2017年福建省达标校高考数学考前模拟试卷(理科)及参考答案

17．解：（1）在ABD △中，2AB =，1AD =，3A =， 由余弦定理得2222π2cos 41221cos73BD AB AD AB AD A =+=+-⨯⨯⨯-=g g ，∴BD =在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠，2sin sin 3ADB =∠，解得sin ADB ∠． （2）设CBD α∠=，∵AD BC ∥，∴ADB CBD α∠=∠=，∴sin α=∵π02α<<，∴cos α=， ∵2π3BDC ∠=，∴πππsin sin()sin cos cos sin 333C ααα=-=-=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠2πsin 314BC =，解得7BC =，∴11sin 722BCD S BD BC α=⨯⨯⨯=△，112πsin 21sin 223ABD S AB AD A =⨯⨯=⨯⨯⨯=△ ∴四边形ABCD 的面积：BCD ABD S S S =+==△△18．解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300 M ”为事件D ， 依题意，()(0.00080.0022)1000.3P D =+⨯=，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300 M 的人数为X ，则X ～(30.3)B ，， ∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300 M 的概率为：0031233(0)(1)C (0.3)(0.7)+C (0.3)(0.7)0.784P X P X =+===．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量(300,500]L ∈的概率为：(0.00250.0035)1000.6+⨯=，(500],700L ∈的概率为：(0.00080.0002)1000.1+⨯=，当学校订购A 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X 元，则X 的所有可能取值为20，35，50，且(20)0.3P X ==，(35)0.6P X ==，(50)0.1P X ==， ∴X 的分布列为：X20 35 50 P 0.3 0.6 0.1∴()200.3350.6500.132E X =⨯+⨯+⨯=（元）．当学校订购B 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y 元，则Y 的可能取值为30，45，且(30)0.30.60.9P Y ==+=，(45)0.1P Y ==，∴Y 的分布列为：Y30 45 P 0.9 0.1()300.9450.131.5E Y =⨯+⨯=，当学校订购C 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z 元，则Z 的所有可能取值为38，且(38)1P Z ==，()38138E Z =⨯=，∵()()()E Y E X E Z <<，∴学校订购B 套餐最经济．19．证明：（1）设O 是AC 中点，连结OF 、OB 、FC ，在ABC △中，AB BC =，∴OB AC ⊥，∵四边形ACDF 是菱形，60FAC ︒∠=，∴FAC △是等边三角形，∴OF AC ⊥，∴FOB ∠是二面角F AC B --的平面角，在Rt FAO △中，AF =，1122AO AC AF ===∴OF =又∵BF =∴222OF OB BF +=，∴90FOB ︒∠=，∴平面ABC ⊥平面ACDF ．解：（2）由（1）知OB 、OC 、OF 两两垂直，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,A ，B ，C ，(0,0,3)F ，AF =u u u r ，(0,2,0)AC =u u u r ，∵AB DE ∥，AF CD ∥，又AB CDE ⊄平面，AF CDE ⊄平面，DE CDE ⊂平面，CD CDE ⊂平面， ∴AB CDE ∥平面，AF CDE ∥平面，又AB AF A ⋂=，∴平面ABF CDE ∥平面，∵EF BC ∥，∴B C E F 、、、四点共面，又平面ABF BCEF BF ⋂=平面，平面CDE BCEF CE ⋂=平面，∴BF CE ∥，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴(FE BC ==u u u r u u u r ，∴(AE AF FE =+=u u u r u u u r u u u r ，设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =r ，则300n AE z n FE ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩r u u u r g r u u u r g，取xn =r ， 设平面ACE 的法向量(,,)n a b c =r ，则300m AF c m AC ⎧=++=⎪⎨==⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g，取a，得m =u r ， 设平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角为θ，则||cos ||||m n m n θ===u r r g u r r g ． ∴平面AEF 与平面ACE20．解：（1）由题意可知：12||2F F c =，则221c a =-，①由函数的对称性，设P 在x 轴上方，则P 在x 轴上的射影为2F ，则1(,)P c a，1,(0)F c -，20(,)F c ， 则直线1P 的方程为20x acy c -+=， 由2|||2|OF OM =，则||2c OM =，则M 的坐标为(,0)2c ， 则点M 到直线1PF的距离|c |2c c d +=，整理得：222a c =，②由①②可得：22a =，21c =， 则椭圆的标准方程：2212x y +=；（2）除P 以外，直线PQ 与C 无其他公共点，设000,)(0)(P x y y ≠，则220012x y +=，则220012x y =-， 则)(2,Q Q y ，则(1),Q QF y =--u u u r ，200(1,)PF x y =--u u u u r ，由22QF PF ⊥u u u u r u u u u r ，则220QF PF =u u u u r u u u u r g ，则0010Q x y y +=-，则001Q x y y -=， ∴20002000000000001(1)(1)(1)22(2)(2)2PQ x x y x y y x x k x x y x y y ---+-+-====----， 则直线PQ 的方程0000(2)x y y x x y -=--，整理得：22000000222220y y y x x x x x y y -=-++-=，，则002222022x x y y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22220000)(242(2)0x y y y y x +--+=，即220020y y y y +=-， 由2200)(240y y -∆==，∴除P 以外，直线PQ 与C 无其它公共点．方法二：（1）由题意可知：12|2|F F c =，则221c a =-，①由函数的对称性，设P 在x 轴上方，由2||2||OF OM =，则||2c OM =，则M 的坐标为(,0)2c ， 则13||2c MF =，2||2c MF =， 在1PMF △中，由正弦定理可知：1111||||sin sin MF PF MPF PMF =∠∠， 则2PMF △中，由正弦定理可知：2222||||sin sin MF PF MPF PMF =∠∠， 由12180PMF PMF ︒∠=-∠，则12sin PMF sin PMF ∠=∠，又由12MPF MPF ∠=∠，则1122|MF ||MF ||MF ||MF |=，故12||3||PF PF =， 由12||||2PF PF a +=，则1||32PF a =，2||12PF a =， 由2221212||||||PF PF F F =+，整理得：22231()()(2)22a a c =+， 整理得：222c a =，②由①②可得：22a =，21c =， 则椭圆的标准方程：2212x y +=； （2）除P 以外，直线PQ 与C 无其他公共点，设000,)(0)(P x y y ≠，则220012x y +=，则220012x y =-， 则)(2,Q Q y ，则(1),Q QF y =--u u u r ，200(1,)PF x y =--u u u u r ， 由22QF PF ⊥u u u u r u u u u r ，则220QF PF =u u u u r u u u u r g ，则0010Q x y y +=-，则001Q x y y -=， ∴20002000000000001(1)(1)(1)22(2)(2)2PQ x x y x y y x x k x x y x y y ---+-+-====----， 则直线PQ 的方程0000(2)x y y x x y -=--，整理得：22000000222220y y y x x x x x y y -=-++-=，， 则002222022x x y y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22220000)(242(2)0x y y y y x +--+=，即220020y y y y +=-， 由2200)(240y y -∆==，∴除P 以外，直线PQ 与C 无其它公共点．21．证明：（1）∵()cos (1)sin ,,]0[f x x x a x x π=-+∈，∴()sin cos f x x x a x '=--，∵3π4α≤≤ ∴当π(0,)2x ∈时，()0f x '<， ∴()f x 在[π0,2]上是减函数， ∴当π[0,]2x ∈时，()(0)0f x f ≤=成立． 解：（2）()f x 有唯一极值点．理由如下：设()()p x f x ='，则()cos (1)sin p x x x a x '=-+-， ∵3π14a ≥>， ∴当π(,π)2x ∈ 时，()0p x '>， ∴()p x 在π[,2π]上单调递增， ∵()p x 在π[,2π]上存在唯一零点β， 又由（1）知，当2[]π0,x ∈时，()0p x <， ∴()p x 在[π0,2]上无零点，∴()f x '在[0,π]上存在唯一零点β，∴当(0,)x β∈时，()0f x '<，当(,π)x β∈时，()0f x '>．∴当π[]0,x ∈时，()f x 有唯一极值点β，且β为极小值点．（3由（2）知，当π[]0,x ∈时，()()()min h a f a f β==，()sin cos f a ββββ'=--， ∵π(,π)2β∈，∴cos 0β<， ∴sin cos ββαβ=-， ∴2sin ()()(1)sin sin cos cos h a f cos a sin cos βββββββββββββ==-+=+-=-， 设sin ()cos x x q x x =-，则2sin 22()2cos x x q x x+'=-， 当π(,)2x π∈时，sin221π0x x +>-+>， ∴()0q x '<，即()q x 在π(,π)2单调递减，又∵3π4a ≤≤时，2π3π34β≤≤．∴对于每一个3π[4α∈，均存在唯一的2π3π[,]34β∈与之相对应， 反之亦然， 设()sin cos x x x x ϕ=-，2π3π[,]34x ∈， 则2222cos sin (1cos )sin (sin 22)sin ()cos 0cos cos 2cos x x x x x x x x x x x x x xϕ+-++'=-==>， 2π3π[,]3)4(x ϕ在上单调递增，∴当3π4α≤时，min 2π4π()()33f βϕ==--，max 3π()()4f βϕ=．∴函数()h a 的值域为4π[3-． [选修4—4坐标系与参数方程]22．解：（1）∵曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）， ∴1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x -+=，∴1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．（2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为1(π6ρ,），2(π6ρ,），将π6θ=代入4cos ρθ=，得1ρ=， 将π6θ=代入2sin ρθ=，得21ρ=， ∴12||||21PQ ρρ-==-，依题意，点(2,0)A 到曲线π(0)6θρ=>的距离||sin 1d OA ==，∴11||1)122APQ S PQ d ==⨯⨯=g △． [选修4—5不等式选讲]23．（1）解：由题意，|21||2|3x x ++-<，12x <-，不等式化为2123x x ---+<，即23x >-， ∴2132x -<<-； 122x -≤≤，不等式化为2123x x +-+<，即0x <， ∴102x -≤<； 2x >，不等式化为2123x x ++-<，即43x <，不成立， 综上所述，不等式的解集为2{|}30x x -<<； （2）证明：不妨设203s t <<<-，则1t s<， 要证明1|1|||t t s s -<-，证明11t t s s-<-+， 只要证明(1)(1)0t s +->， ∵203s t -＜＜＜，∴(1)(1)0t s +->， ∴1|1|||tt s s-<-．福建省2017届普通高中高考（四月）数学（理科）模拟试卷解析一、选择题1．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：，∴（1﹣i）（1﹣i），∴z=（1﹣i）=1﹣i．=1+i则在复平面内，对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A，B，从而得到C R B，由此能求出A∩∁R B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，B={x|x＞2}，∴C R B={x|x≤2}，A∩∁R B={x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查补集、交集的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是基础题．3．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=3cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，可得：y=3cos[2（x﹣）+]=3cos（2x+），由2x+=+kπ，（k∈Z），可得：对称中心横坐标x=kπ+，（k∈Z），可得：当k=0时，平移后图象的一个对称中心是（，0）．故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，比较基础．4．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】先利用等差数列通项公式求出第5天派出的人数，再利用等差数列前n项和公式求出前5天一共派出多少人，由此能求出结果．【解答】解：∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，∴第5天派出：64+4×7=92人，∴前5天共派出=390（人），∴前5天应发大米：390×3=1170（升）．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是基础题．5．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知：该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，结合图中数据，计算它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为V=23﹣××π×12×2=8﹣．故选：D．【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，是基础题．6．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，由此能求出购买该食品4袋，获奖的概率．【解答】解：购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，相同的2张为，在4个位置中选2个位置，有种选法，其余2个卡片有种选法，∴获奖包含的基本事件个数m==36，∴购买该食品4袋，获奖的概率为p==．故选：B．【点评】本题考查丰典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查排列组合，解答本题的关系是正确理解获奖的情形，解题时要认真审题，注意排列组合公式的合理运用，是中档题．7．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟循环，利用周期，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=，b=1，i=2a=﹣1，b=﹣2，i=3，a=2，b=﹣4，i=4，a=，b=1，i=5，…a=，b=1，i=2015，a=﹣1，b=﹣2，i=2016，a=2，b=﹣4，i=2017，a=，b=1，i=2018，退出循环，输出1，故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．8．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=，利用三角形相似关系可知丨AF丨=丨AD丨=，直线AB的切斜角，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【解答】解：抛物线y2=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=﹣1，准线l与x轴交于H点，过A和B做AD⊥l，BE⊥l，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，则∠ACD=，由丨HF丨=p=2，∴==，则丨AF丨=丨AD丨=，设直线AB的方程y=（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+1=0，则x1+x2=，由抛物线的性质可知：丨AB丨=x1+x2+p=，∴丨AF丨+丨BF丨=，解得：丨BF丨=4，故选C．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．9．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用已知条件推出x+y=1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若=x+y，可得x+y=1，x，y∈[，]，则xy≤=，当且仅当x=y=时取等号，并且xy=x（1﹣y）=x﹣x2，函数的开口向上，对称轴为：x=，当x=或x=时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：[，]．故选：D．【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．10．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意，球心O必在EF上，则OF2+22=R=（4﹣OF）2+42，即可得出结论．【解答】解：由题意，球心O必在EF上，则OF2+22=R=（4﹣OF）2+42，∴OF2=，R=．故选C．【点评】本题考查球的半径的求解，考查方程思想，比较基础．11．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线方程，利用点差法，即可得出结论．【解答】解：由题意，M，N是双曲线的右支上的两点，a=，c=2，b=1，∴双曲线方程为=1（x＞），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=12，y1+y2=2，代入双曲线方程，作差可得（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y2）=0，∴k=2，故选D．【点评】本题考查双曲线方程，考查点差法的应用，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．12．【考点】3T：函数的值．【分析】令F（x）=，令G（x）=，根据函数的单调性分别求出F（x）的最小值和G（x）的最大值，求出a的范围即可．【解答】解：由⇒⇒＜a＜，令F（x）=，则F′（x）=＜0对x∈（1，2）成立，∴F（x）在（1，2）递减，∴F（x）min=F（2）=ln2，令G（x）=，则G′（x）=＞0对x∈（1，2）成立，∴G（x）在（1，2）上递增，∴G（x）max=G（2）=，故ln2＜a＜时，满足题意，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．二、填空题13．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】求出（x+1）5展开式的含x2与x3项的系数，再计算（x﹣2）（x+1）5展开式中x3的系数．【解答】解：（x+1）5展开式的通项公式为T r+1=C5r•x5﹣r，令5﹣r=2，解得r=3，所以T4=C53•x2=10x2；令5﹣r=3，解得r=2，所以T3=C52•x3=10x3；所以（x﹣2）（x+1）5展开式中x3的系数为10×1+10×（﹣2）=﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A或B即和直线x﹣y+1=0重合时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，此时﹣x+y=1，即此时z=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．15．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x）为奇函数且为增函数，进而可以将f（2x+1）+f（1）≥0变形为f（2x+1）≥f（﹣1），结合单调性可得2x+1≥﹣1，解可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x），其定义域为R，f（﹣x）=（﹣x）2（2﹣x﹣2x）=﹣x2（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x），其导数f′（x）=x2（2x﹣2﹣x）=2x•（2x﹣2﹣x）+x2•ln2（2x+2﹣x）＞0，为增函数；而f（2x+1）+f（1）≥0⇔f（2x+1）≥﹣f（1）⇔f（2x+1）≥f（﹣1）⇔2x+1≥﹣1，解可得x≥﹣1；即不等式f（2x+1）+f（1）≥0的解集{x|x≥﹣1}，故答案为：{x|x≥﹣1}．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性．16．【考点】8E：数列的求和．【分析】运用数列的递推关系，n≥2时将n换为n﹣1，相减可得数列{a n}的通项公式，再由取整函数的定义，运用不完全归纳法，即可得到所求和．【解答】解：由，①可得a2﹣S1=，a2=a1+=，将n换为n﹣1，可得a n﹣S n﹣1=，n≥2②由a n=S n﹣S n﹣1，①﹣②可得，a n+1=2a n，则a n=a22n﹣2=•2n﹣2=•2n，上式对n=1也成立．则a n=•2n，b n=[a n]=[•2n]，当n=1时，b1+b2=0+1=1=﹣1﹣；当n=2时，b1+b2+b3+b4=0+1+2+5=8=﹣2﹣；当n=3时，b1+b2+b3+b4+b5+b6=0+1+2+5+10+21=39=﹣3﹣；当n=4时，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8=0+1+2+5+10+21+42+85=166=﹣4﹣；…则数列{b n}的前2n项和为b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n=﹣n﹣．故答案为：﹣n﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、取整函数，考查了推理能力与计算归纳能力，属于中档题．三、解答题17．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）由余弦定理求出BD=，由此利用正弦定理能求出sin∠ADB．（2）设∠CBD=α，则sin，cosα=，从而sinC=sin（）=，由正弦定理求出BC=7，四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△ABD，由此能求出结果．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．18．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为0.6，L∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B套餐最经济．【点评】本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题．19．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设O是AC中点，连结OF、OB、FC，推导出OB⊥AC，OF⊥AC，则∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，由此能证明平面ABC⊥平面ACDF．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF 与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．20．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】方法一：（1）由丨F1F2丨=2c，则c2=a2﹣1，求得直线PF1的方程，利用点到直线的距离公式，求得a2c2=2，即可求得C的方程；（2）求得及，根据向量数量积的坐标运算，求得y Q=，求得PQ的方程，代入椭圆方程，△=（2y0）2﹣4y02=0，则除P以外，直线PQ与C无其它公共点．方法二：丨F1F2丨=2c，则c2=a2﹣1，利用正弦定理及三角形的相似性，求得丨PF1丨=3丨PF2丨，由椭圆定义及勾股定理，即可求得2c2=a2，即可求得a和b，求得椭圆方程；（2）求得及，根据向量数量积的坐标运算，求得y Q=，求得PQ的方程，代入椭圆方程，△=（2y0）2﹣4y02=0，则除P以外，直线PQ与C无其它公共点．【点评】本题考查椭圆的标准方程，向量数量积的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，正弦定理及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．21．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=﹣xsinx﹣acosx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，由此能证明当时，f（x）≤f（0）=0成立．（2）设p（x）=f′（x），则p′（x）=﹣xcosx+（a﹣1）sinx，由导数性质得p（x）在[，π]上单调递增，从而f′（x）在[0，π]上存在唯一零点β，由此推导出当x∈[0，π]时，f（x）有唯一极值点β，且β为极小值点．（3）当x∈[0，π]时，h（a）=f（x）min=f（β），f′（β）=﹣βsinβ﹣acosβ，α=﹣，从而h（a）=，设q（x）=﹣，则，由此利用构造法及导数性质能求出函数h（a）的值域．【点评】本题考查导数及其应用等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查转化化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先把曲线C1的参数方程化为普通方程，由此能求出C1的极坐标方程．（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，），将代入ρ=4cosθ，得ρ1=2，将代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，由此能求出结果．【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，即可解不等式；（2）不妨设﹣＜s＜t＜0，则＜1，要证明|1﹣|＜|t﹣|，证明1﹣＜﹣t+，利用分析法即可证明．【点评】本题考查不等式的解法与证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2017届福建省泉州市高三高考考前适应性模拟数学（理）试卷试题一、选择题1．复数z满足)i1z=-,则z=A. 12D.【答案】A【解析】由题知，则1z==．故本题答案选A．2．随机变量X服从正态分布()23,σ,且()40.84P X≤=,则(24)P X<<=A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84【答案】C【解析】由题()(4)1410.840.16P x P x>=-≤=-=,又随机变量X服从正态分布()23,σ，则对称轴3X=，则(2)(4)0.16Px Px<=>=，可得()(24)4(2)0.840.160.68P x P x P x<<=≤-<=-=．故本题答案选C．3．若x, y满足约束条件20,{220,10.x yx yx-≥+-≥-≤则yzx=的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，目标函数y yzx x-==-，可看作(),x y与()0,0点连线的斜率，结合图形可知，当过()0,0与20x y-=平行时，即重合时，斜率最大．故z最大值2．故本题答案选B．4．已知2log3a=,4log7b=,320.3c-=,则a, b, c的大小关系为A. b a c >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >> 【答案】C 【解析】421log 7log 7log 2b ===，22log 3log 42log <=，又332210100.3333c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭．则c a b >>．故本题答案选C ． 5．已知1sin23α=,则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A. 13-B. 13C. 23-D. 23【答案】D【解析】由题知2π1cos 2π1122cos sin242223ααα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭-==+= ⎪⎝⎭．故本题答案选D ． 6．某三棱锥的三视图如图所示,正视图和俯视图都是等腰直角三角形,则该三棱锥中棱长最大值是A.【答案】B【解析】由三视图，将几何体还原在边长为2的正方体内．如图所示．根据图可知三棱锥中最长的棱长是正方体的．故本题答案选B点睛：本题主要考查几何体的三视图.已知几何体的三视图,求组成此几何体的的实物图问题,进一步求几何体的表面积,体积等.一般都是结合正视图和侧视图在俯视图上操作,这是因为正视图反映了物体的长与高,侧视图反映了物体的宽与高,俯视图反映了物体的长与宽,但要注意组合体是由哪几个基本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置.7．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PMPN -的最小值为（ ）A. 10B. 13C. 16D. 19 【答案】B【解析】试题分析：由题可知，，因此()()121212232313PCPC PC PC C C -=+-≥-=.故选B ．【考点】双曲线的定义与圆切线的性质.8．如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O 且三组对边分别平行.点A , B 是“六芒星”（如图1）的两个顶点,动点P 在“六芒星”上（内部以及边界）,若OP xOA yOB =+, 则x y+的取值范围是A. []4,4- B. ⎡⎣ C. []5,5- D. []6,6-【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系， 令正三角形边长为3，则3,2OB i OA i j ==-+，可得,3i OB j == ，由图知当P 在C 点时有， 23OP OA OB ==+ ，此时x y +有最大值5，同理在与C 相对的下顶点时有23OP OA OB ==-- ，此时x y +有最小值5-．故本题答案选C ．9．设函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>,若2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调,则()f x 的最小正周期是 A.6π B. 3π C. 2π D. π【答案】D【解析】由正弦型函数中26f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数周期2π3T >，又223f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数最大值在两点中点7π12x =时取得，则函数最小正周期为7ππ4π123T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．故本题答案选D ．10．设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面αA. 有无数多个B. 恰有4个C. 只有1个D. 不存在 【答案】A【解析】如图由题知面PAD 与面PBC 相交，面PAB 与面PCD 相交，可设两组相交平面的交线分别为m n ，，由m n ，决定的平面为β，作α与β且与四条侧棱相交，交点分别1111A B C D 为，，，则由面面平行的性质定理得： 11111111A B m B C A D n B C ，，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件平面α有无数多个．故本题答案选A ．11．函数()()211e ,12xf x x kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =A. ()32ln22ln2-- B. 1-　C. ()22ln22ln2k -- D. ()31k k e k --【答案】D【解析】由题知'22x x f x xe kx x e k =-=-（）（），令． '0f x =（），解得1202x x ln k ==，．构造函数令12,12k k ln k k ϕ⎛⎤=-∈ ⎥⎝⎦（），，则()11'10k k k k ϕ-=-=≤，即k ϕ（）在112⎛⎤ ⎥⎝⎦，．上是减函数，∴112k ϕϕϕ⎛⎫≤<⎪⎝⎭（）（），∴1122ln k k ϕ-≤（）＜＜．即02ln k k ＜＜． 所以'f x f x （），（）随x 的变化情况如下表：又33301101111k k k f f k k e k f k f k e k k e k =-=---=--+=---（），（）（）（）（）（）（）（）2211(111k k k e k k k k e k k ⎡⎤=---++=--++⎣⎦（）（））（）（）．又112k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，则10k -≤对任意的112k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，， x y e =的图象恒在21y k k =++下方，所以210k e k k -++≤（），即00f k f -≥（）（），即0f k f ≥（）（）故函数f x （）在[]0k ，上的最大值31k M f k k e k ==--（）（）．故本题答案选D ． 点睛：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般利用导数法判断．求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤：(１)求函数()y f x =在(),a b 内的极值；(２)将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． 12．5支篮球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是12.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.有下列四个命题：1p ：恰有四支球队并列第一名为不可能事件； 2p ：有可能出现恰有两支球队并列第一名；3p ：每支球队都既有胜又有败的概率为1732； 4p ：五支球队成绩并列第一名的概率为332. 其中真命题是A. 1p ,2p ,3pB. 1p ,2p ,4pC. 1p .3p .4pD. 2p .3p .4p 【答案】A【解析】5支球队单循环，共举行2510C =场比赛，共有10次胜10次负．由于以获胜场次数作为球队的成绩．就算四支球队都胜1场，则第五支球队也无法胜6场，若四支球队都胜2场，则第五支球队也胜2场，五支球队并列第一，除此不会再有四支球队胜场次数相同．故1p 是真命题；会出现两支球队胜3场，剩下三支球队中两支球队各胜1场，另一支球队胜2场的情况，此时两支球队并列第一名．故2p 为真命题；由题可知球队成绩并列第一名，各胜一场的概率为小于332．排除4p ．故本题答案选A ． 点睛：本题主要考查古典概型和排列组合. 求古典概型的一般为:首先读题,理清题意;再判断试验结果是否为等可能事件,设出所求事件A ;然后分别求出基本事件总数n 与所求事件A 所包含的基本事件的个数m .最后利用公式()mP A n=,求出事件A 的概率.在求,m n 的过程中一般会用到排列组合,一些背景较为简单,基本事件个数不是太大的概率问题,计数时可用枚举法.一定要注意计数时不能重复,遗漏.二、填空题13．某车间需要确定加工零件的加工时间,进行了若干次试验.根据收集到的数据（如下表）：由最小二乘法求得回归直线方程0.6ˆ7ˆyx a =+,则ˆa 的值为_________． 【答案】54.9 【解析】由题可知()11020304050305x =++++=， ()16268758189755y =++++=，样本中心点(),x y 在回归直线上满足回归直线方程，代入可得ˆ54.9a=．故本题应填54.9． 14．如图所示,图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积为________．【答案】140π3【解析】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为()221156ππ2π5433V =⨯⨯⨯⨯=，半球的体积31416ππ2233V =⨯⨯⨯=，则所求体积为156π16π140π333-=．故本题答案为140π3． 15．椭圆22143x y +=的左,右焦点分别为1F ,2F ,过椭圆的右焦点2F 作一条直线l 交椭圆于P , Q 两点,则△1F PQ 的内切圆面积最大值是________. 【答案】9π16【解析】令直线l ： 1x my =+，与椭圆方程联立消去x 得()2234690m y my ++-=，可设()()1122,,,P x y Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+．可知1121212F PQS F F y y =-== ，又()()2222111116349161m m m m +=≤+++++，故13F PQ S ≤ ．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径12384F PQS r =≤，其面积最大值为9π16．故本题应填9π16．点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(１)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(２)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等．16．ABC ∆中, D 为线段BC 的中点, 22AB AC ==, tan sin CAD BAC ∠=∠,则BC =________. 【解析】由正弦理可知sin 2sin CADBAD∠=∠，又t an s i n C A D B A C ∠=∠，则()s i n s i n c o s C A DCA DB A DC AD ∠=∠+∠∠，利用三角恒等变形可化为1cos 2BAC ∠=，据余弦定理BC点睛：在几何图形中考查正余弦定理，要抓住几何图形的几何性质．一般思路有：把所提供的几何图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦，余弦定理求解；寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果；必要时用到几何图形的性质如中点，角平分线，平形四边形的性质等．三、解答题17．在数列{}n a 中, 11a =,()()111!.n n a n a n +=+++ （Ⅰ）求证：数列!n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求{}n a 的前项和n S ． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）()1!1n S n =+-．【解析】试题分析：（Ⅰ）由所给递推公式化简变形，可得是等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项公式，进一步求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用阶乘的运算性质，结合裂项法求和可得n S ．试题解析：（Ⅰ）依题意，，所以是以为首项， 1为公差的等差数列，所以，即．（Ⅱ）因为()!1!!n a n n n n =⋅=+-，所以()()()2!1!3!2!1!!n S n n ⎡⎤=-+-+++-⎣⎦ ， 所以()1!1n S n =+-．18．某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理,处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为(01)p p <<.经化验检测,若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个．．．．．化验；若混合样本达标,则原水池的污水直接排放. 现有以下四种方案, 方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验； 方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小,则方案的越“优”.（Ⅰ） 若p =,求2个A 级水样本混合化验结果不达标．．．的概率； （Ⅱ） 若p =,现有4个A 级水样本需要化验,请问：方案一,二,四中哪个最“优”？ （Ⅲ） 若“方案三”比“方案四”更“优”,求p 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）15;（II ）见解析;（III ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给相互独立事件重复发生的概率为两相互独立事件概率乘积，及相互独立事件的概率和为1，可得结果；（Ⅱ）分别求出三种方案对应分布列，进一步求出各自的期望值，比较期望值大小得最优方案；（Ⅲ）分别求出期望值，利用期望大小关系建立关于p 的不等式，解得p 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）该混合样本达标的概率是245=； 2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为41155-=． （II ）方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由（I ）知，每组两个样本的检测时，若达标则检测次数为1，概率为45；若不达标则检测次数为3，概率为1． 故方案二的检测次数2ξ， 2ξ可能取2， 4， 6．概率分布列如下，可求得方案二的期望为()216817024625252525E ξ=⨯+⨯+⨯=， 方案四：混在一起检测，记检测次数为4ξ， 4ξ可取1， 5．概率分布列如下，可求得方案四的期望为()41696115252525E ξ=⨯+⨯=． 比较可得()()424E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．（III ）解：方案三：设化验次数3η， 3η可取2， 5．()()333325153E p p p η=⋅+-=-；方案四：设化验次数4η， 4η可取1， 5．()()444415154E p p p η=⋅+-=-；由题意得()()34E E ηη< 34353544p p p ⇔-<-⇔<． 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”． 点睛：求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．19．如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=,D , M 分别为1CC 和1A B 的中点, 11A D CC ⊥, 112AA A D ==,1BC =．（Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值． 【答案】（I ）见解析;（II ）14．【解析】试题分析：（I ）取1AA 中点F ，可证BC ， BF ， 1BB 两两互相垂直，建立以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，得出各点坐标，可求MD与平面ABC 的法向量，利用两向量垂直可证结论；（II ）先求出二面角两半平面的法向量，利用法向量夹角与二面角平面角间关系可得结果．试题解析：解法一：∵11A D CC ⊥，且D 为中点， 112AA A D ==，∴111AC AC AC ==，又 1BC =， 12AB BA ==，∴ CB BA ⊥， 1CB BA ⊥， 又 1BA BA B ⋂=，∴CB ⊥平面11ABB A ， 取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即BC ， BF ， 1BB 两两互相垂直， 以B 为原点， 1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图（4）， ∴()12,0,0B ， ()0,0,1C ，()A -，()1A ， ()12,0,1C ， ()1,0,1D ，12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（I ）1,2MD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,{0.m BA x m BC z ⋅=-=⋅==，取)m =，∵0022m MD ⋅=-+= ，∴m MD ⊥ ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ．（II ） 设平面1ACA 的法向量为()111,,n x y z =，()()11,,2,0,0AC AA ==，则111110,{0.n AC x z n AA x ⋅=-+=⋅==，取(n =，又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量为)m =，设二面角1B AC A --为θ，∴11cos 224m n m n θ⋅===⋅⋅，∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． 解法二：取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即1BF BB ⊥，以B 为原点， 1BB ， BF 分别为,x y 轴， 建立空间直角坐标系如图（5），设点(),,C a b c ，又()()()1112,0,0,,,2B A A M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 111BC BC CC BC BB =+=+ ，∴()()()1,,2,0,02,,BC a b c a b c =+=+，即()12,,C a b c +，∴ ()1,,D a b c +，由 11A D CC ⊥， 12A D =，1BC = 可得：()()111,2,0,0{21A D CC a b c A D BC ⋅=⋅====，解得0{01a b c ===，∴()0,0,1C ， ()12,0,1C ， ()1,0,1D ， 下同解法二．解法三：（Ⅰ）如图（6），取AB 中点N ，连接,MN CN ，则有11////2MN AA CD ==， ∴MNCD 为平行四边形， ∴MD ∥NC ，又MD ⊄平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴ 直线MD ∥平面ABC ．（Ⅱ）由各棱长，易得1,BC BA BC BA ⊥⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ， 取AB 中点N ，连接1A N ，过N 作NH AC ⊥于H ，连接1HA ， 如图（8），可证： 1A N ⊥平面ABC ，证明AC ⊥平面1A NH ，可得1A H AC ⊥， 故1NHA ∠为所求的二面角的平面角， 在1Rt A NH ∆中，求得： 11cos 4NHA ∠=，故所求的二面角的余弦值为14． 解法四：（Ⅰ）如图（7），取1BB 中点G ，由MG ∥AB ，MG ⊄平面ABC ，∴ 直线MG ∥平面ABC ，由GD ∥BC ， GD ⊄平面ABC ， ∴ 直线GD ∥平面ABC ，又MG GD G ⋂=，∴平面MGD ∥平面ABC ， 又MD ⊂平面MGD ， ∴ 直线MD ∥平面ABC ．（Ⅱ）同解法一．点睛：若12,n n 分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足12cos ,cos n n θ=〈〉，二面角的平面角的大小是12,n n的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．20．已知圆()()22:9M x a y b -+-=, M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上,圆M 过原点且与C 的准线相切.(Ⅰ) 求C 的方程；(Ⅱ) 点()0,(0)Q t t ->,点P （与Q 不重合）在直线l y t =-：上运动,过点P 作C 的两条切线,切点分别为A , B .求证： AQO BQO ∠=∠（其中O 为坐标原点）. 【答案】（I ）24x y =;(Ⅱ) 见解析.【解析】试题分析：（I ）原点在圆上，抛物线准线与圆相切，可得,,a b p 三者之间的关系，进而求出C 的方程；(Ⅱ) 设()11,A x y ， ()22,B x y ， (),P m t -，利用导数求得两切线方程，利用根与系数关系可证0AQ BQ k k +=，即证两角相等．试题解析：（I ）解法一：因为圆M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3， 故32pb =-， 因为圆过原点，所以229a b +=，所以2234p a p =-，又22a pb =，所以232342p p p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为0p >，所以4p =，所以抛物线C 方程24x y =．解法二：因为圆M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义， 圆M 必过抛物线的焦点0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又圆M 过原点，所以4pb =， 又圆的半径为3，所以22916p a =-，又22a pb =，又229162p p -=，得216(0)p p =>，所以4p =．所以抛物线C 方程24x y =．解法三：因为圆M 与抛物线准线相切，所以32pb =-， 且圆过0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭又圆过原点，故4p b =，可得324p p -=， 解得4p =，所以抛物线C 方程24x y =(Ⅱ) 解法一：设()11,A x y ， ()22,B x y ， (),P m t -， C 方程为214y x =，所以1'2y x =， 5分 求得抛物线在点A 处的切线的斜率112k x =，所以切线PA 方程为： ()11112y y x x x -=-，即()21111142y x x x x -=-，化简得2111142y x x x =-+，又因过点(),P m t -，故可得， 2111142t x x m -=-+，即211240x x m t --=，同理可得222240x x m t --=，所以12,x x 为方程2240x mx t --=的两根，所以122x x m +=， 124x x t =-，因为()0,Q t -，所以22121212124444AQ BQy t y t x t x tk k x x x x +++++=+=+， 化简()()11121212124AQ BQ x x x x t x x k k x x x x +++=+04tm tmt-+==-．所以AQO BQO ∠=∠．解法二：依题意设点(),P m t -，设过点P 的切线为()y k x m t =--，所以()2,{4,y k x m t x y =--=， 所以24440x kx km t -++=，所以()2164440k km t ∆=-+=，即20k km t --=，不妨设切线PA PB 、的斜率为12k k 、，点()11,A x y ， ()22,B x y ， 所以12k k m +=， 12k k t ⋅=-，又214y x =，所以1'2y x =，所以1112k x =， 所以112x k =， 211y k =，即点()2112,A k k ，同理点()2222,B k k ，因为()0,Q t -，所以21111222AQk t k t k k k +==+，同理2222BQ k tk k =+， 所以12122222AQ BQ k k t t k k k k ⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12121222t k k k k k k ++=+ 022m m =-=，所以AQO BQO ∠=∠．21．已知函数()2f x x x =-, ()e 1xg x ax =--．（Ⅰ）讨论函数()g x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时, ()()f x g x ≤恒成立,求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）(],e 1a ∈-∞-．【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数()g x 求导，利用导数与函数单调性的关系可求结果；（Ⅱ）将原不等式转化为e 11x a x x x ≤--+，构造函数()e 11x h x x x x=--+，利用导数与函数的关系，判断其单调性，求出其最小值，可得a 的范围．试题解析： （Ⅰ） ()e xg x a '=-．（1）当时，在单调递增．（2）当时，当时，单调递减；当时，单调递增．（Ⅱ）当0x >时， 2e 1xx x ax -≤--，即e 11x a x x x ≤--+． 令()e 11x h x x x x =--+ 0x >（）， ()()22e 11x x x h x x'--+=． 令()()2e 11xF x x x =--+0x >（）， ()()e 2xF x x '=-． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．又，，所以当时，即单调递减，当时， ()()()1e 10xF x x x =--->，即单调递增．．所以()()min 1e 1h x h ==-，所以(],e 1a ∈-∞- 22．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线,,曲线．（Ⅰ）求曲线的一个参数方程；（Ⅱ）若曲线和曲线相交于A、B两点,求的值．【答案】（Ⅰ）; ．C为圆，【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线的极坐标系方程转化为平面直角坐标系下的方程，可知曲线1C的极坐标方程转化为平面直角坐标系下的方程，知其为直线，再利用圆的参数方程写出答案；（Ⅱ）将2利用点到直线的距离求出弦心距，再利用弦心距，半径，弦长的一半间的关系可得弦长．试题解析：（Ⅰ）由可知：，所以．令;所以的一个参数方程为．（Ⅱ），所以，即，因为直线与圆相交于，两点，所以圆心到直线的距离为，AB==⋅=．所以224223．选修4—5：不等式选讲已知函数的最小值为2．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若,求不等式的解集．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）对a 进行分类讨论，并对绝对值不等式去绝对值符号，利用分段函数求出各种情况下最小值，由最小值为2，可得a 值；（Ⅱ）结合上题，可得a 值，去绝对值，解不等式即可．试题解析：（Ⅰ）当时， ()31,,2{1,2,231, 2.2xa x a x f x a x a xa x +-≥=-++-≤≤-+-≤-所以()min 12,22af x a =+==，当时，所以 ()min 12,62af x a =--==-， 所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时．不等式即，由（Ⅰ）知，由，得到；由，得到，所以不等式解集为．。

2017届福建省高三下学期第二次模拟数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2|20A x x x =-<，{}2B x x =<则( )（A ）A B =∅ （B ）A B A = （C ）A B A = （D ）A B R =2.设命题:0p x ∀>，2log 23x x <+，则p ⌝为（ ）（ ） A.0x ∀>，2log 23x x ≥+ B.0x ∃>，2log 23x x ≥+ C.0x ∃>，2log 23x x <+D.0x ∀<，2log 23x x ≥+3.已知复数4m xi =-，32n i =+，若复数nR m∈，则实数x 的值为（ ） A.6-B.6C. 83-D. 834.已知双曲线22132x y a a+=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于（ ）A.32B.5C.7D.125.已知27cos 239πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A.13B.13±C.19-D.196.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ） A.22π+ B.23π+C.43π+D.42π+7．某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是( ) （A ）18（B ）24（C ）36（D ）428．设非负实数x 和y 满足20240440x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A.2B.143C.6D.129.已知等比数列{}n a ，且684a a +=，则()84682a aa a ++的值为（ ）A.2B.4C.8D.1610.若实数a 、b 、0c >，且26a ab bc ca +++=-2a b c ++的最小值为（ ）11C.2D.211.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ） A.50πB.100πC.200πD.300π12.设实数0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x xe λλ-≥恒成立，则λ的最小值为( )（A ）1e（B ）2e（C ）3e（D ）e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则算筹式 表示的数字为 ．14. 下面的程序框图中，若输入40n =，则输出的结果为 ．15.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率为 ．16.在ABC △中，3A π∠=，O 为平面内一点，且OA OB OC ==，M 为劣弧 BC 上一动点，且OM pOB qOC =+， 则p q +的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 为其前n 项和，125,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）证明139,,S S S 成等比数列； （Ⅱ）设11a =，求2482...n a a a a ++++的值。

莆田一中2016-2017学年高三理数5月模拟试卷满分150分考试时间120分钟一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意)1.已知集合A={x N|x≤1},B={x|x2-x-2≤0},则A B=( )A. {0,1}B. {-1,0,1}C. [-1,1]D. {1}【答案】A【解析】因为A={x∈N|x≤1},B={x|x2-x-2≤0}，所以A⋂B={0,1}，故选A.2.若复数z满足z2=-4,则||=( )A. B. 3 C. D. 5【答案】C【解析】因为z2=-4,所以，，故选C.3.一批产品次品率为4%,正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件,恰好取到一等品的概率为( )A. 0.75B. 0.71C. 0.72D. 0.3【答案】C【解析】因为这批产品次品率为，所以正品率为，又因为正品中一等品率为，所以这批产品一等品率为，从这批产品中任取一件,恰好取到一等品的概率为.4.公差不为0的等差数列{a n}的前n项的和为S n,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为( )A. 15B. 21C. 23D. 25【答案】D【解析】设公差为，由，且，则，解得，故选D.5.已知双曲线+=1的一条渐近线斜率大于1,则实数m的取值范围( )A. (0,4)B. (0,)C. (0,2)D. (,4)【答案】B【解析】是双曲线，，又双曲线的一条渐近线斜率大于1，，得，故选B.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. 8-πB. 8-πC. 24-πD. 24+π【答案】C【解析】由已知三视图得到几何体是一个棱长为的正方体切割去半径为的个球，所以表面积为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】开始，输入，则，判断，否，循环，，则，判断，否，循环，则，判断，否，循环，则，判断，是，输出，结束.故选择C.8.函数f(x)=x2-sin|x|在[-2,2]上的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在是偶函数，则，在可得，令，可得方程只有一个解，如图：可知，在由一个极值点，排除，，排除，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.9.函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)在[0,π]内值域为[-1,],则ω的取值范围是( )A. [,]B. [,]C. [,+∞)D. [,]【答案】D【解析】函数，当时，，画出图形如图所示：则，解得，的取值范围是，故选D.10.已知点A(5,0),抛物线C:y2=2px(0<p<5)的准线为l,点P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120︒,则p=( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设，故做，则由，则，由抛物线的定义可知：，则，则，则，将代入抛物线方程，解得的值，故选B.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】将平面延展与交于连结，并延长与延长线交于，平面交于，可知等于与成角,，由正方体的性质可知，，故选 .12.已知直线l1:y=x+a分别与直线l2：y=2(x+1)及曲线C:y=x+ln x交于A,B两点,则A,B两点间距离的最小值为( )A. B. 3 C. D. 3【答案】D【解析】由，得，由，得，，在上递减，在上递增，，即两点间距离的最小值为，故选D.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.二、填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)13.设变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为_______【答案】【解析】不等式组表示平面区域为：且可得，则经过时，在轴上的截距最大，即，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.已知a=(,),|b|=1,|a+2b|=2,则b在a方向上的投影=_______【答案】【解析】，可得，即为，即有，可得在方向上的投影为，故答案为 .15.(x+3)(x+1)4展开式中不含x2项的系数之和为________【答案】42【解析】展开式中含项的系数之和为，所有项系数和为，所以展开式中不含x2项的系数之和为，故答案为 .16.数列{a n}的前n项和为S n,且S3=1,S4=-3, a n+3=2a n(n∈N*),则S2017=______【答案】－1【解析】,,故答案为 .三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.)17.如图,在∆ABC中,∠B=,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE=8,AC=4,∠CED=.(1)求CE的长(2)若CD=5,求cos∠DAB的值【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（I）在中,由余弦定理,解方程即可结果；（II）由正弦定理得，再根据同角三角函数之间的关系及两角差的余弦定理可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵,在中,由余弦定理得,∴,∴,∴.（Ⅱ）在中,由正弦定理得,∴,∴,∵点在边上,∴,而<∴只能为钝角,∴,∴ ,．18.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C为菱形,B1C⊥AC1（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点,∠ADB是二面角A-CC1-B的平面角,求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）先证明, 从而，结合可得，进而可得结论；（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量及直线的AC1一个方向向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）连结,因为为菱形,所以,又,,所以,故。