 0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则ϕ=________．【688】．（2022·上海·模拟预测·★★★）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条7π4π()()043f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最大负整数x 为_________．【689】．（2022·北京工业大学附属中学三模·★★★） 已知函数ππ()sin()sin()44f x x x =+-给出下列四个结论： ①f (x )的值域是[1,1]-；②f (x )在π[0,]2上单调递减： ③f (x )是周期为π的周期函数④将f (x )的图象向左平移π2个单位长度后，可得一个奇函数的图象 其中所有正确结论的序号是___________．【690】．（2022·四川·模拟预测·★★★★）已知函数()cos 22cos 2f x x x π=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 是奇函数；③()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；④()f x 在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 【691】．（2022·江西·新余市第一中学三模·★★★★）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><<，若函数()y f x =的部分图象如图，函数()g x =()sin A Ax ϕ-，则下列结论正确的是___________．（填序号） ①函数()g x 的图象关于直线π12x =-对称； ②函数()g x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象；④函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【692】．（2022·天津红桥·二模·★★★）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=__________. 【693】．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模·★★★）函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωφωφπ=+>><<的部分图象如图所示，则φ=___________.【694】．（2022·江西·模拟预测·★★★★） 如图是函数()sin(2)||,02f x A x A πθθ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭的部分图像，()()0f a f b ==，且对不同的12,[,]x x a b ∈，若12()()f x f x =，有12()f x x +=θ=____________．【695】．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测·★★★）已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π60,2f x g x x ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为7π12；②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称．。

考向19 三角函数的图象和性质【2022·全国·高考真题】记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．32C ．52D ．3【2022·全国·高考真题（理）】设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式sin cos a wx b wx +将已给函数化成同函． 2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+的形式，有时会化简为二次函数型：22sin sin y a x b x c =++或22cos cos y a x b x c =++，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意sin cos x x 或的取值范围．若将已给函数化简为更高次的函数，如22(1sin )cos (1sin )(1-sin )y x x x x =+=+，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有sin cos x x ±和sin cos x x ，令t =sin cos x x ±，由关系式22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（）得到sin cos x x 关于t 的函数表达式．3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：（1）sin y a x b =+，令sin t x =，则[],(1,1)y at b t =+∈-；（2）sin cos y a x b x c =++，引入辅助角tan ba φφ=（），化为22sin()y a b x c φ=+++； （3）2sin sin y a x b x c =++，令sin t x =，则[]2,(1,1)y at bt c t =++∈-； （4）sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+（），令t =sin cos x x ±，则22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（），所以21()2t y a bt c -=±++； （5）sin cos a x by c x d+=+，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数sin y x =的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈，对称中心为(,0)()k k Z π∈；（2）函数cos y x =的对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(,0)()2k k Z ππ+∈；（3）函数tan y x =函数无对称轴，对称中心为(,0)()2k k Z π∈； （4）求函数sin()(0)y A wx b w φ=++≠的对称轴的方法；令()2wx k k Z πφπ+=+∈，得2()k x k Z wππφ+-=∈；对称中心的求取方法；令()wx k k Z φπ+=∈，得k x wπφ-=，即对称中心为()k b wπφ-，． （5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得wk x ϕππ-+=2，即对称中心为))(,2(Z k b wk ∈-+ϕππ1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数x y sin =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22ππππ-，，，，，，，，，．（2）在余弦函数x y cos =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22ππππ-，，，，，，，，，．注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T ； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T ； 3．)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质函数x y sin =x y cos = x y tan =奇函数（1）最小正周期：wT π2=． （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ，A ]．（3）最值假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心． 假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置．（5）单调性． 假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩由函数x y sin =的图像变换为函数3)32sin(2++=πx y 的图像的步骤；方法一：)322(ππ+→+→x x x ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．−−−−−→−=个单位向左平移的图像3sin πx y 的图像)3sin(π+=x y 12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(π+=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2π+=x y−−−−−→−个单位向上平移33)32sin(2++=πx y方法二：)322(ππ+→+→x x x ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．的图像x y sin =12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变−−−−−→−=个单位向左平移的图像62sin πx y 的图像)22sin()6(2sin ππ+=+=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变−−−−−→−+=各单位向上平移的图像3)32sin(2πx y 3)32sin(2++=πx y注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少．1．（2022·上海青浦·二模）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为1,2⎡⎤-⎣⎦，则b a -的取值范围是（ ） A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．2π D ．π3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()()tan 08f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的图象与直线()y a a =∈R 的两相邻交点间的距离为2π，则ω=（ ） A ．14B ．12C ．1D ．24．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的两个相邻最高点间的距离为π，则()f x 在下列区间中单调递增的区间是（ ） A ．π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个1．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈2．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在2π,2π3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．723．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()23sin cos cos 0f x x x x ωωωω+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·上海长宁·二模）已知函数()sin cos f x x a x =+满足：()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． 若函数()f x 在区间[]12,x x 上单调，且满足12()()0f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π35．（2022·青海·模拟预测（理））若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．11746．（2022·全国·高三专题练习）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．37．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 21-C ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数8．（多选题）（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()cos 2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线2x π=为函数f (x )图像的一条对称轴B ．函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π后得到()cos22sin 2g x x x =+ C ．函数f (x )在[－2π，2π]上单调递增 D ．函数()f x 的值域为[－259．（多选题）（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立10．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x ∈R ）的图像关于直线π6x =对称，函数()cos sin g x a x x =-，则下面说法正确的是（ ） A ．将()f x 的图像向左平移2π个单位可以得到()g x 的图像 B ．()g x 的图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的最大值为111．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．12．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数sin()(0)y x ωϕω=+>与直线12y =的交点中，距离最近的两点间距离为3π，那么此函数的周期是___________. 13．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．14．（2022·北京·人大附中三模）已知函数()[)(]sin ,2,00,2xf x x xππ=∈-⋃，给出下列四个结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 有4个零点； ③()f x 的最小值为12-；④()12f x x <的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中，所有正确结论的序号为___________.15．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______． 16．（2022·江西师大附中三模（理））定义在[0,]π上的函数1(3sin cos )cos (0)2y x x x ωωωω=-+>有零点，且值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，则ω的取值范围是__________．17．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数(21)()sin ln 22x f x x π+=--的所有零点之和为_________.18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．19．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，其中[]0,2πϕ∈(1)若12ω=且直线π2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值；20．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()00f =；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.21．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()2sin()cos sin f x x A x A =-+．(1)若1(0),3,12f a b =-==，求ABC 的面积；(2)当512x π=时，()f x 取最大值，求()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域.22．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭满足：①()f x 的最大值为2；②06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；()f x 的最小正周期为π．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间与最小值．1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 4．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π和2B ．3π和2C ．6π和2D ．6π和26．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ） A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线32y x =-是曲线()y f x =的切线 8．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．9．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．10．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈．（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．。

第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4等于( ) A ．－7 B ．－17 C.17 D ．7答案 A解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)， 可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7. (2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α ＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1＝4＋6－25＝85. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析 由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝⎛⎭⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)(2018·衡水金卷调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( )A.12B.13C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度 y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin ωx ―――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．例2 (1)(2018·安徽省江淮十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.(2)(2018·永州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案 π3解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示， 则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象， 所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z ，或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练2 (1)(2018·潍坊模拟)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析 将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cosω⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3. ∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)(2018·北京朝阳区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质 1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3(1＋cos 2ωx )2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3， 设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝⎛⎭⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4， ∵f (x )max ＝1，∴⎝⎛⎭⎫T 22＋4＝π2＋4， 整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ－π3. ∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝0， 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3； 当k ＝1时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤7π6，5π3.∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3，⎣⎡⎦⎤7π6，5π3. 思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (2018·四川成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a 的最大值为1.(1)求函数f (x )的最小正周期与单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ≤1， ∴2＋a ＝1， 即a ＝－1，∴最小正周期为T ＝π. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1， 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . (2)∵将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取最大值3－1； 当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取最小值－3.真题体验1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )，∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________． 答案 π4解析 f (x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3．(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数______．(填序号)①在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增； ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增； ④在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______． 答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 押题预测1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A.2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3B.1633 C ．8 D ．16 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M ⎝⎛⎭⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得 PM ＝⎝⎛⎭⎫2－a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，得f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3， 从而f (0)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－8，得A ＝163 3. 3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22， 可得cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4， 可得2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.A 组 专题通关1．(2018·佛山质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π， 2 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π， 2 答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π，振幅为2.2．(2018·天津市十二校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A.π2 B.3π8 C.π4 D.5π8答案 D解析 由函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π＝2πω， 可得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度， 得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋|φ|)＋π4的图象， ∵平移后图象关于y 轴对称， ∴2|φ|＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴|φ|＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝1，得φ＝±5π8.3．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx2＋1(ω>0)，将f (x )的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，所得函数g (x )的部分图象如图所示，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π8D.π3 答案 A解析 ∵f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx2＋1 ＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6， 则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω(x －φ)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωφ－π6. 由图知T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6， 则g ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π6－2φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝2， 即2π3－2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π12－k π，k ∈Z .又0<φ<π2，∴φ的值为π12.4．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 答案 B解析 由f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π，又f ⎝⎛⎭⎫12＝1，则φ＝±π3＋2k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3. 令－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z . 5．(2018·焦作模拟)函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称C ．f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2， 所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最大值为2，所以A 错误； 当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， 所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π6 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ＝－π3时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2≠0， 所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤5π6，7π6，f (x )单调递减，所以D 正确． 6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 答案33解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，∴x ＝－3，y ＝－1，∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝⎛⎭⎫－43＝112.8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．(2018·潍坊模拟)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝________.答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π，∴f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝f ⎝⎛⎭⎫672π＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)， f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π3， ∴当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，函数f (x )单调递增； 当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴当f ⎝⎛⎭⎫π3>0≥f ⎝⎛⎭⎫7π12或f ⎝⎛⎭⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，设∠AOB ＝θ， ∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＝35.12．(2018·株洲质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对∀x ∈⎝⎛⎭⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎝⎛⎭⎫π12，π3 D.⎣⎡⎦⎤π12，π6答案 D解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期为T ＝π，ω＝2， 当x ∈⎝⎛⎭⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫π12＋φ，2π3＋φ， 且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎨⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.13．函数f (x )＝12－x的图象与函数g (x )＝2sin π2x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________. 答案 12解析 如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．∴g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .第2讲 三角恒等变换与解三角形[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2018·广东省省际名校(茂名市)联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α等于( )A.2325 B ．－2325C.725 D ．－725答案 D解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－725. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)(2018·湖南G10教育联盟联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，则tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝________. 答案 23－4解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6， ∴－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， ∴sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝332sin α＋32cos α， ∴tan α＝32－33，又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝tan π12＋tan α1－tan π12tan α＝()2－3＋32－331－()2－3×32－33＝23－4. (2)(2018·江西省重点中学协作体联考)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ等于( )A.13 B ．－23C.23 D ．－13答案 B解析 由题意得2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)22(cos θ－sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin 22θ， 即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0， 解得sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍去)，所以sin 2θ＝－23.热点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. 例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即28＝4＋c 2－4c ·cos2π3， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2018·广州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，c ＝8.(1)若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，BM ＝13BC ，ANBM ＝23，求AM 的值；(2)若b ＝12，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点，设BM ＝x ，则BN ＝2x ，AN ＝23x ， 又B ＝60°，AB ＝8，在△ABN 中，由余弦定理得12x 2＝64＋4x 2－2×8×2x cos 60°， 解得x ＝2(负值舍去)，则BM ＝2. 在△ABM 中，由余弦定理，得AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos B ＝AM 2，AM ＝82＋22－2×8×2×12＝52＝213.(2)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C， 得sin C ＝c sin B b ＝8×3212＝33.又b >c ，所以B >C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63. 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝32×63＋12×33＝32＋36， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝48×32＋36＝242＋8 3.热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得 b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217 . 因为a <c ，所以cos A ＝277 .因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝437×12－17×32＝3314. 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解．跟踪演练3 (2018·雅安三诊)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且·＝6，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1 ＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，可得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )．∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∵·＝bc cos A ＝12bc ＝6，∴bc ＝12，又∵2a ＝b ＋c ，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 224－1＝a 28－1，∴a ＝2 3.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号) ①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A .答案 ①解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B .由cos C >0，得sin A ＝2sin B .根据正弦定理，得a ＝2b .2．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 3．(2018·全国Ⅲ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝________.答案 π4解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4. 4．(2018·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案 233 解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C .又sin B sin C >0，∴sin A ＝12. 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc>0， ∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案 52解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0， 并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12，易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc2bc≥2bc －bc2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)．因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12，所以f (A )的值域为⎝⎛⎦⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79C ．－79D ．－89答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33 C ．－33 D ．－ 3答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3， 即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2018·凯里市第一中学《黄金卷》模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A ＝b c，则该三角形为( ) A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形答案 D解析 由cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c， 化简得c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．4．(2018·衡水金卷调研卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( ) A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7 答案 D解析 在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ，即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.。