多项式的综合除法

1 2 41 3 3 7＋＋＋＋　＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x)q(x)g(x)r (＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。

(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。

(2).被除式＝除式×商式＋餘式。

(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。

思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則 (1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？ Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。

2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋[1] 試求以x – 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1餘式為0[2] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[3] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[4] 試求以x + 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 餘式為0[5] 試求以x + 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[6] 試求以x +3 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[7])4()431273234567-÷+-+x x x 的商式與餘式。

高等代数综合除法具体步骤讲解-回复高等代数中的综合除法是一种用于计算多项式之间的除法的方法。

它是一种重要的代数技术，可以应用于求解多项式的根和因式分解等问题。

在本文中，我将详细介绍综合除法的具体步骤，并通过几个例子来说明。

综合除法的目标是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个商式和余式。

首先，我们需要明确两个多项式的次数和系数的表示方法。

假设被除式是f(x)，除式是g(x)，那么它们的次数分别为n和m。

我们可以将它们表示为：f(x) = aₙxⁿ+ aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀g(x) = bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹+ ... + b₁x + b₀其中aₙ、aₙ₋₁、...、a₀和bₙ、bₙ₋₁、...、b₀分别是各项的系数。

综合除法的具体步骤如下：步骤1：将f(x)和g(x)的系数按照次数从高到低排列，并确保两个多项式的次数对齐。

如果f(x)的次数小于g(x)的次数，可以在f(x)前面添加一个零系数的项，使它们的次数对齐。

步骤2：取f(x)的首项系数与g(x)的首项系数相除，得到一个商式的首项。

将这个商式的首项与g(x)的每一项相乘，得到一个新的多项式，记为q(x)，并将它从f(x)中减去。

这样就得到了一个新的多项式，记为r(x)，它的次数小于等于f(x)的次数。

步骤3：如果r(x)的次数小于g(x)的次数，那么继续前面的步骤，取r(x)的首项系数与g(x)的首项系数相除，得到一个新的商式的首项，并重复上述步骤，直到r(x)的次数大于等于g(x)的次数。

步骤4：当r(x)的次数大于等于g(x)的次数时，说明除法已经完成。

此时，r(x)即为余式，q(x)为商式。

下面通过几个具体的例子来说明综合除法的步骤。

例子1：计算多项式f(x) = 2x⁴+ 9x³- 5x²- 8x + 6 除以g(x) = x ²+ 3x - 2。

首先，按照步骤1，将两个多项式的系数按照次数从高到低排列，并确保它们的次数对齐：f(x) = 2x⁴+ 9x³- 5x²- 8x + 6g(x) = x²+ 3x - 2然后，按照步骤2，取f(x)的首项系数2与g(x)的首项系数1相除，得到一个商式的首项2。

求多项式的商式和余式的方法一、长除法：长除法是解决多项式除法的一种常用方法，它可以将多项式除以另一个多项式，得到商式和余式。

步骤如下：Step 1：将被除式和除式按照降幂排列。

Step 2：取被除式的最高次幂的项与除式的最高次幂的项进行除法。

Step 3：将得到的商乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。

Step 4：将新得到的多项式作为被除式，重复步骤2和3，直到得到最终的余式。

示例：将多项式f(x)=3x^4-2x^3-5x^2+4x+6除以g(x)=x^2-x+2首先，按照降幂排列，我们有f(x)=3x^4-2x^3-5x^2+4x+6g(x)=x^2-x+2然后，取最高次幂项进行除法3x^4÷x^2=3x^2将得到的商3x^2乘以除式g(x)，得到3x^4-3x^3+6x^2将新得到的多项式3x^4-3x^3+6x^2与被除式f(x)相减，得到(3x^4-2x^3-5x^2+4x+6)-(3x^4-3x^3+6x^2)=x^3-11x^2+4x+6然后，取新得到的多项式x^3-11x^2+4x+6的最高次幂项与除式g(x)进行除法x^3÷x^2=x将得到的商x乘以除式g(x)，得到x^3-x^2+2x将新得到的多项式x^3-x^2+2x与被除式f(x)相减，得到(x^3-11x^2+4x+6)-(x^3-x^2+2x)=-10x^2+2x+6再次取新得到的多项式-10x^2+2x+6的最高次幂项与除式g(x)进行除法-10x^2÷x^2=-10将得到的商-10乘以除式g(x)，得到-10x^2+10x-20将新得到的多项式-10x^2+10x-20与被除式f(x)相减，得到(-10x^2+2x+6)-(-10x^2+10x-20)=-8x+26最后，得到的-8x+26就是最终的余式。

因此，多项式f(x)除以多项式g(x)的商式为3x^2+x-10，余式为-8x+26二、综合除法：综合除法是另一种解决多项式除法的方法，它的步骤与长除法类似，但更简洁。

综合除法与因式分解过程是数学中常见且重要的概念。

综合除法是将多项式除以另一个多项式，得到商式与余式的过程。

而因式分解是将一个多项式分解为两个或多个乘积的形式。

在本文中，我将深入探讨综合除法与因式分解的原理、步骤以及其在解决实际问题中的应用。

一、综合除法的原理与步骤综合除法是一种用来除以一个多项式的方法，它的基本原理是通过逐步长除的方式，得到商式与余式。

综合除法通常在求多项式的因式、判断一个多项式是否为另一个多项式的因式以及求多项式的根等问题中起到重要作用。

综合除法的步骤如下：1.将被除式与除式按照次数从高到低的顺序排列，确保次数最高的项在前。

2.将被除式的次数最高项与除式的次数最高项进行除法运算，得到该项的商。

3.将商乘以除式，得到一个新的多项式。

4.将新的多项式与被除式相减，得到新的被除式。

5.重复以上步骤，直到无法再进行除法运算为止，此时所得到的新被除式即为余式。

6.将所得到的商式与余式写成一个式子，即为综合除法的结果。

例子：对多项式 P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 进行综合除法，除以多项式 D(x) = x - 1。

按照上述步骤进行综合除法运算，可以得到：2x^2 - 3_______________x - 1 | 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 - (2x^3 - 2x^2) ____________ -3x^2 + 3x -(-3x^2 + 3x) ___________ 0综合除法的结果为商式为 2x^2 - 3，余式为 0。

二、因式分解的原理与步骤因式分解是将一个多项式分解为两个或多个乘积的形式。

它是分解式子、求根、简化计算等问题中经常使用的技巧。

因式分解可以帮助我们更好地理解多项式的性质，进而解决各种数学问题。

因式分解的步骤如下：1.将多项式进行因式提取，即将多项式中可以提取出来的公因式提取出来。

这一步可以简化多项式，并将其分解为一个公因式与剩下部分的乘积。

4.多项式的综合除法多项式的除法定理：设)(),(x g x f 是两个多项式，且0)(≠x g ，则恰有两个多项式)(),(x r x q 使得)()()()(x r x q x g x f +=成立，其中0)(=x r 或者deg )(x r deg )(x g 。

（1），称为余式。

称为商式，称为除式，称为被除式，)()()()(x r x q x g x f(2),被除式=除式×商式+余式。

（3），简式：A=BQ+R综合除法中定义)()(a x x g -为一次多项式，a 为为任意数。

一、用综合除法写出)(x f 按降幂排列的系数，设01111)(c x c x c x c x f n n n n =+++=-- 则有：))))))((((((()))))(((((());))((((()()(143211432143012121101221n n n n n n n n n n n n n n nn n n ac c a a c a c a c a c a e ac c a a c a c a c a d ac c a a c a c a b ec d c b c ac c a c ac c c e d b ac c a ac c c c c c c a ++++=++++=+++=+++++++-+-------- 则e c x r x d c x b c x ac c a c x ac c x q n n n n n n n +=++++++++=-----012221211)(,)()())(()()( 注意：缺项的系数为0。

例题：（1）3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解：327-10939-136-2327-11739-186-08-05-023所以327)(,109191362)(234-=+-+-=x r x x x x x q （2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--= 解：i i i i i i 8925218924210111i2-1+----+------所以i x r i ix x x q 89)(,252)(2+-=---=当除式为一次式时，用综合除法比余除法来得方便，特别是有些问题需要多次以一次多项式作为除式的运算，综合除法更显示出它的作用，用综合除法进行运算时，被除式中所缺的项必须补上零，否则计算就错了。

综合除法的形式综合除法是数学中常用的一种除法形式，具体来说，它是一种将多项式除以另一个多项式的运算方法。

在这篇文档中，我们将探讨综合除法的概念、步骤以及其在代数中的应用。

综合除法是一种用来简化多项式除法的方法，可以帮助我们求得两多项式的商和余项。

在开始学习综合除法之前，我们首先需要掌握多项式的基本概念。

多项式是由若干项组成的代数式，每一项包括一系列数字和字母的乘积，并可以通过加减运算进行组合。

综合除法的一般形式可以表示为：(a^n + a^(n-1) + ... + a^2 + a + 1) ÷ (a - b)其中，a和b是多项式中的常数项。

综合除法的目的是将这个复杂的除法式子化简为更简单的形式。

下面我们将介绍综合除法的步骤和具体操作过程。

步骤一：首先将除式(a - b)进行反转，得到(b - a)。

步骤二：将多项式的每一项从高次到低次的顺序进行排列。

例如，一个多项式P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4应该按照3x^3、-2x^2、5x、-4的顺序排列。

步骤三：将多项式的第一项除以除式的首项，并将结果写在一个新的行上。

步骤四：用除数乘以刚刚得到的结果，并将结果写在下方。

步骤五：将上述两个行进行相减，得到新的多项式。

步骤六：重复步骤三到步骤五，直到剩余项不能再进行相减为止。

步骤七：最后的剩余项即为除法的余数。

通过以上的步骤，我们可以求得给定多项式除以除式的商和余项。

综合除法在代数中有着广泛的应用。

例如，我们可以用综合除法来寻找多项式的因式，从而简化问题的解决过程。

另外，综合除法也可以用来验证给定的多项式是否能够整除另一个多项式。

这是因为如果两个多项式之间存在整除关系，那么用综合除法计算得到的余数应该为零。

除此之外，综合除法还可以应用于计算圆周率的近似值。

例如，我们可以使用数列来表示圆周率的无限小数部分，然后将该数列转化为多项式的形式。

接下来，我们可以使用综合除法来比较两个多项式之间的关系，从而逼近出圆周率的值。

第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。

再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。

多项式的综合除法多项式的综合除法是一种用于求解多项式除法的方法。

多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。

常用的多项式除法有长除法、综合除法和因式分解法。

综合除法在多项式的除法中是一种比较简便的方法，因为它直接使用多项式的系数进行计算，而不需要花费额外的时间去计算每一次的乘法。

使用综合除法时，我们需要先将两个多项式按照降幂排列，再将除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，并将其作为商的第一个系数。

然后将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式。

重复这个过程直到除式的次数比余数的次数低为止。

下面我们以一个例子来说明综合除法的具体步骤：例题：求解 f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5 被 g(x) = x - 2 整除的商和余数。

步骤一：将两个多项式按照降幂排列，得到：f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5g(x) = x - 2步骤二：计算除式的第一个系数的倒数乘以被除式的第一个系数，得到：1/1 × x = x将其作为商的第一个系数，得到：q(x) = x步骤三：将该值乘以除式，减去被除式，得到余数和下一次的被除式，得到：x(x-2) = x^2 - 2xf(x) - x(x-2) = (x^3 - 3x^2 + x + 5) - (x^2 - 2x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5步骤四：重复步骤二和步骤三，得到：1/1 × (x^2 - 2x) = x - 2q(x) = x + 1(x^3 - 4x^2 + 3x + 5) - (x^2 - 2x)(x + 1) = -x - 5步骤五：最后余数为 -x - 5 。

因此， f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中商为 q(x) = x + 1，余数为 r(x) = -x - 5。

综合除法的优点在于它简便易行，只需要按照一定的步骤计算即可得到答案。

多项式的综合除法与因式分解二、整系数多项式的因式分解整系数多项式因式分解的原理是，先试出有理根 r ，多项式对线性因子 x-r 做多项式除法，逐步降低次数。

1. 试有理根试根定理：设 f(x) 为 n 次整系数多项式（ n \geq 1 ），其形式为：f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0 ， a_0 \neq 0若 x = \frac{p}{q} 为 f 的有理根（ p,q 互质，公约数只有 \pm 1 ），则 p 必为常数项 a_0 的整数因子， q 必为首项 a_n 的整数因子。

根据多项式除法原则，有f(x)=(x-k)d(x)+r，故余数可表示为 r=f(k) ，从而，若 k 是 f(x) 的根，则 f(k)=0 .基于以上事实，对于一个整系数多项式，就可以先找出其有理根候选 k_i ，再验证是否满足 f(k_i)=0 ，就可以确定 k_i 是否为根。

例. 多项式 2x^3-3x^2-5x-12 ，其可能的有理根为：分子： 12 的整数因子， 1,2,3,4,6,12分母： 2 的整数因子， 1,2故可能的有理根为： \Big\{ \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{1}, \, \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{2} \Big\} =\Big\{ \pm\frac{1}{2}, \pm 1, \pm \frac{3}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \Big\}2. 综合除法若 k_i 是 f(x) 的根，则 f(x)=(x-k_i)g(x) , 其中， g(x) 为 n-1 次多项式。

为了得到 g(x) ，就需要用 f(x) 除以 (x - k_i) .与整数做除法类似，举例来看，多项式的普通除法：优化上述算法：（1）变量 x 的幂次依次降幂排列，只要对应好位置，完全可以省略之，即（2）观察同一列的 -5, -12 只是每次重复地落下来，把有用的数压缩上去，避免这种重复落下，得到（3）继续优化，因子 x-3 对应的根是 3 ，把（2）中的 -3 换成 3 ，把原来的竖直方向“做差”换成“做和”，也相当于乘以个 -1 变号，得到结果是，下面的 2,3,4 结合对应的 x 幂次，得到商 2x^2 + 3x +4 ，余数是 0 .这就是“综合除法”。