上海中学高三数学综合练习(9)

2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高三（上）9月月考数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）已知复数z满足z（1-2i）=5（i为虚数单位），则|z|=___ ．3.（填空题，0分）若函数f（x）=2x-3，则f-1（1）=___ ．4.（填空题，0分）已知x∈(0，π2)，则方程|2sinx112cosx|=0的解集是___ ．5.（填空题，0分）已知某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，则该圆锥体的母线长是___ ．6.（填空题，0分）函数f(x)=cos2x−sin2x−13，x∈（0，π）的单调递增区间是___ ．7.（填空题，0分）设F1、F2分别为双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF1|-|PF2|= 35|F1F2|，则该双曲线的渐近线方程为___ ．8.（填空题，0分）在（1+x）n的二项展开式中，若a n是所有二项式系数的和，则n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) =___ ．9.（填空题，0分）控江中学高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有___ 种不同的选法．10.（填空题，0分）设θ∈(−π2，π2)，若函数f(x)=sin(x+θ)+√3cos(x+θ)是奇函数，则θ=___ ．11.（填空题，0分）已知α：1≤x≤4，β：log22x-4a•log4x+1≤0，若α是β成立的必要条件，则实数a的取值范围是___ ．12.（填空题，0分）设m∈R．若对于任意实数a，都存在x∈[-2，2]满足|x2-1|+|x-a|＞m，则m的取值范围是___ ．13.（单选题，0分）已知向量a⃗、b⃗⃗，则“ a⃗=±b⃗⃗”是“ |a⃗|=|b⃗⃗|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.（单选题，0分）将函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A. y =sin (2x −5π12) B. y =sin (x2+π12) C. y =sin (x2−5π12) D. y =sin (x2−5π24)15.（单选题，0分）若等比数列{a n }的公比为q （q≠0），则关于x 、y 的二元一次方程组 {a 1x +a 3y =4a 2x +a 4y =−3的解，下列说法中正确的是（ ） A.对任意q∈R （q≠0），方程组都有无穷多组解 B.对任意q∈R （q≠0），方程组都无解 C.当且仅当 q =−34时，方程组无解D.当且仅当 q =−34 时，方程组有无穷多组解16.（单选题，0分）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，下列两个命题： ① 若f （x ）、g （x ）都不是单调函数，则f （g （x ））不是增函数．② 若f （x ）、g （x ）都是非奇非偶函数，则f （g （x ））不是偶函数．则（ ） A. ① ② 都正确 B. ① 正确 ② 错误 C. ① 错误 ② 正确 D. ① ② 都错误17.（问答题，0分）在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（如图）E 是棱C 1D 1的中点，F 是侧面AA 1D 1D 的中心． （1）求三棱锥A 1-D 1EF 的体积；（2）求EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）18.（问答题，0分）已知等差数列{a n }中，a 2=5，a 5=14，设数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =2b n -1．（1）求a n ，b n 的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n =a n +b n ，求{c n }的前n 项和T n ．19.（问答题，0分）如图，一艘湖面清运船在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东30°方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少40米，于是选择沿A→B→C 路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在B 处转向所用时间）． （1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）清运船此次清扫行走路线的夹角∠B 是多少？（用反三角函数表示）20.（问答题，0分）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点A ，B ，与x 轴，y 轴分别交于D 、E 两点，且满足 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （1）已知直线l 的方程为y=2x-4，抛物线C 的方程为y 2=4x ，求λ1+λ2的值； （2）已知直线l ：x=my+1（m ＞1），椭圆C ：x 22+y 2 =1，求1λ1+1λ2的取值范围； （3）已知双曲线C ： x 23−y 2=1，λ1+λ2=6 ，求点D 的坐标．21.（问答题，0分）已知函数y=f （x ），x∈D ，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有f （x+T ）＜P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数f(x)=(12)x•coskx是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{2，3，4}【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，∴A∩B={2，3，4}．故答案为：{2，3，4}．【点评】：本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（填空题，0分）已知复数z满足z（1-2i）=5（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：根据（1-2i）z=5，可得z= 51−2i，由此能求出结果．【解答】：解：∵（1-2i）z=5，∴z= 51−2i = 5(1+2i)(1−2i)(1+2i)= 5(1+2i)5=1+2i，故|z|= √1+4 = √5，故答案为：√5．【点评】：本题考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数求模问题，是一道基础题．3.（填空题，0分）若函数f（x）=2x-3，则f-1（1）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据反函数的性质只需令f（x）=1，解出x的解即为所求．【解答】：解：令2x-3=1，解得x=2，所以根据反函数的性质可得f-1（1）=2，故答案为：2．【点评】：本题考查了反函数的性质，属于基础题．4.（填空题，0分）已知x∈(0，π2)，则方程|2sinx112cosx|=0的解集是___ ．【正确答案】：[1]{ π12，5π12}【解析】：利用行列式的定义及二倍角公式化简已知等式可得sin2x= 12，可解得x=kπ+ π12，或x=kπ+ 5π12，k∈Z，结合范围x∈(0，π2)即可求解．【解答】：解：因为|2sinx112cosx|=0，可得4sinxcosx-1=0，即sin2x= 12，所以2x=2kπ+ π6，或2x=2kπ+ 5π6，k∈Z，解得x=kπ+ π12，或x=kπ+ 5π12，k∈Z，又因为x∈(0，π2)，所以x= π12，或5π12，即方程|2sinx112cosx|=0的解集是{ π12，5π12}．故答案为：{ π12，5π12}．【点评】：本题主要考查了行列式的定义及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．5.（填空题，0分）已知某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，则该圆锥体的母线长是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：设圆锥体的母线长为R，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出R的值．【解答】：解：某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，设圆锥体的母线长为R，则2πr= 2π3• 12π•2πR，解得R=3r=9，∴圆锥体的母线长为9．故答案为：9．【点评】：本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题． 6.（填空题，0分）函数 f (x )=cos 2x −sin 2x −13 ，x∈（0，π）的单调递增区间是___ ． 【正确答案】：[1][ π2 ，π）【解析】：由已知利用二倍角公式可得f （x ）=cos2x- 13 ，可求范围2x∈（0，2π），利用余弦函数的单调性即可求解．【解答】：解：因为 f (x )=cos 2x −sin 2x −13 =cos2x- 13 ， 又x∈（0，π），2x∈（0，2π）， 令π≤2x ＜2π，解得 π2 ≤x ＜π，可得f （x ）的单调递增区间是[ π2 ，π）． 故答案为：[ π2 ，π）．【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式及余弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．7.（填空题，0分）设F 1、F 2分别为双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 1|-|PF 2|= 35 |F 1F 2|，则该双曲线的渐近线方程为___ ． 【正确答案】：[1] y =±43x【解析】：利用双曲线的定义，结合条件，确定a ，b ，c 的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】：解：∵|PF 1|-|PF 2|= 35 |F 1F 2|， ∴2a= 35•2c ， ∴a= 35 c ， ∴b= 45 a ，∴双曲线的渐近线方程为y=± ba x ，即 y =±43x ； 故答案为： y =±43x ．【点评】：本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．8.（填空题，0分）在（1+x）n的二项展开式中，若a n是所有二项式系数的和，则n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) =___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：由已知可得a n=2n，再由等比数列的求和公式求得1a1+1a2+⋯+1a n，取极限得答案．【解答】：解：由题意，a n=2n，则1a1+1a2+⋯+1a n= 12+122+⋯+12n=12(1−12n)1−12= 1−12n．∴n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) = limn→∞(1−12n)=1．故答案为：1．【点评】：本题考查二项式系数的性质，考查等比数列的前n项和及数列极限的求法，是基础题．9.（填空题，0分）控江中学高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有___ 种不同的选法．【正确答案】：[1]31【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算从7名学生中任选3人的选法，再排除其中没有女生，即全部为男生的选法，即可得答案．【解答】：解：根据题意，共有4名男生和3名女生，共7名学生，从中选出3人，由C73=35种选法，若没有女生，即全部为男生，有C43=4种选法，则至少有一名女生的选法有35-4=31种，故答案为：31．【点评】：本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．10.（填空题，0分）设θ∈(−π2，π2)，若函数f(x)=sin(x+θ)+√3cos(x+θ)是奇函数，则θ=___ ．【正确答案】：[1] −π3【解析】：由题意利用两角和差的三角公式花简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性可得θ+ π3 =kπ，k∈Z ，∴由此求得θ的值．【解答】：解：设 θ∈(−π2，π2) ，若函数 f (x )=sin (x +θ)+√3cos (x +θ) =2sin （x+θ+ π3 ）是奇函数，故θ+ π3 =kπ，k∈Z ，∴k=0，θ=- π3 ， 故答案为：- π3 ．【点评】：本题主要考查两角和差的三角公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．11.（填空题，0分）已知α：1≤x≤4，β：log 22x-4a•log 4x+1≤0，若α是β成立的必要条件，则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，54]【解析】：α是β成立的必要条件则{x|log 22x-4a•log 4x+1≤0}⊆{x|1≤x≤4}，利用换元法可得 {t|a ≥12(t +1t )}⊆[0，2] ，结合图象可得实数a 的取值范围．【解答】：解：由题意，{x|log 22x-4a•log 4x +1≤0}⊆{x|1≤x≤4} 令t=log 2x ，则β即t 2-2at+1≤0（*），由题意转化为关于t 的不等式（*）的解集是集合{t|0≤t≤2}的子集， ① 若不等式（*）的解集为∅，此时 △=4a 2-4＜0，解得-1＜a ＜1；② 若不等式（*）的解集不为∅，令f （t ）=t 2-2at+1，对称轴为x=a ， 则 {Δ⩾00⩽a ⩽2f (0)⩾0f (2)⩾0 ，解得 1≤a ≤54 ．综上所述a 的取值范围（-1， 54]， 故答案为：（-1， 54]．【点评】：本题考查了必要条件与集合之间的关系，考查了数形结合求解运算能力，属于中档题．12.（填空题，0分）设m∈R ．若对于任意实数a ，都存在x∈[-2，2]满足|x 2-1|+|x-a|＞m ，则m 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，5）【解析】：记f （x ）=|x 2-1|+|x-a|，x∈[-2，2]，易得f （x ）max =max{f （-2），f （2）}，然后求出[f （x ）max ]min ，再根据条件得到m 的取值范围．【解答】：解：记f （x ）=|x 2-1|+|x-a|，x∈[-2，2]，易得f （x ）max =max{f （-2），f （2）}=max{3+|2-a|，3+|2+a|}， ∵当a≥0时，3+|2+a|1≥3+|2-a|，当a ＜0时，3+|2+a|＜3+|2-a|，∴ f (x )max ={3+|2+a |=a +5，a ≥03+|2−a |=−a +5，a ＜0 ，∴当a=0时，[f （x ）max ]min =5，∵任意实数a ，都存在x∈[-2，2]满足|x 2-1|+|x-a|＞m ， ∴[f （x ）max ]min =5＞m ， ∴m 的取值范围是（-∞，5）．【点评】：本题考查了绝对值不等式有解问题，考查了分类讨论思想，属中档题． 13.（单选题，0分）已知向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ ，则“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”是“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【正确答案】：A【解析】：借助向量的概念，根据充分条件和必要条件的定义即可判断．【解答】：解：“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”一定能推出“ |a ⃗|=|b⃗⃗| ”，反之则不能， 例如 a ⃗ =（1，0）， b ⃗⃗ =（0，1），则满足“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”，不满足“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”， 故“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”是“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查了向量的概念和充分条件必要条件的概念，属于基础题．14.（单选题，0分）将函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ）A. y =sin (2x −5π12)B. y =sin (x 2+π12) C. y =sin (x 2−5π12)D. y =sin (x 2−5π24) 【正确答案】：C【解析】：根据三角函数图象平移法则，即可写出平移变换后的函数解析式．【解答】：解：函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，得y=sin[（x- π4 ）- π6 ]=sin （x- 5π12 ）的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得y=sin （ 12 x- 5π12 ）的图象；∴函数的解析式为y=sin （ x 2 - 5π12 ）．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数图象平移法则的应用问题，是基础题．15.（单选题，0分）若等比数列{a n }的公比为q （q≠0），则关于x 、y 的二元一次方程组 {a 1x +a 3y =4a 2x +a 4y =−3的解，下列说法中正确的是（ ） A.对任意q∈R （q≠0），方程组都有无穷多组解B.对任意q∈R （q≠0），方程组都无解C.当且仅当 q =−34 时，方程组无解D.当且仅当 q =−34 时，方程组有无穷多组解【正确答案】：D【解析】：对原方程组利用加减消元法得到：0=4q+3，求得q 的值，即可得到正确选项．【解答】：解：由题设知： {a 1x +a 3y =4①a 2x +a 4y =−3②， 由 ① ×q - ② 得：0=4q+3，解得：q=- 34 ，∴方程组有无穷多组解⇔q=- 34 ，故选：D ．【点评】：本题主要考查等比数列与一元二次方程组的综合及充要条件，属于基础题．16.（单选题，0分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，下列两个命题：① 若f（x）、g（x）都不是单调函数，则f（g（x））不是增函数．② 若f（x）、g（x）都是非奇非偶函数，则f（g（x））不是偶函数．则（）A. ① ② 都正确B. ① 正确② 错误C. ① 错误② 正确D. ① ② 都错误【正确答案】：D【解析】：根据题意，对于两个命题，举出反例可得两个命题都错误，即可得答案．【解答】：解：根据题意，对于① ② 两个命题：① 的反例：f(x)=g(x)={1x，x≠00，x=0，则f（g（x））=x，② 的反例：f（x）=（x+1）2，g（x）=x-1，则① ② 都错误，故选：D．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意举出反例进行分析，属于基础题．17.（问答题，0分）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心．（1）求三棱锥A1-D1EF的体积；（2）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）【正确答案】：【解析】：（1）由已知中棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心，我们利用等体积法，可得三棱锥A1-D1EF的体积等于三棱锥E-D1A1F的体积，分别求出其底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．（2）取A1D1的中点G，易得FG⊥平面A1B1C1D1，根据线面夹角的定义可得∠GEF即为EF与底面A1B1C1D1所成的角的平面角，解Rt△GEF即可得到EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．【解答】：解：（1）V A1−D1EF =V E−A1D1F=13•1•1=13．（6分）（体积公式正确3分）（2）取A1D1的中点G，则FG⊥平面A1B1C1D1，EF在底面A1B1C1D1的射影为GE，所求的角的大小等于∠GEF的大小，（8分）在Rt△GEF中tan∠GEF=√22，所以EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小是arctan√22．（12分）【点评】：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是利用等体积法，将求三棱锥A1-D1EF的体积转化为求三棱锥E-D1A1F的体积，降低运算的难度，（2）的关键是确定出∠GEF即为EF与底面A1B1C1D1所成的角的平面角．18.（问答题，0分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a5=14，设数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n-1．（1）求a n，b n的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n+b n，求{c n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用等差数列的性质的应用和递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．【解答】：解：（1）等差数列{a n}中，设首项为a1，公差为d，由于a2=5，a5=14，所以{a1+d=5a1+4d=14，解得{a1=2d=3，故a n=2+3（n-1）=3n-1．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n-1 ① ，当n=1时，解得b1=1，当n≥2时，S n-1=2b n-1-1 ② ，① - ② 得：b n=2b n-2b n-1，整理得b n=2b n-1，即b nb n−1=2（常数），所以数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以b n=2n−1（首项符合通项），故b n=2n−1．（2）由（1）得：c n=a n+b n=(3n−1)+2n−1，故T n=2+20+5+21+⋯+(3n−1)+2n−1，=（2+5+…+3n-1）+（20+21+…+2n-1），= n(2+3n−1)2+(2n−1)2−1，= 3n2+n2+2n−1．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.（问答题，0分）如图，一艘湖面清运船在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少40米，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在B处转向所用时间）．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）清运船此次清扫行走路线的夹角∠B是多少？（用反三角函数表示）【正确答案】：【解析】：（1）由题意C 在A 处北偏东30°方向上，可得∠CAB=90°+30°=120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC 中由余弦定理可得|BC|的值．（2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC=120°，由正弦定理可得sin∠B 的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=2×100=200，|AC|-|AB|=40，所以|AC|+|BC|=240，|AB|=200-|BC|，|AC|=240-|BC|，因为C 在A 处北偏东30°方向上，所以∠CAB=90°+30°=120°，在三角形ABC 中，∠BAC=120°，由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（200-|BC|）2+（240-|BC|）2+（200-|BC|）（240-|BC|），整理可得|BC|2-660|BC|+72800=0，解得|BC|=140，或|BC|=520（舍），所以B 、C 两处垃圾的距离是140米；（2）由（1）可得|BC|=140，|AC|=240-140=100，∠CAB=120°， 由正弦定理可得 |AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB ，所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 100140 × √32 = 5√314 ，可得∠B=arcsin 5√314 ．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．20.（问答题，0分）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点A ，B ，与x 轴，y 轴分别交于D 、E两点，且满足 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （1）已知直线l 的方程为y=2x-4，抛物线C 的方程为y 2=4x ，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l ：x=my+1（m ＞1），椭圆C ： x 22+y 2 =1，求 1λ1+1λ2 的取值范围； （3）已知双曲线C ： x 23−y 2=1，λ1+λ2=6 ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）通过直线l 的方程可得D 、E 坐标，将y=2x-4代入y 2=4x 可得点A 、B 坐标，利用 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即可； （2）通过联立x=my+1（m ＞1）与 x 22+y 2 =1，利用韦达定理、 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即得结论；（3）通过设直线l 的方程并与双曲线C 方程联立，利用韦达定理、 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即可．【解答】：解：（1）将y=2x-4代入y 2=4x ，求得点A （1，-2），B （4，4），又∵D （2，0），E （0，-4），且 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴（1，2）=λ1（1，2）=（λ1，2λ1），即λ1=1，同理由 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得λ2=-2， ∴λ1+λ2=-1；（2）联立x=my+1（m ＞1）与 x 22+y 2 =1，消去x 可得：（2+m 2）y 2+2my-1=0，由韦达定理可得：y 1+y 2=-2m 2+m 2 ，y 1y 2=- 12+m 2 ， ∵D （1，0），E （0，- 1m ），且 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1+ 1m =-λ1y 1，∴λ1=-（1+ 1m •1y 1 ）， 同理由 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 2+ 1m =-λ2y 2，∴λ2=-（1+ 1m •1y 2 ）， ∴λ1+λ2=-（1+ 1m •1y 1 ）-（1+ 1m •1y 2 ）=-2- 1m •y 1+y 2y 1y 2 =-2- 1m •2m =-4，∴ 1λ1+1λ2 =- 4λ1λ2 = 4λ12+4λ1= 4(2+λ2)2−4 ， ∵m ＞1，∴点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可得λ1∈（ √2−2 ，0），∴ 1λ1+1λ2∈（-∞，-2）； （3）设直线l 的方程为：x=my+t ，代入双曲线C 方程，消去x 得：（-3+m 2）y 2+2mty+（t 2-3）=0，由韦达定理可得：y 1+y 2=- 2mt m 2−3 ，y 1y 2=- t 2−3m 2−3 ，∴ 1y 1 + 1y 2=- 2mt t 2−3 ，由 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：-（λ1+λ2）=2+ t m •（ 1y 1 + 1y 2 ）， ∵λ1+λ2=6，∴2+ t m •（- 2mt t 2−3 ）=-6，解得t=±2，∴点D （±2，0）；当直线l 与x 轴重合时，λ1=- a t+a ，λ2= a t−a 或者λ1= a t−a ，λ2=- a t+a ，∴都有λ1+λ2= 2a 2t 2−a 2 =6也满足要求，∴在x 轴上存在定点D （±2，0）．【点评】：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21.（问答题，0分）已知函数y=f （x ），x∈D ，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有f （x+T ）＜P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D 上的P 级递减周期函数，周期为T ．若恒有f （x+T ）=P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D 上的P 级周期函数，周期为T ．（1）已知函数f （x ）=x 2+a 是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T=1，y=f （x ）是[0，+∞）上P 级周期函数，且y=f （x ）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f （x ）=2x ，求实数P 的取值范围；（3）是否存在非零实数k ，使函数 f (x )=(12)x •coskx 是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得f （x+1）＜2f （x ），即a ＞-x 2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，求得-x 2+2x+1的最大值，可得结论．（2）由题意可得x∈[n ，n+1）时，f （x ）=P n •2x-n ，n∈N *，P ＞0且P n •2n-n ≥P n-1•2n-（n-1），由此求得p 的范围．（3）根据题意，cosk （x+T ）=T•2T coskx 对一切实数x 恒成立，故T•2T =±1，分类讨论，得出结论．【解答】：解：（1）由题意，函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数可知：f（x+1）＜2f（x），即（x+1）2+a＜2x2+2a对x∈[2，+∞）恒成立，也即a＞-x2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2在x∈[2，+∞）上单调递减，∴ (−x2+2x+1)max=−22+2•2+1=1，∴a＞1．（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=Pf（x-1）=P•2x-1，当x∈[n，n+1）时，f（x）=Pf（x-1）=P2f（x-2）=…=P n f（x-n）=P n•2x-n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=P n•2x-n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴P＞0且P n•2n-n≥P n-1•2n-（n-1），即P≥2．（3）由已知，应有f（x+T）=Tf（x）对一切实数x恒成立，即(12)x+T•cosk(x+T)=T•(12)x•coskx对一切实数x恒成立，也即cosk（x+T）=T•2T coskx对一切实数x恒成立，当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，cos（kx+kT）∈[-1，1]，故要使cosk（x+T）=T•2T coskx恒成立，只有T•2T=±1，① 当T•2T=1时，即2T=1T（*）时，由函数y=2x与y=1x的图象存在交点，故方程（*）有解；此时cos（kx+kT）=coskx恒成立，则kT=2mπ，m∈Z，k=2mπT，m∈Z；② 当T•2T=-1（**）时，类似① 中分析可得，方程（**）无解；综上，存在k=2mπT，m∈Z，符合题意，其中T满足T•2T=1．【点评】：本题主要考查新定义，函数的恒成立问题，函数的周期性，关键是等价转化，属于中档题．。

上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
二、单选题
A ．2
B ．
1169
C ．
16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题：①若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =；②若()K x 是严格减函数，则()()K x g x =；③若()K x 是周期函数，则()()K x h x =．正确的有（
A ．无一正确
B ．①②
C ．③
三、解答题
17．已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥(1)若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知0a >，关于x 的不等式22ax bx c ≤++(1)若{}{},,1,0,1a b c =-，且2c c >，求解该不等式；(2)若该不等式解集为[]2,3，求a 的取值范围．19．设,,a b c ∈R ，且1a b c ++=.
(1)若(),,0,a b c ∈+∞，求111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的最小值；
P=是否为减0集，是否为减1集；
(1)直接判断{}1,2
(2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．。

2025届上海市宝山区行知中学高三第四次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．82．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==+，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 3．已知集合{2,0,1,3}A =-，{53}B x x =-<<，则集合A B 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．324．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-6．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．968．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭9．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．1010．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 11．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．16312．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷一、填空题1)0x >写成指数幂形式为．2．已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B =I ．3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()()2lg f x x a =+，则()3f =.4．若不等式组(1)(3)0x x x a --<⎧⎨>⎩的解集为空集，则实数a 的取值范围为．5．已知圆1C ：()()22341x y ++-=与圆2C ：()2216x y k +-=外切，则实数k =．6．若函数()sin f x a x x =的一个零点是π3，则函数()y f x =的最大值为7．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，91336,104S S =-=-，则5a 与7a 的等比中项为. 8．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道1T 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道2T 绕月飞行，则椭圆轨道2T 的短轴长为万公里．（近似到0.1）9．菱形ABCD 的对角线AC =沿BD 把平面ABD 折起与平面BCD 成120︒的二面角后，点A 到平面BCD 的距离为．10．已知πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且R x ∀∈，都有()()2f x f x =-，当10x -≤<时，()()2log f x x =-，则函数()()2g x f x =+在区间()1,8-内所有零点之和为．12．已知函数()y f x =，()y g x =，且()3e xf x -=，()1lng x x =+，若()()f m g n =，则n m-的最小值为.二、单选题13．下图是某地区2010年至2019年污染天数y （单位：天）与年份x 的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型11ˆˆy a x b =+，22ˆˆy a x b =+，33ˆˆy a x b =+，则（ ）A ．123ˆˆˆa a a <<，123ˆˆˆb b b <<B ．132ˆˆˆa a a <<，132ˆˆˆb b b << C ．231ˆˆˆa a a <<，132ˆˆˆb b b << D ．231ˆˆˆa a a <<，321ˆˆˆb b b << 14．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；B ．若//m n ，n ⊂α，则//m α；C ．若m 、n 是异面直线，m α⊂，//m β，n β⊂，//n α，则//αβ；D ．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ．15．已知ABC V 的三边长分别为4、5、7，记ABC V 的三个内角的正切值所组成的集合为M ，则集合M 中的最大元素为（ ）A ．BC ．-D ．16．已知函数()y f x =的表达式为()e x f x x=，若函数()()()222e e g x f x af x a ⎡⎤=+--⎣⎦恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2e -∞-B ．(),e -∞-C ．2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数()y f x =的表达式为()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>(1)设1ω=，求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调增区间；(2)设实数πa >，()f x 的最小正周期为π，若在[]π,x a ∈上恰有3个零点，求a 的取值范围． 18．如图，PA 、PB 、PC 为圆锥三条母线，AB AC =.(1)证明:PA BC ⊥；(2),BC 为底面直径，2BC =，求二面角B PA C --的大小19．某市YC 中学体育节开展趣味运动比赛，其中A 、B 两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，或者5局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中A 班获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立．(1)求趣味比赛A 班以3比1赢得最终胜利的概率；(2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为X ，求X 的分布及数学期望．20．已知双曲线22:13y C x -=，点1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，A x 1,y 1 、B x 2,y 2 为双曲线上的点.(1)求右焦点2F 到双曲线的渐近线的距离；(2)若223AF F B =u u u u r u u u u r，求直线AB 的方程；(3)若12//AF BF ，其中A 、B 两点均在x 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形12AF F B 的面积的取值范围.21．如图，在区间[],a b 上，曲线y =f x 与,,x a x b x ==轴围成的阴影部分面积记为面积S ，若()()F x f x '=（()F x '为函数()y F x =的导函数），则()()S F b F a =-.设函数()1(0)f x x x=>(1)若1,2a b ==，求S 的值；(2)已知0b a >>，点()(),0,,0,(,()22a b a bA a D b M f ++，过点M 的直线分别交,x a x b ==于,B C 两点（,B C 在第一象限），设四边形ABCD 的面积为1S ，写出1S 的表达式（用,a b 表示）并证明：1S S >：(3)函数()()ln g x f x x m =-有两个不同的零点12,x x ，比较21x x 与2e 的大小，并说明理由.。