《因式分解》精讲精练

14.3 因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2−xy−1=x(x−y)D．x2−2x+2=(x−1)2+1【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．a(x+y)=ax+ay B．a2−4=(a+2)(a−2)题型2：找公因式2.代数式 15a 3b 3(a−b) ， 5a 2b(b−a) ， −120a 3b 3(a 2−b 2) 中的公因式是（ ）A ．5a 2b(b−a)B ．5a 2b 2(b−a)C ．5ab(b−a)D ．120a 3b 3(b 2−a 2)提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。

注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a 2-3a ； （2）分解因式：3x 2y-6xy 2．m m题型4：提公因式法与整体思想4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．题型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：m2（1）a2-9；（2）25−14题型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x2-4x+4．（2）16m2-8mn+n2．（3）4x2+20x+25；7.因式分解：（1）x2-3x+2；（2）x2-2x-15（3）x2-7x+12．题型8：分组分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．（2）9-x2+2xy-y2．题型9：利用因式分解简便运算9.计算：（1）2022+202×196+982（2）652-352；10.已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．题型12：利用因式分解解决整除问题12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.题型13：因式分解与几何问题13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．a2+4ab+3b2因式分解.【变式13-2】如图，长为m，宽为x(m>x)的大长方形被分割成7 小块，除阴影A，B 外，其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．记阴影A 与B 的面积差为S．（1）分别用含m，x，y的代数式表示阴影A，B 的面积；（2）先化简S，再求当m=6，y=1 时S的值；（3）当x取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y应满足什么条件？题型14：因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.【变式14-2】已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc−ac−b2=0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由.【变式14-3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想该三角形的形状，并证明你的猜想．一、单选题1．同学们把多项式2x2−4xy+2x提取公因式2x后，则另一个因式应为（ ）A．x−2y B．x−2y+1C．x−4y+1D．x−2y−12．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）A．a2+a+ 1B．a2+b2-2ab C．−a2+25b2D．−4−b243．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）A．2560B．490C．70D．495．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )A．-22020B．-2 2021C．22020D．-26．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）A．2B．5C．20D．97．已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2n+3)2−25的是()A．6B．3C．4D．58．观察下列分解因式的过程：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）A．围成一个等腰三角形B．围成一个直角三角形C．围成一个等腰直角三角形D．不能围成三角形二、填空题9．下列因式分解正确的是 （填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+1=( 2x+1)210．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝ .13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为 ．14．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足关系式：a 4＋b 2c 2﹣a 2c 2﹣b 4＝0，则△ABC 的形状是 .15．甲、乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4）；乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则多项式x 2+ax +b 分解因式的正确结果为 ．三、解答题16．因式分解：（1）a 3−36a（2）14x 2+xy +y 2（3）(a 2+4)2−16a 217．把下列各式因式分解：（1）x 2（y ﹣2）﹣x （2﹣y ）（2）25（x ﹣y ）2+10（y ﹣x ）+1（3）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（4）4m 2﹣n 2﹣4m+1．18．已知二次三项式x 2+px+q 的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．19．给出三个多项式：12x 2+2x ﹣1，12x 2+4x+1，12x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．四、综合题20．已知 a 2−3a +1=0 ，求（1）a 2+1a 2的值。

2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—整式及因式分解→➊考点精析←一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.注：○1单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如2143a b -，这种表示就是错误的，应写成2133a b -；○2一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如325a b c -是6次单项式。

2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -.7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：m （a +b +c ）=ma +mb +mc .（3）多项式与多项式相乘：（m +n ）（a +b ）=ma +mb +na +nb .8．乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+.9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++.（2）公式法：运用平方差公式：²²()()a b a b a b -=+-.运用完全平方公式：22²2()a ab b a b ±+=±.3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.→➋真题精讲←考向一代数式及相关问题1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.1．（2023·湖南常德·统考中考真题）若2340a a +-=，则2263a a +-=()A ．5B ．1C ．1-D ．0【答案】A【分析】把2340a a +-=变形后整体代入求值即可．【详解】∵2340a a +-=，∴234+=a a ∴()222632332435a a a a +-=+-=⨯-=，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键．2．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知2230a a --=，则2(23)(23)(21)a a a +-+-的值是（）A ．6B ．5-C ．3-D ．4【答案】D【分析】2230a a --=变形为223a a -=，将2(23)(23)(21)a a a +-+-变形为()2428a a --，然后整体代入求值即可．【详解】解：由2230a a --=得：223a a -=，∴2(23)(23)(21)a a a +-+-2249441a a a =-+-+2848a a =--()2428a a =--438=⨯-4=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将2(23)(23)(21)a a a +-+-变形为()2428a a --．3．（2023·河南·统考中考真题）某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．【答案】3n【分析】根据总共配发的数量=年级数量⨯每个年级配发的套数，列代数式．【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式．4．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若3x y +=，2y =，则22x y xy +的值是___________________．【答案】6【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．【详解】解：22x y xy +()xy x y =+，∵3x y +=，2y =，∴1x =，∴原式123=⨯⨯6=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．5．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a ，b ，满足6a b +=，7ab =，则22a b ab +的值为______．【答案】42【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】22a b ab +()ab a b =+76=⨯42=．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．6．（2023·山东·统考中考真题）已知实数m 满足210m m --=，则32239m m m --+=_________．【答案】8【分析】由题意易得21m m -=，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵210m m --=，∴21m m -=，∴32239m m m --+()2229m m m m m --=-+229m m m -=-+29m m =-+()29m m =--+19=-+8=；故答案为8．【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．7.（2023·湖北十堰·统考中考真题）若3x y +=，2y =，则22x y xy +的值是___________________．【答案】6【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．【详解】解：22x y xy +()xy x y =+，∵3x y +=，2y =，∴1x =，∴原式123=⨯⨯6=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．8.（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a ，b ，满足6a b +=，7ab =，则22a b ab +的值为______．【答案】42【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】22a b ab +()ab a b =+76=⨯42=．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．9．（2020·湖南长沙·中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A ，B ，C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学，请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．【答案】9【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．【解析】设每个同学的扑克牌的数量都是x ；第一步，A 同学的扑克牌的数量是3x -，B 同学的扑克牌的数量是3x +；第二步，B 同学的扑克牌的数量是33x ++，C 同学的扑克牌的数量是3x -；第三步，A 同学的扑克牌的数量是2(3x -)，B 同学的扑克牌的数量是33x ++-(3x -)；∴B 同学手中剩余的扑克牌的数量是：33x ++-(3x -)9=．故答案为：9．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．10．（2023·河南·统考中考真题）某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．【答案】3n【分析】根据总共配发的数量=年级数量⨯每个年级配发的套数，列代数式．【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式．考向二整式及其相关概念单项式与多项式统称整式.观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.11．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，则m n +=___________．【答案】4【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n 的值，再代入求解即可.【解析】解：∵单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，∴m-1=2,n+1=2,解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.12．（2020·广东中考真题）若3m x y 与25n x y -是同类项，则m n +=___________．【答案】3【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m 和n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可．【解析】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．13．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：2232a a -=________．【答案】2a 【分析】直接根据合并同类项法则进行计算即可得到答案．【详解】解：222232(32)a a a a -=-=故答案为：2a .【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项运算法则是解答本题的关键．考向三规律探索题解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.14．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，第n 个单项式是（）A ．()12n a --B ．()2n a -C ．12n a -D ．2n a【答案】A【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【解析】解： a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------∙∙∙∴第n 项为：()12.n a --故选A ．【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．15．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣23，69，﹣1227，2081，﹣30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是_____．【答案】(1)n -(1)3⨯+nn n 【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n 个数．【解析】解：观察下列一组数：﹣23＝﹣1123⨯，69＝2233⨯，﹣1227＝﹣3343⨯2081＝4453⨯，﹣30243＝﹣5563⨯，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是：（﹣1）n (1)3⨯+n n n ，故答案为：(1)n -(1)3⨯+nn n ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．16．（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．2101【答案】D【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【解析】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100=()11001002+=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是10025050101=，故选：D ．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．17．（山西中考真题）一组按规律排列的式子：4682,,,,357a a a a ⋅⋅⋅则第n 个式子是.【答案】2n2n 1a -（n 为正整数）【解析】寻找规律：已知式子可写成：21222324,,,,211221231241a a a a ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯-⨯-，分母为奇数，可写成2n-1，分子中字母a 的指数为偶数2n ．∴第n 个式子是2n2n 1a -（n 为正整数）．考向四幂的运算幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．18．（2023·江西·统考中考真题）计算()322m 的结果为（）A ．68mB ．66mC ．62m D ．52m 【答案】A【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．【详解】解：()32628m m =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．19．（2023·山东滨州·统考中考真题）下列计算，结果正确的是（）A ．235a a a ⋅=B ．()325a a =C ．33()ab ab =D ．23a a a÷=【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法可判断A ，根据幂的乘方可判断B ，根据积的乘方可判断C ，根据整数指数幂的运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：235a a a ⋅=，运算正确，故A 符合题意；()326a a =，原运算错误，故B 不符合题意；333()ab a b =，原运算错误，故C 不符合题意；231a a a÷=，原运算错误，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．20．（2023·湖南·统考中考真题）计算：()23a =（）A ．5aB ．23aC ．26a D ．29a 【答案】D【分析】根据积的乘方法则计算即可．【详解】解：()2239a a =．故选：D.【点睛】此题考查了积的乘方，积的乘方等于各因数乘方的积，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．21．（2023·全国·统考中考真题）下列算式中，结果等于5a 的是（）A ．23a a +B ．23a a ⋅C ．23()a D ．102a a ÷【答案】B【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．【详解】解：A 选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；B 选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是235a a +=，符合题意；C 选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是236a a ⨯=，不符合题意；D 选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是1028a a -=，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．22．（2023·浙江宁波·统考中考真题）下列计算正确的是()A ．23x x x +=B ．632x x x ÷=C ．()437x x =D ．347x x x ⋅=【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可．【详解】解：A 、23x x x +≠，错误，故不符合要求；B 、6332x x x x ÷=≠，错误，故不符合要求；C 、()43127x x x =≠，错误，故不符合要求；D 、347x x x ⋅=，正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算．23．（2023·云南·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．22(3)6a a =C ．632a a a ÷=D ．22232a a a -=【答案】D【分析】利用同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则解出答案．【详解】解：52233a a a a ⨯⋅==，故A 错误；2222(3)39a a a ==，故B 错误；63633a a a a -÷==，故C 错误；()22223312a a a a -=-=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键．24．（2023·山东烟台·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．2242a a a +=B ．()32626a a =C ．235a a a ⋅=D ．824a a a ÷=【答案】C【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答．【详解】解：A.2222a a a +=，故该选项不正确，不符合题意；B.()32628a a =，故该选项不正确，不符合题意；C.235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；D.826a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键．25.（2023·湖南岳阳·统考中考真题）下列运算结果正确的是（）A ．23a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．33a a -=D ．222()a b a b -=-【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．【详解】解：A 、23a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；B 、624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；C 、32a a a -=，故该选项不正确，不符合题意；D 、222()2a b a ab b -=-+，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．26．（2023·江苏扬州·统考中考真题）若23( )22a b a b ⋅=，则括号内应填的单项式是()A ．a B ．2aC ．abD ．2ab【答案】A【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．【详解】解：∵23( )22a b a b ⋅=，∴()3222a b a b a =÷=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．27．（2023·上海·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．523a a a ÷=B ．336a a a +=C ．()235a a =D a=【答案】A【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．【详解】解：A 、523a a a ÷=，故正确，符合题意；B 、3332a a a +=，故错误，不符合题意；C 、()236a a =，故错误，不符合题意；D a =，故错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．28．（2023·湖南·统考中考真题）计算2312x ⎛⎫⎪⎝⎭的结果正确的是（）A ．6xB ．614xC ．514x D ．9x 【答案】B【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．【详解】解：()236322112124x x x ⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．29．（2023·山东临沂·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．321a a -=B ．222()a b a b -=-C ．()257a a =D ．325326a a a ⋅=．【答案】D【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可．【详解】解：A 、32a a a -=，故选项错误，不符合题意；B 、222()2a b a ab b -=-+，故选项错误，不符合题意；C 、()2510a a =，故选项错误，不符合题意；D 、325326a a a ⋅=，故选项正确，符合题意；故选:D ．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．30．（2023·山东枣庄·统考中考真题）下列运算结果正确的是（）A ．4482x x x +=B ．()32626x x -=-C ．633x x x ÷=D ．236x x x ⋅=【答案】C【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论．【详解】解：A 、4442x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、()32628x x -=-，选项计算错误，不符合题意；C 、633x x x ÷=，选项计算正确，符合题意；D 、235x x x ×=，选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．31．（2020春·云南玉溪·八年级统考期末）下列计算正确的是（）A ．3a +4b ＝7abB ．x 12÷x 6＝x 6C ．（a +2）2＝a 2+4D ．（ab 3）3＝ab 6【答案】B【分析】根据同类项的定义、同底数幂的除法性质、完全平方公式、积的乘方公式进行判断.【详解】解：A 、3a 和4b 不是同类项，不能合并，所以此选项不正确；B 、x 12÷x 6＝x 6，所以此选项正确；C 、（a +2）2＝a 2+4a +4，所以此选项不正确；D 、（ab 3）3＝a 3b 9，所以此选项不正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.32．（2023·山西·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．()2236a b a b -=-C ．632a a a ÷=D ．()326a a =【答案】D【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．【详解】A ．235a a a ⋅=，故该选项计算错误，不符合题意，B ．()2362a b a b -=，故该选项计算错误，不符合题意，C ．633a a a ÷=，故该选项计算错误，不符合题意，D ．()326a a =，故该选项计算正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．33．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）下列运算正确的是（）．A ．4322x x x ÷=B ．()437x x =C ．437x x x +=D ．3412x x x ⋅=【答案】A【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可．【详解】解：A.4322x x x ÷=，计算正确，故选项A 符合题意；B.()4312x x =，原选项计算错误，故选项B 不符合题意；C.4x 与3x 不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C 不符合题意；D.347x x x ⋅=，原选项计算错误，故选项D 不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．34．（2023·湖南郴州·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．437a a a ⋅=B ．()325a a =C ．2232a a -=D ．()222a b a b -=-【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算，即可得出结论．【详解】解：A 、437a a a ⋅=，选项计算正确，符合题意；B 、()326a a =，选项计算错误，不符合题意；C 、22232a a a -=选项计算错误，不符合题意；D 、()2222a b a ab b -=-+，选项计算错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．35．（2023·广西·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．347a a a +=B ．347a a a ⋅=C ．437a a a ÷=D ．()437a a =【答案】B【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方进行计算即可．【详解】A.347a a a +≠，故该选项不符合题意；B.347a a a ⋅=，故该选项符合题意；C.437a a a a ÷=≠，故该选项不符合题意；D.()43127a a a =≠，故该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．36．（2023·四川·统考中考真题）下列计算正确的是()A ．22ab a b -=B ．236a a a ⋅=C ．233ab a a ÷=D ．222()()4a a a +-=-【答案】D【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式进行计算即可求解．【详解】A.22ab a b -≠，故该选项不正确，不符合题意；B.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；C.233a b a ab ÷=，故该选项不正确，不符合题意；D.222()()4a a a +-=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．考向五整式的运算整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．37．（2023·四川乐山·统考中考真题）计算：2a a -=（）A ．aB ．a-C ．3aD ．1【答案】A【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．【详解】解：2a a a -=，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算．38．（2023·四川眉山·统考中考真题）下列运算中，正确的是（）A ．3232a a a -=B ．()222a b a b +=+C ．322a b a a÷=D ．()2242a b a b =【答案】D【分析】根据合并同类项可判断A ，根据完全平方公式可判断B ，根据单项式除以单项式可判断C ，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：33a ，2a 不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；()2222a b a ab b +=++，故B 不符合题意；3222a b a ab ÷=，故C 不符合题意；()2242a b a b =，故D 符合题意；故选：D.【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键．39．（2023·湖南张家界·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．22(2)4x x +=+B ．248a a a ⋅=C ．()23624x x =D ．224235x x x +=【答案】C【分析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．【详解】解：A 、22(2)44x x x +=++，选项计算错误，不符合题意；B 、246a a a ⋅=，选项计算错误，不符合题意；C 、()23624x x =，计算正确，符合题意；D 、222235x x x +=，选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】题目主要考查完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．40.（2023·黑龙江·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．22(2)4a a -=-B ．222()a b a b -=-C ．()()2224m m m -+--=-D ．()257a a =【答案】C【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．【详解】解：A.()2224a a -=，原式计算错误；B.()2222a b a ab b -=-+，原式计算错误；C.()()2224m m m -+--=-，计算正确；D.()2510a a =，原式计算错误．故选：C ．【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．41．（2023·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．32a a a -=B ．325a a a ⋅=C ．321a a ÷=D ．()23a a=【答案】B【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算即可．【详解】解：3a 与2a 不是同类项，不能合并，故A 选项错误；33522a a a a +⋅==，故B 选项正确；32a a a ÷=，故C 选项错误；()236a a =，故D 选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．42．（2023·新疆·统考中考真题）计算2432a a b ab ⋅÷的结果是（）A ．6aB ．6abC ．26a D ．226a b 【答案】C【分析】先计算单项式乘以单项式，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．【详解】解：2432a a b ab⋅÷3122a b ab=÷26a =，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．43．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：()22a a a +-=（）A ．2B ．2aC ．22a a+D ．22a a-【答案】B【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()222222a a a a a a a +-=+-=，故选：B.【点睛】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．44．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式：01234571,77,749,7343,72401,716807,,====== 根据其中的规律可得01220197777++++ 的结果的个位数字是（）A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出01220197777++++ 的结果的个位数字．【解析】∵01234571,77,749,7343,72401,716807,,====== ∴个位数4个数一循环，∴()201914505+÷=，∴179320+++=，∴01220197777++++ 的结果的个位数字是：0．故选A ．【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．45．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：()()233(3)a b a b a b -++-，其中13,3a b =-=．【答案】226a ab -，24【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．。

十字相乘法精讲精练“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

q px x ++2p ⇑q ⇑==+++ab x b a x )(2(x + a )(x + b) x2+px+q=（x+a ）（x+b ） 其中q 、p 、a 、b 之间的符号关系 当q>0时，q 分解的因数a 、b( 同号 )且（a 、b 符号）与p 符号相同 当q<0时， q 分解的因数a 、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p 符号相同例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

解：因为 2 -53 ╳ 5所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0所以 x1=5/2 x2=-5/3用十字相乘法解一些比较难的题目：例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y解: 因为 2 -9y7 ╳ -2y所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳ -1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y – 1）5 ╳ 4y - 3=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-32 -7y5 ╳ 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 32 x -7y 15 x +4y ╳ -3=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]=（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5 x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=01 -b2 ╳ +bx²- 3ax +（2a+b）（a-b）=01 -（2a+b）1 ╳ -（a-b）[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 所以 x1=2a+b x2=a-b因为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根设方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2根据根与系数的关系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，有b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2∴y=ax2+bx+c=a[x2+b/a*x+c/a]=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)。

专题05因式分解一、因式分解意义【高频考点精讲】1．分解因式的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。

2．因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式。

因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。

【热点题型精练】1．（2022•衡水模拟）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解2．（2022•成都模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣43．（2022•济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x4．（2022•永州中考）下列因式分解正确的是（）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）二、提公因式法【高频考点精讲】1．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2．具体方法（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，字母的指数应取次数最低的。

取相同的多项式，多项式的次数应取最低的。

（2）如果多项式的第一项为负，一般要提出“﹣”，使括号内第一项的系数为正，提出“﹣”时，多项式的各项都要变号。

【热点题型精练】5．（2022•柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）6．（2022•石家庄模拟）将多项式（a﹣1）2﹣a+1因式分解，结果正确的是（）A．a﹣1B．（a﹣1）（a﹣2）C．（a﹣1）2D．（a+1）（a﹣1）7．（2022•广州中考）分解因式：3a2﹣21ab＝．8．（2022•遵义模拟）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是．三、公式法【高频考点精讲】1．如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫做公式法。

2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第一讲因式分解的拓展（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·浙江金华·二模）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（）A ．24a -B ．269a a ++C ．216a +D ．2961a a -+【答案】C解：A、()()2422,a a a -=+-故不符合题意．B、()22693,a a a ++=+故不符合题意．C、216a +，不能分解，故符合题意．D、()2296131,a a a -+=-故不符合题意．故选：C．2．（2023·甘肃二模）下列因式分解正确的是（）A ．22()()-=+-a b ab a a b a b B ．22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b C ．3222()-+=-a ab ab a a b D ．2222244(2)-+=-a b a b a a b 【答案】B【解析】【分析】对各选项进行因式分解后进行判断即可．【详解】解：A 中()22()()a b ab ab a b a a b a b -=-≠+-，错误，故不符合题意；B 中22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b ，正确，故符合题意；C 中()32222()22a ab ab a a b b a a b -+=-+≠-，错误，故不符合题意；D 中()2222222()4422a b a b a a b ab -+=-≠-，错误，故不符合题意；故选B．3．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）将多项式2224912x y z yz ---分解成因式的积，结果是（）A ．(23)(23)x y z x y z +---B ．(23)(23)x y z x y z ---+C ．(23)(23)x y z x y z +++-D ．(23)(23)x y z x y z ++--【答案】D【解析】原式)32)(32()32()1294(22222z y x z y x z y x yz z y x --++=+-=++-=．4．（2022银川一中初中七年级期中）要是二次三项式26x x m -+在整数范围内可因式分解，则正整数m 的取值可以有（）A ．2个B ．3个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】6=1+5，6=2+4，6=3+3，∴9,8,5=m ．5.（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−×1−×1−×1×1−）．A ．512B ．12C ．712D ．1130【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式=1×1+×1×1×1−×1+×1−×1+×1−×1=12×32×23×43×34×54×45×65×56×76，=12×76，=712，故选：C．二、填空题6．已知正数a 、b 、c 满足ab +a +b =bc +b +c =ac +a +c =3，则（a +1）（b +1）（c +1）=_________．【答案】8【解析】4111=+++=+++=+++c a ac c b bc b a ab ，即4)1)(1()1)(1()1)(1(=++=++=++c b c a b a ，∴2111=+=+=+c b a ．7．因式分解22(34)(6)24x x x x +---+=_________．【答案】)8)(2)(3(2-+-+x x x x 【解析】原式=24)4)(3)(2)(1(24)3)(2)(1)(4(++-+-=+-+-+x x x x x x x x 24)2(10)2(24)12)(2(22222+-+--+=+-+-+=x x x x x x x x)8)(2)(3()8)(6(222-+-+=-+-+=x x x x x x x x ．8．（2021·上海市第四中学八年级阶段检测）在实数范围内因式分解3x 2+6x ﹣2＝____．【答案】3(x x +解：令212333620,33x x x x --++-=⇒==所以2113623()()x x x x x x +-=--⇒233333623()()3()()3333x x x x x x --+-=--=+-+三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．（2020·广东·华南师范大学中山附属中学八年级期中）分解因式：（1）221632a a -+（2）22414x xy y --+【答案】（1）()224a -；（2）()()2121x y x y -+--．【解析】（1）221632a a -+，=()22816a a -+，=()224a -；（2）22414x xy y --+，()224=41x xy y -+-，()2=x-2y -1，()()=x 2121y x y -+--．10、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【解析】两边同乘2，得：022*******=---++bc ac ab c b a ，即0)()()(222=-+-+-c a c b b a ，∴c b a ==．【答案】等边三角形11．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如222x xa a ++，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式.但对于二次三项式2223x xa a +-，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式2223x xa a +-中先加上一项2a ，使它与22x xa +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2222222323x xa a x xa a a a +-=++--（）22()4x a a =+-22()(2)x a a =+-(3)()x a x a =+-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：265a a -+；(2)若2211264502a b a b m c +--++-=①当a b m ，，满足条件：248a b m ⨯=时，求m 的值；②若△ABC 的三边长是,,a b c ，且c 边的长为奇数，求ABC ∆的周长【答案】(1)(a -1)(a -5)；(2)①4；②14或16【解析】(1)解：a 2﹣6a +5＝a 2﹣6a +9﹣4＝（a ﹣1）(a ﹣5)(2)∵2211264502a b a b m c +--++-=；∴（a 2﹣12a +36）+（b 2﹣6b +9）+|12m ﹣c |＝0∴（a ﹣6）2+（b ﹣3）2+|12m ﹣c |＝0∴a ﹣6＝0，b ﹣3＝0∴a ＝6，b ＝3①∵2a ×4b ＝8m∴26×43＝8m ∴26×43＝23m 时∴212＝23m ∴12＝3m ∴m ＝4；故答案为：4．②由①知，a ＝6，b ＝3，∵△ABC 的三边长是a ，b ，c ，∴3＜c ＜9，又∵c 边的长为奇数，∴c ＝5，7，当a ＝6，b ＝3，c ＝5时，△ABC 的周长是：6+3+5＝14，当a ＝6，b ＝3，c ＝7时，△ABC 的周长是：6+3+7＝16，12.（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校七年级期中）在二次三项式245x x +-先加上一项4，使它与24x x +成为一个完全平方式，然后再减去4，使整个式子的值不变，于是有：()22245444529x x x x x +-=++--=+-．像这种先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题：(1)已知：2246130x y x y ++-+=，求x y 的值．(2)已知：2,3,a b b c -=-=求222a b c ab bc ca ++---的值．【答案】(1)8-(2)19【解析】(1)解： 2246130x y x y ++-+=2244690x x y y \+++-+=()()22230,x y \++-=20,30,x y \+=-=解得：2,3,x y =-=()328.y x \=-=-(2) 2,3,a b b c -=-=5,a c \-=∴222abc ab bc ca ++---()22212222222a b c ab bc ac =++---()22222212222a ab b a ac c b bc c =-++-++-+()142592=++19=。

专题9.18 因式分解及提取公因式（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．B．C．D．2．如果是多项式的一个因式，则k的值为（）A．-4B．4C．5D．83．单项式与的公因式是（）A．B．C．D．4．下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是（）A．①和②B．①和④C．①和③D．②和④5．已知，那么代数式的值是（）A．2000B．－2000C．2001D．－20016．将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式x-1的是（ ）A．B．C．D．7．中，为（）A．B．C．D．8．若，则的值为（）A．2B．3C．4D．69．下列各数中，不能整除的是（）A．78B．79C．80D．8110．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（）A．B．C．D．二、填空题11．因式分解：___________．12．把代数式和的公因式写在横线上______．13．多项式，与的公因式为______．14．已知二次三项式有一个因式是，则m值为_________．15．若，，则________．16．若实数x满足，则______．17．在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________.18．已知，，，那么代数式的值是______．三、解答题19．把下列各式因式分解：（1）；（2）．20．把下列各式分解因式：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）﹣8a2b＋12ab2﹣4a3b321．已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．22．已知（1）求的值（2）求的值23．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，得则∴解得：，∴另一个因式为，的值为问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．24．如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C 的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）．(1) 请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；(2) 根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．参考答案1．D【分析】根据因式分解定义、完全平方差公式、整式运算、平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案．解：A、，计算错误，也不是因式分解，该选项不符合题意；B、根据因式分解定义，不符合定义，不是因式分解，该选项不符合题意；C、根据因式分解定义，不符合定义，不是因式分解，该选项不符合题意；D、根据平方差公式，是因式分解，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查因式分解定义及方法，熟记因式分解定义，并掌握平方差公式分解因式是解决问题的关键．2．B【分析】设=，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，k的值．解：设==，则，解得：．故选：B．【点拨】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据是多项式的一个因式，设=是解题的关键．3．D【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式；解：与的公因式是，故选：D．【点拨】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．4．C【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而得出符合题意的答案．解：①；②；③；④．故分解因式后，结果含有相同因式的是：①和③．故选：C．【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式分解因式是解题的关键．5．B【分析】先将化为，再将转化为，再将代入求解即可．解：∵，∴，∴，故选：B．【点拨】本题考查代数式求值、提公因式法分解因式，利用整体代入求解是解答的关键．6．D【分析】根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法，进行因式分解，据此即可一一判定．解：A.，故该选项不符合题意；B.，故该选项不符合题意；C.，故该选项不符合题意；D.，故该选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了利用平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．7．C【分析】根据除数=被除数÷商，将两个多项式化简，约分，可求出单项式M．解：故选：C．【点拨】本题考查了被除数、除数、商，三者之间的关系以及多项式除以单项式，涉及因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．8．C【分析】把变形为，代入a+b=2后，再变形为2（a+b）即可求得最后结果．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，=2（a-b）+4b，=2a-2b+4b，=2（a+b），=2×2，=4．故选：C．【点拨】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．9．A【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案．解：803﹣80＝80×（802﹣1）＝80×（80+1）×（80﹣1）＝80×81×79，故不能整除803﹣80的是78，故选：A．【点拨】本题主要考查了提取公因式以及平方差公式分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．10．A【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．解：底面积为（b﹣2a）2，侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a），∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a），提取公式（b﹣2a），M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a），＝（b﹣6a）（b﹣2a）故选：A．【点拨】本题考查了因式分解，灵活提取公因式是本题关键．11．【分析】提公因式x即可．解：，故答案为：．【点拨】本题考查了提取公因式法因式分解，解题关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．12．【分析】确定各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂进行分析即可．解：和的公因式为，故答案为：．【点拨】此题主要考查了公因式，关键是掌握找公因式的方法．13．【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故答案：．【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．14．3【分析】根据二次三项式有一个因式是，且，即可得到m的值．解：∵二次三项式有一个因式是，，∴，，故答案为3．【点拨】本题考查分组分解法因式分解，解题的关键是凑因式．15．【分析】首先分解因式，再把，代入，即可求得结果．解：，，故答案为：．【点拨】本题考查了代数式求值问题，因式分解，熟练掌握和运用代数式求值及因式分解的方法是解决本题的关键．16．2022【分析】将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020＝2x2﹣4x+2020＝2（x2﹣2x）+2020＝2×1+2020＝2022．故答案为：2022【点拨】本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．17．【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，∵小刚看错了m的值，∴n＝﹣6；（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，∵小芳看错了n的值，∴m＝﹣1．∴x2+mx+n＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．故答案为：（x﹣3）（x+2）．【点拨】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键．18．【分析】根据代数式的结构，分解成，然后计算出，代入代数式即可求解．解：，又由，，，得：，同理得：，，原式．故答案为：．【点拨】本题考查了因式分解的应用，根据条件化简是解题的关键．19．（1）；（2）．【分析】（1）把y-x变形为－（x－y）后用提公因式法即可完成因式分解；（2）把变形为，即可用提公因式法完成因式分解．解：（1）；（2）．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，用提公因式分解因式时，常见的变形有：及．20．（1）2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）﹣4ab（2a﹣3b＋a2b2）【分析】（1）直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案．解：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）＋4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）﹣8a2b＋12ab2﹣4a3b3＝﹣4ab（2a﹣3b＋a2b2）．【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．21．，，【分析】由题意可假设多项式x3−x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m)，则将其展开、合并同类项，并与x3−x2+ax+b式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定．解：设，则，所以，，，解得，，．所以．【点拨】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好．22．（1）84；（2）25．【分析】（1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得；（2）利用完全平方公式进行变形求值即可得．解：（1），，，；（2），，，，．【点拨】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键．23．另一个因式为，的值为5．【分析】设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值．解：设另一个因式为，得则∴解得：，．故另一个因式为，的值为5．【点拨】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．24．(1) ，(2)【分析】（1）图D的面积可以看做一个大长方形面积；也可以看做一个边长为的正方形，三个长为宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和；（2）根据图D的面积不同求法结合因式分解的定义即可求解．（1）解：图D的面积可以看做一个长为，宽为的长方形的面积：，也可以看做一个边长为的正方形，三个长为宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和：；（2）解：由（1）得．【点拨】本题考查了因式分解的几何背景，用不同式子表示出图D的面积是解题关键，注意因式分解是“将一个多项式化为几个整式的积的形式”，不要写反了．。

专题9.17 因式分解及提取公因式（基础篇）（专项练习）一、单选题1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．B．C．D．2．若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（）A．－5B．2C．－1D．13．已知，多项式可因式分解为，则m的值为（）A．B．1C．D．74．多项式进行因式分解，公因式是（ ）A．B．C．D．5．下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）A．B．C．D．6．把多项式分解因式，结果正确的是（）A．B．C．D．7．若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（）A．B．C．D．8．下列各组中，没有公因式的一组是（）A．与B．与C．与D．与9．把多项式分解因式，应提取的公因式是（）A．B．C．D．10．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．①②③④⑤⑥A．2B．3C．4D．5二、填空题11．等式(x＋2)2＝x2＋4x＋4从左到右的运算是__________．12．若关于的多项式因式分解为，则的值为___________．13．单项式与的公因式是___________．14．，，则______．15．(x＋3)(2x－1)是多项式__________因式分解的结果．16．已知：与能使二次三项式的值为零，那么将分解因式的结果为：___________．17．若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若与为关联多项式，则为______．18．已知，，则________，________．三、解答题19．辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.（1）；（2）；（3）20．因式分解：(1) ；(2) ；21．通过计算说明能被整除．22．如果，求代数式的值．23．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．24．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．参考答案1．D【分析】直接根据因式分解的定义逐项判断即可得解；解：A.，从左到右是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；B. ，从左到右，不是因式分解，不符合题意；C. ，从左到右，不是因式分解，不符合题意；D. ，从左到右，是因式分解，符合题意；故选择：D【点拨】本题主要考查因式分解的定义，将一个多项式化为几个整式积的形式，即为因式分解，正确理解并掌握因式分解的定义是解题的关键．2．D【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．解：根据题意设，∴，，解得：，．故选：D．【点拨】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．3．B【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．解：根据题意得：，则，故选：B．【点拨】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．A【分析】根据公因式的定义：多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式进行解答即可．解：多项式进行因式分解，公因式是．故选：A．【点拨】本题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键．5．B【分析】直接利用公因式的定义逐一分析得出答案．解：A．，没有公因式，故此选项不符合题意；B．有公因式，，故此选项符合题意；C．，没有公因式，故此选项不符合题意；D．，没有公因式，故此选项不符合题意．故选B．【点拨】本题主要考查了公因式的含义，提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．6．D【分析】运用提公因式法分解因式即可．解：，故选：D．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法（常用提公因式，公式法）是解题的关键．7．C【分析】利用十字相乘的方法分解因式，即可求出的值．解：∵多项式分解因式后含有因式，∴，∴．故选：C【点拨】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键．8．B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.，，有公因式，故不符合题意；B.，，没有公因式，符合题意；C.，，有公因式，故不符合题意；D. 与有公因式，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键9．C【分析】根据题意可得提取即可得到答案．解：，故选C．【点拨】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．10．A【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行判断即可．解：①不能用公式法分解因式，不符合题意；②，可以用平方差公式分解因式，符合题意；③不能用公式法分解因式，不符合题意；④不能用公式法分解因式，不符合题意；⑤不能用公式法分解因式，不符合题意；⑥，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；故选A．【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．11．整式乘法【分析】根据正式的乘法的定义即可解题.解：(x＋2)2＝x2＋4x＋4是完全平方,∴从左到右的运算是整式的乘法.【点拨】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.12．【分析】根据完全平方公式将展开即可求出，的值，由此即可求解．解：多项式因式分解为，∴，∴，，∴．【点拨】本题主要考查多项式的因式分解，掌握多项式乘法可以检验多项式因式分解是解题的关键．13．##【分析】根据公因式的确定方法：①系数取最小公倍数②字母取公共的字母③字母指数取最小的，即可写出答案．解：∵与中都含有，∴与的公因式为．故答案是：．【点拨】本题主要考查了公因式的确定，关键是正确把握公因式的确定方法．14．【分析】先利用因式分解把代数式变形，再整体代入数据求出代数式的值即可．解：，∵，∴原式．故答案为：．【点拨】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握提公因式法分解因式．15．2x2＋5x－3【分析】计算多项式的乘法即可.解：∵(x＋3)(2x－1)=2x2＋5x－3∴(x＋3)(2x－1)是多项式2x2＋5x－3因式分解的结果．【点拨】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,正确计算整式的乘法是解题关键.16．【分析】直接利用能使二次三项式的值为零，即为方程的根，进而分解因式得出即可．解：∵与能使二次三项式的值为零，∴．故答案为：．【点拨】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确理解题意是解题关键．17．【分析】将多项式因式分解，根据公因式的定义即可得出答案．解：根据题意，则=（x+5）（x5），∵与为关联多项式，∴b=±5．故答案为：±5．【点拨】本题考查了公因式，掌握多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键．18．【分析】根据完全平方公式变形得出，根据因式分解得出，将已知式子的值代入即可求解．解：∵，，∴，．故答案为：，．【点拨】本题考查了完全平方公式变形求值，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．19．(1)错误，原因是另一个因式漏项了；(2)错误，原因是公因式没有提完；(3)错误，原因是与整式乘法相混淆【分析】（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断；（2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的确定公因式为2x3，即可判断；（3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解.解：（1）∵∴原式错误，原因是另一个因式漏项了；（2）∵∴原式错误，原因是公因式没有提完；（3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式∴是整式乘法运算，不是因式，∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆【点拨】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键.20．(1) (2)【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式（2）解：原式【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．21．见分析【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将进行变形，再提取公因子，由此即可得出答案．解：因为，所以能被整除．【点拨】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键．22．【分析】由已知可得，然后对所求式子变形，再整体代入求解即可．解：∵，∴，∴．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，把多项式整理成已知条件的形式是解题的关键，也考查了整体思想的应用．23．，【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值．解：∵，小明看错了b，∴，∵，小张看错了a，∴，∴，．【点拨】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．24．另一个因式为（2x+13），k的值为65．【分析】设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可．解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a∴，解得：a＝13，k＝65．故另一个因式为（2x+13），k的值为65．【点拨】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解．。

《因式分解》例题精讲与同步练习《因式分解》例题精讲与同步练习本周的内容：因式分解一、本节的重点是因式分解，包括因式分解的意义和把多项式的三种基本方法；难点是因式分解的方法的灵活运用 1. 提公因式法的关键是确定公因式。

即①取各项系数的最大公约数②字母取各项的相同的字母③各字母的指数取次数最低的。

2. 运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征。

3. 分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。

4. 分解因式时应当先考虑提公因式，然后判断是否可以套用公式，最后考虑分组分解。

5. 分解因式时要灵活运用各种方法，并且要把每一个多项式因式分解到不能再分解为止。

二、表解知识要点：运算公式或法则注意事项提公因式要把多项式中的公因式全部提取出来，俗称：提尽公因式用公式 a2－b2=（a+b）（a－b）a2±2ab－b2=（a±b）2 注意完全平方公式中间的符号分组分解分组的目的是要能提公因式或运用公式三、例题分析例1 下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）A、（x+3）(x－2)=x2+x－6B、ax－ay－1=a（x－y）－1C、8a2b3=2a2•4b3D、x2－4=（x+2）（x－2）分析：本题考查因式分解的意义，考查学生对概念的辨析能力。

要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。

A是整式乘法，显然不是因式分解；B的右端不是积的形式，也不是因式分解；C的左端是一个单项式，显然不是因式分解；D是将一个多项式化成两个整式的积，符合因式分解的定义。

所以选D。

例2 把3ay－3by+3y分解因式解：原式=3y（a－b+1）例3 把－4a3b2+6a2b －2ab分解因式解：原式= －（4a3b2－6a2b+2ab） = －（2ab•2a2b －2ab•3a+2ab•1）这一步要记得变号 = －2ab（2a2b－3a+1）这一步不要漏提最后的1 例4 把－2p2（p2+q2）+6pq（p2+q2）分解因式解：原式=－2p（p2+q2）（p－3q）这里很容易漏掉p 例5 把5（x－y）2－10（y－x）3分解因式解：原式=5（x－y）2+10（x－y）3 公式（x－y）n= －（y－x）n（n为奇数）（x－y）n= （y－x）n （n为偶数） =5（x－y）2[1+2（x－y）] 因式分解要彻底，最后的答案要化简 =5（x－y）2（1+2x－2y）例6 把下列各式分解因式：（1）4x2－9；（2）x－xy2 （3）x4－1 （4）－ n2+2m2 解：（1）原式=（2x）2－32=（2x+3）（2x－3）（2）原式=x（1－y2）要先提公因式 =x（1+y）（1－y）然后再用公式（3）原式=（x2+1）（x2－1）分解一定要彻底 =（x2+1）（x+1）（x －1）所以……（4）原式= －（n2－4m2）提出－后出现符合平方差公式的式子 = －（n+2m）（n－2m）例7 把下列各式因式分解：（1）－x2+4x－4 （2）（a+b）2+2（a+b）+1 （3）（x2+y2）2－4x2y2 解：（1）原式= －（x2－4x+4）=－（x－2）2 （2）原式= （a+b+1）2 （3）原式= （x2+y2+2xy）（x2+y2－2xy）先用平方差公式 = （x+y）2（x－y）2 再用完全平方公式例8 分解因式：7x2－3y+xy－21x 解法1：7x2－3y+xy－21x 解法2：7x2－3y+xy－21x =（7x2+xy）+（－3y－21x）=（7x2－21x）+（xy－3y） = x（7x+y）－3（7x+y） =7x（x－3）+y（x－3） = （7x+y）（x－3） =（x－3）（7x+y）总结：分组的方法不是唯一的，但也并不是任意的，分组时要目标明确，首先应当使分组后每组都可以分解因式，其次每组分解因式后各组合在一起又可以分解因式。