多项式除以多项式——长除法

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来． （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-． 综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．。

Latex多项式式长除⽅法多项式式长除⽅法\begin{tabular}{r@{}r@{}c@{}c@{}c@{}c}\quad &\quad & \quad &$\quad x^2$ & $+2x$ & $+2$\\ \cline{2-6}$x-1$ &\big)& $\quad x^3$ &$+x^2$ & \quad & $-1$\\ \quad &\quad & $-x^3$ &$+ x^2$ & \quad & \quad \\ \cline{3-4}\quad &\quad & \quad &$2 x^2$ & \quad & \quad\\\quad &\quad & \quad &$-2 x^2$ & $+2x$ & \quad\\ \cline{4-5}\quad &\quad & \quad & \quad & $\quad 2x$ & $-1$\\ \quad &\quad & \quad & \quad & $-2x$ & $+2$\\\cline{5-6}\quad &\quad & \quad & \quad & \quad & $\quad 1$ \end{tabular}\begin{tabular}{r@{}r@{}c@{}c@{}c@{}c}\quad &\quad & \quad &$\quad x^2$ & $+2x$ & $+2$\\%\cline{2-6}%$x-1$ &\big)& $\quad x^3$ &$+x^2$ & \quad & $-1$ \\$x-1$ & \multicolumn{5}{l}{$\negthickspace \!\!{\big)\negthickspace \! \overline{\vphantom{A}{\quad x^3+x^2\quad\; -1}}}$} \\ \quad &\quad & $-x^3$ &$+ x^2$ & \quad & \quad \\\cline{3-4}\quad &\quad & \quad &$2 x^2$ & \quad & \quad\\\quad &\quad & \quad &$-2 x^2$ & $+2x$ & \quad\\\cline{4-5}\quad &\quad & \quad & \quad & $\quad 2x$ & $-1$\\ \quad &\quad & \quad & \quad & $-2x$ & $+2$\\\cline{5-6}\quad &\quad & \quad & \quad & \quad & $\quad 1$ \end{tabular}。

多项式的乘法和除法多项式是数学中常见且重要的一种代数表达形式。

在代数学中，多项式是由一系列的项组成的，每个项包含了一个系数和一个变量的幂次。

多项式的乘法和除法是数学中常用的运算方法，用于求解各种实际问题以及推导出更复杂的表达式。

一、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式相乘的运算。

多项式的乘法有以下几个要点：1. 每个项与其他多项式的每个项进行乘法运算，然后将结果相加。

例如，对于多项式A和多项式B相乘，结果可以表示为A *B = (a0 * b0) + (a1 * b0 + a0 * b1) + (a1 * b1) + ...2. 在乘法运算中，需要使用代数学中的乘法法则，即将两个项的系数相乘，将两个项的幂次相加。

例如，对于两个项：a * xn 和b * xm，它们相乘的结果为：(a * b) * xn+m。

3. 多项式乘法的结果是一个新的多项式，其中包含了之前的多项式的所有项的乘积和。

在计算过程中，需要将同类项进行合并，即将具有相同幂次的项的系数相加。

举例来说，我们有两个多项式：A = 2x^2 + 3x + 1 和 B = 4x + 1。

我们可以按照上述步骤进行乘法运算：A *B = (2x^2 * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 1) +(1 * 4x + 1 * 1)= 8x^3 + 2x^2 + 12x^2 + 3x + 2x^2 + 3x + 4x + 1= 8x^3 + 16x^2 + 10x + 1根据上述计算，我们得到了多项式 A 和 B 相乘的结果为 8x^3+ 16x^2 + 10x + 1。

二、多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。

多项式的除法有以下几个要点：1. 除法的核心思想是通过多项式的乘法来逆转乘法运算。

具体而言，如果多项式 A 除以多项式 B 的结果为多项式 C，那么 C 与B 相乘的结果应该等于 A。

多项式的除法多项式的除法是数学中一个重要的概念，用于求解多项式的商和余数。

在本文中，我们将介绍多项式的除法的概念和相关的计算方法。

一、多项式的定义与表示多项式是由系数和幂次构成的代数表达式。

一般形式为：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ其中，P(x)为多项式，a₀, a₁, ..., aₙ为系数，x为自变量，n为幂次。

多项式可以用系数和幂次的形式表示，也可以用展开的形式表示，如：P(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 1二、多项式的除法定义多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，求解商和余数的过程。

具体而言，对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)≠0，存在唯一的多项式R(x)和S(x)，使得：P(x) = Q(x) * R(x) + S(x)其中，R(x)为商多项式，S(x)为余数多项式。

三、多项式的除法计算方法计算多项式的除法通常使用长除法的方法进行。

首先，将被除式的最高次方与除数的最高次方进行比较，确定商的最高次方。

然后，用被除式的最高次方的项除以除数的最高次方的项，得到商的最高次方的项。

将商的最高次方的项与除数相乘，得到一个新的多项式。

将这个新的多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。

重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于或等于除数的次数。

最终得到的商和余数即为所求的结果。

例如，求解多项式P(x) = 2x³ - 5x² - 3x + 1 除以Q(x) = x - 2的商和余数。

首先，比较被除式和除数的次数，确定商的次数为3次，即P(x)的最高次方为3，Q(x)的最高次方为1。

然后，将2x³除以x，得到2x²。

将2x²与Q(x)相乘，得到2x³ - 4x²。

将P(x)和2x³ - 4x²相减，得到-P(x) = -x² - 3x + 1。

积分长除法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：积分长除法是一种用来计算两个多项式的商和余数的方法。

通常在高等数学的代数学中会学到这种方法，它可以帮助我们更快速地计算多项式的除法，尤其是当多项式的次数较高时。

我们需要了解两个多项式的概念。

一个多项式是由一系列的项相加或相乘而成的代数表达式，每个项由一个系数和一个指数组成。

2x^2 + 3x + 1就是一个多项式，其中2、3和1是系数，x^2、x和1是指数。

另一个多项式是由多个这样的项相加或相乘而成的。

而在积分长除法中，我们要计算的是一个多项式除以另一个多项式得到的商和余数。

这个过程类似于我们在小学学到的长除法，只不过这里的除数和被除数都是多项式而不是数字。

接下来我们来看一个简单的例子来说明积分长除法的步骤。

假设我们要计算多项式\(P(x) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 2\) 除以多项式\(Q(x) = x + 1\) 的商和余数。

我们要根据多项式的次数确定长除法的步骤，即从高次项开始除。

因为\(P(x)\) 的最高次为3，\(Q(x)\) 的最高次为1，所以我们从\(2x^3\) 开始。

我们将\(2x^3\) 除以\(x\) 得到\(2x^2\)，然后将这个结果乘以\(Q(x)\) ，即\(2x^2 \times (x + 1) = 2x^3 + 2x^2\)。

接着，我们要将\(P(x)\) 减去这个乘积，即\(P(x) - 2x^3 - 2x^2 = 5x^2 + 3x + 2 - 2x^3 - 2x^2 = -3x^2 + 3x + 2\)。

积分长除法是一种非常有用的方法，可以帮助我们更快速地计算多项式的除法。

通过逐步地将多项式的每一项与除数相乘，然后相减得到余数，最终得到的商和余数就是我们要求的结果。

希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解积分长除法的原理和应用。

第二篇示例：积分长除法是一种在积分计算中常用的方法，通过使用分部积分的原理，将被积函数进行分解，并逐步进行积分计算。

长除法因式分解是一种数学技巧，用于将一个多项式分解为若干个较简单的多项式的乘积。

这种方法可以帮助我们解决复杂的数学问题，例如求解方程或积分。

举个例子，我们希望将下列多项式进行长除法因式分解：
x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
首先，我们可以将这个多项式写成一个除法的形式，如下：
(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) / x
接下来，我们可以使用长除法的方法，将x^4 除以x，得到x^3 作为商。

然后将x^3 乘x 得到x^4，减去x^4 得到0。

再将0 加上4x^3 得到4x^3，再除以x 得到4x^2 作为商。

然后将4x^2 乘x 得到4x^3，减去4x^3 得到0。

再将0 加上6x^2 得到6x^2……
以上过程，直到我们将整个多项式分解为若干个较简单的多项式的乘积为止。

最终，我们可以得到以下的长除法因式分解：
x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x^3 + 4x^2 + 6x + 4) x + 1
我们可以看到，通过使用长除法因式分解，我们将原来较复杂的多项式分解为了较简单的多项式的乘积。

这样就可以帮助我们更容易地解决复杂的数学问题。

需要注意的是，长除法因式分解的过程是逐步递进的，因此我们应该一步一步地进行长除法因式分解，而不是尝试一次性将多项式完全分解。

这样可以帮助我们避免出错，并使分解过程更为清晰。

多项式函数短长除法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：多项式函数短除法，又称多项式长除法，是一种用于对多项式进行除法运算的方法。

在代数学中，多项式函数是由常数和变量的幂次构成的函数，例如：f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 2x + 7。

而多项式函数的长除法则是将一个多项式除以另一个多项式，并得出商和余数的过程。

多项式函数短除法是一种比较基础的数学运算方法，在代数学中有着广泛的应用。

它主要用于简化多项式函数的形式，而且还可以用于求解多项式方程的根。

接下来，我们将介绍多项式函数短除法的具体步骤和原理。

多项式函数的短除法的基本思想是通过多次除法运算逐步简化被除式的次数，直到不能再继续除尽为止。

下面我们以一个简单的例子来说明多项式函数的短除法：假设我们要将多项式f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 2x + 7 除以g(x) = x + 2，首先我们需要按照次数的高低，将f(x)和g(x)写成标准形式：然后我们将两者用长除法的方式进行计算，即：3x^3 + 5x^2 - 2x + 7 / x + 2首先我们将最高次项相除，得到3x^2，然后将3x^2与g(x)相乘再减去，得到3x^3 + 6x^2，并将其减去f(x)，得到- x^2 - 2x + 7。

最后剩下的0就是余数，而商则是3x^2 - x，所以将f(x)除以g(x)的结果就是商为3x^2 - x，余数为0。

通过上面的例子，我们可以清晰地看到多项式函数的短除法的基本原理和步骤。

在实际运用中，我们还需要注意以下几点：1. 如果除数是一个一次多项式，我们可以通过比较次数来确定商的次数。

如果除数是x + 2，那么商的次数应该是1，即商为ax + b。

2. 在进行长除法计算时，需要注意每一步的细节，尤其是减法的运算，避免出错。

3. 如果余数不为0，则说明除法并不能完全除尽，需要继续进行除法运算。

第二篇示例：多项式函数短长除法是数学中一种常用的运算方法，用来求解多项式函数之间的商和余数。

多项式除以多项式字母公式假设有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，其中 $Q(x)$ 不是零多项式，则有以下的多项式除法字母公式：$$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$其中，$D(x)$ 为商多项式，$R(x)$ 为余数多项式，且满足以下条件：- $R(x)$ 的次数小于 $Q(x)$ 的次数；- $Q(x) \cdot D(x)$ 的次数等于或者高于 $P(x)$ 的次数。

使用这个字母公式，可以将多项式除法转化为整数除法的形式，从而方便计算商和余数。

例如，将 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 除以 $Q(x) = x - 2$，则可得：\begin{aligned}P(x) &= Q(x) \cdot D(x) + R(x) \\ &= (x - 2) \cdotD(x) + R(x)\end{aligned}现在要求出 $D(x)$ 和 $R(x)$。

首先，我们可以使用长除法的方法，从高次项到低次项依次计算出 $D(x)$ 的每一项。

首先将 $x$ 除以 $x$，得到 $D(x)$ 的最高次项为 $2x^2$。

然后将 $x - 2$ 乘以 $2x^2$，得到 $2x^3- 4x^2$，将其减去 $P(x)$ 的最高次项 $2x^3$，得到 $x^2$，将 $x$ 除以 $x - 2$，得到 $D(x)$ 的次高项为 $x^2$。

以此类推，可以得到：$$D(x) = 2x^2 + x +2$$接下来，将 $D(x)$ 代入上面的公式，即有：\begin{aligned}R(x) &= P(x) - Q(x) \cdot D(x) \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 - (x - 2) \cdot (2x^2 + x +2) \\ &= 7x - 5\end{aligned}因此，多项式 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 可以被 $Q(x) = x - 2$ 整除，商为 $D(x) = 2x^2 + x +2$，余数为 $R(x) = 7x - 5$。