当前位置：文档之家 › 专题6.1 平面向量的概念(解析版)

专题6.1 平面向量的概念(解析版)

  • 格式：docx
  • 大小：713.81 KB
  • 文档页数：14

6.1 平面向量的概念 运用一 向量的几何表示 【例1】在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a. (1)试以B为起点画一个向量b，使ab； (2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．

【答案】见解析 【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．

【举一反三】 1．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．

(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.

【答案】见解析 【解析】(1)如图所示．

(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，即AB∥CD. 又|AB→|＝|CD→|，所以四边形ABCD为平行四边形．所以|AD→|＝|BC→|＝200(千米)． 2．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 【答案】见解析

【解析】如图所示，AB→表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则|AB→|＝1 400 km.BC→表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则|BC→|＝1 400 km. 所以AC→为飞机从A地到C地的位移． 在△ABC中，AB＝BC＝1 400 km，且∠ABC＝75°－15°＝60°， 故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400 km. 所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1 400 km.

运用二 概念的辨析 【例2-1】下列量不是向量的是（ ） A．力 B．速度 C．质量 D．加速度 【答案】C 【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量.故选：C 【例2-2】给出下列四个命题：①若||0a，则0a；②若||||ab，则ab或ab；③若ab，则||||ab；④若ab，bc，则ac∥.其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①忽略了0与0的区别，0a；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当0b时，ac，可以为任意向量，故a不一定平行于c.故选：A 【举一反三】 1．汽车以120/kmh的速度向西走了2h，摩托车以45/kmh的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是（ ） A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程.D．以上都不对 【答案】C 【解析】由题速度，位移是向量，不能比较大小，故A,B错误；故选C 2．下列说法正确的是（ ） A．ABCD∥就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】C 【解析】对于A，若AB∥CD，则AB，CD的方向相同或相反，AB所在的直线与CD所在的直线平行或在同一直线上，故A错误； 对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误； 对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误． 故选：C． 3．下列结论中，不正确的是 A．若ABCD，则ABCD∥ B．向量ABCD，共线与ABCD∥的意义是相同的 C．若向量ab，满足ab，则ab D．若ABCD，则BADC 【答案】C 【解析】平行向量又叫共线向量.相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C错误.故选：C 4．下列说法正确的个数是（ ） ①两个有公共终点的向量是平行向量； ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； ④若ab，bc，则ac. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故③正确；ab，则,ab的长度相等且方向相同；bc，则,bc的长度相等且方向相同，所以,ac的长度相等且方向相同，故ac，④正确. 故选：B 运用三 相等向量 【例3】如图所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD∥，对角线ACBD，交于点O，过点O作MNAB，交AD于点M，交BC于点N，则在以ABCD，，，，M，ON，为起点和终点的向量中，相等向量有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【解析】由题,OMNOMOON，故相等向量有两对故选：B 【举一反三】 1．（2019·四川雅安中学高一月考）如图所示，在正ABC中，,,DEF均为所在边的中点，则以下向量和

ED相等的是（ ） A．EF B．BE C．FB D．FC 【答案】D 【解析】,,EFBEFB与向量ED，方向不同，,,EFBEFB与向量ED不相等， 而向量FC与ED方向相同，长度相等，FCED，故选D. 2．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形

（1）与向量ED相等的向量有__________； （2）若||3AB，则||EC__________. 【答案】ABDC， 6 【解析】①根据相等向量的定义及平行四边形性质：与向量ED相等的向量有ABDC， ②2CECDDEBA2CEBA6故填ABDC，；6

1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】向量是既有大小又有方向的量，故②③④⑤是向量. 质量和路程都只有大小，没有方向，故不是向量.所以是向量的有4个. 2．下列说法正确的是（ ） A．若||||ab，则ab，的长度相等且方向相同或相反 B．若向量AB，CD满足||||ABCD，且AB与CD同向，则ABCD C．若ab，则a与b可能是共线向量 D．若非零向量AB与CD共线，则ABCD，，，四点共线 【答案】C 【解析】若|a|＝|b|，可得a、b的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误； 若向量AB、CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；若ab，则a与b可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确； 若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误． 故选：C． 3．下列说法正确的是（ ）

A．与向量(0)ABAB共线的单位向量只有||ABAB B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．向量AB与向量BA是两平行向量 D．单位向量都相等 【答案】C

【解析】与向量0ABAB共线的单位向量有||ABAB，故A项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向量AB与BA方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误.故选：C 4．如图所示，在圆O中，向量,,OBOCAO是( ) A.有相同起点的向量 B.单位向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 【答案】C 【解析】,OBOCAOr 故选C. 5．（2019·甘肃武威十八中高一期末）在下列结论中，正确的为（ ） A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量AB与向量BA的长度相等 C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的 【答案】B 【解析】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确； B. 向量AB与向量BA是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确； C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确； D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确. 故选B. 6．下列说法正确的是 A．若ab，则ab B．若ab，则ab C．若ab，则//ab D．若ab，则a与b不是共线向量 【答案】C 【解析】由题意，A选项中，向量不能比较大小，只有模可以比较大小，所以A错误. B选项中，因为向量有方向，因而模的大小相等不能说明向量相等，所以B错误. C选项中，两个向量相等，说明两向量方向相同，因此是平行向量，所以C正确. D选项中，当两个向量为相反向量时，两个向量不相等，但可以是共线向量，所以D错误. 综上可知选C. 7．（2019·四川双流中学高三月考（文））设,ab为非零向量，则“//ab”是“,ab方向相同”的

合集下载

6.1平面向量的概念

6.1平面向量的概念

【变式 2】 在如图所示的坐标纸上(每个小 方格边长为 1)画出符合下列条件的向量．
(1)O→A ，使|O→A|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°；
(2)A→B，使|A→B|＝4，点 B 在点 A 正东； (3)B→C，使|B→C|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°.
返回目录
解析 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|O→A|＝4 2，小 方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数 都为 4，于是点 A 的位置可以确定，画出向量O→A如图所示．
解析 (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有O→D，B→C，A→O， F→E.
(2)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A， A→D.
(3)与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B；与 b 相等的向量有D→C， E→O，F→A；与 c 相等的向量有F→O，E→D，A→B.
返回目录
【例题 3】 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且O→A ＝a，O→B＝b，O→C＝c.
(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与 a 共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与 a，b，c 相等的向量． 思维导引：根据共线向量和相等向量的概念进行判断．
返回目录
返回目录
【变式 1】 (1)下列各项中是向量的为( )
A．时间
B．加速度
C．面积
D．长度
(2)(多选)下列命题中，错误的是( )
A．若|a|＜|b|，则 a＜b
B．长度相等的向量都相等
C．共线的单位向量可能相等
D．若 a∥b，b∥c，则 a∥c
平面向量的概念重难点解析版

平面向量的概念重难点解析版

突破6.1 平面向量的概念一、学情分析二、学法指导与考点梳理考点一 向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线 相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0考点二 向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则 (1)交换律： a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b＋c)减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa)＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb考点三 经典结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0； (2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念例1．(1)．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．若a b =，则a b =± B ．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】B【解析】【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】=仅表示a与b的大小相等，但是方向不确定，A：a b故a b=±未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.(2)．（2019·西藏·林芝一中高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,==，则a ca b b c=D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【解析】【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量//AB CD就是AB所在的直线与CD所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若,==，则a ca b b c=，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.【变式训练1-1】、（2021·江苏·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．若0a=a=，则||0B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的【答案】B【解析】【分析】由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误.【详解】A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确；故选：B【变式训练1-2】、（2020·全国·高二课时练习）下列命题中假命题是（）A．向量AB与BA的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】【分析】利用相反向量的概念可判断A选项的正误；利用相等向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量的定义可判断C选项的正误；利用共线向量的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，AB与BA互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确；对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确；对于C选项，只有零向量的模等于0，C选项正确；对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.重难点题型突破2 平面向量的简单线性运算例2、(1)．（2022·辽宁辽阳·高一期末）在ABC中，D为AC的中点，E为BC上靠近B点的三等分点，则DE （）A ．2736AB AC +B ．2136AB AC -C ．1766AB AC -+D ．1166AB AC --【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为AB 和AC 即可． 【详解】()121221232336DE DC CE AC CB AC CA AB AB AC =+=+=++=-. 故选：B(2)．（多选题）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）A ．,AB CD =BC AD = B ．AD OD AO += C ．AO OD AC CD +=+ D ．AB BC CD DA ++=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则、四边形法则，逐一分析选项即可. 【详解】对于A ：在四边形ABCD 中，AB DC =，故A 错误； 对于B ：AO OD AD +=，故B 错误；对于C ：AO OD AD +=，AC CD AD +=，故C 正确； 对于D ：AB BC CD AD ++=，故D 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查向量的线性运算，需牢记向量的三角形法则与四边形法则，属基础题.【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，图中与CA 共线的向量有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据图像，直接判断即可. 【详解】由图可知，根据正六边形的性质， 与CA 共线的有AC ，DF ，FD ，共3个， 故选：C.【变式训练2-2】、（多选题）已知M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++=C ．2133BM BA CD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【解析】 【分析】作出示意图，由点M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，得到,E F 是,AC AB 的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，因为点M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，可得,E F 是,AC AB 的中点，由1111()2222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以A 正确；由D 为BC 的中点，根据向量的平行四边形法则，可得2MB MC MD +=，又由M 是ABC 的重心，根据重心的性质，可得2MA MD =，所以20+=MA MD ， 即0MA MB MC ++=，所以B 正确； 根据三角形重心的性质，可得221()332BM BE BA BC ==⨯+112(2)333BA CD BA CD =-=-，所以C 不正确；由重心的性质，可得221112()(2)332333CM CF CA CB CA CD CA CD ==⨯+=+=+，所以D正确.故选：ABD.重难点题型突破3 平面向量共线定理的应用例3．(1)．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与BC相等的向量为（）A．BA B．CD C．AD D．OD【答案】D【解析】【分析】方向相同，模长相等的向量为相等向量.【详解】AB选项均与BC方向不同，C选项与BC模长不等，D选项与BC方向相同，长度相等.故选：D(2)．（多选题）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（）A．AB＝EFB．AB与FH共线C．BD与EH共线D．CD＝FG【答案】ABD【解析】【分析】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误. 【详解】由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知：AB EF =，即A 正确； 由图形可知：AB 与FH 的方向相反，CD 与FG 方向相同且长度相同即CD ＝FG ， 故B 、D 正确；而BD 与EH 不一定共线，故C 不一定正确. 故选：ABD.【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AC 与CB B ．OB 与ODC ．AC 与BD D ．AO 与OC【答案】D 【解析】 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 【详解】因为AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ，BD 互相平分。

第6章6.1平面向量的概念课件(人教版)

第6章6.1平面向量的概念课件(人教版)

有一组非零向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
是平行向量.
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行,记作a∥b.
零向量有平行向量吗?
零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
若a∥b,b∥c,则a∥c吗?
若b=0,则a∥c不成立.
精彩课堂
类比数相等的条件, 如何定义相等向量?
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b.
任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与
有向线段的起点无关;同时,方向相同且长度相等的两条有向线
段表示同一个向量,因为向量完全由它的模和方向确定.
精彩课堂
零向量与零向量相等吗?两个单位向量一定相等吗?
零向量与零向量相等,但是两个单位向量不一定相等.
物理中还有哪些量为矢量?
向量与数量的定义:在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做
向量,而把只有大小没有方向的量称为数量.
AD
精彩课堂
2.向量的表示
（1）有向线段
由于数量可以用实数表示,而实数与数轴上的点一一对应,所以数
量可以用数轴上的点表示,那么向量是如何表示的呢?类比物理中的速
度、力和位移,谈谈你的看法.
根据共线向量的定义, 向量平行和共线与平面几何中的平行和共
线一样吗?谈谈你的认识.
精彩课堂
×
×
√
√
√
√
×
ห้องสมุดไป่ตู้
精彩课堂
4.例题剖析
精彩课堂
精彩课堂
课堂练习
B
C
课堂练习
ABD
④⑥
课堂练习
课堂总结
1.向量的概念.
人教高中数学必修二A版《平面向量的概念》平面向量及其应用研讨复习说课教学课件

人教高中数学必修二A版《平面向量的概念》平面向量及其应用研讨复习说课教学课件


B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，
与方向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大
小．故 D 正确．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．下列说法正确的是( )
A．向量A→B∥C→D就是A→B所在的直线平行于C→D所在的直线
课件
课件
课件
课件
B．长度相等的向量叫做相等向量 课件
达 D 地．
(1)作出向量A→B，B→C，C→D，D→A；
(2)问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
解：(1)由题意，作出向量A→B，B→C，C→D，D→A，如图所示．
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
→
(3)BC，使|BC|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°方向上．
【解】 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°方向上，所以在坐标
纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|O→A|
＝4 2，小方格的边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数
与纵向小方格数都为 4，于是点 A 的位置可以确定，画出向量
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
A．也可以用M→N表示 C．起点是 M 答案：D