第5讲含参方程七年级教师版第5讲含参方程七年级教师版
引言
本文档是关于第5讲的教师版教案，教授含参方程的知识。
含参方程是七年级数学的重要内容，对学生的数学思维和问题解决能力的培养具有重要意义。
教学目标
- 了解含参方程的概念、特点和求解方法
- 能够解决简单的含参方程问题
- 培养学生的逻辑思维和数学推理能力
教学内容
1. 含参方程的定义和特点
2. 含参方程的求解方法
3. 练题和实例分析
教学步骤
1. 引入课题，讲解含参方程的定义和特点
- 通过生动的例子引出含参方程的概念
- 解释含参方程与一般方程的区别和联系
2. 讲解含参方程的求解方法
- 分析含参方程的结构和求解思路
- 指导学生如何确定未知量的取值范围
- 通过简单实例演示求解含参方程的步骤
3. 练题和实例分析
- 设计一些简单的练题，帮助学生巩固所学知识
- 分析实际问题并将其转化为含参方程进行求解
- 引导学生思考含参方程在日常生活中的应用
教学评价
- 在课堂上观察学生对知识的理解和掌握程度
- 针对练题和实例分析，评价学生的问题解决能力和推理能力- 建立良好的学生评价体系，鼓励学生积极参与课堂讨论和解题过程
总结
本节课主要介绍了含参方程的概念、特点和求解方法。
通过练
题和实例分析，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
希望学生能
够掌握含参方程的基本知识，为进一步研究和应用数学知识打下坚
实的基础。
> 注意：本文档为教师版教案，供教师参考和使用。
未经许可，不得用于商业用途。
专题讲座第五讲教师如何开展课题研究李铁安（中央教育研究所课程教学研究中心、副研究员）一、课题研究方案（申请—论证）撰写↗选择背景↗课题界定↗国内外研究现状选择↗选题意义——研究价值↗研究目标——研究内容↗研究假设——研究方法——技术路线↗预期成果——实施方案——保障措施（一）课题研究方案具体内容（1）↓选择背景主要概述选题的缘由，即如何在一个基本的理论点和实践背景下明确一个问题域的，进而聚焦一个基本问题（真实的、创新的、必要的、可行的）作为课题研究主题，这部分是一个概述，为求言简意赅。
↓课题界定主要包括核心概念的界定和课题本身的界定，关于核心概念界定，要把课题名称中涉及的核心调抽取出来一一界定清楚，某一核心词可能有多种意义或解释，界定对突出本课题研究中的涵义或指向是什么就可以：关于课题本身的界定，要把本课题究竟要研究什么和研究的目的与思路等交待清楚。
（二）课题研究方案具体内容（2）→国内外研究现状述评述评的主要功能是为本研究提供一个概念框架和背景知识，主要包括“述”和“评”，“述”是对国内外已有与本课题相关问题研究成果（内容维度）作较完整、准确、精练和系统综述，注意要将相关的问题研究结果进行综合，凸显其关联性；“评”是根据综述梳理的研究或是找出本课题研究的切入点，即本课题是如何在已有研究基础上开展完善性，创新性的研究工作，并阐述研究的必要性，这部分内容是课题研究的逻辑起点，决定本课题研究的目标，内容和基本假设，尤其注意“述”中文献的准确性和“评”中定性的客观性。
→选题意义与研究价值主要包括选题的实践意义和研究的理论价值，关于意义与价值的的提炼要具体，忌空洞，不要贴标签，戴帽子，论述要有说服力。
（三）课题研究方案具体内容（3）↘研究目标主要包括本课题研究最终解决的问题和产生的研究成果，一个课题通常建立3~~5个目标为宜，表述要清晰，目标之间考虑逻辑关联。
↘研究内容主要包括要研究的维度，对每一个内容也要再具体指出于内容，内容是具体指向目标的，所以必须保证所有的研究内容可以支持研究目标。
第五讲小数加法和减法【知识概述】小数加减法的计算方法和整数加减法的计算方法基本是相同的，都需要把相同数位对齐后分别相加减。
对于小数而言也就是要把小数点对齐，然后把相同数位上的数分别相加减。
小数加减法中也有一些题目是可以进行简便计算的。
简算的方法与整数加减法的简算方法基本是相同的。
解题的主要思想方法是“凑整”，运用的计算原理主要是各种运算定律和运算性质。
例题精学例1小明在计算一道减法题时，把被减数个位上的9看成6，把减数十分位上的4看成7。
小明计算的结果是15.4，正确的计算结果是多少?【思路点拨】被减数个位上的9表示9个1，被小明看成了6个1，所以被减数就少算了3，这样差也就少了3，我们要先把这个3补上。
而减数十分位的4表示4个0.1，被小明看成了7个0.1，这样就多减了3个0.1，差又减少了0.3，所以还要把这个0.3补上。
解：15.4+（9-6)+(0.7-0.4）=15.4+3+0.3=18.7同步精练1.陈莉在做加法题时，把一个加数个位的9看成了4，把另一个加数百分位的1看成了7。
她做得结果是17.42，正确的结果是多少?解：一个加数个位上的9看成了4，就少加了9-4=5；另一个加数百分位上的1看成了7，就多加了0.07-0.01=0.06。
正确的结果是17.42+5-0.06=22.36。
2.小马虎在做减法题时不慎将被减数百分位上的3看成了8，把减数十分位上的7看成了2。
小马虎的计算结果是1.87，你知道正确的结果是多少吗？解：被减数百分位上的3看成了8，就多算了0.05；减数十分位的7看成了2就少减了0.5。
正确的结果应该是1.87-0.05-0.5=1.32。
3.陈小鹏计算一直不够细心，这不，老师出的减法题他又做错了。
他把被减数个位上的2看成了6，把减数百分位上的7看成了1。
你知道他这次错误的结果与正确的结果相差多少吗?被减数个位上的2看成了6就多算了4，减数百分位上的7看成了1就少减了0.06，所以错误的结果与正确的结果相差4+0.06=4.06。
空间中的平行关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________了解直线和平面的三种位置关系； 理解并掌握直线与平面平行的判定定理； 理解并掌握直线与平面平行的性质定理； 理解并掌握平面与平面平行的性质定理．一、直线与平面的位置关系位置关系 交点个数 图形语言符号语言直线在平面内无数个a α⊂直线在平面外直线与平面相交只有一个a A α=直线与平面平行没有//a α二、直线和平面平行1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．aαAaαaα2、该定理的作用：证明线面平行．3、该定理可简记为“线线平行，则线面平行．”3.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．推理模式//// aa a bbαβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．2、该定理的作用：证明线线平行．3、该定理可简记为“线面平行，则线线平行．”三、平面和平面的位置关系四、平面与平面平行1.两平面互相平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行．2.两平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推理模式：,//,////a ab ba b Aαβαβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭．简言之：线面平行⇒面面平行推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 3.两个平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：////a a bbαβγαγβ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭．简言之：面面平行⇒线线平行a特别说明：平面与平面平行的其它性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面．（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．（3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．类型一线面平行例1：b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交解析：∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点．答案：D练习1：(2014·甘肃天水一中高一期末测试)直线在平面外是指()A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多有一个公共点答案：D练习2：点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是()A．平行B．相交C．MN⊂平面PCB1D．以上三种情形都有可能答案：A如图，∵M、N分别为A1A和A1B1中点，∴MN∥AB1，又∵P是正方形ABCD的中心，∴P、A、C三点共线，∴AB1⊂平面PB1C，∵MN⊄平面PB1C，∴MN∥平面PB1C.练习3：在正方体ABCD－A1B1C1D1中和平面C1DB平行的侧面对角线有________条．答案：3例2：(2014江西丰城三中高一期末测试)如图，已知E、F分别是三棱锥A－BCD的侧棱AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD.解析：找到平面BCD中与EF平行的直线，即可由定理证明结论．答案：证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.练习1：((2014·山东济南一中月考)如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外的一点，M是PB的中点，求证：PD∥平面MAC.答案：连接BD 交AC 于点O ，连接OM .根据题意，得O 是BD 的中点，M 是PB 的中点． ∴在△BPD 中，OM 是中位线，∴OM ∥PD . 又∵OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC . ∴PD ∥平面MAC .练习2：(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 对角线的交点，求证：C 1O ∥平面AB 1D 1.答案：连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1， ∵AO ∥C 1O 1，AO =C 1O∴四边形AOC 1O 1是平行四边形， ∴C 1O ∥AO 1.又∵C 1O ⊄平面AB 1D 1， AO 1⊂平面AB 1D 1， ∴C 1O ∥平面AB 1D 1.例3：已知直线a ∥平面α，a ∥平面β，α∩β＝b ，求证a ∥b .解析：若直接证明两条直线a 与b 平行，则相当困难，注意到线面平行的条件，联想到性质定理，则可想到用构造法作辅助平面来帮助证明． 答案：在平面α上任取一点A ，在β上任取一点B ，且A 、B 都不在直线b 上．∵a ∥α，a ∥β，∴A ∉a ，B ∉a ，∴由a 与A ，a 与B 可分别确定平面γ1，γ2， 设γ1∩α＝c ，γ2∩β＝d ， 则a ∥c ，且a ∥d ，∴c ∥d . 又d ⊂β，且c ⊄β，∴c ∥β. 又c ⊂α且α∩β＝b ，∴c ∥b . 而a ∥c ，∴a ∥b .练习1：三个平面α、β、γ两两相交，有三条交线l 1、l 2、l 3，如果l 1∥l 2.求证：l 3与l 1、l 2平行． 答案：如图，α∩β＝l 1，β∩γ＝l 2，α∩γ＝l 3，l 1∥l 2.⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l 1∥l 2l 2⊂γl 1⊄γ⇒l 1∥γ l 1⊂α α∩γ＝l 3⎭⎪⎬⎪⎫⇒l 1∥l 3 l 1∥l 2⇒l 3∥l 1∥l 2.练习2:如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 的中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于点M ，求证：AD ∥MN .答案：∵ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，又BC ⊂平面PBC ，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，又AD⊂平面ADMN，平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴AD∥MN.类型二平面与平面平行例3：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.解析：运用平面平行的判定．答案：∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.练习1：如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.答案：∵AB A1B1，C1D1A1B1，∴AB C1D1.∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴AD1∥BC1.又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理BD∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.练习2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E. 答案：如图，取BB 1的中点G，连接EG、GC1，则有EG A1B1.又A1B1C1D1，∴EG C1D1.∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴D1E GC1.又BG C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E.又BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.又∵BF∩BD＝B，∴由平面与平面平行的判定定理得，平面BDF∥平面B1D1E.练习3：在正方体EFGH－E1F1G1H1中，平面E1FG1与平面EGH1，平面FHG1与平面F1H1G，平面F1H1H与平面FHE1，平面E1HG1与平面EH1G中互相平行的对数为()A．0 B．1C ．2D ．3答案：本题考查面面平行的判定．∵EG ∥E 1G 1，FG 1∥EH 1，EG ∩EH 1＝E ，E 1G 1∩FG 1＝G 1， ∴平面EGH 1∥平面E 1FG 1，经验证其他3对均不平行，故选B.例4：将已知：平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在这两个平面之间的线段， 且点E 、G 分别为AB 、CD 的中点，AB 不平行于CD ，如图所示． 求证：EG ∥α，EG ∥β.解析：由平面平行的性质除法得到结论．答案：如图所示，过点A 作AH ∥CD ，交平面β于点H ，设F 是AH 的中点，连接HD ，则AH 綊CD ， ∴四边形ACDH 为平行四边形． 连接EF 、FG 和BH ，∵E 、F 分别是AB 、AH 的中点，∴EF ∥BH . ∵EF ⊄平面β，且BH ⊂平面β，∴EF ∥β.又F 、G 分别是AH ，CD 的中点，且AC ∥HD ， ∴FG ∥HD .又∵FG ⊄平面β，HD ⊂平面β，∴FG ∥β. ∵EF ∩FG ＝F ，∴平面EFG ∥β， 又α∥β，∴平面EFG ∥α.∵EG ⊂平面EFC ，∴EG ∥α，EG ∥β. 练习1：知平面α、β、γ，α∥β∥γ，异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于A 、B 、C 和D 、E 、F .求证：AB BC ＝DE EF.答案：连接DC ，设DC 与平面β相交于G ，则平面ACD 与平面α、β分别交于AD 、BG ， 平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF ， ∵α∥β，β∥γ，∴BG ∥AD ，GE ∥CF ， ∴AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝DE EF ，∴AB BC ＝DE EF. 练习2：若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A ．无公共点B ．平行C ．既不平行也不相交D ．相交 答案：A1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a 、b 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥αD ．若a ∥b ，a ∥α，则b ⊂α或b ∥α 答案：D2．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出四个命题：①OM ∥平面PCD ；②OM ∥平面PBC ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B3．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或都交于同一点 答案：D4．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND，则MN 与平面BDC 的位置关系是________．答案： 平行5．在下列条件中，可判断平面α与平面β平行的是（ ）A 、,αβ都垂直于γB 、α内存在不共线的三点到β的距离相等C 、,l m 是α内两条直线，且//,//l m ββD 、,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l m l m ααββ答案：D6. 有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a ，α∩β＝b ，且a ∥b (α、β、γ分别表示平面，a 、b 表示直线)，则γ∥β； ③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β. 其中正确的有________．(填序号) 答案： ③_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a 、b 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥αD ．若a ∥b ，a ∥α，则b ⊂α或b ∥α答案： D 若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 或a 与b 是异面直线；若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面；若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α或a ⊂α，故选D.2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4答案：B由已知OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面P AD.故正确的只有①③，选B. 3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点答案： D4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交答案：A5．若两直线a、b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．答案：相交或平行能力提升6．若平面α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条直线与a平行C．存在无数条直线与a平行D．存在惟一一条与a平行的直线答案：D7.已知a是一条直线，过a作平面β，使β∥平面α，这样的β()A．只能作一个B．至少有一个C．不存在D．至多有一个答案：D8.已知α∥β，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、C三点，和平面β交于A′、B′、C′三点，则△ABC与△A′B′C′的关系是________，若AB＝a，A′B′＝b，B′C′＝c，则BC的长是________．答案：相似ac b9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC 的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________________时，有MN∥平面B1BDD1.答案：M在线段FH上移动10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线AC的位置关系是________．答案：平行平行11.在正方体ABCD－A1B1C1D1，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点，如图所示．(1)求证：E、F、B、D四点共面；(2)求证：平面AMN∥平面EFBD.答案：(1)分别连接BD、ED、FB，由正方体性质知，B1D1∥BD.∵E、F分别是C1D1和B1C1的中点，∴EF 12B1D1，EF12BD.∴E、F、B、D四点共面．(2)连接A1C1交MN于P点，交EF于点Q，分别连接PA、QO.∵M、N分别为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF⊂面EFBD，∴MN∥面EFBD.∵PQ AO，∴四边形PAOQ为平行四边形，∴PA∥QO.而QO⊂面EFBD，∵PA∥面EFBD，且PA∩MN＝P，PA、MN⊂面AMN，∴平面AMN∥面EFBD.课程顾问签字： 教学主管签字：。
