广东省惠州市华罗庚中学2013-2014学年高二下学期月考(一)数学(理)试题 Word版含答案

2013~2014学年度下学期高二第一次月考数 学 试 卷（文）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．复数ii-12的虚部是（ ） A ．－1B ．1C ．iD ．－i2．已知某物体的运动曲线方程为：1322--=t t S ，则该物体在t = 3时的速度为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．113．由直线与圆相切，圆心与切点连线与直线垂直，联系到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（ ） A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．特殊推理4．对于两个变量x ,y 有如下一组数据，x 0 1 2 3 4 y0.924.17.916.2则x ,y 间模拟效果最好的曲线方程是（ ） A ．y = log 2xB ．y = 2xC ．y = 2xD ．y = x 25．设某种动物从出生算起活20岁以上的概率为0.9，活到25岁以上的概率为0.5，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁以上的概率为（ ）A ．209B ．95C ．201D ．516．函数]1,2[133-+-=在x x y 上的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．阅读如下程序框图，如果输出i = 4，那么空白的判断框中 应填入的条件是（ ）A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜118. 已知复数Z 的模为2，则|Z ＋2i |的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知数列：,,,,,165434322Λa a a a a a a a a ++++++则数列的第k 项为（ ） A ．k k ka a a 21++++ΛB ．121--+++k k k a a a Λ C ．k k k a a a21+++-ΛD ．221--+++k k k a a aΛ10．已知f (x ), g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，)(')()()('x g x f x g x f <，f (x )＝a x g (x )，==--+)2()2(,310)1()1()1()1(g f g f g f 则（ ） A ．a 2B ．21aC ．9D ．91 二、填空题（每小题5分，共25分）11．若曲线)(1R n x y n∈+=在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则n = 。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。

惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题说明：1、全卷满分150分，时间120分钟。

2、答卷前，考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，填写在答题卷上。

3、考试结束后，考生将答题卷交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．椭圆13610022=+y x 的焦距等于（ ）A ．20B ．16C ．12D ．82．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3．空间中，与向量(3,0,4)a =同向共线的单位向量e 为（ ） A ．(1,0,1)e = B ．(1,0,1)e = 或(1,0,1)e =--C ．34(,0,)55e =D ．34(,0,)55e = 或34(,0,)55e =--4.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则||PF =（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 5.已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ，有下列命题：①若A 为必然事件，则()1P A =． ②若A 与B 互斥，则()()1P A P B +=． ③若A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+． 其中真命题有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．36．“0a >”是“方程2y ax =表示的曲线为抛物线”的（ ）条件。

A 1CA ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．执行右边的程序框图，如果输入5a =， 那么输出=n ()．A ．2B ．3C ．4D ．58．已知椭圆22219x y b+=(03)b <<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22||||AF BF +的最大值为8，则b 的值是（ ）A ．BC D二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．请将答案填写在答卷相应位置上．)9的渐近线方程为 ．10.样本2-，1-，0，1，2的方差为 ．11.已知(1,5,2)a =- ，(,2,2)b m m =+，若a b ⊥ ，则m 的值为 ．12.命题“2,210x R x ∀∈+>”的否定是 ．13.某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合 0.90.2y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元． 14.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AM AA 的概率=p ．三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分12分）某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄在20至40岁的有12人，年龄大于40岁的有8人．（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于40岁的应该抽取几名?（2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人年龄大于40岁的概率．16．（本小题满分12分）已知22x -≤≤，22y -≤≤，点P 的坐标为(,)x y ．（1）求当,x y R ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率； （2）求当,x y Z ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率．17．（本小题满分14分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >； 命题q ：实数x 满足2560x x -+≤；（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为3，直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切．ABCD1A 1B 1C 1D E FG（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 的交点为,A B ，求弦长||AB ．19．（本小题满分14分）如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点．（1）证明：1AG ⊥面EFD ； （2）求二面角E DF C --的余弦值．20．（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2，其中O 为坐标原点． （1）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是否存在点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===？ 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号12345 6 7 8答案 B C C B C A B D1．【解析】由8c ===，所以焦距为16.∴选B ．2．【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C ．3．【解析】||5a == ，∴134(3,0,4)(,0,)555||a e a ==⋅=，∴选C ．4．【解析】抛物线24y x =知12p =，||2132P pPF x =+=+=，∴选B ． 5．【解析】由概率的性质知①③为真命题，∴选C ．6．【解析】当且仅当0a ≠时，方程2y ax =表示的曲线为抛物线，∴选A ． 7．【解析】5a =，进入循环后各参数对应值变化如下表：p15 20 结束 q5 25 n23∴选B ．8．【解析】∵|AF 1|+|AF 2|=6，|BF 1|+|BF 2|=6，∴△AF 2B 的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=12；若|AB|最小时，|BF 2|+|AF 2|的最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB|最小，此时|AB|=22223b b a =，故221283b b -=⇒=．∴选D ． 二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．) 9.23y x =±10.2 11.6 12. 200,210.x R x ∃∈+≤ 13.18.2 14.349． 10．【解析】222222(20)(10)(00)(10)(20)25s --+--+-+-+-==． 11．【解析】a b ⊥(1,5,2)⇒-⋅(,2,2)0m m +=102406m m m ⇒+--=⇒=．12．【解析】全称命题的否定为特称命题． 13．【解析】0.9200.218.2y =⋅+=．14．【解析】以A 为原点AB 为x 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,2AA =,设(),,M x y z ，则(),,AM x y z = ,则111212AA AM z z ⋅≥⇒⋅≥⇒≥ ，从而12-2232==2224M V p V ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅正． 三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为51204=………………………2分 ∴年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ……………………………4分 (2)上述抽取的5名志愿者中，年龄在20至40岁的有3人，记为1,2,3年龄大于40岁的有2人，记为4,5，……………………………………………6分 从中任取2名，所有可能的基本事件为：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，…8分其中恰有1人年龄大于40岁的事件有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5)，共6种，………………………………10分∴恰有1人年龄大于40岁的概率63105P ==.…………………………………12分 16．（本小题满分12分）解：（1）点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），……………（1分）满足22(2)(2)4x y -+-≤的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）∴所求的概率211244416P ππ⨯==⨯． …………………………（5分） （2）满足,x y ∈Z ，且22x -≤≤，22y -≤≤的整点有25个 …………（8分）满足,x y ∈Z ，且22(2)(2)4x y -+-≤的整点有6个，……………（11分）∴所求的概率2625P =． ………………………………（12分）解 (1)由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a -⋅-<.……………………………1分 又0a >，所以3a x a <<，………2分当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x <<……4分 由2560x x -+≤得23x ≤≤.所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤.…………………………………6分 若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3．……………8分 (2) 设{}|3A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤…………………………………10分q 是p 的充分不必要条件，则B A ⊂…………………………………………12分所以021233a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是()1,2．………14分18．（本小题满分12分）解：（1）又由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切得b ==2分由e =得3a == 4分 ∴椭圆方程为22132x y +=…………………………………………………6分 （2）2222123(2)60322x y x x y x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩251260x x ⇒++=…………8分 21245624∆=-⋅⋅=，设交点,A B 坐标分别为()()1122,,,x y x y ………9分则1212126,,55x x x x +=-⋅=…………………………………………………11分从而||5AB ==所以弦长||AB =14分解：以D 为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为2， 则D (0，0，0)、E (0，2，1)、F (1，2，0) 、G (0，1，0) 、A 1 (2，0，2) 、C (0，2，0)，…… 2 (1)则1(2,1,2)AG =-- ，(0,2,1)DE =， (1,2,0)DF =………………………… 3分 ∵1(2,1,2)AG DE ⋅=-- (0,2,1)0⋅=， ∴1A G DE ⊥………………………… 4分 ∵1(2,1,2)AG DF ⋅=-- (1,2,0)0⋅=， ∴1A G DF ⊥………………………… 5分又DE DF D ⋂=，DE DEF ⊂面，DF DEF ⊂面……………… 6分∴1AG ⊥面EFD …………………………………………………………7分 (2)由(1)知1(2,1,2)AG =--为面EFD 的法向量，………………………… 8分 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE =为面CFD 的法向量，……………… 9分设1A G 与CE 夹角为θ，则11cos AG CE AG CE θ⋅==⋅231-⋅23=-……… 12分 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ-， ∴二面角E DF C --的余弦值为23．…………………………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x yy ==-因为11(,)P x y在椭圆上，因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅= ②由①、②得11||| 1.2x y ==此时222212123,2,x x y y +=+=…………… 2分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知0m ≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ == 因为点O 到直线l 的距离为d =所以1||2OPQS PQ d ∆=⋅=2|23m k =+又OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。

2013-2014学年高二下学期数学期中考试模拟题考试时间：120分钟一、选择题（本大题共8小题；每小题5分，共40分．）1、复数z 满足21iz i=+, 则z 等于( ) A 、1i + B 、1i - C 、2i + D 、2i -2、下列求导运算正确的是（ ）A 、211()1x x x '+=+B 、1(ln(1))1x x '+=+C 、12()x '= D 、()cos sin x x x '=-3、用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A 、a b c ，，都是奇数B 、a b c ，，都是偶数C 、a b c ，，中至少有两个偶数D 、a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数4、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直 线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误5、已知2(0)axdx a =>⎰,则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、46、化简432(1)4(1)6(1)4(1)1x x x x -+-+-+-+得（ ）A 、4(1)x - B 、4(1)x + C 、4x D 、5x7、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的 选法共有( )A 、34种B 、35种C 、120种D 、140种8、对,,x y R +∀∈不等式222()x xy a x y +≤+恒成立，则a 的最小值为（ ）A 、122- B 、122+ C 、1 D 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9、观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++=_________________.10、设随机变量的分布列如下表所示，且3.12=+b a ，则b a -＝ ．11、两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 ．15、（满分12分）已知函数()2sin(2)6f x x =+，在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()1=A f ，(1)求角A 的大小；(2)若a =3b c +=，求ABC ∆的面积．16、(满分12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖1张，可获价值50 元的奖品；有二等奖劵3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X (元)的概率分布列．17、（14分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+ （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18、（满分14分）如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且PA AB AC ==. （Ⅰ）求证：//PA 平面QBC ；（Ⅱ）若PQ QBC ⊥平面，求二面角Q PB A --的余弦值.19、（满分14分）椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点(1,0)F ，过F 作与x 轴垂直的直线l 与椭圆交于T S ,两点,且||ST （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点)0,2(M 的直线与椭圆E 相交于两点B A ,，设P 为椭圆E 上一点，且满足OA OB tOP += 0(为坐标原点），当||PA PB -< t 的取值范围QPABC20、(满分14分) 已知函数1()ln g x x x=+． （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （Ⅲ）是否存在00x >，使得01()()g x g x x-<对任意x>0成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．2013-2014学年高二下学期数学期中考试模拟题参考答案一、选择题（本大题共8小题；每小题5分，共40分．）1．A 解析 ()222(1)111i i i z i i i +===+++ 2—4:B D A; 5．B2220011|0242(0)22aa xdx x a a a a ==-=⇒=⇒=>⎰6．C ()44324(1)4(1)6(1)4(1)111x x x x x x -+-+-+-+=-+=7．A 447434C C -=8.B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9.221 10．2.0- 解析: 0.8,2 1.30.3,0.50.2a b a b a b a b +=+=⇒==-=-11．15．（满分12分）(1)()2sin(2)62sin(2)1,6f x x A ππ=+∴+=……………．．2分1302(,)6665266A A A ππππππ<<⇒+∈∴+= (5)3A π∴=……………6分22222222212cos ...........82223=()3332...........101=sin 22ABC b c a b c a A bc bcb c bc b c bc b c bc S bc A +-+-=⇒=∴+-⇒+-=+=∴=∴= （）分分分16．(满分12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖1张，可获价值50元的奖品；有二等奖劵3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X (元)的概率分布列．解：（1）2621015211453C P C =-=-=,即该顾客中奖的概率为23………………4分 （2）X 的所有可能值为：0,10,20,50,60（元）且262101(0)3C P X C ===;11362102(10)5C C P X C ===;232101(20)15C P X C ===;11162102(50)15C C P X C === 11132101(60)15C C P X C ===………………………………10分。